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Full text of "L'Enseignement mathématique"

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L'ENSEIGNEMENT 

\l ^THÉMATIQUE 



L'Enseignement mathém., 9 e année; 190" 



GENEVE 
IMPRIMERIE W. KUNDIG & FILS 



2£f 



L'ENSEIGNEMENT 



MATHÉMATIQUE 

MÉTHODOLO(;iE ET ORGANISATION DE L'ENSEIGNEMENT 

PHILOSOPHIE ET HISTOIRE DES MATHEMATIQUES 

CHRONIQUE SCIENTIFIQUE — M É LANGES — BIBLIOGRAPHIE. 



REVUE INTERNATIONALE 



PARAISSANT TOUS LES DEUX MOIS 



DIRIGEE PAR 



C.-A. LAISANT 



Docteur es sciences, 

Examinateur d'admission à l'Ecole 

polytechnique de Paris. 



H. FEHR 



Docteur es sciences, 

Professeur à l'Université de Genève 

et au Gymnase. 



AVEC LA COLLABORATION DE 

A. BUHL 

Docteur es sciences 
Mailie de Conférences à la Faculté des Sciences de. Montpellier. 

COMITÉ DE PATRONAGE 

P. APPELL (Paris). — Mor. CANTOR (Heidelberg). — E. CZUBER (Vienne i. — W.-PERMAKOF (Kiel ) 
A-R. FORSYTH, (Cambridge). — J. FRANEL (Zurich). — Z.-G. de GALDEANO (Saragosse). 

A.-G. GREENHILL (Woolwich). — F. KLEIN (Gôttingen). — G. LORIA (Gênes). 
P. MANSION(Gaud). — MITTAG-LEFFLER (Stockholm). — Julids PETERSEN (Copenhague). 

E. PICARD (Paris). — H. POINCARÉ (Paris). — P. -H. SCHOUTE (Groningue). 

Dav.-Eug. SMITH (New-York). — C. STEPHANOS (Athènes). — F. Gomes TEIXEIRA (Portoi. 

A. VASSILIEF i Rasant. — A. ZIWET (Ann Arbnr, Michigan, U. S. A.)- 



NEUVIEME ANNEE 

1907 




PARIS 
GAUTHIER-VILLARS, ÉDIT EUK 

55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS 



GENEVE 
GEORG & C ie , ÉDITEURS 

10, CORRATERIE, 10 



1907 



Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/lenseignementmat09inte 




Ernest Cesàro 
1859-1906 



ERNEST GESARO 

1859-1906 



Née forma aeternum aut cuiquam est fortuna perennis : 
I, on gins aut propius mors sua quemquc manet. 

Prop., II, 2S. 57. 

Le L3 septembre 1906, les journaux de Naples annonçaient 
la mort tragique du savant géomètre Ernest Cesàro, surve- 
nue la veille dans une petite ville peu éloignée, où il allait 
chaque année se reposer des fatigues de l'étude et de ren- 
seignement. In de ses fils, Manlio, âgé de dix-sept ans, se 
baignait dans la mer qui était fort agitée, et son père, nageur 
habile, se déshabillait pour le rejoindre, quand tout à coup une 
vague impétueuse surprit le jeune homme. Son père voulut se 
jeter à son secours, mais en descendant l'escalier il glissa si 
malheureusement qu'il tomba dans l'eau après s'être l'ait des 
contusions à la tète et à la poitrine. Les bateliers ac- 
coururent bientôt, mais ils ne ramenèrent qu'un mourant, 
tandis que le cadavre de Manlio fut retrouvé le lendemain. 
On comprend la douleur de la femme et des autres fils de 
M. Cesàro qui avaient été spectateurs impuissants de cette 
pénible tragédie. Telle fut la catastrophe qui en quelques 
minutes priva la famille Cesàro de son seul soutien et qui 
arracha à la science une de ses gloires les plus illustres et à 
l'Italie un citoyen dont elle était justement fière. 

La science et la famille furent le double but et l'idéal de 
la vie de Cesàro : à l'une il voua toutes les énergies de son 
puissant esprit ; à l'autre il se sacrifia lui-même. Qui donc 
plus que lui peut avoir droit à l'adoration des siens, à l'admi- 
ration et à la reconnaissance des amis de la science ? 

11 fut un de ces rares hommes privilégiés que nous som- 
mes contraints à admirer dans les productions de leur belle 
intelligence et à aimer pour eux-mêmes. Modeste et courtois 



6 C. ALASIA 

avec tout le inonde, loyal jusqu'au scrupule et toujours dis- 
posé à voir le bien plutôt que le mal dans les actions humai- 
nes, à secourir de son argent un pauvre et de ses conseils 
tous ceux qui s'adressaient à lui, il sut se faire des amis e1 
des admirateurs de tous ceux qui eurent la bonne fortune de 
l'approcher ou d'entrer en relations avec lui. Par les quali- 
tés de son esprit et de son cœur, ainsi que par ses œuvres, 
il fit preuve des vertus qui appartiennent aux grands hommes 
dont une nation a le droit de se montrer fière et le devoir 
d'en perpétuer le souvenir et l'exemple. 

Dans un de ses éloges académiques 1 J. Bertrand a dit : 
« Les travaux d'un homme de science sont une trop grande 
part de sa vie pour que Ton puisse séparer les deux souve- 
nirs et c'est dans un même récit que leurs histoires se 
déroulent et s'expliquent, qu'elles s'éclairent mutuellement 
en s'unissant, sans se confondre, dans une mesure qu'un 
vain caprice ne saurait régler ». Mais ce récit devient trop 
dillicile lorsqu'il s'agit d'un savant comme M. Cesàro, c'est- 
à-dire d'un savant dont la production scientifique est non 
seulement extraordinairement abondante, mais surtout gran- 
dement variée et je ne crois pas qu'il serait possible à quel- 
qu'un de parler de sa vie en jetant un coup d'œil d'ensemble 
sur ses travaux. On devra toujours ou les examiner un à un. 
ce qui sera bien long, ou se contenter d'en mentionner quel- 
ques-uns parmi les plus intéressants ou les plus récents, et 
c'est ce que je tâcherai de faire. 

Ernest Cesàro naquit à Naples le 12 mars 1859, mais sa 
vraie patrie est la petite ville de Torre Annunziata qui, s'ap- 
puyant pittoresquement sur les derniers contre-forts du 
Vésuve, baigne ses pieds dans l'eau du Tirrène : c'est dans 
cette ville que toute sa famille est née et a toujours demeuré. 
Son père Louis, homme d'affaires, et sa mère, Fortunia Nun- 
ziante, ayant dû se rendre à Xaples pour quelques mois. 
Ernest y naquit. Son enfance fut comme celle de la plupart 



Eloge historique </< Le Vi rrier. 



ERNES T CESARO ' 

des hommes: elle s'écoula tranquillement au milieu de l'af- 
fection de ses parents et de la sympathie de ses maîtres qui 
se complaisaient de la vivacité de son esprit et de la noblesse 
de son cœur. Agé de neuf ans il voulut entrer dans le sémi- 
naire de Nola au lieu de suivre ses frères dans un collège de 
Naples, et son père, croyant peut-être à une vocation, y 
consentit volontiers. Il en sortit deux ans après pour aller 
fréquenter le Gymnase « Victor Emanuel » de Naples, ou il 
étudia pendant quatre ans: mais au bout de ce temps, comme 
il préféra renoncer cà l'étude des langues mortes, son père 
l'envoya à Liège où, depuis plusieurs années, demeurait son 
frère Joseph, actuellement professeur ordinaire de Minéra- 
logie et Cristallographie à l'Université de cette ville. S'étant 
inscrit à YEcole des Mines, il étudia avec ardeur en récoltant 
beaucoup d'éloges ; il montra une grande prédilection pour 
la mathématique et ses applications, prédilection qui s'affir- 
mait de jour en jour, surtout par les encouragements de ses 
maîtres, et en particulier du savant professeur Catalan qui 
préconisait dans le jeune italien une des gloires de la 
science. Mais cet éminent géomètre lit encore plus: pour 
témoigner à son jeune élève tout l'intérêt qu'il concédait à 
son talent et à son assiduité, il permit que plusieurs de 
ses Notes de mathématique parussent dans la Nouvelle Cor- 
respondance Mathématique, la savante Revue qu'il diri- 
geait 1 (Bruxelles, 1874-1880). Ce sont sept courtes recher- 
ches sur des sujets différents 2 où on découvre déjà une faci- 
lité peu commune d'assimilation et un esprit surprenant de 
pénétration uni à une intuition toute particulière des applica- 
tions à la fois intéressantes et peu prévues. Aussi la nouvelle 
revue Mathesis, qui succéda à la Nouvelle Correspondance, 
accueillit dès ses premières pages les nombreux écrits de 
M. Cesàro, et dans les seize volumes publiés depuis le jour 
de sa fondation nous y retrouvons une succession de plus 



1 La publication de cette revue cessa en 1880 : .lie l'ut reprise en 1881 par MM. J. Xi U- 
kkrg et P. Mansion sous le titre de Mathesis. 

2 Je reproduis les titres des sept notes, presque ignorées de la plupart : 1. Sur l'exis- 
tence de certains polyèdres. — 2. Propriétés d'une courbe. — 3. Sur les formes approchées 
des solides d'égale résistance. — i. Une question de maximum traitée par Poncelet, — 5. Sur 
la série harmonique. — 6. Démonstration de la formule île Stirling. — 7. Quelques formules. 



S C. A L A SI A 

de cinquante articles signés par M. Cesàro ; ils sont tous d'un 
grand intérêt et vont des théories géométriques élémentaires 
aux applications de l'Analyse, de la théorie des nombres au 
calcul symbolique, de la doctrine des probabilités à la géo- 
métrie différentielle. Quelqu'un a fait remarquer dans le 
compte rendu d'un Mémoire de M. Cesàro, publié en 1884, 
que les sujets traités par lui ne sont pas tous nouveaux ou n'ont 
pas tous de l'originalité dans les applications, leur nombre 
étant au préjudice de la valeur. Mais j'observe à ce propos 
le fait remarquable qu'avec les années l'importance de sa 
production scientifique est allée en augmentant d'une ma- 
nière extraordinaire sans que la variété des sujets ait subi 
aucune diminution. La vivacité naturelle de son caractère 
se réfléchissait sur ses recherches, surtout pendant les pre- 
mières années de sa carrière scientifique; mais la méthode 
par laquelle chaque question y est traitée est toujours per- 
sonnelle et possède une empreinte propre d'originalité et 
de largeur de conception suffisantes à leur assurer la plus 
haute valeur. Les démonstrations complètement neuves et 
les applications très ingénieuses des théorèmes de Berger, 
de Fouet, de Jamet, d'Appell, etc., pour ne parier que des 
notes insérées dans Mathesis, en donnent une preuve convain- 
cante. D'ailleurs il aurait suffi d'un travail tel que celui qu'il 
consacra en 1883 à l'arithmétique asymptotique, et qu'il fit 
paraître sur les encouragements de Catalan, sous le titre 
Sur diverses questions d'arithmétique dans les Mémoires de 
l'Académie des Sciences de Liège, pour lui assurer d'une ma- 
nière incontestable la renommée de mathématicien profond 
et original. 

Admirateur enthousiaste d'Hermite, qui avait hérité de 
Gauss et Cauchv le sceptre de l'analyse, Ernest Cesàro étu- 
diait avec ardeur les théories géométriques et, au premier 
rang de ses désirs, il plaçait celui de se rendre à Paris pour 
écouter les leçons d'Hermite, comme aussi celles des grands 
maîtres, MM. Darboux, Serret, Briot, Bouquet et Chas- 
les qui avait fait de la géométrie un art et une science. — 
Mathesis ars et Scie n fia dicenda — Son rêve fut bientôt sa- 
tisfait : il quitta Liège avec le lils du Prince de Soisson son 



ERNEST CESARO 9 

ami, el il s'en alla à Paris où pendant plusieurs mois il put 
étudier à la Sorbonne. Et là aussi il sut attirer l'attention de 
ses maîtres sur son esprit puissant et sur sa volonté tenace 
d aborder les questions de haute science dont la vision loin- 
laine L'attirait. Hermite l'aimait et encourageait ses aspira- 
tions; dans les leçons de M. Darboux il trouvait les fonde- 
ments de la géométrie intrinsèque à laquelle il aurait associe 
plus tard son nom ; ses nombreux travaux qu'il communi- 
quait a M. Catalan montraient les gigantesques progrès qu'il 
taisait dans la voie difficile sur laquelle il avait voulu s'ache- 
miner. 

Mais les mauvais jouis allaient commencer pour lui : la 
banqueroute de plusieurs maisons de commerce qui avait 
jeté sa famille dans la cruelle nécessite de sacrifier la meil- 
leure partie de son patrimoine avait mis celle-ci dans l'im- 
possibilité de le laisser à Paris. La mort de son père dont le 
cœur n'avait su résister aux chocs des adversités aurait porte 
le coup fatal aux aspirations du jeune mathématicien si des 
hommes aussi généreux que grands n'étaient allés à son 
secours. .M. Catalan aimait toujours son ancien élève qui, 
en attendant, était rentré à Liège: MM. Hermite, Neuberg 
el Mansion ne voulaient abandonner lejeune homme auquel 
souriait un avenir aussi brillant ; ils eurent l'idée d'écrire 
au professeur Cremona dont le bon cœur était bien connu. 
Celui-ci accepta de contribuer à cette bonne action et en parla 
à M. .Nicolas S. Dino, en ce moment-là professeur à la 
faculté des Sciences de Rome, actuellement à celle de 
Nâples. Egalement originaire de Torre Annunziata, où il est 
grandement aimé, le professeur S. Dino obtint pour lejeune 
Cesàro ce qui lui était nécessaire pour compléter ses études. 
Dans la lettre qu'il adressa au Conseil municipal de sa ville 

natale, il disait entre autres choses * : c< et Userait faute 

impardonnable que de l'abandonner à lui-même : c'est une 
force qui ne doit pas être perdue. — S'il persévère dans la 
voie longue et pénible des études sévères et bien ordonnées, il 



1 Ce passage de la lettre de M. Dini au Conseil municipal de Torre Annunziata m'a été 
-oiuiminiqiië par M. le professeur Servillo. directeur de l'Ecole technique de cette ville 
•i qui a été élève de M. Cesàro. 



lu C. A LA SI A 

fera honneur à noire nation. — Sur son compte M. Le Prof. 
Catalan de Liège, dans une lettre adressée a un illustre per- 
sonnage M. le Prof. Cremona de cette Université Home) et 
datée 13 juin 1883 s'exprimait dans ces termes: Il y a un 
mois, sans connaître Gauss, M. Cesàro a inventé une défini- 
tion de la fonction T différente de celle de Gauss, mais qui 
s'accorde avec celle-ci. Ce jeune homme, s'il vit, sera un très 
srand géomètre ». — Hit cette même année I termite exposait 
dans son Cours d'Analyse a la Sorbonne des formules très 
intéressantes qui avaient été construites par le jeune M. 
Cesàro. 

La demande de M. S. Dino avait été acceptée a l'una- 
nimité; le 8 février 1883 le Conseil Municipal attribuait a 
M. Cesàro un secours de trois mille francs pour qu'il pût 
complétera Liège, à Y Ecole des Mines, les études qu'il avait 
commencées avec tant de succès. Mais cela ne devait pas 
s'accomplir, car. vers la fin de cette même année, il rentra 
en Italie afin de passer les deux dernières années de 
cours à l'Université île Rome et d'y prendre son doctorat 
en mathématiques. L'influence des savantes leçons de MM. 
Cremona, Cerruli, Battaglini et des autres excellents maîtres 
qui enseignaient la géométrie supérieure, la mécanique, 
l'analyse dans cette Université, se fit sentir dans les travaux 
qu'il fit à Rome ; mais là, comme dans la plupart des 
travaux qui suivront, on retrouve l'influence d'Hermite. 
Ainsi par exemple dans ses recherches sur la théorie des 
séries, où, au lieu de rester circonscrit a la seule méthode 
des séries entières, comme on avait fait dans les plus an- 
ciennes recherches, il se mit hardiment sur les traces d'Her- 
mite, en appelant à son aide toutes les ressources qui peu- 
vent être fournies par les méthodes données par Cauchy. 
M. Cesàro parvint ainsi en peu de temps à donner à cette 
doctrine une brièveté et une élégance incomparables. 
Mais c'est surtout dans ses travaux sur la théorie des nom- 
bres, sa branche préférée, que l'on remarque le plus l'in- 
fluence très vive du savant géomètre français, et il ne 
pourrait en être autrement. Les méthodes générales intro- 
duites par ce savant géomètre ont ouvert dans cette théorie 



ERNES T CE SA HO 1 1 

des horizons si nouveaux que pour beaucoup de temps en- 
cores elles constitueront un puissant instrument de recher- 
ches ; il est donc naturel qu'après les premiers travaux d'Her- 
mite, tous ceux qui se sont occupés de la théorie des for- 
mes, et parmi eux aussi M. C. Jordan dans son classique 
Mémoire ' sur l'équivalence des formes, aient ressenti vive- 
ment son influence. 

Le merveilleux principe île la réduction continue s'adapte 
aujourd'hui aussi aux intéressantes recherches sur la théorie 
de certaines fonctions uniformes. M. Cesàro ne négligeait 
aucune occasion pour montrer combien d'importance il don- 
nait à celte branche des mathématiques ; encore récem- 
ment, dans une de ses précieuses lettres, il me faisait mé- 
lancoliquement remarquer comme cette théorie, que Di- 
richlet appelle la reine des mathémathiques, est négligée, 
même en Italie, où pourtant elle a des traditions glorieu- 
ses. Ce chagrin esl encore plus juslilié lorsqu'on réfléchit 
comme l'introduction de cette branche dans la théorie des 
fondions donnera beaucoup de force à ceux qui seront maî- 
tres des principes de l'arithmétique supérieure, et que cer- 
taines recherches communes à l'arithmétique et à l'analyse 
des fonctions pourraient donner 2 dès à présent une belle 
moisson de résultats de la plus grande importance. Du 
reste, on sait bien que M. Hermite avait dit qu'il n'aurait 
jamais pu écrire son célèbre Mémoire sur la transformation 
des fonctions abeliennes s'il n'avait pas été très familier avec 
les questions de l'arithmétique. 

Le volume XIII de la 2"" série 1884 des Ahnali di Mate- 
matica para cd applicata, de MM. Brioschi et Cremona, con- 
tiennent neuf Mémoires très intéressants de M. Cesàro sur 
les dillérentes branches de l'arithmétique : c'est le fruit de 
longues recherches, el certaines théories qui y sont à peine 
signalées pourraient avantageusement servir de base à de 
nouvelles et utiles recherches.il a réuni ces neuf Mémoires 
dans un même volume pour le dédier à M. S.-N. Dino, en 



1 E. Picard. L'œuvre scientifique de < h. Hermite. — Dans les Annales de l'Ec. norin. 
sup., sér. :t'. vol. XVIII, 1901. 

2 lbi.1. 



12 C. Al. A SU 

témoignage de reconnaissance, sous le litre d' Excursions 
arithmétiques à /'infini Paris, Hemiann, 1885). Il attribua 
toujours une grande importance au résultat contenu dans ce 
volume et plusieurs études qu'il aborda dans les années sui- 
vantes ont là leur fondement. Rappelons entrautres celui 1 
qui a pour objet la série 

x -r 2 

L* = -. + : i, + ... 

1 — .»' 1 — .*- 

en ce qui concerne la manière dont elle se comporte dans le 
voisinage de l'unité; M. Cesàro a pu déduire l'expression 
asymptotique du nombre (n) des diviseurs de n et établir 
une formule beaucoup plus générale que celles de Gauss et 
de Dirichlet. 

Ces mêmes résultats contiennent le fondement de ses re- 
cherches sur certaines séries de puissances 2 et, en particu- 
lier, ses observations 3 sur la formule arithmétique de M. Per- 
vouchine 

P» 5 1 

= loi( II -+- loçf loy II 1 — -; + — : : , 

n 12 log// 24 log log n 

(P n est le //'" e nombre premier) dont il démontre l'inexacti- 
tude théorique : il lui substitue l'autre plus exacte 

P„ .il . , loglogn— 2 (log log//) 2 — 6 log log// + 11 

— = lOg II -f- log log II — 1 + , : ; z— : ts ■ 

n 5 *■ log n 2 (log h) 2 

Je veux rappeler encore que pendant sa dernière année 
d'étude à l'Université de Rome (1885 , il publia dans les 
Mémoires de l'Académie des sciences de Lisbonne une 
étude très complète sur les formes polyédriques dans tous 
les espaces (Forme polieclriche regolari e seiniregolari in 
tutti gli spazi; in-4° de 75 pages ; il la dédia à son maître, 
le savant professeur Cremona. 

Afin de permettre à Cesàro de compléter à son aise ses 
études, M. De Sanctis, fin lettré et brillant esprit, qui était 
alors ministre de l'Instruction publique, lui avait obtenu du 



1 La scric de Lambert en Arithmétique asymptotique. Reiïdieonti délia H. Accad. dî 
Napoli, sér. 2<=, vol. VII (1893), pages 107-204. 

! Sur la détermination asymptotique des séries de puissances. Ibid., pages 187-195. 

3 Sur une formule empirique de M. Pervouchine. Comptes rendus de i'Ac. d. Se. de 
Paris, vol. CXIX (1894), pages 848-849. 



ERNEST CESARO 13 

gouvernement un subside à titre d'encouragement. Mais ses 
cours universitaires ne furent jamais entièrement complétés : 
lui qui était si brillant dans toutes les branches des mathé- 
matiques, il ne put se résoudre à se plier aux formalités 
qu'on nomme doctorat. 

Toutefois, comme en 1886, on avait bannit ses concours à 
des chaires dans les écoles secondaires et supérieures, en- 
couragé par ses maîtres, il se laissa porter et il fut élu dans 
toutes les chaires auxquelles il avait concouru et qui sont 
celles du Lycée Mamiani de Rome, et celles des Universités 
de Naples, Païenne et Messine. Il choisit Païenne, où il eut 
le degré de titulaire d'Algèbre supérieure à dater du L or no- 
vembre de cette même année. Peu après, le 22 lévrier 1887, 
le président de la Faculté des sciences de l'Université de 
Rome, le grand physicien M. Pierre Blaserna, lui communi- 
quait que, après un beau rapport de M. le prof. Tonelli et par 
autorisation du ministre de l'Instruction publique, il lui était 
conféré ad honorem le doctorat en mathématiques. 

11 demeura à Palermejusqu'en 1891: en cette même année, il 
demanda et il obtint de passer à la chaire de calcul infinitési- 
mal dans l'Université de Naples, chaire dont M. le profes- 
seur Battaglini était le titulaire, mais qui était restée libre, ce 
mathématicien ayant passé à l'enseignement de l'Analyse 
supérieure dans la même Université. Vers le milieu de 1906, 
il avait demandé d'être transféré à l'Université de Bologne 
pour v enseigner la Mécanique rationnelle, et il devait s'y 
rendre au mois de novembre dernier. Les collègues et les 
étudiants l'auraient vu partir avec beaucoup de chagrin ; 
d'autres collègues et d'autres étudiants l'attendaient avec 
impatience. La fatalité cruelle a voulu que les uns et les 
autres s'associassent dans le deuil et dans la douleur. 

Cesàro savait également donner à son enseignement cette 
empreinte toute personnelle qui caractérise ses écrits et qui le 
conduisait à généraliser les théories en cherchant les plus 
belles applications. Ses leçons d'algèbre complémentaire 
formèrent un cours entièrement différent de celui auquel les 
étudiants avaient été habitués. Son livre Corso d'analisi 
algebrica (Turin 1894), donne un résumé de ses leçons et un 



li C. A LA S I A 

aperçu de la ré l'or me qu'il préconisait pour les études uni- 
versitaires. C'est dans ce même esprit que sont écrits ses 
Elementi di calcolo infinitésimale (Naples 1897), dont il parut 
une deuxième édition en 1905, d'après la traduction alle- 
mande de M. le Prof. Gerhard Kowalewsky, de l'Université 
de Greifswald. On sait quel est l'accueil qu'ont reçu partout 
ces leçons, destinées non seulement à ceux qui désirent 
apprendre les mathématiques supérieures pour s'en servir 
directement dans les nombreuses applications, mais aussi à 
ceux qui recherchent avant tout une gymnastique intellec- 
tuelle. Il ne voulut jamais s'occuper des critiques plus ou 
moins intéressées dont il fut l'objet pour ces idées, mais il 
continua intrépide sa route, bien heureux de se rendre utile 
aux jeunes étudiants. Dans son cours, comme dans ses livres, 
il avait soin d'exposer le plus clairement possible les théorè- 
mes généraux dont il donnait la démonstration la plus simple 
et qu'il faisait suivre d'applications bien appropriées. Il se 
louait de suivre ainsi les préceptes d'un de ses maîtres ', 
qu'il considérait comme insurmontable dans ces qualités d'ex- 
position des théories les plus élevées. Les questions d'im- 
portance secondaire il les évitait ; il détestait le luxe d'érudi- 
tion car il savait qu'elle est préjudiciable aux élèves, tandis 
qu'il cherchait a développer chez eux l'amour des mathémati- 
ques, plutôt que de les éloigner d'elles. Cette méthode devait 
lui attirer des critiques, mais les méthodes comme les arbres 
se jugent à leurs fruits, et ils sont bien privilégiés ceux qui 
peuvent se louer d'avoir eu pour maître le savant Cesàro. 

De même qu'il évitait les théories trop élevées, inutiles 
aux élèves, il évitait les discussions sur les fondements de la 
science : il respectait, et même à l'occasion il encourageait 
les discussions sur la philosophie des mathématiques, sans 
s'y intéresser personnellement. Comme il l'avait dit plus 
d'une fois, il partageait avec Hermite la croyance un peu mys- 
tique sur l'essence du nombre, et avec lui il pensait que les 



1 Munie peu de jours avant sa inorl Hermite écrivait à une Revue didactique:... L'admira- 
tion, a-t-on dit, est le priiK ipc du savoir... : je m'autoriserai de cette pensée pour exprimer le 
désir qu'on fasse la part plus large pour les étudiants, aux choses simples et belles, qu'a 
l'extrême rigueur aujourd'hui si en honneur, mais bien peu attrayante, souvent même fati- 
gante et sans grand profit pour les commençants qui n'en peuvent comprendre l'intérêt. 



ERNEST CES A Il() 15 

nombres forment un monde qui possède sa propre existence 
hors de nous. 

Son enseignement universitaire ne s'arrêta pas à l'algèbre 
complémentaire et au calcul infinitésimal. Dès sa première 

année à Païenne il iïit chargé de l'enseignement de la 
Physique mathématique, puis plus tard encore d'autres cours 
aux Universités de Païenne et de Naples : dans tous ces 
cours, qu'il développait avec la plus grande compétence et 
avec une merveilleuse largeur de vues, il apporta des contri- 
butions personnelles, répandues ensuite dans de nombreu- 
ses publications. Ses Mémoires sur les équations de l'élas- 
ticité dans les hvperespaces, sur les formules de Maxwell, 
sur le pouvoir rotatoire magnétique, sur les dilatations et 
rotations dans les milieux élastiques, sur la propagation de 
la chaleur, etc., sont bien connus. Son livre La teoria 
matematica dell' elasticità in-8° de 214 pages, Turin 1895 , 
qui est presque le résumé de ses cours, montre quelle auto- 
rité il aurait apportée dans son enseignement de mécanique 
rationnelle qu'il devait occuper à Bologne. 11 se proposait de 
publier sous peu, entre autres ouvrages, ses leçons sur la 
Teoria matematica del calore et les Lezioni suit' idrodina- 
mica déjà rédigées. 

Les soins que M. le Prof. Gesàro porta à renseignement 
ne firent nullement diminuer sa production scientifique ni la 
variété des sujets : il sembla au contraire qu'en enseignant 
aux autres il progressait lui-même et que sa culture deve- 
nait toujours plus large. Ses contributions à l'étude des 
fonctions holoniorphes, suivant la nouvelle conception de 
Laguerre, à l'étude des nombres de Bernoulli, à la théorie 
des roulettes, etc., s'alternent avec les recherches sur la 
théorie des nombres, sur l'analyse intrinsèque des courbes 
et des surfaces dans les hyperespaces, sur la théorie des 
limites, etc. Dans chacun de ses Mémoires, même dans les 
brefs écrits destinés aux écoliers, il y a toujours du nou- 
veau, soit dans la méthode, soit dans la théorie elle-même. 
Il me suffit de rappeler comme exemple une petite note 1 d'en- 



1 Sur une question de limites : MathesIS, vol. X flS90'. pages 25-28. 



[6 C. A LA S 1 A 

viron trois pages insérée dans Mathesis et où il donne une 
nouvelle démonstration du théorème sur les fonctions à u in- 
variable entière : Si pour n entier et croissant indéfiniment, 
a n et b s approchent de zéro, on a 



iini - — 



■« + i 



>> l> — l>„ j. i 

si la deuxième limite existe. Ce théorème bien qu'il soit dû 
a de l'Hospital, devrait s'appeler théorème de Cesàro '. 
car il l'a présenté sous une forme toute nouvelle et il l'a l'ail 
intervenir dans de nombreuses applications. 

Il serait facile de citer d'autres exemples analogues à celui- 
ci et d'apporter ainsi de nouvelles preuves de l'originalité de la 
production scientifique du regretté Cesàro. C'est dans chacun 
de ses écrits qu'on pourrait trouver de ces exemples, et le 
nombre de ses écrits est assez considérable pour qu'un 
savant mathématicien ait dit en parlant de Cesàro que c'est 
un prodige de précoce activité. En 1886, lorsqu'il concourut a 
l'enseignement, le nombre de ses publications surpassait une 
centaine; en 1892, c'est-à-dire quand il concourut à la mé- 
daille de la Société italienne des sciences (dite dei XL . ce 
nombre avait surpassé deux cents et depuis 1892 à aujour- 
d'hui ce nombre est plus que doublé. Lui-même ne se rappelait 
pas toutes ses publications, et quand dernièrement il concou- 
rut au grand prix royal de l'Académie dei Lincei, il fut oblige 
de demander aux amis et aux bibliothécaires non seulement 
des exemplaires de ses publications, mais aussi des titres. 
Si après nous ajoutons à tout cela les nombreuses questions 
ou solutions de problèmes qu'il envoyait aux Revues, les dis- 
cussions épistolaires avec de nombreux mathématiciens, les 
éclaircissements et les conseils qu'il donnait à tous ceiw 
qui s'adressaient a lui, on pourra bien dire que son activité 
scientifique fut plus que prodigieuse. Chateaubriand et beau- 
coup d'autres écrivains avant et après lui, ont toujours célé- 
bré la précocité du génie mathématique de Pascal, mais sans 
en donner des preuves : qu'est-ce qu'on devrait dire de celle 
de M. Cesàro, qui fut autrement éclatante. 



1 Ce n'est pas moi le premier .1 manifester cette opinion : elle fut déjà exprimée, je crois, 
par M. Mansion ou par M. Ni 1 behg. 



ERNEST (ES A no i: 

Comme je l'ai déjà remarqué, le nom de M . Gesàro est asso- 
cié à une théorie presque neuve à laquelle il a consacré avee 
enthousiasme toutes les ressources de son grand esprit et 
qui a fait le sujet non seulement de plusieurs de ses pre- 
mières recherches, mais aussi de ses derniers et plus impor- 
tants Mémoires : je veux parler de Y analyse intrinsèque qu'il 
considérait à bon droit comme sa propre création. L ne figure 
.géométrique est généralement étudiée soit en la rapportant 
a des axes lixes, soit en la [apportant à des axes variables. 
Dans cette dernière méthode la figure considérée dans l'es- 
pace est rapportée à un trièdre mobile O.v/jz défini par la 
tangente Ox, la normale principale Qy et la bi-normale Or. 
en un point variable de la courbe, et à ces axes sont rap- 
portes les éléments infinitésimaux relatifs à ce point 0. Les 
relations entre ces éléments, c'est-à-dire les propriétés intrin- 
sèques de la courbe, s'obtiennent bien plus facilement par 
cette méthode que par celui des axes lixes. De là, la 
dénomination d'analyse intrinsèque qu'on a donné à cette 
méthode. 

Dès 1867, M. Darboux fait usage du trièdre mobile comme 
svstème d'axes dans son cours professé au Collège de France, 
puis dans son ouvrage classique sur la théorie des sur- 
faces 1 . Cette même méthode est utilisée après lui par un 
autre géomètre éminent, M. Ribaucour, dans son Mémoire 
sur la théorie générale des surfaces courbes, couronné 2 en 
1-876 par l'Académie des sciences de Paris, et postérieure- 
ment dans son Mémoire sur les Elassoïdes ou surfaces a 
courbure moyenne nulle, couronné en 1880 par l'Académie 
royale de Belgique. M. Cesàro qui, dès les premiers mo- 
ments de ses études mathématiques, guidé par le sens très 
marqué d'intuition qui lui était propre, avait soudainement 
prévu les nombreuses ressources que cette méthode devait 
rendre à celui qui saurait l'appliquer à toutes les branches 
des sciences mathématiques, se consacra ardemment à cette 
étude, en coordonnant entre eux les résultats déjà connus 



1 Lirons sur la théorie des surfaces. \ vol., in-8», Paris. 1887-189B. 

a Ce mémoire ne fut publié qu'en 181» 1 dans le Journal de mathématiques pures et ap 
pliquèes. 

L'Enseignement mathém., 9 e année : 1907. 2 



ls C. ALASIA 

el «'ii les développant la où c'était nécessaire. Dans ses 
Lezioni di geometria intrinseca in-8° de 264 pages, Naples, 
1896), il sut établir dans un seul corps de doctrine, à une 
époque où celte méthode n'avait encore guère reçu de 
publicité, non seulement tout ce qu'il avait pu apprendre des 
autres, mais aussi, et plus particulièrement, tout ce qui 
elail le fruit de ses recherches personnelles, en joignant 
avec la plus ingénieuse habileté la théorie aux applications 
les plus variées. Ces applications vont des courbes usuelles 
à celles que M. Wôlfïing a nommées courbes de M. Cesàro l , 
aux courbes triangulaires, symétriques et harmoniques, et 
aux eongruenees linéaires, à propos desquelles il montre 
comment sa méthode conduit presque intuitivement aux ré- 
sultats dus par Sturm sur les configurations des normales à 
une surface dans le voisinage d'un point donné et aux théo- 
rèmes bien connus de Hamilton et de Kummer. L'édition 
allemande de ces Lezioni (traduites elles aussi par M. le pro- 
fesseur Kowalewskv et publiées sous le titre Vorlesungen 
itber natùrliche Géométrie, in-8° de 341 pages, Leipzig, 1901;, 
contient plusieurs nouveaux paragraphes dont quelques-uns 
présentent une importance toute particulière. Signalons 
celui qui a été ajouté au chap. III, où sont considérées les 
courbes dont les cercles osculateurs appartiennent à un 
même complexe linéaire de cercles, et celui qui a été ajouté 
au chap. XVI, où il met en évidence la nature différente des 
espaces suivant que le nombre n de leurs dimensions est 
pair ou impair : le lieu d'un point ayant ht première, 
deuxième, troisième, etc., courbures constantes est sphérique 
ou hélicoïdal, suivant ijue n est un nombre pair ou impair. 
L analyse intrinsèque forme pour tous ceux qui étudient la 
géométrie différentielle un instrument très puissant d'inves- 
tigation et un champ très vaste de recherches, mais dont 
plusieurs mathématiciens n'ont, jusqu'à ce moment, pas voulu 
reconnaître la portée, ou n'ont pas su apprécier sa valeur 



1 Ces courbes peuvent se définir comme il suit : le rayon de courbure en un point esl 
proportionnel au segment île normale qui va du point de tangence à son intersection avec 
l,i polaire du point de tangence par rapport à un cercle fixe. Lorsque ce cercle se réduit 
a un point, la courbe devient une spirale sinueuse, et lorsque le cercle se réduit à une 
ligne droite, le lieu se réduit a la courbe dite courbe de Ribaucour. 



ERNES T C ESARO 19 

exacte dans les avantages qu'il présente sur les méthodes 
classiques de MM. Laguerre, Halphen, Klein, Lie, etc. Mais 
M. Cesàro, instruit de la haute valeur de sa méthode et per- 
suade que ses travaux ne disparaîtront pas avec lui, ne se 
découragea jamais en constatant l'indifférence avec laquelle 
on accueillait ses efforts pour mettre en pleine lumière toute 
l'importance de l'analyse intrinsèque; au contraire, en tra- 
vailleur infatigable, il en continua les applications dans 
toutes les branches de la géométrie. 

Peu après la publication de l'édition allemande de la 
Natùrliche Géométrie, M. le professeur Scheffers démon- 
trait 1 que les hélices coniques-cylindriques obtenues par 
M. Cesàro, et dont il est question à la page 184 de cet 
ouvrage, ne sont pas les courbes les plus générales. 
M. Scheffers introduit d'autres courbes, des Indices cylindri- 
ques, qui coupent sous un angle constant les génératrices 
d'un cône: elles se trouvent sur une quadrique de révolu- 
tion qui a un foyer au sommet du cône et elles coupent 
sous un angle constant les génératrices du cône qui les pro- 
jette de l'autre lover. M. Cesàro reprend les résultats obte- 
nus par M. Scheffers en substituant 2 à la quadrique une 
surface de révolution engendrée par la rotation de l'ovale de 
Descartes autour de Taxe de symétrie, et il démontre que les 
Indices trouvées par M. Scheffers appartiennent à deux 
tvpes d'hélices qu'on peut nommer elliptique et hyperboli- 
que et qui rentrent dans la classe des hélices déjà signalées 
parles professeurs Pirondini 3 et Strazzeri 4 . Cette analyse 
intrinsèque des hélices poloconiques est appliquée avanta- 
geusement par M. Cesàro 5 à l'étude d'une courbe quelcon- 
que placée sur un cylindre de révolution, en fournissant une 
méthode applicable à une surface de révolution quelconque, 



1 Ueber Loxodromen. Leipziger Berichte, vol. 54, page 369. 

- Analisi intrinseca dc/la eliche poloconiche. Rendiconti délia Rea. Ace. di Napoli, sér. 3«, 
vol. IX. 1903, pages 73-89. 

8 Sur les trajectoires isogonales des génératrices d'une surface dèveloppable. Crklle, 1897. 

4 Le eliche ci/indriche. In-8°, de :S4 pages, Sass.uu, 1901. Generalizzazione di alcunc 
propriété dclï eliea cilindro-contca ordinaria. Le Matematiche pure ed applicate, vol. I, 
1902, pages 241-254. 

3 l'er l' analisi intrinseca délia superficie rotonde. Rendiconti délia Rea. Ace. di Napoli, 
série 3 e , vol. IX, 1903, pages 135-145. 



20 C. ALASIA 

procédé qui, avec des modifications très Légères, peut facile- 
ment être généralisé. 

Voici maintenant une autre question qui a attiré l'attention 
de M. Cesàro et lui a fourni une application 1 de son 
analvse intrinsèque : c'est la courbe singulière donnée par 
M. Helge von Koch 2 comme exemple d'une courbe continue 
qui n'a pas de tangente. M. Cesàro donne une nouvelle con- 
struction et il ajouti 1 aux propriétés énoncées par le géomètre 
suédois une nouvelle série de propriétés caractéristiques. Il 
démontre, par exemple, (pie cette courbe est semblable à 
elle-même dans toutes ses parties: que sa longueur entre 
deux points quelconques est infinie: que ses points peuvent 
se représenter arithmétiquement d'une manière naturelle 
dans le système de numération binaire, ce qui permet d'éta- 
blir une correspondance univoque entre ces points et les 
valeurs d'une variable réelle dans l'intervalle (0,1 et d'en dé- 
terminer, à l'aide des séries convergentes, les coordonnées 
en fonction des nombres par lesquels ces variables s'expri- 
ment dans le système binaire. Il signale aussi l'existence 
d'autres courbes analogues à celle de M. von Koch 3 et il les 
compare aux courbes continues qui passent par tous les 
points d'une surface donnée, dues à MM. Peano et Hilbert. 

L'étude des propriétés des surfaces dans leurs déformations 
infinitésimales est encore un sujet auquel il applique son 
analvse et il parvient à établir des formules 4 qui admettent 
comme cas particulier celles de M. Codazzi : il démontre 
aussi par un procédé direct le théorème bien connu de 
VVeingarten sur la déformation des surfaces isothermiques. Il 
reprend encore l'étude intrinsèque des espaces courbes 5 



1 Remarque.-; sur la courbe <l,- von Koch. Atti délia Rea. Ace <li Napoli, sér. 2 e , vol. XM. 
1905. — Fonctions continues sans dérivée. Arch. d. Mathem. und Phvs.. 1905, pages 5T-63 

2 Archiv iV.r Matematik, Astronomi och Fysik. Stockholm, 1004, pages 681-702. — Un 
segment rectiligne étant divisé en trois parties, sa partie moyenne se substitue aux deux 
côtés du triangle équilatére construit sur lui: cette construction étant répétée indéfini- 
ment sur tous les côtés des polygones qu'on obtient, on a la courbe continue men- 
tionnée. 

8 Parmi ces courbes est comprise ceUe signalée par M. T. Takagi dans ces derniers 
jours: Comptes rendus de la Soc. physico-mathém. de Tokio. vol. 1. page 176. 

* t'ormole per l'analisi intrinseca dcllc superficie ecc. Rendiconti délia Rea. Ace. di 
Napoli. sér. 3", vol. Vil. 1901, pages 294-308 

va tcoria intrinseca degli spazi curvi. Atti dell' Ace. dei Lincei, sér. 5 e , vol. \. 
1904-1905, pages 3-24. 



EU NES T VESA l!(> 21 

suivant une idée qu'il avait déjà énoncée dans un précédent 
mémoire l , c'est-à-dire d'envisager l'espace courbe à v dimen- 
sions placé dans l'espace linéaire à // dimensions, comme 
s'il était composé de courbes gauches définies par leurs 
équations intrinsèques, et il en déduit des cas particuliers 
très intéressants de théorèmes connus dans l'espace défini 
par v = 2, n = 4. 

Dans la dernière période de sa vie, il s'étail efforcé d'ob- 
tenir encore de nouveaux résultats, afin de convaincre les 
plus indifférents sur la portée de L'analyse intrinsèque dans 
les questions les plus abstraites, et ainsi il était arrivé a 
montrer non seulement combien cette analyse peut réussir 
utilement lorsqu'on l'applique aux espaces non-euclidiens, 
mais aussi comment elle permet de réédifier sur de nouvel- 
les hases toute 1 la géométrie non-euclidienne. La géométrie 
Intrinsèque du plan étant rendue indépendante de l'axiome 
euclidien des parallèles 2 au moyen d'une définition particu- 
lière du carre de l'élément linéaire, il peut passer directe- 
ment cà l'extension des résultats qu'il obtient par cette mé- 
thode à l'espace à courbure constante à un nombre de dimen- 
sions quelconque 3 ; il poursuivit son analyse jusqu'à mon- 
trer comment, à l'aide de l'analyse intrinsèque, la géométrie 
non-euclidienne peut se bâtir sur des fondements nou- 
veaux 4 . 

Les résultats qu'il obtint confirment complètement la con- 
fiance absolue qu'il plaçait dans la méthode intrinsèque et 
ils forment un digne couronnement de ses efforts de près 
d'un quart de siècle en vue de perfectionner une théorie qu'il 
avait trouvée à un état presque embryonnaire. 

Les recherches mentionnées ci-dessus interviennent dans 
un problème d'un grand intérêt qui a formé l'objet de deux 
des Mémoires les plus remarquables du regretté M. Cesàro. 



1 Sulla rappresentazionc intrinseca délie superficie. Atti Rea. Ace. di Napoli, sér. 2% 
vol. XII. 

2 Sui fondamenti délia geometria intrinseca non euclidea. Rendiconti Ace. dei Lincei, 
-i. 5°, vol. XIII. 1904, pages 438-445. 

1 Geometria intrinseca negli spazi a curvatura costante. Ibid., pages 658-667. 
4 Fondamentn intrinseca délia pangeotnetria. Atti Ace. dei Lincei, sér. 5 e , vol. V, 1904- 
1905, pages 155-183. 



22 C. ALASIA 

Bellrami avait établi '. en L866 et comme extension d'un 
autre théorème énonce par lui-même, que la condition né- 
cessaire et suffisante pour que les points d'une surface puis- 
sent se reporter sur une surface à courbure constante de 
manière que les géodésiques de la première soienl repré- 
sentées par celles de la deuxième est que la première surface 
soit aussi à courbure constante. M. Gesàro a repris ce théo- 
rème et il a montré '" que le chemin suivi par M. Bellrami <'l 
plusieurs autres après lui. et qui consiste à chercher avant 
tout la forme de l'élément linéaire et eu déduire après que 
la forme obtenue convient seulement aux surfaces a cour- 
bure Â* = constante, n'est ni la plus générale ni la plus 
courte ; il est préférable de commencer par démontrer que la 
condition Â" = constante est nécessaire pour la dite repré- 
sentation et en déduire après, an moyen de la détermination 
effective de l'élément linéaire, que cette condition est suffi- 
sante. Par un procédé très rapide, qui s'approche de celui 
qui a été suivi par M. Bianchi 3 pour arriver à la condition 
A = constante seulement, il arrive à établir les résultats 
obtenus par Beltrami, en déduisant en outre de nombreux 
cas particuliers, parmi lesquels celui de la développée de la 
caténoïde dont la propriété est de pouvoir être rapportée 
point par point sur un plan, de manière que les images de ses 
géodésiques soient toutes les chaînettes qui ont une droite 
comme directrice. Il lit voir ensuite 4 que quelques notions 
de la théorie intrinsèque suffisent à établir des résultats nou- 
veaux. 

Pour montrer en outre comment cette méthode évite toute> 
les difficultés qu'on rencontre lorsqu'on fait usage des pro- 
cédés ordinaires de la géométrie différentielle, il se sert de 
quelques-unes des formules fondamentales obtenues par lui 
pour en déduire, par un procédé à peu près intuitif, les pro- 
priétés des loxodromies sur la pseudosphère, la démonstra- 



' Annale di Matematica, série I". vol. VII. liages 185-204 ; ou bien Œuvres complètes, 
vol. I. page 280. 

J Suite irnmagini de/U- geodeticht nella rappresentazione \>iana dette superficie. Rendiconti 
Kea. Ace. de Naples. 

3 Lezioni di geometria differenziale, paye \\>. 

* Per l'analisi intrinseca dette figure tracciate sopra una superficie. Reudiconti Ile». 
Ace. de Naples, 1905. 



E RIVE S T CE SA RO 2:; 

tion <ln théorème de Clairaul pour les lignes à courbure 
constante sur la pseudosphère, <|iii ont la propriété de cou- 
per orthogonalement un nombre infini de loxodromies qui 
convergent en un même point réel ou imaginaire, et bien 
d'autres problèmes intéressants qu'il serait trop long d'énu- 
niérer ici. Il avait laissé entrevoir encore beaucoup d'autres 
applications remarquables dans ce domaine. 

La production scientifique du savant Prof. E. Cesàro se 
trouve dispersée dans un grand nombre de Revues et de 
Recueils d'Académies l italiennes et étrangères: lorsqu'elle 
se trouvera réunie, dans un ensemble complet, elle formera 
le plus beau monument qu'on puisse élever a son génie et 
elle paraîtra certainement plus majestueuse encore que ce 
qu'on peut entrevoir aujourd'hui. C'est à ses collègues- et à 
ses élèves qu'incombe maintenant la tâche de réunir et 
de publier ses écrits. 

Je ne saurais mieux terminer cette notice, malheureuse- 
ment incomplète, qu'en appliquant ici à Cesàro les termes 
prononcés par M. Levv dans son éloge de M. J. Bertrand : 
« Il fut un semeur d'idées ; ses ouvrages classiques, avec 
leurs nombreux exercices, ont déterminé bien des voca- 
tions S'il jetait la vérité en prodigue par la plume cl par 

la parole, il savait aussi l'aimer et l'apprécier chez les autres. 
C'est pour cela qu'il eut beaucoup d'amis. Il savait inculquer 
l'amour aux jeunes gens : c'est pour cela qu'il fut un vrai 
maître ». 

C. Alasia Ozieri, Sardaigne . 



' Voici, par ordre de date, les nominations concernant le professeur Cesàro 
1885, mai 19, membre de la Société royale des Sciences de Liège; 
1892, février 1(>, membre de VAccademia Pontoniana, de Naples ; 
1892, décembre \\. membre de la Società lleale délie Scienze, de Naples ; 
1892. décembre 29. membre de VAccademia Real das Sciencias, de Lisbonne : 
1895, août 15, membre de la lieale Accadcmia dei Lincei, de Rome ; 
1898, avril 17, membre de la lieale Accademia délia Scienze, de Turin; 
1900, décembre 17, membre de l'Académie royale de Belgique: 
1902, avril 14, membre de la Società Italiana délie Scienze, dite dei XL. 



THÉORIE ELEMENTAIRE DES RESIDUS 
QUADRATIQUES 



Avant-propos. — Par suite de la création de nombreux 
journaux scientifiques dans le courant du XIX' siècle, de 
doctes et ingénieux pionniers se sont attachés de plus eu plus 
et dans un grand nombre de directions, à poursuivre surtout 
le défrichement de l'immense champ mathématique, dont la 
production a pris ainsi une intensité inquiétante pour l'avenir 
de la science : il est certain que dans cent ans. bien des 
étendues cultivées aujourd'hui, seront délaissées, à cause de 
leur isolement ou de leur aridité. Mais on peut affirmer que 
les deux parties qui en forment l'entrée, ou, si l'on veut, 
l'initiation — lagéométrie et l'arithmétique — seront toujours 
l'objet d'une culture de plus en plus suivie et iront se géné- 
ralisant de plus en plus, jusqu'à l'absorption de la plus 
grande partie du reste. 

De la première de ces deux sciences, on possède des trai- 
tés élémentaires, aujourd'hui, bien près de toute la perfec- 
tion désirable. Quant a la seconde, en dépit de nombreux 
écrits qui en traitent, elle est loin d'être aussi connue que le 
mériteraient son extrême importance, l'élégance de ses pro- 
positions, l'attrait que lui ont reconnu tous ceux qui s'y sont 
livrés, enfin la beauté des problèmes non encore résolus et 
d'une Coule d'autres qu'il serait facile de se poser et peut-être 
de résoudre, si les efforts d'un plus grand nombre d'intelli- 
gences étaient dirigés dans cette voie. La faute n'en serail- 
elle 1 pas aux traités, même élémentaires, où elle est exposée. 
lesquels visent trop haut et abordent dès le début des ques- 
tions trop générales.' Et ne conviendrait-il pas, si on veut 
arriver à la vulgariser, d'en illustrer au moins les théories 
initiales par des applications et des exercices choisis, qui 
soutiendraient l'intérêt du lecteur sans le rebuter et lui mon- 



Il i: s IDU.S QUADRATI Q l T I. s 25 

treraient rapidement el mieux que toute explication, l'esprit 

de la théorie des nombres, son but et sa méthode? 

Cela nous a fait penser qu'une série d'études sur les élé- 
ments de l'arithmétique pourrait servir la cause que nous 
défendons, savoir la vulgarisation de celte belle théorie, en 
contribuant à la production d'un traité véritablement élémen- 
taire. Xous donnons ici la première de ces études. 

1 . — On appelle résidas quadratiques du nombre premier/?, 
1rs restes de la division par /->, des carrés entiers non mul- 
tiples de p. Ainsi les nombres 1,3, 4,9,10, 12 sont les résidus 
de 13, et 2. .">. (>. 7. S, I I en sont les non-résidus. 

Dans la première partie de ce mémoire, il ne seraquestion 
<|ii<- de résidus quadratiques; nous pouvons donc nous bor- 
ner, pour abréger, à dire simplement résidus. 

l'osons j> = 2 ni -f- 1 ; il y a m résidus de p ei ou les déter- 
mine en divisant paroles m premiers carrés entiers (Euler). En 
effet si pour < a < b < ///, on avait les deux congruences* 
a 2 =/\ b 2 = i\ il s'ensuivrait a-\-b a — b) = 0, ce qui est im- 
possible, puisque a -\- b et a -- b sont inférieurs à/; et par 
suite premiers avec lui. 

Divisant par /> les carrés supérieurs à ni 2 puis ceux supé- 
rieurs à y/ 2 , on retrouve symétriquement puis périodique- 
ment les mêmes restes, quisqu'on a /> — a) 2 = a 2 et [kp -f- df 
= a 2 . Il n'y a donc que m résidus. 

(>n désignera les résidus par les lettres /', /', / ', ... et les 
non-résidus par celles-ci, p, p', p ", ... 

2. — Les produits d'un résida quelconque par les m résidas 
sont congrus d ces mêmes résidas, dans un certain ordre 

Euler). On voit d'abord que le produit de deux résidus est 
congru a un résidu, car de /• = a 2 , /"' = b 2 , on conclut 
/•/•' = ab 2 . D'ailleurs les deux relations /■'/■" = /• , /•'/•'" = /• 
entraîneraient la suivante /•'/'" = r'r'", d'où, contrairement 
a l'hypothèse r" = /•'". On obtient donc ainsi tous les m ré- 
sidus. 



1 La congruence a = b. qui s'énonce a congru à b. indique que '( diffère de b < I " 1 1 n mul- 
tiple île p. ou que /; divise la différence a-b. 

Ainsi {p -\- a)" = a' 1 , ce qui résulté de ce que \p + a\ n — a" est divisible par \p + a) — « 



26 ./. a ri: a y 



Cor. /. Ainsi les m produits rr. /"/•', rr" , ... sonl congrus 

aux m résidus, et on peut écrire 



d ou 

l ,'" = 1 . 

Cor. IL Le produit d'un résidu pur les m non-résidus son/ 
congrus a tous les non-résidus, et ceux d'un non-résidu par 
les m non-résidus sont congrus aux m résidus (iauss . Le 
produit rp est incongru aux ni produits rr, rr', ... : il est donc 
congru à un non-résidu. De même le nombre pp' ne peut 
être congru à aucun des produits pr , pr',pr", ... tous con- 
grus à des non-résidus. 

D'ailleurs les produits rp, rp', rp" ' , ... sont incongrus entre 
eux, de même que les produits pp, pp', pp", ... Les premiers 
sont donc congrus aux ni non-résidus et les seconds aux ni 
résidus. 

3. — De po = /'. on tire p m p' m = r'" = 1 : on a donc 
p m = 1 ou = — 1. 

Cor. 1. On a donc toujours a m = ± 1, d'où, en quarrant, 
cette eongruence, qui constitue le Théorème de Fermai, 

(2) „/'-> = !. 

Cor. IL Puisqu'on ne peut avoir p = .r 2 , on ne saurait avoir 
non plus p'" = xP~ x = 1 : on a donc 

(3) p'" = — 1 . 

Ainsi Ze nombre a es/ résidu ou non-résidu selon que a'" 
es/ = 1 ou = — i. Cette importante proposition s'appelle le 
critérium d'Eu 1er. 

Cor. III. Puisque 1 est toujours résidu, on peut toujours 
trouver deux nombres x et £ tels qu'on ait r.r = 1 et pi = 1 . 
et cela d'une seule manière. 

Le nombre x ou £ est dit l'associé de r ou de p). Ainsi 
tout nombre a inférieur ci p, r/ sow associé, c'est-à-dire un 
nombre y /e/ r///e a y = 1. 



B E S /DIS QUA 1) /! ATI Q UE S 27 

Posons ab = c ; en multipliant par la congruence I = ay, 
on aura cy = 6 : on peut donc trouver un nombre y inférieur 
à p e/ /e/ ywc cy = b. 

Ces deux importants théorèmes sont dus à Euler. Parmi 
les nombreuses applications qui peuvent en être faites, nous 
indiquerons la suivante, qui nous sera utile plus loin. 

Si la valeur a de x, inférieure à p, satisfait à la congru- 
ence A.r 2 -f Bx + C = 0, il y a une autre valeur de x, éga- 
lement plus petite que p, qui y satisfait, et il n'y en a 
pas d'autre. Les deux rongruene.es A.r 2 + B.r + C = 0, 
\a- + Sa -j- C = donnent par soustraction 

A i.»- — a 2 ) + B [x — a) = , 

d'où, comme .r — a est un nombre premier avec/?, 

Au- + «i + B E . 

Or on a vu plus haut que cette congruence est toujours 
possible. 

On appelle racine de la congruence du n" degré A.r" + 
I5.r 2 -f- ... + L.r + M = 0, tout nombre plus petit que p et 
qui, mis à la place de x, satisfait à cette congruence. On 
peut donc dire que la congruence du premier degré A.r + B = 
a toujours une solution unique et que celle du second degré a 
deux racines ou n'en a pas. 

On étendrait aisément ce théorème au cas général et on 
arriverait ainsi à une proposition importante, due à Euler et 
à La grange. 

Cor. IV. Le produit de plusieurs entiers plus petits que p 
est congru à un résidu ou à un non-résidu selon que le nom- 
bre des non-résidus qu'ils comprennent est pair ou impair. 
Euler). 

Cor. V. Si le produit ab est résidu, a et b sont tous deux 
résidus ou tous deux non-résidus. 

Cor. VI. Posons /"" = I , p m = — L : on aura (p— r) m = ± 1 
et [p — p ■"• ee =f 1 selon que m est pair ou impair. Donc si 
/> = 4 + I 1 , les nombres a et p-a sont ensemble résidus ou 



1 Par ce symbole, «S + 1. nous entendons un multiple de '1 augmenté de 1. 



28 A. A uni: y 

non-résidus. Si p = 4 — i, Les deux nombres a et p-a sont 
l'un résidu et l'autre non-résidu. 

4. — La question de décider si un nombre donné a est ré- 
sidu ou non-résidu de p peut se traiter, indépendamment de 
toute théorie, dans certains cas très simples. Ainsi: 1" on a 
( a 2/ " = yP~ l = I ; donc tout carré est congru à un résidu, ce 
qui suit de la définition des résidus. 

2° On a (p — L)'"= — J '". Ainsi selon (pie yv = 4 ± 1 . on a : 

[p - ii'" =±l . 

3" Soit a = 2. Si p == 4 + 1, rn est pair et le produit des 
m premiers multiples de 2 peut s'écrire 



2'"/»! =-[2.4.6... m 



][()-V)(/'-"-?- : )••• l ''- 3ll ''- 1, ] 



P - °\ / / 



= 2.4.6... m f— *—£- \ (— 2"- ) •■ '— 3| (— [ ' = >"' (— 1» " 

Sip = A — 1. m est impair et on a . 

2^! = [2.4.6...^][(,-^)(^-^)...(^3)(^-l,] 



1.4.6 

;» ! I — li 



Par conséquent 



(5) 2'" = (— 1) 4 . |pour/j =h- 1 . 
Ot p 7" diffère d'un nombre pair de p ~ , dans le pre- 

mier cas, et de ^ ; - dans le second cas, puisque les deux 
différences sont '— — ' — s— et <—-, — '—^ — . La formule b 

t 2 -± - 

peut donc s'écrire, quel que soit le cas, 

(6) 2'"= i— li 8 . 

2 est donc résidu ou non selon que le nombre -— ^ — est 
pair ou impair. 



Il E S 1 1) U S () l ' A I) K A I I OU E s 



29 



i° Soit a = 3 ; p peut prendre seulement Tune des formes 
6+1 ou 6 — I. Dans le premier cas, on a 



3' n i»! = [3.6.9 ...m] [p 



K'"^) 



. . iyy — 7) l/; — i) iyj — l) 



[p -f 2) {p + 5) ... (/; -f- 



^)] 



= m ! (— 1) 



d'où 



i— ii 



6 



/> = 6 + li 



De même dans le second cas, 



d'où 



Z m m ! = [3. 6 ... (m — 2)] [(p — m) (p -+- 3 — m) .. i/> — 2)] 
l</> + 1) (/> + i) ■•(/> + '" — l)] 

= m! (— 1) , 



6 



181 :r = (— i,i 

5° Soit a =p — 2 : on a visiblement 



(p — 2) m =i— 2)'" =2 m (— li'" =(— I| 
ou Ijien 



p»-\_ P -\ 



[p — 6— ! 



O— h i/j + ô) 



= i— Il 



\p — 1) >p — 3) 



(9) (/> - 2)" 1 = (— 1) 

De la même manière, on trouvera : 



p - 1 ,7 - 1 



10) |p-3)" = (-l] 



l) = (— 1) . [p = 6+ 1 



3 



,U, (/ , _ 3)'" = (— 1) . (y, = 6-l|. 

Cor. I. On a (/-» — i)" 1 = 1, si^? = 4 H- 1. Donc dans ce cas 
on peut trouver un nombre /tel que f 2 = p — 1, ou f 2 -f 1 
= 0. De là successivement, 



\f± l) 2 = ± 2/', \f± I)" = — 4, |/'± 11'"' = l— ii" 



:jO A. Ai'fiBY, 

Ainsi un nombre premier p = 4 + 1 divise au moins deux 
nombres assignables de chacune des formes x 2 -f- 1, y* + 4, 
z 8 — 16, w 16 + 64, ... Par exemple, soit p = 13, on aura 
f=5: donc 13 divise 6 16 + G4 et 4 18 -h 64. La possibilité 
d'écrire y i + 4 = pour /? = 4 + !■> a été signalée d'abord 
par Sophie Germain. 

De plus on a : (/.Y ± y 2 + (/y =F %f = ; donc /? = 4 + 1 
divise une infinité de sommes de deux carrés premiers entre 
eux (Fermât . 

Cor. II. D'après (6), 2 est résidu de p = 8 ± i et non- 
résidu de p =& ± 3. D'après 9 , /> — 2 est résidu si/? = 8 + 1 
ou 8 -f 3 et non- résidu si p = 8 — 1 ou 8 + 5. 

/;? est pair ou impair en même temps que'—- — , et. dans 

les mêmes cas, p = 12 + L ou 12 + 7. Donc, d'après (7 , 

pour p ~ 12 + 1 . lit 3)" 1 = 1 : o et — '■> sont 1 résidus ; 

pour p = 12 + 7 . l± o)'" = ± 3'" = ± |— 1) = zp 1 : 3 est non- 
résidu el — 3 résidu. 

On verra de même que, à cause de (8 , .'i'" = ± 1 selon que 
/; = 12 — 1 ou 12 + 5. Par suite, dans les deux cas, on a 
(—3'" = — L. 

Ainsi, selon que/? = 6 ± 1, il a — 3 pour résidu ou non- 
résidu, c'est-à-dire qu'il divise ou ne divise pas .r 2 + 3( 2 ). 

Cor. III. Soit f 2 -j- a = 0. Si x est le reste de la division 
de fy par />, il viendra x 2 + ai/ 2 = 0. Donc si p divise un 
nombre f' 2 -j- a H en divise aussi une infinité de la forme 
x 2 + ay a . On résoudra ainsi la congruence x 2 + ai/ 2 = O en 
posant ?/ = 1,2.3. ... et x = fy. 

D'ailleurs pour a = 1.2.3. ... on voit que p = 4 -f i divise 
une infinité de sommes de deux carrés ; p = 8 ± 1 une infinité 
de nombres de la forme x 2 — 2y 2 : p =6 + 1 une infinité de 
nombres de la forme x 2 + 3y 2 ; etc. Fermât . 

Cor. IV. Si /> = 4 — 1 . i p — 1 '" = — 1 ; donc on ne sau- 
rait dans ce cas poser/ 2 ='p — 1 ou / 2 + 1 = 0, ni X 2 + ,?/ 2 = 0, 



1 Pour abréger on écrit souvent — a, au lieu de p — a. 

2 On veut dire par là que p divise un certain carré augmenté de 3. ou bien qu'il n'v 
aucun carré qui augmenté de 3. lasse un nombre divisible par p 



/,' E S [DU S Q UA l> J! A TIQV E s 3 1 

X et y étant premiers entre eux. Par conséquent, p = 4 — 1 
ne divise aucune somme de deux carrés premiers entre eux, 
ce <|ui permet d'affirmer que les diviseurs premiers d'une 
telle somme sont tous de la forme 4 + 1( 1 ). (Fermât . 

De même aucun nombre premier 6 — 1 ne divisant x 2 + 3, 
ni par suite .v 2 + 3y 2 , il s'ensuit que tous les diviseurs pre- 
miers de x 2 + 3y a sont de la forme 6+1. 

Cor. V. Tout nombre premier p = 4 — 1 divise une somme 

de trois carrés dont l'un est l'unité Euler). La série 1,2,3 

p — 1 commençant par un résidu et finissant par un non- 
résidu, il y a au moins un résidu /• suivi d'un non-résidu 
p = /' + I. Par suite, p — /• — 1 est un résidu et on peut 
écrire : 

* 2 = r , y = — r — 1 . d'où .» 2 + v 2 -j- 1 = . 

Cor. VI. Soit a résoudre j.v 2 + /.y/ 2 = 0. Cherchons le nom- 
bre c tel que je = k : il viendra .r 2 + cy 2 = 0. Posant .r = yz, 
le problème est ramené à résoudre z 2 + c = ; il est pos- 
sible par conséquent si — c est résidu. 

Cor. VII. Soit/> = 8 + 1; — 1 est résidu, de même que 2 
et — 2 : on peut donc écrire : 

P + 1 = . d'où l/'± 1| 2 = ± 2/'. 

Ainsi 2/' et — 2/* sont résidus; et comme 2 et — 2 le sont 
eux-mêmes, le nombre /' l'est également. On peut donc po- 
ser ; 

k 2 = f . d'où ** = — 1 , » 2 = 2 . h 2 = — 2 , g* = î , j* = — 4 , 

en posant 

g = a» — * («j . h = P + k , j = f± 1 . 

La possibilité de trouver un nombre k tel que k 4 + 1 = 0, 
pour p = 8 + l( 3 , a été démontrée d'abord par Gauss. 



1 Euler démontre ainsi cette proposition : p = ■i — 1 ne saurait diviser x 2 + y 2 sans divi- 

p-\ p-\ 

sera; + >/ qui est multiple de x 2 + y 2 puisque m est impair. Or cette divisibilité est 

impossible puisque, à cause du théorème de Fermât, p divise x — y 

2 Soit A 3 + a = 0; a est l'associé de fc. De là A 2 = A 4 a 2 = — a 2 et (a ± A, 2 = ± 2Aa = ±2. 

3 Si p = «S -f ... on a également f- + 1 = 0, [f± l) a = ± 2^, puisque /> est <4 + 1 ; (2/") est 
donc résidu, mais 2 étant alors non-résidu, /Test également et on ne peut plus écrire k 2 = f. 
ni par suite A 4 = — 1. 



32 A. A ('/!/! Y 

On remarquera d'ailleurs avec Euïer et avec Gauss, (|iie si, 
|)Oiir p = 4 + 1, tf 4 = /', les nombres — a 4 . /// 4 , — fà i 
sont également = /• et sont incongrus entre eux, car, autre- 
ment, de fa = ± «, on conclurait f= ± 1, ce qui est impos- 
sible, puisque f 2 = — 1. De plus il n'y a que ces quatre 
nombres dans ce cas, car les deux congrues a 2 — x 2 = et 
a 2 -f- x 2 = ne peuvent avoir chacune plus de deux racines. 
et par suite la congruence a 4 — x* = ne peut en avoir plu> 
de quatre. 

Ainsi p = 8 -f- 1 divise quatre nombres de chacune des 
formes o 4 — 4, y' 4 -f- 4 el ^" 4 + 1- Q pourra appliquer tout 
cela au cas de p = 17, qui donne f== 4 ou 13, g = 6 ou I 1 . 
1=1 ou 10, _/ = 5 ou 3, ou 12 ou 14, A- = S. 

Co/\ 17//. Soient p = 8 + l, /r 4 = — I ; on résoudra 
.r 4 + // 4 = en posant x '= 1,2,3, ... y = /»•, 2//, ... On peut 
donc dire, avec- Euler, que tout nombre premier de la forme 
8 + I divise de plusieurs manières nue somme de deux bi- 
carrés. 

On résoudra x 2 zb 2// 2 = en posant ak = A d'où A 4 -f- a* 
= ou bien (A 2 ± a 2 ) 2 q= 2 A«) 2 = 0. 

En général si p divise a.a n + /S, en posante/// =.r, on voit 
qu'il divise également y.x" -f- /S/y". Réciproquement si p di- 
vise «r/" + fib", il divise aussi a# n + (3. ce qu'on vérifie en 
posant « = /3.r. 

Cor. IX. D'après II, le nombre premier p = 6 + I divise 
un certain nombre s 2 -\- 3. Ecrivons d'après cela 

[a] (s — li- + 2 [s — l) -+- 4 = . 

Soit n l'associé de s — 1) ; multiplions la relation x par 
n 2 et posons 2n = a = — 1 — /3 ; il viendra : 

a 2 + a -f . 1 ■= , /3 2 -j- p + 1 = , d'où a 3 — 1 s . jS 3 — 1 = . 

i/3 + li- = a 2 = /3 , (a + i) s = /3 2 = a , a 2 + /3 2 + «/3 = u . 

6- = /3 — a = 2/3 -f 1 = — 2« — t , (s ± l) s = ± 8 

a/S = (a + Il i/3 + 1) = 1 . .(« + l' 3 = i/3 + H 3 = — ' , 

(a ± 1) (|3 qr 1) = ± s , i a — 1 1 i/3 — 1 1 = 3 . 



R K S ID US Q VA I) U A T I Q LE S 33 

Soit a un entier inférieur à p ; posons #« = .r , <7/3 = y, 
d'où 

«- + .r 2 + ax == , « 2 -f v 2 + ày = , .* 2 -f v 2 + .*t = ; 

si on écrit a 3 = /', il viendra : 

x s = y 3 = ,. a _|_ ,,- _(_ y = o , «.» -j- .,■>■ -)- >■« = o . a.iy = r , 

a 2 =xy . .r 2 = (iy. y*~=ax, a'-f- x*-\- j* = 0', la.r zt /Sri 2 + fav^p |2.rl 2 = — 1 

(a ± 1) i.r ± 1) i.v ± 1) = r± 1 , [a + x) (x + y) (y -\- a) ~ — r . 

On voit, entre autres choses, que a et (3 sont des résidus 
associés ; qu'il en est de même de a -\- 1 et (S -f- 1 ; que /> 
divise, de plusieurs manières, une somme de trois carrés ; 
qu'il divise aussi une somme assignable de quatre carrés, 
ainsi que les sommes de deux cubes (s -f- L 3 -f- ,v — 1 3 et 
(a ~ 1 3 + (/S - i) 3 . 

On pourra appliquer ces formules au cas de p = 19, qui 
donne s = 4, /z — 13, a = 17, /3 = II. 

5. — Résidus cubiques. Par extension de la notion des ré- 
sidus, on appelle résidus cubiques, biquadratiques, ... les 
restes provenant delà division par/? des cubes, des bicarrés, 
... ; quelques résultats sont assez simples pour trouver place 
dans un exposé élémentaire. 

1° 11 est inutile daller au-delà des m premières divisions 
puisque {p — a 3 -f- a 3 = ; deux cubes à égales distances de 
/// sont donc complémentaires à p. En particulier, 1 et — 1 
sont toujours résidus cubiques. 

2° Si /• est résidu cubique, il en est de même de r 2 , et ré- 
ciproquement, car de .r 3 = /•, on tire (.r 2 ) 3 = r 2 . 

3° Si p = 6 — I , les p — l premiers entiers sont tous ré- 
sidus cubiques, car si on pouvait écrire a 3 — b 3 = 0, il vien- 
drait a 2 + b- + ab = 0. d'où la + bf + 3b 2 = : or cette 
expression n'a pas de diviseurs de la forme 6 — 1. (n° 4, Il 
et III). 

4° Si p — 6 -f- 1, il y a trois valeurs, l, a, /S, de .r, qui 
donnent x 3 = l(n° 4, X) et il n'y a que celles-là, puisque la 
eongruence .r 2 + x -f- 1 = ne peut avoir que deux racines. 

L'Enseignement mathém., 9 e année : 1907. 3 



r. A. AU un Y 

Os trois racines sont d'ailleurs inégales, car autrement, de 
a = /3, on tirerait [S = a 2 = ,5 2 et j3 = 1. 

De même, si <7 3 = r, il n'y a que les nombres r/. c/s, tf/3, 
dont les cubes soient congrus à /•. Les p — 1 premiers 
cubes se partagent donc en groupes de trois donnant le même 

reste quand on les divise par y;. Il y a donc- — = — résidus 

cubiques. 

5° Si /• est résidu cubique, p divise .r; 3 + /y/ 3 et z 9 -f- t' 2 y z - 
Euler connaissait à peu près tout ce qui précède. 
6° La multiplication du résidu cubique r par tous les ré- 
sidus cubiques donne ces mêmes résidus dans un certain 
ordre. De là, les relations 

rr . rr . rr" ... = r .r'.r"... el /■ =1 . 

L<s résidus cubiques ne sont donc autres que les racines 
/'-i 
de la congruence x " = 1 . 

p—i p-i 

Les deux congruences ,r = a et x " = /3 ont égale- 

, ; | 

ment chacune — - — racines ; elles sont distinctes des pré- 
cédentes et ce sont par conséquent les 2 — r , — non-résidus 
cubiques. 

6. — Résidus biquadratiques . 1° En élevant au carré les 
résidus, on obtiendra les résidus biquadratiques et ceux-ci 
doivent évidemment être choisis parmi les résidus : on les 
trouvera donc en se bornant à diviser par p les m premiers 
bicarrés. 

Soit a 2 = /■ ; si p = 4 — 1, l'un des nombres ± a est ré- 
sidu, quel que soit /• ; donc dans ce cas, tous les résidus 
sont en même temps résidus biquadratiques. 

2" Si /• est résidu biquadratique, r 2 et / ,s le sont également. 

3° Si p = 8 ± 1, on peut écrire a 2 = — 2, d'où a* = 4, 
<v s = 16, <7 16 = 256, ... Donc, dans les mêmes cas, 2 est ré- 
sidu quadratique, 5 résidu biquadratique, 16 résidu octique, 
... de p. 



/.' / > / f) US Q UADRA TI Q UE S 35 

4" Si y? = 4 + 1, /? a l> ~ ■ résidus biquadratiques(n° 4, VII). 

5° Si />> = 8 -f 1, — 1 est résidu biquadratique, ainsi que 
4 et — 4 (id.). 

(>" On démontre comme au n" précédent que, pour p = 4 

+ 1, la congruence des résidus biquadratiques est x = 1, 

et, de là, que les /; — L premiers entiers se partagent en 
quatre classes d'un nombre égal de termes, qui sont les ra- 
cines des quatre congruences 

p- ' p- » 

x k = ± 1 , .»■ '' = ± / . 



EXERCICKS. 

1. Etant donné le théorème de Fermât, si on appelle rési- 
dus et non-résidus de p les nombres qui lui sont intérieurs 
et qui donnent respectivement /"" = 1 et p m = — 1, on a les 
propositions suivantes : 

Le produit de deux résidus ou de deux non-résidus est 
congru à un résidu et celui d'un résidu par un non-résidu 
l'est à un non-résidu. 

L<" nombre p a m résidus et ni non-résidus 1 . 

Les résidus sont les restes de la division par p des m pre- 
miers carrés. 

2. Si p = 4 + I divise a 2 ± kb 2 , il divise aussi x 2 =F /<7/ 2 - 
Quelque soit Â\ p — 4 — 1 divise x 2 + hij 2 ou x 2 — ky 2 . Si 
p divise a 2 — kb 2 et c 2 — Ici 2 , il divise également x 2 — aly 2 . 
Si p ne divise ni x 2 — l,y 2 ni x 2 — ly 2 , il divise .r 2 — /-'^ 2 - 

La orange . 

3. B 2 — R étant divisible par A et R — /• Tétant par p, p 
divise ou ne divise pas A selon que r est résidu ou non- 



1 Soient n le nombre des résidus et v celui des non-résidus. Les produits pr, f>r\ ... don- 
neront n non-résidus différents; par suite n ^ v. La multiplication de P par les v non-résidus 
donnerait v résidus différents. Donc n ^ v et n = v = m. 

Cette démonstration est beaucoup plus simple que celle de Matrot (J. E. 1893, p. 74). 



^6 A . A U B l( Y 

résidu. Ce théorème sert, dans certains cas, à décomposer 
les grands nombres en leurs facteurs. Gauss 1 ). 

4. Le produit des résidus est = n= 1 et celui des non-résidus 
= ± 1, selon que/? = 4 ± 1. De là, le théorème de Wilson, 
que représente la congruence 

\p — li ! + 1 = . 

et cette autre congruence, due à Libri. 

a 

5. Si p = 4 — 1, m ! = ± 1 selon que p a un nombre im- 
pair ou un nombre pair de résidus inférieurs à L (Lejeuhe- 

I )iriehlet). 

li. Si p = 4 + 1, m ! 2 + 1=0 (Lagrange). 

7. p divise toujours rœ 2 — r y 2 et p.r 2 — p'l/ 2 < mais jamais 
rx 2 — py 2 . p = 4 + 1 divise rx 2 + py 2 et non /\r 2 + r'y 2 ni 
r,.r 2 + p y 2 ; le contraire a lieu pour/) = 4 — i. Euler). 

8. Si b 2 — 4«c) est résidu, la congruence a.r 2 -f- 6.r + c = 
a deux racines (Gauss). Plus généralement, la même chose 
a lieu si a[b 2 — Aac) est résidu (Cauchy). 

9. Si p = 4 + 1. on a 1 + p (1 + p) ... =2 et si p = 4 
— 1, 1 + r) (l + /•') ... = 2 (Stieltjès). 

10. Pour p = 4 + 1, la suite 1 + p, 1 + ^'. ... comprend 
^— 7 — résidus et autant de non-résidus. Si p = 4 — 1, la suite 

l + /', l + /■', ... comprend — - — résidus et ^ T non-rési- 
dus (Stieltjès . 



1 Ainsi on a '.13019 =: 305 2 — li : comme le montre la table des résidus, (i n'est pas résidu des 

nombres 7, 11, 13, 17. 31, 37. il, 53. 61, 71. 70, S3: aucun de ces nombres ne divise donc 93019. 

Or 2. 93019 — 432 2 — 586. Le reste 1 1 de la division de 586 par 23 est non-résidu de 23 ; donc 

23 ne divise pas 93019. Le reste 27 de la division de 586 par 43 est de même non-résidu de 13, 

donc 43 ne divise pas 93019. 

3.93019 = 529* — 784 = 529 2 — 28 2 = 501.257, d'où 93019 = 167.257. ce qui termine le calcul. 
Autrement, on continuerait ainsi . 5.93019 = 682 2 — 29 : or 29 n'est résidu d'aucun des nom- 
bres 31. 37, 41, 43, 47, 61, 73. 79. 97, ... On déterminerait ainsi successivement d'autres facteurs 
premiers impossibles à admettre et on n'aurait plus qu'à essayer les divisions par les quelques 
facteurs inférieurs à t 93019 qu'on n'aurait pu éliminer. 

On voit l'intérêt qu'il y aurait à posséder une table des résidus des nombres premiers 
jusqu'à 10. I, ou même plus loin, comme le souhaitait Gauss. 



R Ê S l D U S Q U A D II ATIQU E S : : 7 

11. Si ni p — 1 ni /// ne sont résidus, il y a au moins un 
résidu /■ tel que — /• — i soit également résidu. (Matrot). 

12. Appelons variation la succession d'un résidu fou non- 
résidu) et d'un non-résidu (ou résidu). La suite 1,2,3, ...p — ■ 1, 
présente un nombre pair ou impair de variations selon que 
/j-4±1. (Stieltjès . 

L3. Si /? = 4 — 1, la eongruence x % = a a les deux raei- 
p+ ' p — 1 

nés x = ± a ' ; si p = 8 + 5 et que a l = I , ses racines 

p + 3 

sont .r = ± <y Legendre . 

Si p = 8 + 5 et que a = — I, les deux racines sont 
1 + 3 
.r = ± <7 m\ (Mathews). 

I i. Lemme de Gauss. Soit a le nombre des restes obtenus 
en divisant par p les /« premiers multiples de <?, et ne con- 
servant de ces restes que veux qui sont plus grands que ni ; 
on a : 

15. On a aussi, avec Eisenstein, 

2kan 



=n; 



SU) 



2&T ' 



et avec Liouville, 

«'" = 1- i)"" j JJ" («*_«-y- ] . 

Dans cette dernière formule <7 = 2// + I et « désigne une 
racine imaginaire de l'équation x? — 1 = 0. 

16. Le nombre y. est de même parité que le produit 

h variant de 1 à m et /,• de 1 a a ~ (Kronecker). 



38 



./. A CHU Y 



17. Appelons, avec Lagrange, E« la partie entière du nom- 
bre non entier eu, et posons 

b — 1 



on aura 



e— 



\r n = p + ( \n — p — -2l>\\ — J (— 1) p , 



/'il , b) = , /"(a + 6, fc) = h f{a, l>\ (Tchebichef) 



a la Au nui 

a m = |_ l/'- a - P' = 2'" (— l/ " +P>PÏ 
a " l =\- \\f( a >P) . 



(id.) 
(Gauss). 



18. Etendre la notion des résidus aux restes de carrés di- 
visés par un nombre composé P. En particulier, si a est 
résidu de /?, il Test de p". Le nombre p" a mp" résidas. 
(Gauss). 

Soit le nombre P = ax % + bxy + cy 2 , ou x et y sont 
premiers entre eux (b 2 — 4<zc) est résidu de P. (Gauss). 



A. Aubry (Beaugency, Loiret). 



SUR LA LOGIQUE ET LA NOTION DE NOMBRE ENTIER 



( )n a beaucoup discuté ces temps derniers, sur la notion 
de nombre entier, sur les principes de l'Arithmétique et par- 
ticulièrement sur les principes (Y induction complète. 

Trop souvent en logique on emploie des mots vagues. Il 
en résulte des discussions sans issue. Le mot démontrer est 
un de ceux là. Je vais en préciser le sens. 

Supposez que, dans le cours d'une démonstration Géomé- 
trique j'aie un triangle A BC; je sais, soit par l'hypothèse, 
soit par un raisonnement antérieur, soitde toute autre façon, 
que l'angle B est égal à l'angle C. 

.le dis: «L'angle B est égal a l'angle C, donc le côté A B 
est égal au côté AC ». 

C'est là un petit raisonnement, (pie je nomme implication, 
ou inlerence. L'inférenee est justifiée, ou autorisée par le 
théorème supposé connu: «Si un triangle a deux angles 
égaux, les côtés opposés à ces angles sont égaux ». 

Ainsi, une inlerence ou implication est un petit raison- 
nement de la forme suivante : 

Le fait A est vrai, donc le fait B est vrai. 

L'inférenee est juste si 1° Il est établi déjà que le fait A esl 
vrai. 2° Il existe un principe ou un théorème général au- 
torisant l'inférence. 

Ceci posé, la démonstration d'une proposition consistera 
dans une chaîne d'inférences, plus ou moins ramifiée, reliant 
l'hypothèse de la proposition à démontrera sa conclusion. 

Ce n'est pas le lieu d'examiner les particularités que peut 
présenter une démonstration. Ce que je viens de dire suffira 
pour la suite. 

On définit presque toujours une classe d'objets comme il 
suit. On indique sous quelles conditions un objet donné x 
appartient à la classe, et aussi sous quelles conditions deux 
objets x et y de la classe sont considères comme distincts. 



10 J. HIC II Ail I) 

Lorsqu'une classe est ainsi définie je dirai quelle est dé- 
finie généralement. 

On peut aussi définir une classe en donnant la liste des 
objets qui la composent. Je dirai dans ce cas, que la classe 
est définie individuellement. Une classe pouvant être ainsi 
définie se nommera une collection . 

Une troisième manière de définir une classe est la définition 
par récurrence. Supposez qu'à un objet a on fasse corres- 
pondre par une certaine règle un objet f (a) etc, en répétant 
l'opération (f). Par exemple, le père de #, le père du père 
de «, le père du père du père de a etc. constituent les an- 
cêtres de a. 

Une classe K peut être formée d'un seul individu x. S il 
en est ainsi l'implication suivante est légitime. 

y est de la classe K, donc y est identique à x. C'est Leibniz, 
je crois, qui définit le nombre deux comme il suit : « Si x est 
un objet de la classe A, si y est un objet de la classe A distinct 
de x, x et y sont deux objets de la classe A ». 

On définira ensuite 3 ainsi: 

Si B est une collection de deux objets de la classe A, si x 
est un objet de la classe A n'appartenant pas à B, la collection 
B' formée de B et de l'objet x est une collection de 3 objets. 

Et en général, ayant défini un nombre/), on définira son 
suivant p -\- I. comme il suit : Si K est une collection de p 
objets de la classe A, et si x est un objet de la classe A, n'ap- 
partenant pas à K, la collection K' formée de B et de l'objet 
x est une collection de p -f- 1 objets. 

Les nombres se définissent ainsi par récurrence. 

J'arrive au principe d'induction complète. Ce principe 
s'énonce ainsi. 

Si une proposition est vraie du nombre un, et si, étant 
vrai d un nombre elle l'est de son suivant, elle est vraie pour 
tous les nombres. 

Examinons comment se fait l'application du principe. 

On a une proposition P; cette proposition est vraie du 
nombre un. On sait en outre que : « Si P est vraie d'un nom- 
bre, P est vraie de son suivant ». Les mots entre guillemets 
constituent un principe, que je nomme le principe y_. 



LA NOTIO N D E N <) M II II E I. .Y /' / E 11 'i 1 

Je sais que P est vraie de ////. 

Le principe a autorise l'inférence suivante: 

1' est vraie de ////, donc I' est vraie de deux. 

C'est I(i seule chose qu'on puisse infère/- en parla ni des 
données. Je dis ensuite: 

P est vraie de deux, donc P csl vraie de trois ; 
P est vraie de trois, donc P est vraie de quatre; 
P csl vraie de quatre, donc P est vraie de cinq. 
J'ai ainsi démontré la proposition pour le' nombre cinq, 
au moyen de quatre inférences. On voit bien qu aucune ne 
peut être omise. Si l'on voulait démontrer la proposition P 
pour le nombre 10.000, il faudrait faire 0000 inférences. 

Nous nous représentons très bien ces inférences sans les 
faire. Il suilit d'écrire 9999 lois de suite : 

« P est vrai de //, donc P est vraie de // -f- 1 ». 

en mettant successivement a la place de n les 9999 premiers 
nombres, dans leur ordre naturel. 

Se représenter des implications sans les faire, cela peut 
s'appeler intuition logique. Le principe d'induction est donc 
l'expression dune intuition logique. 

In tel principe est indémontrable. Si en elfet il existait 
une démonstration, la conclusion de la dernière inférence 
serait : « donc I* est vraie d'un nombre quelconque », or au- 
cune de nos inférences n'aboutit à une pareille conclusion. 

« Mais, objectera le lecteur, ceci tient à ce que vous avez 
défini les nombres par récurrence ; si vous aviez donne 
une définition générale du nombre, le principe d'induction 
eût été une conséquence de cette définition générale. » 

Avant de réfuter cette objection, je reviens sur la définition 
d'une classe par récurrence. 

Supposons (pie par une certaine règle on puisse faire cor- 
respondre à un objet .r, un autre objet f(x ; / sera alors le 
signe de cette correspondance. Je suppose que cette cor- 
respondance possède les deux propriétés suivantes. 

I" Les correspondants de deux objets distincts sont distincts. 

2" Il existe un objet a, qui n'est le correspondant d'aucun 
autre. 



i2 /. RICHARD 

Je définirai une classe K comme il suit: j'y mettrai l'objet 
<z, l'objet f(a), l'objet ff {ci) et en général quand j'y mettrai 
un objet, j'y mettrai aussi son correspondant. 

Si je désigne par fn(a), ce que j'obtiens en répétant // fois 
l'opération f, la classe K se composera de a et de tous les 
objets /,', a , // étant n'importe quel nombre. 

Cette manière de définir la classe K suppose la notion de 
nombre. 

Mais on peut éviter cela. 

On définira la classe K comme il suit : 

$ 1° La classe K contient a; 

S 2° Si la classe K contient b, la classe K contient / b : 

§ 3° Toute classe G qui contient a, et qui ne peut contenir 

aucun objet b de la classe K. sans contenir / b , contient la 

classe K ou lui est identique. 

Dans ces phrases il n'est plus question de nombres. D'autre 

part la partie § 3° de cet énoncé équivaut au principe d'in- 
duction complète. Effectivement, soit P une proposition sur 
laquelle on sait 

1" Que P est vraie de a ; 

2" Que si P est vraie de .r. P est vraie de / x . 

Soit G la classe d'objets pour laquelle P est vraie; à l'aide 
de la partie § 3° de l'énoncé ci-dessus, on démontre que G 
contient la classe K. Ce paragraphe 3° équivaut donc au prin- 
cipe d'induction complète. 

11 semble donc, au 1 er abord que les paragraphes 1". 2". 3? 
donnent de la classe K une définition générale, en sorte que 
toute définition par récurrence peut être réduite à une défi- 
nition générale. 

Regardons les choses de plus près. 

Une définition générale de K, c'est une condition néces- 
saire et suffisante pour qu'un objet x donné tout seul ap- 
partienne à K. 

La définition ci-dessus ne satisfait pas à cette condition: 
Pour démontrer que b appartient à K, il faut considérer les 
objets a f a f> a) . . . etc. jusqu'à ce qu'on en trouve un 
identique à b. La définition ne nous donne pas le moyen de 



I. A X O T I O N l> E N M B li E E N T I E R i3 

procéder autrement. Pour montrer que ^appartient à la classe, 
il faut le relier à a. 

Ceci réfute alors L'objection donnée plus haut. On pour- 
rait démontrer le principe d'induction si L'on donnait une 
définition générale du nombre. Mais les définitions générales 
du nombre qu'on a tenté de donner sont comme la définition 
de la classe K donnée ci-dessus, elles ne sont qu'apparentes. 
Par un ingénieux tour de phrase on peut faire disparaître 
certains mots tels que : « et ainsi de suite » ou bien des noms 
de nombre. 

Cela ne transforme pas en définition générale une défini- 
tion par récurrence. 

J'ajouterai quelques mots relatifs à la récurrence. Soit A 
une classe, et /' le signe dune correspondance univoque et 
réciproque : 

Univoque cela veut dire: 

Si .»■ = y , f{x) = /'irl • 
Réciproque cela veut dire: 

Si f[ x ) — f{y) , x = y . 

Le signe = signifie l'identité. 

Je définirai la classe f A comme il suit : si. r est un A, / x, 
est un f (A), si z est un /"(A) il existe un x tel que /' x est 
identique à g, et x est un A. 

Je puis alors former une série de classes 

A . f(A) , / 2 |A| ... f n (A) . ... 

Je pourrai appeler totalité de ces classes une classe K de- 
finie comme il suit : 

x appartient à la classe K s'il existe un entier // tel que x 
appartient à f n (A), ou bien si x est un A. 

La partie commune à toutes ces classes sera une classe w 
définie comme il suit : 

X appartient à la classe w , si x est un A, et si x appartient 
aussi à la classe /,', (a) quel que soit //. 

Ces définitions sont utilisées dans la démonstration (.lu 
théorème de Cantor Bernstein, que je n'examinerai pas ici. 
Il y figure la notion de nombre entier. On peut l'éliminer en 
quelque sorte par une tournure de phrase appropriée, mais, 



','. ./. RICHARD 

comme dans ce qui précède on ne transforme pas [jour cela 
une définition par récurrence en définition générale. 

Peut-on démontrer que les axiomes de la logique et de 
l 'Arithmétique ne sont pas contradictoires. Il est clair que 
ces axiomes ne sont pas eondradictoires, puisqu'ils sont vrais 
mais il y a une autre façon de poser la question. 

Dans la logique symbolique de M. Peano, on adopte un cer- 
tain nombre de signes, signifiant et, ou, implique, est, non, 
etc. Certaines règles de transformation des propositions sont 
alors vraies, et l'on peut raisonner en appliquant ces règles. 

Parmi ces règles il y en a d'irréductibles entre elles, c'est 
à dire qui ne peuvent se démontrer les unes par les autres, 
sans spécifier le sens attribué aux signes. Les autres se dé- 
duisent de celles-là. La question de la compatibilité des axio- 
mes peut alors se poser ainsi. En admettant ces règles, et 
en raisonnant d'après elles, on ne peut pas arriver à conclure 
la fausseté de Tune d'elles. Cela peut-il se démontrer sans 
spécifier le sens des signes? Il s'agit de montrer qu'en com- 
binant des signes d'après certaines lois on ne peut pas ar- 
river à obtenir certaines combinaisons. 

A cela il n'y a rien d'absurde. Dans l'étude de certains 
jeux, sur l'échiquier par exemple, on trouve des propositions 
analogues. Mais le principe d'induction complète reste en 
dehors de la question. Il faut en ellet l'admettre dans ces 
sortes de démonstrations. Il faudra en effet faire voir que, 
si après n applications des règles on n'arrive pas à une con- 
tradiction, on n'y arrivera pas par n -f- 1 applications.' On 
ne saurait donc démontrer, par ce procédé, le principe d in- 
duction complète, ou la non contradiction de ce principe. 

Voici maintenant la conclusion de ce petit travail sur la lo- 
gique: Ce qu'on nomme le principe d'induction présente un 
caractère très particulier; ce n'est pas un principe destiné à 
légitimer des ini'érences, comme sont les autres principes. Il 
énonce la possibilité de faire un nombre d'inférences pou- 
vant croître indéfiniment. 

Ce principe est indémontrable, il est l'expression d'une in- 
tuition Logique. J. Richard (Dijon). 



DE L'EXACTITUDE DES CONSTRUCTIONS 
GÉOMÉTRIQUES 1 



L'exactitude des constructions géométriques a prêté main- 
tenais matière à discussion dans le courant de ces dernières 
années. L'impulsion en a été spécialement donnée par le 
petit volume de M. Lk.moi.nk, intitulé : Géométrographie ou 
.4/7 des Constructions géométriques (Paris, Gauthier-Vil- 
lars, 1902). 

On sait que M. Lemoine introduit les notions de simplicité 
et ^exactitude (Tune construction géométrique et que c'est 
à la première qu'il accorde le principal rôle dans son Ou- 
vrage. Néanmoins, je n'envisagerai ici que la notion d'exac- 
titude. Voici, à l'aide d'un exemple emprunte à son livre 
(p. 30; XXVII . dans quel sens il prend celle notion. 

Par un point E tracer une pa- j 

rallèle a l'une des bissectrices 
de V angle formé par deux 
droites données AB et AC. 

Je trace A (AE) qui coupe AB 
en B et en B\ AC en C et C. 
Je trace C (BE) qui coupe A 
AE en E', EB et CE' étant de 
même sens. Je trace EE', c'est 
la droite cherchée. Pour la pa- 
rallèle à l'autre bissectrice je 
décris C (BE) qui coupe A (AE) en E", etc. (Voir iig. 1 . 

Nous avons dû, pour tracer la droite EE', placer la règle, 
de sorte qu'elle passât par les 2 points E et E', et nous au- 
rons exécuté ainsi, selon M. Lemoine, 2 fois l'opération Ri 




Fig. 1. 



1 A l'occasion du présent article, il faut répéter une l'ois de plus que Y Enseignement 
mathématique laisse libéralement la porte ouverte à toutes les opinions, niais ne saurait se 
solidariser avec les auteurs. Certaines appréciations portées ici sur les idées de M. Lemoine, 
par l'auteur de l'article, n'engagent que ce dernier. 

La RÉDACTION. 



1( , /: . HAENTZSCHEL 

(— règle . Ensuite nous avons dû placer la pointe du compas 
en A, E, B, E et G', c'est-à-dire répéter ô fois l'opération Ci 

(= centre) que M. Lemoine caractérise par le symbole 5 Ci. 
De là il conclut à l'exactitude de la construction en faisant la 
somme des coeiïicients de Ri et de Ci, soit 2 4-5 = 7. 

Il est curieux que cette énumération mécanique des opé- 
rations ait trouvé quelques partisans, même des défenseurs, 
quoiqu'il ait dû sembler clair, à tout mathématicien, que 
celte façon absolument artificielle de définir la notion com- 
pliquée de l'« Exactitude d'une Construction géométrique » 
est insoutenable. On sent qu'il s'y trouve une erreur, et si 
l'on n'a pas pu la saisir exactement, cela tient, selon moi, 
à la circonstance suivante : les Mathématiques de précision, 
d'après leur sens et leur signification mêmes, ne donnent 
pas lieu de faire une distinction particulière en faveur de 
['« exactitude » d'une construction géométrique. La Géomé- 
trie théorique définit chaque droite par deux de ses points et 
chaque point par l'intersection de deux droites. Mais la 
Géométrie naturelle ou d'approximation doit faire la res- 
triction suivante : « les deux points ne doivent cependant 
pas être trop près l'un de l'autre, et l'angle compris entre 
les deux droites ne doit pas être trop aigu » (Weber etWELL- 
stein, E ncy clopasdie der Elementar-Mathematik, Bd.2, p. 115, 
Leipzig, Teubner, 1905). 

La Géomètrographie est du domaine des Mathématiques de 
précision ; et c'est pourquoi M. Lemoine dit très justement, 
1. e. p. 18: Une construction, pour être dite la construction géo- 
métro graphique d'un problème doit être 1° générale, c'est-à-dire 
s'appliquer à ce problème, quelles que soient les grandeurs 
et les positions des données. lï° la plus simple possible. Il in- 
siste donc, avec raison, sur la considération suivante, prise 
parmi celles qui sont à la base de la Géomètrographie, c'est-à- 
dire qu elle suppose qu'un point est déterminé parfaitement 
quelque petit que soif l'angle sous lequel se coupent les lignes 
qui le placent (Lemoine. Archiv d. Math. u. Pays., 3. Reihe. 
Bd. 1, p. 99, 1901). 

M. Retjsch exprime la même pensée dans la préface de son 
< Kivragre : Planimetrische Konstruktionen in seometrosra- 



DE L'EXACTITUDE DES CONSTRUCTIONS 47 

phischer Ausfùhrung Leipzig, Teubner, 1904, S. VIII). « La 
Géométrographie est de nature purement théorique». M. 
Lemoine commit donc une erreur foncière en introduisant la 
notion 6" exactitude dans son système. En effet, celte notion 
étant particulière aux Mathématiques de précision, donna 
lieu à des équivoques, et M. Lemoine a confondu deux bran- 
ches essentiellement différentes de la Géométrie. C'est pour- 
quoi Guido IIalck se prononça franchement contre le point 
de vue de M. Lemoine, en quelques mots brefs et frappants 
Sitzungsberichte <l. Berliner Math. Gesellschaft, Oktober, 
1903 . D'après mon avis, la polémique de MM. Mehmke 
Deutsche Math. Vereinigung Karlsbad, 1902) et Holzmullek 
UnterrichtsbïMter f. Math. u. Naturw., Jahrg. Il, 1905) pro- 
testant contre l'emprunt fait par la Géométrographie au do- 
maine des Mathématiques de précision, n'a pas eu le résul- 
tat espère, parce que les partisans de la Géométrographie 
tirent leurs arguments précisément de la Géométrie de pré- 
cision, et on ne peut évidemment y faire aucune objection, 
puisqu'il ne s'agit, dans la Géométrographie, que de faire 
usage de quelques propositions plus ou moins connues de 
la Géométrie plane élémentaire, en vue des constructions 
proposées. Mais il n'en devient que déplus en plus difficile 
d'épuiser la discussion, car — je laisse parler M. Félix Klein 
— « jusqu'aujourd'hui on n'a pas encore développé rationel- 
<« lement une théorie des Erreurs dans les Constructions 
« géométriques, telle qu'elle se trouve à la base de la Géo- 
« désie. Je dis qu'une théorie des erreurs est rationnelle 
« quand elle est basée sur des considérations de probabi- 
« lité, de sorte que nous devons — pour juger de l'exactitude 
« d'une méthode de construction — l'appliquer à plusieurs 
h reprises au même problème, puis comparer les résul- 
« tats par la méthode des moindres, carrés ou de quelque 
« autre façon » (Félix Klein, Anwendung d. Diff. u. Integral- 
rechnung auf Géométrie. Autographiertes Vorlesungsheft. 
Leipzig, Teubner, 1902, p. 359). M. W. Franz Meyer, profes- 
seur a l'L T niversité de Konigsberg (Prusse) a précisément 
chargé un de ses jeunes collègues de diriger son attention 
sur ce point. Ft M. Konrad Nitz a développé le résultat de 



18 E. HAENTZSCHEL 

ses études dans une dissertation sur Y Application de la 
théorie des erreurs, sur un plan, aux constructions faites au 
moyen de la règle et du compas, Kônigsberg, 1905), et en 
outre dans ses Compléments à une Théorie des erreurs des 
constructions géométriques Zeitschrift f. Math. 53, L906. 
Leipzig. Teubner . Il existe aujourd'hui une littérature assez 
riche sur ce sujet qui commence par Bravais Analyse math. 
sur les probabilités des erreurs de situation d'un point. Pa- 
ris, Mém. prés, par divers savants, 9, IS4(> et qui comprend 
entre autres les travaux de Chr. Wiener Darst. Géométrie . 
Bd. 1 ; p. 190, 1884), de Helmert fStudien iïber rationelle 
Ver mess ungen, Zeitschr. f. Math. u.Phys. 23, 1868 . de Jordan 
i'iber die Genauigheit geodalischer Punktbestimmungen , 
Zeitschr. fur Math. u. Phys. L0, 1871), de Czurer Théorie' 
der Beobachtungsfehler. '.\. Teil. Leipzig 1891 et qui se ter- 
mine par les dissertations toutes récentes de F. Geuer Die 
Genauigheit geometrischer Zeichnunge,n behandelt nach dem 
Gauss'schen Ausgleichungsverf'aliren ; Freiburg, i, Br. 1902 et 
de P. Bôhmer Ueber geomelrische Appro.rimationen . Gôttin- 
gen, 1904). Il est curieux que M. Lemoine ne connaisse même 
pas les travaux de ses compatriotes Bravais, Bienaymé L852), 
Bertrand (C. R. 1888), d'OcAGNE (C. R. 1894 ; Bull. Soc. Math, 
de France, 1895 ou que du moins il ne leur accorde aucune 
attention. 

Pour jeter un coup d'œil dans cel ordre d'idées, je m'at- 
tache au problème de construction exposé au commencement. 
II est clair que, dans l'exécution du dessin, il n'est nullement 
indifférent que l'angle sous lequel se coupent les deux droi- 
tes données soit quelconque. S'il est très petit, que le point 
A est donc ce qu'on appelle un point glissé, on est, des 
l'abord, dans le doute si l'on a vraiment mis la pointe du 
compas en A ; il est pratiquement impossible de distinguer 
le point A des points voisins. D'autre part la construction 
finit encore par devenir impossible, quand les points E et E' 
sont trop rapprochés l'un de l'autre. L'écbaffaudage d'une 
construction géométrographiqueapparaît donc nébuleux, ence 
qui concerne l'exactitude et la simplicité dune construction : 
elle n'est — comme dit Jacob Steïner — qu'une construction 



DE L'EXACTITUDE h E s CONSTRUCTIONS 



exécutée avec la langue. El indiquer une construction moins 
simple, dans un cas semblable, serait en contradiction fla- 
granle avec le principe de la Géométrographie de M. Li:- 

MOINE. 

Dans la théorie des cireurs ou énonce la proposition sui- 
vante : Tous les points de même probabilité sont, dans l'exé- 
cution de l'opération Ci pour le point d'intersection de 
deux droites, situes sur des ellipses concentriques et sem- 
blablement placées autour du point d'intersection donne ; 
on les nomme ellipses d'erreurs ; c'est le théorème de Bravais. 
Si l'on prend les deux droites données pour axes d'un sys- 
tème de coordonnées obliques, si Ton désigne, en outre. 
l'angle compris par w, les er- 
reurs moyennes, commises en 
plaçant la pointe du compas, 
par rapport a c h a c u n e des 
droites par un et mi — sur une 
largeur de Irait de 0,10 à 0,15 
mm., ces erreurs moyennes va- 
rient, selon les personnes et 
les circonstances, entre 0,035 

et 0,060 mm. — et k étant une constante arbitraire, on a 
pour équation de l'ellipse d'erreurs 

■il. 2 




m m., sni-w 



I 



Pour k 2 = -j , on a ce que Ton appelle Vellipse d'erreurs 

moyenne. L'ellipse est inscrite dans le parallélogramme 
formé par des droites parallèles aux axes, et coupant ceux- 
ci a des distances ± nu et ± m*. Dans le plus important des 
cas particuliers, c'est-à-dire quand on a : />?, = n/2 = m. il 
vient, pour la longueur des demi-axes : 



km 



km 



Pour o> = 90°, on a donc un cercle d'erreurs. 

La définition de la surface d'erreurs, pour les point B et 
C, qui sont obtenus par l'intersection de chacune des deux 



L'Enseignement mathém., '.)<= année : 1907. 



50 



E. HAENTZSCHEL 



droites et d'un cercle, est plus compliquée. La théorie mon- 
Ire ici que Ton a affaire à des courbes de 4 e ordre, ce que 
l'on appelle des ovales d'erreurs de i e ordre. Pour le point E', 
à l'intersection de deux cercles, la surface d'erreurs est li- 
mitée par une ovale d'erreurs de 8 e ordre. 

Enfin, on achève la construction en tirant la droite EE'. 
Prenons le cas le plus simple : les deux points sont détermi- 
nés chacun par l'intersection de deux droites perpendiculaires 
l'une à l'autre, ou mieux que cela, supposons les deux points 
donnés comme des points circulaires marqués au crayon, de 
tcllesorte que l'erreur moyenne estla même dans ehaquedirec- 
tion, quand on applique la règle. Alors l'exactitude de toutes 
les droites joignant les deux points est caractérisée par une 
série d'hyperboles homoi'ocales, telles que toutes les droites 
de même prohabilité enveloppent chacune des hyperboles. 
L'équation de ces hyperboles est: 



v 2 m\ -\- m 2 \ 



.r 2 i»>- -f- m\\ 



k "le" 1 — k 2 \m'] -(- mf) 

Elle se simplifie lorsque nn = ni., = m et devient 







e s — Irin 



= 1 



Enfin, il nous faut encore mentionner l'exactitude qui ca- 
ractérise un cercle de rayon donné et tracé autour d'un 
point donné. 

Puisque l'exactitude de l'opération Ci est donnée par une 
série de surfaces ou courbes d'erreurs, ellipses ou ovales d'er- 
reurs, il s'ensuit que tous les cercles de même probabilité 
enveloppent une courbe parallèle a une courbe d'erreurs du 
point centre. Si, en particulier, il s'agit de l'ellipse d'erreurs, 
les courbes parallèles sont nommées les toroïdes. Le pro- 
blème de la composition de deux ou plusieurs de ces ellipses 
d'erreurs a été traité à fond et généralisé par M. d'OcAGNE : 
mais les formules sont très compliquées. 

Les travaux cités plus haut de MM. Mehmke et Holzmûller 
et le livre de M. Adler sur la théorie des constructions 



/ /: s y s t e m e n /■: c o p E n Nie 5 1 

géométriques, p. 268-301 Leipzig, Gaschen, L906}, complè- 
tent très bien cet exposé. 

Pour terminer je veux attirer L'attention du lecteur sur la 
copie photographique d'un dessin, exécuté avec les instru- 
ments de la maison Clemens Rie fier par l'ingénieur Esseling; 
ce dessin représente un polygone régulier de (>0 côtés, avec 
toutes ses diagonales, soit en tout 1770 droites. Celte construc- 
tion suggère les réllexions les plus diverses, par exemple sur 
le rôle joué par les instruments, dont on sait la perfection, 
comme (acteurs essentiels de l'exactitude d'une construction 
géométrique ; elle l'ait encore songer à l'habileté du dessina- 
teur et à son éi/uation personnelle, si je puis m'exprimer 
ainsi. 

(Traduction <!<■ E. Perelmutter). 

Km. Hakm/.sciikl (Berlin . 



EN QUEL SENS ET PAR QUELLES PREUVES VALA- 
BLES POrVONS-XOlS JUSTIFIER LE SYSTEME 
DE COPERNIC? 



« Oui veut trop prouver ne prouve rien » dit un proverbe. 
Il arrive en effet qu'en voulant trop étendre la portée d'une 
démonstration on finit par lui enlever toute signification. Les 
preuves invoquées en faveur du svstème de Copernic, en 
fournissent un exemple caractéristique, du moins sous la 
forme qu'on a l'habitude de leur donner. 

Nulle part, en effet, il n'est question d'un svstème de réfé- 
rence ; on raisonne comme s'il était possible d'établir que la 
terre possède certains mouvements lui appartenant en pro- 
pre, en dehors de toute relation avec des repères. 

C'est ainsi qu'à propos du mouvement diurne, il est d'usage 
constant de poser le dilemme suivant: Ou bien c'est notre 
globe qui tourne sur lui-même, ou bien c'est le reste de 
l'Univers qui tourne en sens contraire. » 



52 G. ANDRAVLT 

On pourrait demander pour quelles raisons, on limite notre 

choix à ces deux hypothèses extrêmes, ciel immobile, ou terre 
immobile; pourquoi on passe sous silence la série infinie des 
hypothèses intermédiaires où ciel et terre se mouvraient tous 
deux: d'autant que d'un point de vue absolu, il n'est même 
plus permis de parler du ciel comme d'un tout indéformable. 
Mais, nous passerons outre, voulant seulement faire remar- 
quer, qu'en l'absence du repère, les deux hypothèses ne sont 
pas distinctes. Eùt-on même, pour éviter le dilemme, posé la 
question sous une autre forme, et demandé simplement si 
la terre tourne, qu'elle n'en serait pas moins restée insoluble 
et inintelligible, parce que muette sur le repère. 

Repos et mouvement ne sont pas en effet, des qualités in- 
trinsèques des corps ; ils ne sont compréhensibles et n'ont 
de signification définie (pie par- rapport à tel ou tel système 
de comparaison. Et. dans cet ordre d'idées il n'est pas plus 
grossièrement absurde d'affirmer que c'est le corps, le fusil, 
le chien, les arbres et tout l'Univers, qui tournent autour de 
l'œil droit d'un chasseur inspectant la campagne, que d'attri- 
buer un mouvement. propre à cet œil droit, Ce qui nous 
donne le change, c'est l'habitude, dans laquelle nous nous 
trouvons, de rapporter implicitement tous les mouvements 
a notre corps ou à la terre. Mais si nous faisons attention, 
que par la nature même de la question, il n'y ;i plus ici 
de repère, nous reconnaîtrons sans difficulté, non seule- 
ment que les deux hypothèses opposées ne sont pas dis- 
tinctes, mais que chacune d'elles est privée de sens. Il n'y 
a plus de réponse saine à une question qui ne l'est pas. 

Fort heureusement, la valeur scientifique du système de 
Copernic ne dépend en rien d'affirmations de cet ordre. Elle 
tient uniquement à la richesse des relations qu'il établit. In 
examen même sommaire, nous montrera facilement que les 
raisons par lesquelles il s'impose, restent entières, quelles 
que soient nos croyances, plus ou moins métaphysiques, sur 
l'espace absolu. 

C'est ainsi que les analogies révélées par les lunettes et 
le spectroscope suggèrent de toutes façons, que les corps 
célestes ne sont pas d'une autre nature que les corps terres- 



/. /: s Y s r i: m e de c o p e /»* v / c 53 

très; el que la terre, loin d'être un astre privilégié, n'est 
qu'une planète des plus ordinaires. 

Ce résultat, dune importance considérable, n'est peut-être 
pas toujours apprécié comme il le mérite. Si les corps céles- 
tes et les corps terrestres n'étaient pas de même nature, au- 
cune des données qui nous sont rendues familières par l'ob- 
servation habituelle des seconds ne serait applicableaux pre- 
miers. En particulier, la notion de poids et celle de masse ne 
s'v étendraient pas. Nous n'aurions aucune prise sur eux, 
puisque le lil de l'induction serait rompu. 

Quand nous nous étonnons parfois de voir que Ptolémée 
n'hésite pas à faire tourner le soleil, ce globe immense par 
rapport a notre globe, c'est que nous oublions que pour lui 
le soleil n'avait pas de masse. C'était une flamme qui pou- 
vait, sans contradiction, réunir l'énormité à la mobilité la 
plus grande. Voilà ce qui explique aussi la pauvreté des ar- 
guments que Copernic lil valoir pour rendre vraisemblable 
le système auquel nous axons attaché son nom, et pourquoi 
Tycho Brahé crut pouvoir l'abandonner. Cela est si vrai, que; 
tout en faisant tourner Jupiter qu'il estime 14 fois plus gros 
que la terre. Tycho Brahé déclare que notre globe est mani- 
festement trop lourd pour être propre au mouvement. 

L'illustre chancelier Bacon, le contemporain de Galilée, 
pose encore le problème de la nature corporelle de la lune. 
« Supposons qu'il s'agisse de savoir, si la lune est une sub- 
« stance ténue el analogue à celle de la flamme ou de l'air, 
a comme l'ont pensé un assez grand nombre de philosophes 
« anciens, ou si c'est un corps dense et solide comme le 
<( pensent Gilbert et quelques modernes. » El il indique 
quelles observations on pourrait faire pour trancher la ques- 
tion : observations auxquelles il n'accorde d'ailleurs, pas lui- 
même grande confiance, puisqu'il espère en trouver de 
meilleures. 

Les observations de Galilée marquent une date capitale dans 
l'histoire de l'astronomie, et, somme toute, l'étude télesco- 
pique ou spectroscopique des astres fournit l'une des meil- 
leures preuves que l'on puisse invoquer en faveur du système 
de Copernic. C'est en même temps l'une des plus simples, 



54 C . ANDRA U L T 

des plus frappantes ; bien plus immédiatement accessible que 
ne le sont celles tirées de la mécanique. 

Celles-ci en effet, ne peuvent être qu'indirectes ; danstoutes: 

On part d'un fait général, autrement dit, d'une loi — loi de 
mouvement relative à la terre : 

puis on remarque que certains faits qui échappent a cette 
loi, v obéiraient, au contraire, si l'on pouvait, sans altérer la 
loi, substituer à la terre un repère lié aux étoiles ; 

enfin, on reconnaît qu'au degré de précision des expérien- 
ces, cette substitution est permise et qu'il convient, par suite, 
de la faire. 

Par exemple : 

Des expériences sur la forme d'équilibre d'une niasse llui- 
de en rotation, soustraite à l'action de la pesanteur, nous 
conduisent à énoncer la loi suivante: «Quand une masse 
«(fluide, soustraite à toute action extérieure, prend la forme 
« d'un ellipsoïde de révolution aplati, c'est qu'elle tourne 
« par rapport à la terre. » 

D'un autre coté, nous savons que notre globe a précisé- 
ment cette forme. Il ne saurait être question de rattacher ce 
fait à la loi précédente tant que nous conservons la terre 
comme repère: mais cette loi ne serait-elle pas susceptible 
d'une retouche.' La forme indiquée ne serait-elle pas l'indice 
«Tune gyration par rapport au ciel, plutôt que d'une gyration 
par rapport à la terre ? 

Au degré de précision de nos expériences, rien ne s'oppose 
à cette manière de voir; rien ne s'oppose donc à ce que 
nous fassions dépendre d'une même loi la forme de la terre 
et celle de nos fluides, et que, dans cette vue, nous rappor- 
tions tous les mouvements à un repère par rapport auquel la 
terre tourne. Grâce à ce choix, la configuration de notre pla- 
né' t e trouve son explication. 

On pourrait citer d'autres exemples ; mais à les passer 
ainsi successivement en revue, on ne peut demander à cha- 
cun d'eux tout ce qu'il pourrait donner. En les isolant les 
uns des autres, et surtout des principes de la dynamique, on 
les mutile. Il devient même difficile de prouver que la terre 
circule par rapport au repère choisi. C'est qu'en fait, l'his- 



I. E S Y S TE M E I) E COP E li N I r 5 5 

toire le démontre, la question des mouvements de la terre 
est intimement liée à celle des principes de la mécanique; 
et, logiquement, l'un des premiers chapitres de toute méca- 
nique devrait être un chapitre d'astronomie. 

Aussi pour donner aux preuves toute leur puissance dé- 
monstrative; pour bien faire ressortir jusqu'à quel point s'im- 
pose le changement de repère qu'elles appellent, convient-il 
de ne pas les séparer, mais de les considérer ensemble dans 
le rapports avec les principes. In seul argument désisif l'em- 
portera toujours sur plusieurs petites raisons. 

1° Des expériences, dans lesquelles le repère est naturel- 
lement la terre — - expériences sur la chute des corps, le 
mouvement des projectiles, les forces centrifuges, etc. — 
mêmes expériences répétées en bateau, en ballon, sur les 
chevaux de bois etc., suggèrent la loi d inertie exprimée par 
l'équation vectorielle F = m J, et la loi suivant laquelle les 
forces se composent comme des vecteurs. 

D'autre part, l'observation, mais surtout nos réflexions sur 
la notion de force, nous montrent que toutes les forces ont au 
moins deux bouts. Nous les appelons respectivement action et 
réaction, et pour ne pas oublier qu'action et réaction ne sont 
que deux aspects différents de la même chose, nous posons 
en principe qu'il y a toujours égalité entre l'action et la 
réaction. 

En possession de ces principes, nous pouvons les utiliser 
à résoudre les problèmes les plus variés, réels ou imaginai- 
res. Comme toutes les fois qu'une vérification est possible, 
elle confirme les solutions obtenues, on peut considérer ces 
principes comme étant l'extrait, la quintessence dune infi- 
nité d'observations qu'ils résument. 

2° Parmi les problèmes qu'on peut ainsi se poser, il en est 
un d'une importance capitale à la solution duquel Newton a 
consacré la meilleure part de son génie. 

Ayant assimilé la lune à un corps pesant, il avait reconnu 
qu'on pouvait expliquer — à quelques irrégularités près' — son 
mouvement, sous la seule condition d'admettre que la force 
de pesanteur qui sollicite les corps vers le centre de la terre, 
varie en raison inverse du carré des distances. Au contraire. 



56 



AN 1)11 A UL T 



il était impossible, à laide celte même loi, ou plus générale- 
ment tle forces centrales, et par les principes de la mécani- 
que, de rendre compte, même grossièrement^ de> mouve- 
ments des autres corps célestes. 

.Mais — et voici le point essentiel -— il démontra qu'on y 
parvenait, et de la façon la plus complète, la plus merveil- 
leuse, lorsque au lieu de rapporter tous les mouvements à la 
terre, on les rapporte à un trièdre lié aux étoiles. Les déve- 
loppements ultérieurs de l'astronomie n'ont fait que confir- 
mer, étendre, approfondir ce résultat. Les déplacements rela- 
tifs de la terre, de la lune, des planètes et de leurs satellites, 
du soleil et des étoiles, peuvent alors être décrits, calcules, 
prévus dans leurs moindres détails et jusque dans leurs irré- 
gularités les plus difficilement observables. 

Ajoutons, pour n'y plus revenir, qu'il n'est pas jusqu'à 
l'aberration des étoiles (|iii ne s'explique en supposant 
l'élher lié au repère. 

Enfin, par surcroît, l'aplatissement de la terre, la diminu- 
tion de la pesanteur quand on se dirige vers l'équateur, la 
direction générale des vents alizés, la gvration des cyclones. 
le phénomème des marées etc., trouvent du même coupleur 
explication. 

3° Ces coïncidences seraient extraordinaires, invraissembla- 
bles, si elles étaient fortuites. Elles deviennent naturelles 
au contraire si les résultats des expériences d'où sont sortis 
les principes de la dynamique n'étaient modifiés que d'une 
façon imperceptible, quand, au lieu de rapporter les mouve- 
ments au sol on les rapporte au ciel. Nous nous serions alors 
simplement trompés de repère. 

Or le calcul montre que celte modification est absolument 
inaccessible aux procédés d'investigation communément em- 
ployés. Il faudrait, dès lors, être irrationnel, déraisonnable, 
dénué de lotit esprit scientifique, pour ne pas considérer 
comme établi, que le repère de la dynamique est un repère 
lié aux étoiles. Je n'ose dire illogique, je n'ose dire ab- 
surde, parce que une pareille attitude n'aurait rien de contra- 
dictoire. Mais ce serait celle de l'homme qui soutient « qu'une 
« coquille d'huître fossile n'a jamais été habitée parunehuître 



/. /: s )" > r i: m /■: i> i: c o i j e h v / c :>: 

« vivante, qu'elle n'est qu'une conerëation minérale, un jeu 
« de ta nature » et comme le l'ait remarquer Huxley, quand 

on se trouve en présence de gens, chez qui se manifeste un 
pareil étal d'esprit, il vaut mieux les laisser tranquilles. 

El pourtant on a réussi à pousser la preuve encore plus 
loin. \Lu se plaçant dans des conditions toutes spéciales. 
combinées à dessein en vue du but à atteindre — pendule et 
gyroscope de Foucault, barogyroscope de Gilbert, dispositifs 
pour étudier la déviation vers l'est des corps <|iii tombent de 
haut. etc. — en s'armant de patience, OU de microscopes, on 
est parvenu à saisir, pour ainsi dire sur le vif, les perturba- 
tions minimes apportées parla rotation de noire globe aux 
Ins de la dynamique terrestre. 

Si après cela quelqu'un vient nous dire que la réalité du 
système de Copernic, et par conséquent celle des mouve- 
ments de la terre ne sont pas démontrés, envoyons-le faire 
une cure de métaphysique. 

I >émontre-t-on, en science, la réalité des objets extérieurs ? 
Quoiqu'en ait dit l'académicien, qui proclama naguère la 
faillite de la science, on ne la postule même pas. 

( )n peut s'occuper d'un groupe persistant de sensations, 
sans qu'on ait besoin de savoir si derrière cet assemblage, il 
v a quelque réalité cachée, immuable, absolue, inaccessible. 
Et ce que la science ne l'ait pas pour l'existence des corps, 
pourquoi le ferait-elle quand il s'agil de leur mouvement? 

(i. Anorault fGrenoble . 



LETTRE A M. FELIX LE DANTEC* 



Monsieur. 

Je viens d'ouvrir votée volume U Athéisme el d'en feuilleter 

les premières pages. Je crois bien que sur un grand nombre de 
points je serais d'accord avec vous. C'est un motif de plus pour 
relever ce qui me semble une hérésie scientifique, et ce qui n'est 
peut-être au fond qu'un malentendu tenant à l'imperfection de 
notre langue. 

Dans votre Dédicace à votre ancien professeur, mon ami Alfred 
(iiard. vous dites pag. II : a les mathématiques sont fîmes; la bio- 
logie, au contraire commence ou va commencer. » 

Un peu plus loin p. L2 , revenant sur la même idée, vous 
vous exprimez ainsi : « Les sciences naturelles ne sont pas comme 
les mathématiques ; elles ne sont pas faites ". 

Le mot «finir» a deux sens très différents. On est lini quand 
on est mort. L ne œuvre est finie quand elle est achevée, quand 
l'auteur n'y voit plus de retouches à faire. Je crois bien que c'esl 
dans ce dernier sens qu'il faut prendre l'affirmation que vous 
produisez. \ otre seconde citation me parait le démontrer. 

('."est donc cette interprétation que j'adopte; et. l'ayant adoptée, 
je viens vous demander à vous savant, à vous philosophe : croyez 
vous vraiment, en toute sincérité intellectuelle, que la science 
mathématique soit achevée, complète, parfaite!' Je vais plus loin: 
croyez vous que. d'une science, on puisse jamais dire qu'elle est 
achevée ? 

Si telle n'est pas votre pensée, vous ue vous êtes pas exprime 
assez clairement, ou plutôt je n'ai pas su vous comprendre. 

Si au contraire vous me répondez affirmativement, permettez 



1 J'ai tenu à ne publier cette lettre qu'avec le consentement de M. Le Dantec. Il a bien \ oulu 
me l'accorder, par une lettre des plus aimables, dans laquelle, après avoir exprimé l'idée 
qu'il existe un malentendu, il ajoute : 

h J'ai voulu dire que dans l'état actuel «les choses, il peut v avoir un enseignement secon- 
daire des mathématiques. Les vérités établies en mathématiques ne seront pas infirmées | u 
les découvertes ultérieures. // y a des mathématiques qui sont finies. Voilà ce que j'aurais du 
i écrire. En sciences naturelles, on n'en saurait dire autant 

Je ne suis peut-être pas tout a t'ait d'accord avec léniinent biologiste, même après celle 
explication, niais une discussion nouvelle entraînerait trop loin et deviendrait vaine L'im- 
portant pour le lecteur, c'est que les idées de chacun soient clairement mises en présence. 
Kn tous cas. j'adresse à M. Le Dantec mes remerciements bien sincères pour la lionne grâce 
avec laquelle il s'est prêté a cette discussion courtoise !.. A. L 



LETTRE A M. LE BAN TEC 59 

moi de vous dire que cela démontrerait la pauvreté philosophique 

de l'enseignement mathématique que vous reçûtes jadis. 

Vous avez dû, comme tous nos contemporains, vous spécia- 
liser, et je m'en réjouis pour la biologie, mais ne vous est il resté 
vraiment dans l'esprit, en matière mathématique, que le souvenir 
des procédés ou des méthodes inscrites dans un livre au bout du- 
quel on pourrait mettre le mot : Fin? 

Vous me rapelleriez alors ces jeunes enfants auxquels j'ai par- 
fois demandé: que savez vous en mathématique?, me répondant 
avec candeur : Je sais toute L'arithmétique. A quoi j'ai toujours 
été tenté de répondre à mon tour : Vous êtes bien heureux! 

Ce rapprochement n'est pas pour froisser un esprit tel que le 
\(Mre, car il n'est pas donné à tout le inonde de conserver la sou- 
plesse cérébrale de l'enfant. 

Mais si vous persistiez à prétendre que la science mathématique 
est faite, dans le sens que j'ai essayé de préciser, ne serait-on pas 
en droit «le vous demander encore depuis quand ? quel est le jour, 
quelle est la minute précise où fut dit le dernier mot ? 

Si c'est au lendemain de l'invention du calcul infinitésimal, 
Lagrange ne compte plus ; si c'est après Lagrange, il faut supprimer 
Cauchy; si c'est hier, tous les travaux publiés en ce moment dans 
le monde entier se réduisent à rien. 

La vérité, croyez le bien, c'est qu'en mathématique, comme 
partout, nous savons bien peu de chose. Rien que dans le do- 
maine de l'arithmétique élémentaire, la succession des nombres 
premiers reste jusqu'ici un impénétrable mystère. Des questions 
d'apparence simple ont résiste aux tentatives de plusieurs géné- 
rations. 

D'un autre côté, les sciences physiques et peut être demain 
les sciences naturelles viennent poser chaque jour des problèmes 
nouveaux et appellent à leur aide la science mathématique, pour 
en formuler la solution, pour préciser l'énoncé des .lois qui régis- 
sent les phénomènes. Est-il sérieusement possible d'affirmer, dans 
les conditions présentes, que la tâche est finie? Il ne nous resterait 
plus alors qu'à nous asseoir pour la contempler dans sa splendeur. 
Dès lors, l'effort cesserait. Et c'est ici que j'appelle particu- 
lièrement votre attention, car vous allez voir s'effacer la distinc- 
tion grammaticale indiquée plus haut. Les recherches s'arrê- 
tant, la science mathématique étant considérée comme parfaite, 
aucun progrès ne s'accomplirait plus, et elle serait visiblement 
finie, dans le sens vulgaire. 

On peut même à mon avis formuler cette proposition : foute 
science achevée est une science morte. Et y ajouter cette prophé- 
tie facile : Il n'y aura jamais de science achevée, tant que la curio- 
sité de l'esprit existera chez l'être humain. 

Les phénomènes physiques ou biologiques, les lois qui les 



60 C. A I A ISA Ni 

rattachent les uns aux autres. 1rs vérités matbémathiques sont en 
nombre infini. De Nuit ce chaos, nous avons exploré «les coins in- 
signifiants. Dans cette formidable obscurité, c'est à peine si nous 
avons pu projeter quelques rayons de lumière. Travaillons en- 
semble à élargir le champ de nos investigations, indéfiniment 
ouvert devant nous. Venons les uns vers les autres, dans une in- 
tention sincère de secours réciproque, au lieu de nous cantonner 
dans nos petits compartiments artificiels. Tout évolue : individus, 
et doctrines aussi : tout ce meut, tout se transforme. Une science 
qui cesserait d'évoluer cesserait d'exister. 

Nous pardonnerez ces observations à un vieux compatriote 
car je suis Breton moi aussi qui n'a pas eu l'occasion dentier en 
relations personnelles avec vous, mais qui a suivi depuis longtemps 
les étapes de votre brillante carrière scientifique. Elles vous 
prouveront l'importance que j'attache a ce que vous écrivez, puisque 
j'y vois un danger possible. 

Pour dire toute la vérité, ma méfiance et mes craintes se sont 
accrues, en vous voyant placer votre œuvre, vous homme de science, 
sous la protection de cette épigraphe anti-scientifique: « Ce qu il 
y a de terrible quand on cherche la vérité, c'est qu'on la trouve . 

C'est un mot de littérateur paradoxal, dénotant une mécon- 
naissance totale des conditions de la recherche scientifique. Le 
paradoxe serait plus juste en le retournant ainsi: « Ce qu'il y a 
d'heureux quand on cherche la vérité, c'est qu on n en trouve 
qu'une partie. » 

Veuillez croire. Monsieur, à ma profonde estime. 

C. A . Laisaxt. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Vues stéréoscopiques pour l'enseignement de la Géométrie ' 

L3. — Les recherches de M. Estanave sur le relief stèrèoscopi- 
(/ue. —Dans une conférence faite à la Sorbonne, le 17 mars I90(>, 
sous la présidence de M. Appell, doyen delà Faculté dos Sciences, 
M. Estanave a examiné la Stèrèophotographie par le procédé des 
réseaux*. Après avoir l'ait ressortir les avantages de la stèrèopho- 
tographie comme complément indispensable de la photographie 
ordinaire, il rappelle qu'au point de vue physiologique la sensa- 
tion tlu relief résulte de la syntln-se infinie qui se fait dans le 
cerveau, des images légèrement différentes que procurent chacun 
des yeux. « Dans la vision stéréoscopique, dit-il, nous sommes 
obligés de regarder deux objets identiques sensiblement pour les 
fusionner et apprécier l'image résultant de leur fusion. » Il s'agira 
donc de produire sur chacune de nos 
rétines une impression identique à 
celle que produit l'objet lumineux. 
Coupons par un plan quelconque P 
\iig. 1) les rayons allant de l'objet S 
à chacun des yeux () et ()' et aux 
points d'intersection s, s' reprodui- 
sons l'image de l'objet telle qu'elle 
doit être en ces points. L'observa- 
teur ayant ses yeux en 0, 0' aura la 
sensation de la vision directe de 
1 objet S avec ses dimensions, ("est à 
cet écartement e de deux images cor- 
respondant à un même point que 
lïelmholtz a donne le nom de paral- 
laxe stéréoscopique. M. Estanave en établit la formule par une 
méthode très simple que nous croyons utile de reproduire ici, 
car elle permet de se rendre compte des règles données empi- 
riquement parM.BERDELLÉ [L'Ens.math.,p. 475, M>0<i sur l'établis- 
sement des vues stéréoscopiques. 

Soit xoz le plan du dessin, et supposons et ( )' dans le plan ho- 




1 Voir L'Enseignent, inathém. 8 e année, 1906, n» 5, p. 385-390 : n" 6, p. 'i75-'i78. 
1 Voir le Bull. .Scientifique publié par I'Assoc. amicale des Elèves el anciens élèves de la 
Faculté des Sciences de Paris. 1!t()6, n° 3. p. 89-99. 



6 2 M E I. AN (i E S ET CORR E S POND AN CE 

rizontal. Désignons par <*■, — 3, 7 les coordonnées de S et a, b, 0), 
(a', b, o) celles des points () et ()'. Les équations des rayons SO et 
SO' sont respectivement : 



.»• — a y — l> z 


.» — a' y — b 


a — a — b + p ~ — y ' 


a' — a b + /3 


[.es coordonnées des points s 


et s' seront 


/; la — a; 





(S) 



S 1 



b y 



I' + P • " b + p 

b (a' — o) , _ , b y 



b + p ■ • - • - b + j3 



Si le point S s'éloigne du plan du dessin, fi grandit indéfiniment 
et les abscisses des points s et .s' deviennent a et a'. Supposons que 
les deux images constituées par des points analogues à set s' soient 
dessinées sur deux plans coïncidants et laissant fixe le plan qui 
contient l'image s, faisons glisser le plan de l'image s' de façon à 
faire coïncider les images du point à l'infini dans la direction de 
l'axe des y. 11 faut pour cela déplacer le plan mobile de la quan- 
tité a — a', par suite les coordonnées de la nouvelle position du 
point seront 



.r ! = a — 



b + § > ■ - • ~ b + |9 



celles du point s restant les mêmes. 

La parallaxe stéréoscopique, autrement dit l'écartement des 

deux images d'un même point S dans cette nouvelle position sera 

, , ^ «. ',. b \a — a') 
.v — x ., c est-a-dire — ; — ; — 5- • 

1 b -+- fi 

En désignant par q la distance de l'objet S au plan parallèle au 
plan du dessin et passant par les yeux, on a b -f- fi = q, en dési- 
gnant par 'la l'écartement a — a' des yeux, on a la formule 

e — - — , où b est la distance des veux au plan du dessin. 
p i 

11 résulte de là que la parallaxe stéréoscopique est la même pour 
tous les points de l'objet qui sont à une même distance du plan 
du dessin ; qu'elle augmente en proportion directe de la distance 
entre les deux yeux et en raison inverse de la distance de l'objet 
au plan parallèle du dessin et passant par les yeux. Dans la pho- 
tographie stéréoscopique le plan du dessin est constitué par la 
plaque photographique et les yeux sont figurés par les objectifs... 

/*,'// résumé, pour obtenir le relief il faut observer binoculaire- 
ment deux épreuves, mais de telle façon que l'a-il droit ne voie que 
l'épreuve <pii correspond à l'œil droit et de même pour l'ti-il 
gauche. 



M E I. . I V G E S ET CORRE S P O N /) A .V C E 63 

En se basant sut' ces conditions M. Estanave a imaginé nn écran 
spécial de projection ' sur lequel on projette deux images stéréos- 
copiques de façon à mettre en coïncidence les points les plus éloi- 
gnés. En regardant par transparence sur cet écran, à une distance 
convenable, chaque œil perçoit l'une des images à l'exclusion de 
I autre et le relief apparaît. 

Le dispositif donné par M. Estanave permet « I" d'obtenir des 
stéréogrammes de grand format en partant de vues stéréoscopi- 
ques ordinaires: 2" de projeter les images stéréoscopiques, agran- 
dies, et avec le relief et aussi les images des objets opaques ; les 
images projetées pouvant être observées simultanément par plu- 
sieurs personnes. » II. F. 



Démonstrations et explications dans l'enseignement élémentaire. 

Dans la plupart des pays où se cultivent les sciences exactes, il 
«xiste de nos jouis de bons manuels dont les auteurs sont à la fois 
de véritables mathématiciens et d'excellents professeurs. Comment 
se peut-il alors (pie des ouvrages tels (pie celui (pie signale le 
Supplemento al Periodico di Matematica nov. J !)()(> puissent 
pénétrer dans les écoles avec l'approbation des autorités. 1 L'Italie 
possède pourtant de bons mathématiciens dans les divers degrés 
de l'enseignement : aucun d'entr'eux ne peut avoir appuyé 
VAritmetîca di A. Spinelli d'Agro ad uso délie classi V et VI ele- 
mentari, récemment adopté dans les écoles élémentaires italien- 
nes. Nous empruntons a notre confrère les extraits ci-dessous 
qu'il publie sous le titre Per videre : 

Page 26. — Droite et plan. Perpendicularitè. — « Soit donné un 
plan, par exemple In figure 1 > CDE), sur le centre duquel on tire la 
droite AB. Cette droite sera perpendiculaire au pion proposé ». 

Lorsqu'une droite rencontre un plan et d'autres droites on 
l'appelle oblique. Voyez lu //g. '!. Lu droite Ali est oblique aux 
points CDE F) ». 

Pag. 27. — « f n plan est perpendiculaire à un autre plan lorsque 
chacun d eu. c contient une parallèle au.v autres » 

Il est à noter que ce livre, comme le remarque le Supplemento, 
a été « approuvé » par les commissions scolaires provinciales, et 
même par le Ministère ! 



1 Le relief stèrcoscopique en projection \>ai les réseaux lignés, Comptes rendus de l'Aca- 
démie des Sciences de Paris. 2i oct. 1900. 



<; ', M E I. A N G E S ET <0 11 h E S P <) N h . 1 N l E 

(loin me notre confrère, nous tenons à ajouter que nous signa- 
lons cet ouvrage, non pas par animosité contre l'auteur, mais uni- 
quement clans le but d'être utile à l'enseignement mathémathique. 

Dans ce même ordre d'idées voici un autre exemple bien carac- 
téristique. 11 nous est fourni parla note adressée par M. Ch.-Ed. 
Guillaume, directeur-adjoint du Bureau international des Poids 
et Mesures, à la Revue générale des Sciences n" du 30 octobre L90(>, 
p. 877-878 . et dont voici un extrait : 

A propos d'un livre récent. — « Parmi ceux qui aiment à la fois 
les enfants et l'arithmétique, la conviction est depuis longtemps 
faite qu'une bonne partie de l'aversion de beaucoup de jeunes 
esprits pour le calcul tient surtout à ce que renseignement en est 
formaliste et guindé; que tantôt il fait appel a la mémoire pure. 
tantôt à des raisonnements abstraits ; et, dans un cas comme dans 
l'autre, il ne reste dans l'intelligence de l'enfant que des recettes 
appliquées avec plus on moins de discernement aux problèmes 
qui lui sont posés. 

11 sullit de se renseigner sur les démonstrations données dans 
la plupart des classes d'arithmétique pour se convaincre que ce 
sont, pour la plupart, de véritables trompe-l'œil, par lesquels on 
ne fait que répéter, sous une forme alambiquée, l'énoncé du théo- 
rème que l'on prétend prouver. Autant vaut, des lors, l'apprendre 
comme un credo. 

« L'exemple que voici me semble instructif. I n jeune élève de 
sixième me disait un jour : On nous démontre que lorsqu'on mul- 
tiplie les deux termes d'une fraction par un même nombre on ne 
change pas la valeur de la fraction ; mais je n'ai rien compris à 
la démonstration. 

— Pourriez-vous la répéter.' 

-Voici. Soit la fraction 3 / 5 , «je multiplie le numérateur et le dé- 
nominateur par 4 et j'obtiens la fraction '- 20 , qui est égale à 
ce qu'il fallait démontrer. » Il me semble (pi 'on ne fait que dire 
ce qu'on veut prouver. 

Je pensai que l'enfant avait mal retenu la démonstration, je lui 
demandai son livre; il lavait répétée textuellement. 

Je la repris dans les termes suivants : 

— \ oici un gâteau que je partage en cinq parties égales ; je vous 
en donne trois : quelle fraction du gâteau avez-vous ? 

— Les trois cinquièmes. 

— Bien : et maintenant je divise chacune des parts du gâteau en 
quatre parties égales. Quelle fraction du gâteau formera chacune 
des nouvelles parties ? 

— Un vingtième. 

— Reprenez ce que vous aviez tout a l'heure, et voyez combien 
vous avez de nouvelles parts du gâteau. 



m /■: i. . i N <; /■: s E r co i; i: i: s P o .v d a n < ■ /; 65 

— J'en ai douze. 

— Quelle fraction de gâteau possédez-vous .' 

— Les douze vingtièmes. 

— Qui sont égaux... 

— A trois cinquièmes. 

L'enfant était enchante d'avoir compris. Le lendemain le pro- 
fesseur le rappela au tableau. 

Lorsqu'on multiplie les deux termes d'une fraction, etc.. 
— On ne change pas la valeur de la fraction. 

— Démontrez-le. 

— Je suppose <pie j aie un gâteau... 

— Asseyez-vous, vous ne savez rien. 

Evidemment le professeur n'avait pas compris que la démons- 
tration du livre était rigoureusement inexistante. Mais les élèves 
en avaient parfaitement conscience. 

La vraie méthode dans l'enseignement des mathématiques très 
élémentaires consiste à employer des démonstrations dont les 
enfants aient le sentiment protond, la logique pure viendra 
plus tard, ('.'est ce qu'a réalise admirablement M. Laisant 1 dans 
un récent ouvrage dont la revue a déjà parlé, mais sur lequel il 
me parait utile de revenir » 

Ces deux exemples montrent une fois de plus qu'il ne faut 
pas s'étonner si, instruits par des manuels aussi étranges ou des 
démonstrations aussi insuffisantes, de nombreux jeunes gens se 
détournent chaque année des mathématiques. Et s'ils se vantent 
plus lard de n'avoir jamais rien compris aux mathématiques, pas 
même les démonstrations les plus élémentaires, c'est bien plus à 
renseignement défectueux qu'au manque d'aptitudes spéciales 
qu'il faut l'attribuer. 



Questions d'examens. 

Sous ce titre, dans le Bulletin drs Sciences Mathématiques et 
Physiques n" du L" janvier 1907), M. le professeur L. Gérard vient 
de publier des observations dont quelques-unes sont fort intéres- 
santes, mais qui appelleraient cependant certaines critiques, im- 
possibles à développer complètement ici. Nous ne voulons pour 
l'instant n'en présenter qu'une seule ; et dans ce but.il est néces- 
saire de réproduire le début de l'article dont nous parlons : 

« Dans le récit véridique fait par le bon Fénelon des examens 
« passés par Téïémaque dans l'île de Crète, on lit que, après 
« chaque réponse de Téïémaque, les sages vieillards membres du 



1 Initiation Mathématique (Voir la Revue générale des Sciences du 30 juillet 1906). 
L'Enseignement mathém.. !t e année; 1907. 



66 CHRONIQUE 

« jury se regardaient en souriant, surpris que sa réponse soit pré- 

■ cisément celle de Minos. J'en conclus que, pour rendre cet 
" examen loyal et sincère, il aurait fallu mettre, avant l'examen, 
« entre les mains des autres candidats, le texte des maximes de 
« Minos que Télémaque connaissait grâce aux répétitions de 
« Mentor. 

« La même chose se passe aujourd'hui dans tous les examens. 
« Pour chaque question, chaque examinateur a sa démonstration 
« favorite. Si on lui sert cette démonstration il l'écoute en riant, 
« comme les sages vieillards, et donne une bonne note. Si on lui 
en donne une autre, qui, à tort ou à raison, ne soit pas de son 
goût, il en souligne complaisamment les points faihles, et, s'il 
>< n'y a pas de points faibles, il s'ingénie a poser des objections à 
• côté. » 

DANS TOUS LES EXAMENS ! CHAQUE EXAMINATEUR ! 

Il aurait fallu dire : >< Dans tous les examens mal faits » et 

■ chaque examinateur insuffisant ». L'esprit de généralisation est 
excellent eu mathématiques, mais il n'en faut point abuser ; et 
M. Gérard en abuse. Nous croyons qu'il y a encore des examina- 
teurs consciencieux et sans parti pris. Nous sommes même per- 
suade que si le distingué rédacteur du Bulletin des Sciences Ma- 
thématiques et Physiques se trouvait appelé a interroger des can- 
didats, il serait au nombre de ces examinateurs impartiaux. 



CHRONIQUE 



Le Colonel A. Mannheim. 

Nous avons l'immense regret d'apprendre à nos lecteurs la mort 
du colonel Mannheim, professeur honoraire a l'Ecole Polytech- 
nique de Paris, décédé dans cette même ville le 11 décembre 1906 
à l'âge de soixante-quinze ans. 

Le signataire de ces lignes a trop connu cet excellent homme, 
aussi grand par le cœur que par la science, pour ne pas se sentir 
paralyse par l'émotion au moment de lui consacrer quelques 
lignes d'adieu. Que de longues recherches il faudrait pour parler 
de l'œuvre du géomètre sans rien oublier ! Nous ne pouvons ici, 
que rappeler brièvement le caractère de cette œuvre et citer 
comme exemple cette vie si pleine de labeur, si féconde en résul- 
tats originaux. 

Le colonel Mannheim se destina d'abord à la carrière militaire, 
mais son esprit profond et ingénieux devait en faire un techni- 



CHRONIQUE 67 



cien. Qui ne connaît la règle à calculs qui porte son nom ? Ce 
qu'on sait moins c'est qu'il l'imagina alors qu'il n'était qu'élève à 
l'Ecole d'Application de Metz. Dans l'art militaire proprement dit 
il s'occupa de questions d'artillerie, et, soldat aux heures où le 
patriotisme devient un devoir, il commanda la batterie de l'Ecole 
Polytechnique pendant le siège de Paris. Plus tard il fut désigné 
pour prendre un poste important lors de l'éventualité dune mobi- 
lisation et cette désignation ne fut rapportée qu'à l'atteinte de la 
li mite d'âge. 

Comme professeur il débuta à l'Ecole Polytechnique âgé seu- 
lement de 28 ans. C'était en 1859. 11 enseigna alors la géométrie 
avec l'éclat que l'on sait jusqu'en 1901, où il abandonna alors son 
enseignement entre les mains de son disciple et ami, M. Haag, 
toujours par raison de limite d'âge. Il a été le professeur de 
'i'i promotions de polytechniciens ! 

Quant à l'œuvre scientifique, elle défie toute description rapide. 
M. Mannheim était profondément et passionnément épris de géo- 
métrie pure. C'était un intuitif dans la plus vaste acception du 
mot. En géométrie descriptive il n'a peut-être jamais tracé une 
seule épure sans voir dans l'espace ce qu'elle représentait. Il étu- 
dia profondément les transformations de figures, notamment la 
transformation des propriétés métriques et découvre des pro- 
priétés nouvelles de surfaces que Ton croyait cependant connaî- 
tre, telles la cyclide de Dupin et la surface des ondes, 

Mais où il manifeste tout son génie, c'est en créant véritablement 
la géométrie cinématique. Il part d'idées éparses dues àCauchy, à 
Chasles, a Poncelet, et arrive à une science que l'on peut consi- 
dérer comme presque entièrement nouvelle. Il prend le ditlieile 
problème du solide assujetti à quatre conditions, étudie géomé- 
triquement polhodies et herpolhodies et, sous le nom d'optique 
géométrique, toutes les propriétés des pinceaux lumineux réflé- 
chis ou rétractes par une surface arbitraire. 11 réunit tout cela 
dans un admirable volume intitulé : Principes et développements de 
Géométrie Cinématique, où il signale ton td'abord ce qu'il emprunte 
;i ses prédécesseurs, mais c'est si peu de chose que lorsqu'on relit 
sa préface après le volume et qu'on le voit s'excuser de ne pas 
tout citer et présenter son œuvre comme devant simplement 
servir à l'explication de la science qu'il cultive, on se demande 
avec étonnement où sont les matériaux distincts de ceux qu'il ap- 
porte. Pour n'être pas injuste il faut bien citer la Géométrie der 
Bewegung de Schoenflies qui, si elle n'est pas aussi étendue que 
le traité de Mannheim, fait du moins honneur à l'école allemande, 
mais Mannheim tenait haut et ferme les lumières de l'école fran- 
çaise. 11 est le continuateur des Chasles et des Poncelet. Qui le 
continuera ? Hélas la géométrie n'est plus en honneur chez les 
mathématiciens. Tout ce qui est harmonieux, même en analyse, 



68 CHRONIQUE 

semble céder peu à peu la plaee aux arides discussions de prin- 
cipes ! 

Mannheim a l'honneur d'avoir représenté jusqu'au bout La 
sublime harmonie de la géométrie pure. 

Depuis 1901, époque à laquelle l'Ecole Polytechnique lui lit 
ses adieux dans une touchante cérémonie, il vivait calmement 
dans l'affection des siens, travaillant toujours. Les dernières 
années de sa vie turent assombries d'un deuil cruel, et il laisse 
maintenant les siens dans une peine nouvelle et profonde. U En- 
seignement mathématique s'associe de tout cœur à ce deuil qui. 
d'ailleurs, atteint toute la Science. 

A. Brin. Montpellier . 



Académie des Sciences de Paris. 

Prix décernés. — La lecture des rapports sur les prix décernés 
par l'Académie en 1906 a eu lieu dans la séance annuelle tenue le 
17 décembre dernier. Voici, d'après les Comptes rendus, les prix 
concernant les sciences mathématiques : 

Grand Prie des Sciences mathématiques 3000 fr.). — Sujet pro- 
posé : Perfectionner en quelque point important. 1 étude de la 
convergence des fractions continues algébriques. Le prix est par- 
tagé, en parties inégales, entre MM. IL Padé, R. de Montessus, 
el Auric. 

Géométrie ; Prix Francœur. 1000 lr. . — Ce prix est attribué à 
M. Emile Lemoine, pour ses travaux de géométrie. 

Géométrie; Prie Poncelet 2000 fr. . — Ce prix est décerné a 
M. Guichard, correspondant de l'Académie, pour l'ensemble de 
ses travaux de géométrie. 

Mécanique ; Prix Montyon 700 fr. . — Ce prix est décerné a 
M. Georges Marié, ingénieur, chef de division en retraite de la 
Compagnie Paris-Lyon-Méditerranée, pour son étude des oscilla- 
tions que peuvent éprouver les véhicules de chemins de fer. 

Prix Boileau 1300 fr. . — Ce prix est décerne à M. Edmoxd 
Maillet, ingénieur des Ponts et Chaussées, pour ses travaux 
d'hydraulique souterraine qui permettent, chaque année, de pré- 
voir, dès le mois de mai ou juin, quels seront, vers la fin de la 
saison sèche, les débits minima des sources d'une contrée. 

Prix Plumey 2500 fr. , — Décerné à M. le professeur Stodola, 
du Polytechnicum de Zurich, pour son ouvrage Sur les turbines a 
vapeur. 

Astronomie ; Prix Pierre Guzman 100,000 fr. . — Le prix n'esl 
pas décerné. 

Prix Lalande 540 IV. . • — Le prix est attribue par moitié a 
MM. IL-G. AiTkEN et W'iLi.iA.M-.l. Hussey. astronomes à l'Observa- 



ciinoN io r i-: 



69 



toire de Lick, pour leurs travaux sur les étoiles doubles et multi- 
ples. 

Prix Valz 460- fr.). - - Le prix Val/, est décerné à M. Palisa, 
pour l'ensemble de ses recherches et de ses travaux. 

Médaille Janssen. — Cette médaille d'or est décernée à M. A. 
Rïcco, directeur des Observatoires de Catane et de l'Etna, pour 
ses travaux d'astronomie physique. 

Prix Wilde 4000 fr.). — Le prix est partagé entre M. Termier, 
pour ses recherches sur la structure géologique des Alpes orien- 
tales, et M. Massai, pour ses travaux de mécanique appliquée et 
particulièrement ses recherches de l'intégration graphique. 

Prix du Baron de Joëst (2000 fr.). — Le prix est décerné à 
M. Demoulin, pour ses recherches de géométrie infinitésimale. 

Prix de Laplace les Œuvres de Laplace .— Le prix est décerné 
à M. Pierre-Paul Lkw, sorti premier de l'Ecole Polytechnique el 
•Mitre, en qualité d'élève-ingénieur, à l'Ecole nationale des Mines. 

Programme des prix proposés pour les années l ( .»o,s. 1909 L910 
191 I. 1912 el 1913 1 : 

Grand Prix des Sciences Mathématiques 3000 fr. . — Réali- 
ser un progrès important dans l'élude de la déformation de la 
surface générale du second degré. 

Les mémoires devront él re envoyés au Secrétariat de l'Institut 
avant le I er janvier 1908. 

Prit Francœur 1000 fr. . — Ce prix annuel sera décerné à l'au- 
teur de découvertes ou de travaux utiles au progrès des Sciences 
mathématiques pures et appliquées. 

Prix Poncelet 2000 fr.). — Ce prix annuel fondé par M"" Pon- 
celet, est destiné à récompenser alternativement l'ouvrage le plus 
utile aux progrès des Sciences mathématiques pures ou appli- 
quées, publié dans le cours des dix années qui auront précède le 
jugement de l'Académie. Le prix Poncelet sera décerné en 1908 à 
un ouvrage sur les Mathématiques pures. 

Prix Bordin 3000 fr. . — L'Académie met au concours, pour 
l'année 1909, la question suivante : 

L invariant absolu qui représente le nombre des intégrales 
doubles distinctes de seconde espèce d'une surface algébrique 
dépend d'un invariant relatif ç, qui joue un rôle important dans 
la théorie des intégrales de différentielles totales de troisième 
espèce et dans celles des courbes algébriques tracées sur la sur- 
face. On propose de faire une étude approfondie de cet invariant, 
et de chercher notamment comment on pourrait trouver sa valeur 
exacte, au moins pour des catégories étendues de surfaces. 



1 Les coucou rs de 1907 étant clos le .'il décembre l'.Hiii. la liste des prix proposés pour 
1907, publiée dans le précédent programme n'a pas été rappelée. 



70 CHRONIQUE 

Les mémoires devronl être envoyés au Secrétariat de I Institut 
avant le {"janvier 1009. 

Prix Fourneyron (1000 fr.). — L'Académie rappelle qu'elle ;i 

mis de nouveau an concours, pour I00.S, la question suivante : 
Etude théorique ou expérimentale des turbines à vapeur. 

Prix Vaillant 4000 fr. . — L'Académie a mis au concours, pour 
l'année 1909, la question suivante : Perfectionner, en un poinl 
important, l'application des principes de la dynamique des fluides 
à la théorie de l'hélice. 

Prix Bûileaù (1300 fr. . — Ce prix triennal est destiné à récom- 
penser les recherches sur les mouvements des fluides, jugées sut- 
fi santés pour contribuer à un progrès de l'hydraulique. A défaut, 
la rente triennale échue sera donnée, à titre d'encouragement, à 
un savant estimé de l'Académie et choisi parmi ceux qui sont no- 
toirement sans fortune. L'Académie décernera le prix Boileau 
dans sa séance annuelle de 1909. 

Astronomie; Prit Pierre Guzman 100,000 fr. . — Décerné a 
celui qui aura trouvé le moyen de communiquer avec un 
astre autre (pie la planète Mars. Prévoyant que le prix de 
cent mille francs ne serait pas décerné tout de suite, la fonda- 
trice a voulu, jusqu'à ce qui- ce prix fût gagné, que les inté- 
rêts du capital, cumulés pendant cinq années, formassent un prix 
toujours sous le nom de Pierre Guzman, qui serait décerné a un 
savant français, ou étranger, qui aurait fait faire un progrès im- 
portant à l'astronomie. Le prix quinquennal, représenté par les 
intérêts du capital sera décerné, s'il y a lieu, en L910. 

Prix Lalande 540 fr. . — (le prix annuel doit être attribue a la 
personne qui, en France ou ailleurs, aura fait l'observation la 
plus intéressante, le mémoire ou le travail le plus utile aux pro- 
grès de l'astronomie. 

Prix Valz 460 fr. . — Ce prix annuel est décerne a l'auteur de 
l'observation astronomique la |>lus intéressante qui aura été laite 
dans le courant de l'année. 

Prix Damoiseau 2000 fr.). — Ce prix est triennal. L'Académie 
met au concours, pour 1908, la question suivante : Théorie de la 
planète Eros basée sur toutes les observations connues. 

Prix Janssen. — Ce prix biennal, qui consiste en une médaille 
d'or destinée à récompenser la découverte ou le travail faisant 
faire un progrès important à l'astronomie physique, sera décerné 
eu 1908. 

Prix G. île Pontècoulant 700 ïr. . — Ce prix biennal, destiné a 
encourager les recherches de mécanique céleste, sera décerné 
dans la séance publique annuelle de 1909. 

Histoire des Sciences ; Prix Binoux 2000 fr. . — Ce prix alter- 
natif sera décerné, en 1909, à l'auteur de travaux sur Y Histoire des 
Sciences. 



CHRONIQUE 71 

Prix Petit d'Ormoy deux prix de 1<>, ()()() IV. . — [/Académie ;i 
décidé que, sur les fonds produits par le legs Petit d'Ormoy, elle 
décernera, tous les deux arts, un prix de dix mille francs pour les 
Sciences mathématiques pures ou appliquées, et un prix de dix 
mille francs pour les Sciences naturelles. Elle décernera les prix 
Petit d'Ormoy, s'il y a lieu, dans sa séance publique de L909. 

Prix Pierson-Perrin 5000 IV. . — Ce nouveau prix biennal, des- 
tiné à récompenser le Français qui aura fait la plus belle décou- 
verte physique, telle que la direction des ballons, sera décerné, 
pour la première fois, à la séance publique de 1900. 

Prix Leconte 50,000 IV. . — Ce prix doit être donne, en un seul 
prix, tous les ti'ois ans, sans préférence de nationalité : 

1° Aux auteurs de découvertes nouvelles et capitales en mathé- 
matiques-, physique, chimie, histoire naturelle, médecine; 

2° Aux auteurs d'applications nouvelles de ces sciences, appli- 
cations qui devront donner des résultats de beaucoup supérieurs 
a ceux obtenus jusque-là. — L'Académie décernera le prix Le- 
conte, s'il y a lieu, en 1910. 

Nominations et distinctions. 

M. .1 . Adamczik, est nomme professeur ordinaire de géodésie à 
l'Ecole technique supérieure allemande de Prague. 

M. R. Baire est nommé professeur à l'Université de Dijon. 

M. L. Bianchi est nomme membre du R. Istituto Veneto. 

M. \\ . Fiedlbr Zurich , est nomme membre correspondant de 
l'Académie des Sciences de Munich. 

M. A. -G. Greenhill, a obtenu la Médaille Royale, de la Société 
royale de Londres, pour ses travaux mathématiques, en parti- 
culier en ce qui concerne les fonctions elliptiques et ses applica- 
tions. 

M. M. Lebch, professeur a l'Université de Fribourg Suisse , 
est nommé professeur ordinaire à l'Ecole technique supérieure 
tchèque à Brùnn. 

M. E. Segke Turin , est nommé membre du II. Istituto Veneto. 

M. II. de \ ries, professeur à l'Ecole technique supérieure de 
Delft, est nommé professeur ordinaire de mathématiques à l'Uni- 
versité d'Amsterdam, 

Cercle mathématique de Palerme. 

Nous avons le regret d'apprendre la mort, survenue accidentel- 
lement le 1 er janvier dernier, de M. S. Porcelli, le dévoue tréso- 
rier du Cercle depuis près de vingt ans. Il a été remplacé dans ces 
fonctions par M. E.-P. Gtterra. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 
Semestre d'hivei' 1906-1907 suite. 

ANGLETERRE 

Oxford ; Université. Leclure Lisl for Hilary Term, 1907. (Course begin 
21 jan.( — W. Esson : Comparison of Anal vt ie and Syutbetic methods in 
the Theorv of Conies, 2 h.: Synthetic Theory of Cubics, 1. — Elliott 
Eléments of Elliptic Functions. 2; Tbeory of Numbers (continued). — Tur- 
ner : Elementary Matheuoatical Aslronomy, 2. — Plummer : Practical Work. 
— Love: Theory of the Potential, 2 ; Eléments of the DifFerenlial and Intégral 
Calculus, "_'. Kirkbv : Higher Plane Curves. 2. — Dixo.n : Calculus of 

F'iuite Différences. 1. — Campbell : Differential Equations (conlinuedi, 2. — 
Sampsos : Higher Solid Geomelry (continued), 2. — Thompso.n : Dynamics of a 
l'article, 3. — Gekrans : Hydrodynamies, 2. — Haselfoot : Goomelrical 
Oplics, 2. — Russell, Déterminants, 2. — Pedder : Trigonoonetry, 1. - 
Levdi sdori : Geometry (Maxima and Minima, Inversion, etc.), 2. — Jol- 
liffe : Anal vi ie Geometry (continued), 2. — Me Neile : Intégral Calculus. 
2. — Hayi.s : Elemenlary Mechanics, )î. 

FRANCE 

Paris; Collège de France (1 er semestre 1906-07). — Mécanique analytique 
el mécanique céleste; M. Hadamard traitera <les trajectoires réelles de la 
dynamique (2 h. par semaine). -- Mathématiques : M. Humbert étudiera 
quelques applications de 1 analyse à la théorie îles nombres (2 h. par se- 
maine). — Physique générale el mathématique: M. Brillôdin étudiera la 
théorie de l'élasticité <h's solides homogènes <■! hétérogènes |2 h. par se- 
maine). — Mathématiques. Fondation Claude-Antoine Peccot. Cours de 
M. Pierre Boutroux. 



BIBLIOGRAPHIE 



Annuaire pour l'an 1907, publié par le Bureau «les Longitudes. — 1 vol. 
in-16 ; prix: 1 fr. ">0 (franco 1 fr. 85); Gaulhier-Villars, Paii> 
On sait que V Annuaire du Bureau des Longitudes apporte chaque année 

une foule de renseignements miles à l'ingénieur et à l'homme de science. 

Ce nouveau volume contient en outre deux Notices de M. A. Bouquet di i ^ 

Grye : I, Diamètre dr Vénus; II. Note sur lu XV e Conférence dr l'Asso- 



BIBLIOGRAPHIE 73 

ciation géodésique internationale; et une notice de M. 11. Deslandres sur 
l'Histoire des idées et des recherches sur le Soleil. Révélations récentes de 
/atmosphère entière de l astre. 

Caklo Bourlet. — Cours abrégé de Géométrie; /. Géométrie [dune. — 
1 vol. cart. i04 p., 2 fr. 50 : Hachette & O, Paris. 

Après les manuels de MM. Borel et Grévy, voici encore un excellent ou- 
vrage de géométrie élémentaire rédigé d'après les nouveaux programmes 
français du 27 juillet 1905. L'auteur s est inspiré de la méthode «le M. Mé- 
ray ; on saii que celle-ci présente le grand avantage d'être plus intuitive; et, 
par suite, plus accessible à de jeunes intelligences; elle permet, en outre, 
de réaliser une union plus intime entre l'enseignement <\u dessin et celui de 
la géométrie. 

Le livre commence par une introduction du dessin géométrique, destinée 
à donner aux élèves la notion expérimentale <\u parallélisme fondée sur la 
translation et celle des angles fondée sur la rotation. < )n y trouve une foule 
de renseignements sur les instruments du dessinateur, leur vérification et 
leur emploi, sur la manière d inscrire les cotes, de préparer et d appliquer 
une teinte, etc. 

La géométrie proprement dite n'est abordée qu'au deuxième chapitre. 
L auteur définit d'abord la translation rectiligne dont il déduit la théorie 
des parallèles ; tout ce qui concerne la mesure des angles et la symétrie par 
rapport à un point est base sur l'idée «le rotation; les théorèmes relatifs 
,in\ angles dont les côtés sont parallèles ou perpendiculaires se démontrent 
alors immédiatement el l'on arrive ainsi très vite au théorème de la somme 
«les angles «I un triangle qui per t de résoudre plusieurs exercices intéres- 
sants. 

Dans le troisième chapitre, l'idée «!<• symétrie par rapport à une droite 
facilite bien des démonstrations (propriétés du triangle isocèle, lien ^éomé- 
trique des points équidistants de deux points donnés, arcs de cercle inter- 
ceptés par deux parallèles, diamètre perpendiculaire à nue corde, etc.). — 
Les cas d'égalité des triangles sont suivis immédiatement «les constructions 
correspondantes : quant aux triangles rectangles, il ne nous semble pas né- 
cessaire de considérer connue spécial le cas de 1 hypoténuse et de 1 angle 
aigu, puisqu'on n déjà prouvé que les deux angles aigus sont complémen- 
taires. 

Le chapitre IV traite «les lignes proportionnelles el de la similitude. 
M. Bourlet a eu l'heureuse idée de donner la première' place à 1 homothétie, 
dont le pantographe donne «les exemples concrets. La similitude se définit 
alors très simplement : « Si deux figures sont homothéliques el que l'on dé- 
place l'une d'elles, elles deviennent semblables ». — En cherchant les con- 
ditions suffisantes pour que deux triangles soient semblables, on arrive aux 
cas de similitude. A propos des triangles rectangles, on remarque que les 
rapports de deux côlés quelconques ne dépendent que de la grandeur d'un 
angle aigu, et l'on est ainsi amené loul naturellement à la définition des 
1 ignés trigonométriques. 

Viennent ensuite les polygones réguliers, un chapitre relatif aux aires, et 
enfin quelques explications purement graphiques pour le tracé, par points 
el par tangentes, de quelques courbes usuelles (coniques, conchoïdes et 
cissoïdesl. 



7i BIBLIOGRAPHIE 

Signalons, en terminant, un excellent choix d'exercices à la suite de chaque 
chapitre. 

1° Exercices pratiques : dessins Faciles ou exercices numériques ; l'auteur 
donne quelques méthodes générales pour la résolution des problèmes de 
construction. 

2° Exercices théoriques devant habituer les élèves à faire quelques raison- 
nements d'eux-mêmes. 

:!" Exercices graphiques : dessins plus compliqués à exécuter avec soin. 

Nous lirons avec plaisir la deuxième partie de cet intéressant ouvrage 
(Géométrie dans l'espace), qui doit paraître sous peu. ainsi que le « Cours 
complet » où M. Bourlel reviendra sur certains théorèmes qu'il se contente 
pour l'instant d'admettre ou de vérifier expérimentalement. 

Souhaitons que ces manuels contribuent à la diffusion des méthodes nou- 
velles, même au delà des frontières françaises, et que, dans l'enseignement 
élémentaire, l'édifice euclidien soit remplacé définitivement par un système 
plus simple et tout aussi cohérent. 

Louis Kollros (La Chaux-de-Fonds). 

Claro C. Dassen. — Tratado elemental de Geometria Euclidea. — Tome II. 

Geometria del espacio. — 1 vol. in- 12", XV 170 pages, 382 figures, Coni 

Hermanos. Buenos-Ayres. 1905. 

M. Dassen a fait paraître le tome II de son traité de géométrie 1 , en 
s'inspiraut des mêmes idées qui 1 avaient précédemment guidé dans la com- 
position de son premier volume; c'est dire qu'il a conservé le plan primitif, 
et par suite, rangé sous le titre de Principes communs nu.r géornétries non 
euclidiennes toutes les propositions indépendantes du postulai des paral- 
lèles et constituant la géométrie générale. Cet ensemble forme la 1 re partie 
du livre, pages 1-215. La 2 me partie renferme I exposé des principes spé- 
ciaux à la géométrie euclidienne. Il est évident que ce plan, mettant l'auteur 
dans la nécessité de fractionner les théories, peut l'exposer à des longueurs: 
mais, d'autre part, il y a d'incontestables avantages à mener de front, par 
exemple, l'étude du plan et de ses droites avec celle de la surface sphérique 
el île ses grands cercles. 

Voici, sommairement, le contenu des divers chapitres : 

I re partie. — Chap. I. Les surfaces les plus usuelles, définitions el pro- 
priétés fondamentales : le plan, la surface conique de révolution, la sphère. 

Chap. IL Perpendiculaires et obliques à un plan. Sections planes de la 
sphère, grands et petits cercles, plans tangents. Compas sphérique, cons- 
truire le rayon d'uue sphère solide. M. Dassen donne les deux constructions 
classiques de ce problème 1° par le petit cercle, 2° par le grand cercle. Il 
faudrait modifier la première pour la rendre applicable aux géornétries non 
euclidiennes, et il suffit pour cela. Pi étant le rabattement du pôle P du petit 
cercle autour de Ai Di (page 51, fig. 46), de tracer la perpendiculaire au 
milieu de Ai Pi . Son point de rencontre Oi avec Pi Di prolongé limite le 
segment PiOi égal au rayon demandé. 

Chap. III. Plans perpendiculaires et obliques entre eux. Les dièdres. 
L'auteur a parfaitement raison d'exposer les théorèmes sur les dièdres dans 
Tordre même qu'il a suivi pour les angles dans le plan. En vérité, il y a si 



1 Voir l'analyse du tome I, E. M., 1905, pages 244-246. 



BIBLIOGRAPHIE 75 

peu de termes à changer pour aller d'une théorie à 1 autre, el ce passage si 
simple présente tant d'avantages que l'on ne conçoit guère aujourd'hui la 
résistance si longtemps opposée à 1 introduction des méthodes de M. Mèray 
dans renseignement. 

Chap. IV. Géométrie sphérique et géométrie îles étoiles de rayons. Prin- 
cipe de dualité. Correspondance entre les éléments constitutifs d'un système 
plan, ceux d'un système sphérique et ceux des étoiles de rayons. L'auteur 
donne, pages 88-10'», un lexique des termes traduits du 1 er système dans 
les deux autres, et le fait suivre, pages 104-142, des énoncés des théorèmes 
de géométrie plane également traduits; il aurait pu quelque peu abréger, 
en laissant aux bons élèves le soin de faire eux-mêmes cet exercice extrê- 
mement utile. Le chapitre se termine par la liste des théorèmes de géométrie 
sphérique et solide qui échappent à la loi de dualité. 

Chap. Y. VI, VII. Polyèdres réguliers et pyramides régulières, leurs 
rapports à la sphère et à la surface conique. 

Chap. VIII. Dualité réciproque de points et plans dans l'espace. 

TI me partie. — La seconde partie est divisée en trois livres. 

Le livre I traite des droites parallèles, des droites et plans parallèles, des 
prismes et cylindres. M. Dassen y place ce théorème, qui rentre plutôt dans 
le cadre des propositions générales : Quatre points non coplanaires déter- 
minent une surface sphérique el une seule. 

Livre II. Aires el volumes des polyèdres et corps ronds. 

Livre III. Polyèdres semblables. 

L'ouvrage se termine par des résumés, un choix de problèmes théoriques 
et numériques, et quatre notes : Noie I. la définition du plan. — Note 2, la 
congruence et la symétrie. — Note ^i, notions de topographie. Note 4, 
courbes et surfaces spéciales, notions 1res sommaires sur les courbes 
ellipse, hyperbole, parabole et sections coniques, sur l'hélice el les surfaces 
du 2""- degré. 

Le livre de M. Dassen, plein de mérites, est à recommander. 

P. Baubakin (Bordeaux). 

I)' Wilhelm Fœrster. — Astrometrie oder die Lehre der Ortsbestimmung 
im Himmelsraume zugleich als Grundlage aller Zeit-und Raummessung 
Krstes Heft, — 1 vol. in-8° de lfiO p.; Georg Reimer, Berlin, 1905. 

On répartit ordinairement L'ensemble des sciences astronomiques en trois 
parties : l'Astronomie sphérique, l'Astronomie théorique et l'Astronomie 
physique. A ces vocables surannés, l'Auteur propose de substituer les dé- 
nominations plus précises d Astrometrie, d'Astromécanique et d Astrophy- 
sique. La première correspond à peu près à l'Astronomie sphérique; elle se 
rapporte, d'une façon générale, à l'étude de la détermination des positions 
(■(•lestes. C'est cette élude que M. Fœrster se propose d'entreprendre. 

Le présent fascicule comprend trois chapitres Le premier, qui n'a qu'une 
vingtaine de pages, renferme des notions sur la vision, la mesure des an- 
gles et la trigonométrie sphérique. Le second, encore plus court, il n'a que 
quelques pages, est relatif aux définitions des divers systèmes de coordon- 
nées Eniin, le troisième, beaucoup plus étendu, est consacré aux mesures 
des coordonnées. 

Le sujet est exposé d'une façon simple et originale. Il ne comporte pas 
de développements mathématiques compliqués; aussi, est-il à la portée de 
tous ceux qui s'intéressent à l'Astronomie, soit pour satisfaire leur goût, 



76 BIBLIOGRAPHIE 

soit en vue de leurs études. Aux uns el aux autres, le Traité de M. Foersler 
rendra les meilleurs services. M. Godiikoy [Marseille). 

I) 1 Zoel G. de Gai.dka.no. — Tratadode Anâlisis matemâtico. Tomo lercero : 
aplicaciôn del Calcul > infinitésimal al esludio de las figuras planas. — 
1 vol. in-8° de 320 p., 7 Pesetas; Casanal, Zaragoza, 1905. 
Le tome 111 du Traité d'Analyse mathématique dont M. de Galdeauo 

poursuit la publication depuis quelques années est consacré aux applications 
du calcul infinitésimal à l'étude des figures planes. Nous y constatons la 
même méthode, à la fois simple et solide, qui distingue les autres parties 
de ce bon ouvrage. Nous ne pourrions, à ce propos, que répéter, une fois 
de plus, les éloges que nous avons précédemment adressés au savant Pro- 
fesseur; il serait superflu d'y insister davantage. 

Le présent volume débute par des notions générales sur la géométrie 
euclidienne et sur la géométrie non euclidienne. Voici, ensuite. Tordre des 
matières traitées : Livre I. géométrie plane {tangentes et normales, trans- 
formations par rayons vecteurs réciproques, coordonnées tangentielles, lon- 
gueur d'un arc de courbe, contact, courbure, enveloppes, étude cinématique 
de quelques courbes planes). — Livre II ; singularités des courbes planes 
{invariants, covariants, polaires, asymptotes, points singuliers). — ■ Livre III ; 
étude systématique des figures planes [propriétés numératives, Hessienne, 
formules de Plùcker, traits formations planes). 

Telle est la simple énumération de toutes les questions abordées par 
M. de Galdeano; elle suffit à faire saisir à la fois l'intérêt et la richesse du 
sujet traité. M. Godefroï (Marseille). 

R. Gans. - Einfùhrung in die Vektoranalysis mit Anwendungen auf die 
mathemalische Physik. — I vol., V1II-98 p.. 2 Mk 80; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

L'utilité du calcul des vecteurs dans la Mécanique el dans presque toutes 
les parties de la Physique mathématique est dorénavant incontestable. Dans 
l'électro-dynamique spécialement l'analyse vectorielle constitue la seule 
méthode naturelle. Pour en faciliter l'accès, M. Gans donne dans les deux; 
premiers chapitres fie son petit traité, d'après la méthode américaine-an- 
glaise, les premières notions sur les opérations élémentaires, les opérateurs 
différentiels et certaines intégrales, avec quelques applications bien choi- 
sies, empruntées à la Mécanique, à la Géométrie différentielle et à la Phy- 
sique. La théorie des « dyadics » est exclue Le troisième chapitre traite 
des coordonnées curvilignes orthogonales, des équations de Laplace el Pois- 
son, de la décomposition d'un vecteur en parties potentielles et solenoïda- 
les. et des déformations mécaniques. Le quatrième chapitre enfin, consacré 
à l'hydrodynamique et l'électrodynamique, contient des paragraphes inté- 
ressants sur les déplacements électrolytiques, sur l'induction dans une 
sphère lournante, la théorie des électrons et les potentiels retardes. Comme 
notation. M. Gaus a cru devoir adopter celle de MM. Loreutz et Sommerfeld 
qui est aussi celle de l'Encyclopédie des sciences mathématiques. Le petit 
livre de M. Gans peut rendre de très ré«ls services à tous ceux qui veulent 
s initier au calcul des vecteurs et à la théorie mathématique des électrons, 
qui prend actuellement une place si importante dans la théorie de 1 électri- 
cité. M. Fr. Daniels (Fribourg, Suisse). 



hi r Lior.u a i> il i e :: 

11. Lebesgue. — Leçons sur les séries trigonométriques professées au 
Collège de France. — I vol. in-K" de VII-128 pages : 3 fr. 50 ; Gauthier- 
Villars, Paris. 

Ce petit volume esl un lableau <le létal actuel de la théorie des séries 
trigonométriques. Toujours les choses les plus importantes sont mises en 
lumière ou tout au moins signalées. Une introduction nous initie aux pro- 
priétés générales îles Fonctions do variables réelles el le premier chapitre 
nous montre le début historique de la théorie. 

La sommation des séries étudiées est d'abord envisagée au point «le vue 
d'Euler el de Lagrange, d'après lequel une série trigonométrique peul être 
considérée comme la partie réelle (OU la partie imaginaire) d'une fonction 
analytique représentée d'abord par une série de Taylor. Vient ensuite la 
méthode de Fourier. Signalons aussi une méthode récente due à M. Kneser 
d un caractère absolument original et d'ailleurs de la plus liante importance, 
car celle même méthode s'applique aux séries formées non pas seulement de 
sinus et de cosinus, mais formées aussi d'intégrales d'équations linéaires du 
second ordre à coefficients quelconques. Et l'on sait que de telles séries 
jouent un grand rôle en physique mathématique, notamment dans le pro- 
blème du refroidissement d une barre hétérogène et dans d'autres du même 
genre résolus formellement depuis longtemps, mais inachevés cependant 
tante d une démonstration suffisante de la convergence des séries obtenues. 
M. Lebesgue ne va pas si loin car il sortirait de son sujet, mais il a eu le 
mérite de développer, à propos des séries trigonométriques proprement 
dites, une méthode analogue à celle rie M. Knesei. 11 nous montre aussi, 
sur \\n exemple particulier fourni par l'équation de Laplace, «pie les déve- 
loppements en séries <l«' polynd is des fonctions de variables réelles sont 

liés aux équations aux dérivées partie lies à solutions analytiques. 

Le chapitre III est, à mon avis, le plus élevé et le plus important. Il 
traite de la convergence en remplaçant d'abord la série trigonométrique par 
une intégrale définie bien connue, mais il ajoute beaucoup aux considérations 
élémentaires habituelles. 

Il est assez malaisé «le dire au premier abord quels sont les cas les plus 
généraux dans lesquels le procédé est valable. Pendant longtemps on s'était 
contenté des conditions dites de Dirichlet. Il y en a d'autres dues à MM. 
Dini, Lipschitz, Jordan. Et si l'on étudie l'intégrale définie en question 
indépendamment «le son origine, elle donne des résultats qui, s ils ne se 
rapportent plus immédiatement à des séries trigonométriques, n'en sont 
pas moins fort intéressants. C'est ainsi que M. Lebesgue est amené à parler 
des sommes de Gauss. 

Signalons aussi l'élude des séries trigonométriques divergentes. Ces 
séries peuvent être sommables par des procédés remarquables. Il y a celui 
de Poisson qui transforme la série trigonométrique en une fonction harmo- 
nique et celui de M. ïejér qui n'est autre chose que la méthode de somma- 
tion de M. Borel convenablement appliquée. 

Quant aux opérations sur les séries <!<■ Fourier, il est visible que M. 
Lebesgue a été un peu trahi par le sujet. Le plus clair est qu on ne sait pas 
grand'chose, mais l'auteur fait des efforts pour montrer les difficultés du 
sujet et la nature des problèmes qui se posent. 

Enlin le dernier chapitre intitulé: « Séries trigonométriques quelcon- 
ques ». revient sur la délicate question de savoir quelles peuvent être les 
séries trigonométriques représentant des fonctions données. C'est surtout 



78 BIBLIOGRAPHIE 

une belle analyse des idées de Riemann cl des recherches qu elles oui entraî- 
nées. A ce propos, ajoutons que M. Lebesgue a fort bien montré les nom- 
breuses analogies que les questions traitées dans ce nouvel ouvrage ont avec 
celles traitées dans celui qui a trait à l'intégration, et que j'ai déjà analysé 
dans ce Journal. La grande figure de Riemann domine ces œuvres. 

A. Bu m. i Montpellier). 

M. Petkomtch. — La Mécanique des Phénomènes fondée sur les Analo- 
gies. iCollectiou Scientia.) — 1 vol. 95 p.. 2 fr. Gauthier- Villars, Paris. 
Dans le Discours préliminaire aux Leçons sur les coordonnées curvilignes 
(Paris, 1859), Lamé, après avoir fait ressortir les analogies entre la théorie 
du potentiel, 1 hydrostatique et la théorie de la chaleur, analogies qui repo- 
sent sur des propriétés communes et sur l'identité des formules analyti- 
ques, a écrit que ce rapprochement « fait entrevoir l'avènement futur d'une 
science rationnelle unique, embrassant, par les mêmes formules, les trois 
branches des mathématiques appliquées que je viens de définir, et. en outre 
la théorie des ondes sonores et celle des ondes lumineuses, qui ne sont 
autres que la théorie générale de l'élasticité dans l'état dynamique ». 

Le petit livre de M. Petrovitch, qui tait partie de 1 intéressante collection 
Scientia. est un premier pas vers la constitution de cette science, de celle 
mécanique générale, que Lamé entrevoyait. 

L analyse d'une analogie entre des phénomènes divers fait ressortir d'elle- 
même la raison intime et commune à toutes les analogies ; celle-ci réside 
dans l'identité des rôles joués par certains éléments dans les phénomènes 
analogues. Alors M. Petrovitch se demande avant tout s il est possible de 
schématiser ces rôles, c'est-à-dire de les dégager en quelque sorte de ce 
qui les rattache spécialement à telle ou telle espèce de phénomènes et de 
les présenter sous une tonne assez simple et assez générale pour qu'ils 
puissent s'adapter à Ions les phénomènes embrassés par une même analo- 
gie : et après cela si on peut aussi schématiser les phénomènes d'un même 
groupe. 

(Test à ces questions, très clairement posées, que M. Petrovitch a consa- 
cré son petit ouvrage, plein d'érudition et qu'on lit avec beaucoup de plaisir. 
Le livre comprend quatre chapitres ; dans le premier, fauteur a fait une 
soigneuse et très intéressante étude des analogies déjà connues, et aux- 
quelles il faut ajouter maintenant celle entre les problèmes d équilibre des 
corps élastiques à connexion multiple et les mouvements d'un fluide à po- 
tentiel polidrome et qui a fait l'objet des recherches de M. Yolterra. L'au- 
teur a toujours soin de faire bien saisir la correspondance entre les éléments 
correspondants des phénomènes d une même analogie. 

Dans le chapitre II Esquisse d'une mécanique générale des causes et des 
effetsi est exposée la partie nouvelle et originale du livre. L'auteur consi- 
dère les systèmes formés par des objets .• chaque objet est défini par un 
certain nombre de variables qui déterminent à chaque instant sa position, 
sa vitesse, ses longueurs d onde, les diverses radiations simples, etc. Les 
causes directes ou indirectes qui interviennent dans la production d'un phé- 
nomène sont, au fond, représentées par des vecteurs : et la généralisation 
des principes fondamentaux de la dynamique permet de traduire en équa- 
tions les relations entre les causes directes et les objets. On comprend que 
l'on peut, par conséquent, généraliser aussi quelques-uns des théorèmes de 
la mécanique: principe de l'impulsion, de D'Alembert, intégrale des forces 
vives, etc. 



/;//;/. 10GRA PHIE 79 

Le chapitre III s'occupe des schémas généraux représentant l'action des 
causes. L'auteur examine beaucoup de cas particuliers correspondant à 
l'action d'une cause d'intensité constante, ou à variation indépendante ; à 
l'action simultanée de deux causes particulières, etc. : et il donne toujours 
«le nombreux exemples de phénomènes où ces actions s'pppliquent. 

Enfin le chapitre IV contient un aperçu, un peu vague il est vrai, de l'ap- 
plication île la mécanique générale aux cas où la nature des causes est 
exactement connue, comme dans les phénomènes purement mécaniques, ou 
bien n est pas connue. En conclusion, l'auteur veut taire ressortir que cer- 
taines particularités de l'allure d'un phénomène peuvent s'expliquer par des 
mécanismes communs à un grand nombre de phénomènes divers — ce qui 
était connu depuis longtemps — el ces mécanismes seraienl fournis par les 
schémas «I *• la théorie ébauchée par I auteur. 

R. Marcolongo i Messine 

Salvatoke Pin cher lj . — Lezioni di Algebra complementare ; Analisi Alge- 

brica, 2 me Fascicule (p. 129-362). — Zanichelli, Bologna. 

Dans ce deuxième el dernier fascicule. M. le professeur Pincherle étudie 
avec grand soin, avec la vraie rigueur, celle qui est sobre, les séries, puis. 
ce que I on ae fait pas toujours dans les livres élémentaires, les produits 
infinis et les fractions continues arithmétiques. 

Puis la notion générale de fonction est introduite: correspondance de 
deux ensembles. Viennent alors les propriétés fondamentales des fondions 
continues, puis la théorie de la dérivée et ses applications à la variation des 
fonctions. 

Les fonctions rationnelles sont étudiées avec soin, puis les séries entière- 

Les propriétés de e x résultent de l'étude de la série ^ — • 

11 ""12...// 

La convergence de la série du binôme est étudiée, pour | •»' | <C L quel 
que soit l'exposant /// de |l -\- x) m . 

Lutin la fonction logarithme est présentée tant pour la variable réelle que 
pour la variable complexe, ce qui permet, on le sait, de voir quel est le 
logarithme d un nombre réel négatif. 

En résumé, par sa limpidité, son élégance, le livre de M. Pincherle est 
une parfaite introduction à un cours d'Analyse savante, et Ion sera heureux 
de voir paraître le volume annoncé' sur la Théorie des équations. 

R. d'Adhémar (Lille). 

René de Saussure. — Théorie géométrique du mouvement des corps. Lin 

de la l rc partie el commencement de la 2 me partie: Lu Géométrie des 

feuillets. — 1 vol. 109 pages, avec deux tables. Librairie Rùndig, Genève. 

Dans le numéro de septembre 1905 de Y Knseigu. mathém. nous avons fait 

une courte analyse d'un intéressant mémoire de M. de Saussure. Les 

Archives des sciences physiques et naturelles de Genève (tom. XXI, 1906) 

contiennent la suite des recherches de ce géomètre. 

La symétrie par rapport à un point ou à un plan a conduit 1 auteur aux 
notions générales des translations el des rotations à plusieurs paramètres 
Dans la lin de la première partie du nouveau mémoire il s'occupe de la 
torsion ou de la symétrie par rapport à une droite. Les mouvements de 
torsion sont engendrés par un corps qui se déplace en restant symétrique 
par rapport à une série de droites ; et suivant cjue la droite mobile décrit 



su BIBLIOGRAPHIE 

une surface réglée, une congruetiee, un complexe ou enfin tout l'espace réglé, 
le mouvement de torsion est à 1, 2, 3, 4 paramètres. La torsion à un para- 
mètre est celle qui définit, comme on sait, le mouvement à un paramètre le 
plus général d'un corps solide. 

Mais, avant tout, l'auteur t'ait une digression très intéressante sur L'appli- 
cation de la géométrie des complexes linéaires à l'étude des mouvements 
infiniment petits d'un corps solide qui possède n degrés de liberté (§ 1). Il 
réussit à présenter d'une manière tout à fait géométrique et très heureuse 
bien des résultats de la théorie de R. S. Bail. 

Il aborde ensuite l'étude des mouvements de torsion ; mais il n'est pas 
possible de résumer tous les résultats auxquels il arrive, en employant tou- 
jours la même méthode claire et élémentaire. Citons pourtant la conclusion 
plus importante qui découle des recherches de l'auteur, c'est-à-dire que les 
translations, les rotations et les torsions ne sont pas des mouvements assez 
généraux pour servir de type aux déplacements linis d'un corps solide avec 
plusieurs degrés de liberté. Ainsi, par exemple, la torsion à quatre paramè- 
tres n'est pas le mouvement le plus général d un corps solide qui a quatre 
degrés de liberté. On voit déjà donc que les mouvements de torsion ne 
peuvent pas être pris connue base d'une théorie générale des mouvements 
linis à plusieurs paramètres. 

L'exposition complète de ces mouvements exige donc quelque autre chose 
que M. de Saussure expose dans la seconde partie de son travail, qui a 
aussi le but de développer dans l'espace à trois dimensions la théorie 
des (déments fluides dans le plan. L'auteur a nommé celte seconde partie : 
la géométrie des feuillets ; et il en a publié seulement les deux premiers 
chapitres. Nous comptons la résumer et la taire connaître aux lecteurs de 
cette Bévue dès que l'auteur aura publié la suite de ses recherches. 

Pour terminer, nous croyons devoir faire observer que la théorie hydro- 
ciaétique des éléments fluides dans un plan a déjà eu une application : car 
l'auteur a appliqué sa méthode, à la construction des lignes de flux de 
I atmosphère pour les directions du vent observées à la même date dans les 
principales villes des Etats-Unis, et il a obtenu des résultats qui corres- 
pondent aux observations. 

M. Jean Bertrand, dans un article sur V Interpolation en Météorographie 
i Bulletin de la Société belge d'Astronomie, n° s 7-8. 1905), où il a même résumé 
les recherches de M. de Saussure, vient de faire des applications nouvelles. 

Les recherches de M., de Saussure n'intéressent donc pas seulement les 
géomètres; nous souhaitons les voir bientôt achevées et publiées. 

R. Makcolongo (Messioe). 

P. -H. Schoute. — Mehrdimensionale Géométrie. Zweiter Teil : Die Poly- 
tope(T. XXXYI de la Collection Schubert!.— I vol. relié. in-8°. IX-326p. t 
avec 90 fig. et 123 exercices: J. G. Gôschen, Leipzig. 1905. 
Le second volume du savant professeur de Groningue est la suite natu- 
relle et attendue de son premier ouvrage : Die linearen Raume, déjà publie 
sur la géométrie à n dimensions 1 . On y trouve les mêmes qualités caracté- 
ristiques de simplicité et de clarté, et le souci constant de mettre en lumière 
les points fondamentaux et essentiels par des exemples aussi nombreux que 
bien choisis, les uns résolus, les autres proposés comme exercices avec une 
indication relative à leur résultat. 



1 Voir 1'analvse tle cet ouvrage I . M.. 1903, pages 149-150. 



/»■ / ii l i o (. j: ap ii 1 1: 8 1 

Voici les matières renfermées dans les chapitres de l'ouvrage 

[ re partie, Introduction topologique - Notions fondamentales; lethéorème 
d'Enler. 

il 11 " partie. Relations métriques — Congruence el similitude; considéra- 
tions sur les volumes. 

:>""' partie. Polytopes réguliers — Polygones réguliers; Polyèdres régu- 
liers; cellules régulières; Polytopes réguliers de dimensions supérieures. 

'i nie partie. Les Polytopes ronds. — Les espaces sphériques; les espaces 
cylindriques et coniques : les espaces généraux de révolution — Exercices. 

L'ouvrage de M. Schoute est. croyous-nous, le premier traité complel el 
spécial écril sur la géométrie à // dimensions. Il mérite d'être répandu el 
traduit. P. Barbakin (Bordeaux). 

Il Schubert. — Auslese aus meiner Unterrichts- und Vorlesungspraxis, 
i. III. — 1 vol. in-16°, 250 p. » .M k.: G.-J. Gôschen, Leipzig. 
Ce volume, comme les deux précédents, traite des questions les plus va- 
riées. Des déterminations de centres de gravité précèdent quelques pro- 
priétés élémentaires de la parabole. Viennent quelques remarques relatives 
a la loi de Descaries, sur les indices de réfraction ; puis des recherches sur 
le volume de certains corps. Suit un exposé des principales formules de la 
trigonométrie sphérique. Celui-ci sert de point de départ au dernier chapi- 
tre, consacré à des triangles sphériques héroniques. c est-à-dire dont h s 
cosinus el sinus de> angles el îles cotés sont tous quantités rationnelles. 

Si d'un boul à l'autre du recueil aucun excès d originalité n'est à signaler, 
I auteur n'en a pas moins lait œuvre utile. Son livre rendra service à ceux 
qui s'occupent d'enseignement, à ceux qui désirent avoir à disposition îles 
sujets faciles à traiter, constituant un tout en eux-mêmes 

G. Di.mas (Zurich). 

(',. Vivami. — Théorie der eindeutigen analytischen Funktionen. Umar- 

beitung miter Mitwirkung des Verfassers, deutsch herausgegeben von 

A. Gutzmer. — 1 vol. cari., 512 p. gr. in-8° : 12 Mk. Leipzig, B.-G. Teubner. 

On a quelque difficulté à se représenter cet ouvrage comme traduit de 

l'italien. Si Ion ne regardail pas le frontispice et le nom du véritable auteur 

on se croirait dans un fort beau monument de l'école allemande, monument 

élevé dans l'ombre gigantesque que projette toujours Weierstrass, el pour 

la plus grande gloire de cet illustre géomètre. 

Des méthodes de Cauchy rien ou à peu pies. Une fonction analytique esl 
délinie par un (dément taylorien. Il est tout à fait en dehors de ma pensée 
de donner à celle constatation la forme d une critique. I, 'auteur a a point 
voulu davantage envisager le point de vue de Riemann et lier les fonctions 
analytiques à l'équation de Laplace. Il importe simplement d'avertir le futur 
lecteur de ce qu'il ne saurait trouver dans cet ouvrage et nous pourrons 
ensuite indiquer plus librement combien il est admirablement ordonné el 
rédigé dans les limites du plan d'abord tracé. 

On n'y peut guère passer tout en revue, tant il y a de choses, tant il esl 
au courant des recherches les plus récentes, et tant la bibliographie y est 
développée. Je me contenterai de mentionner quelques points particulière- 
ment saillants. 

Les premières pages sont consacrées à la théorie des ensembles, aux 
fonctions des points d'un certain domaine, aux séries de puissances. 

L'Enseignement mathém., 9 e année ; 1907. 6 



82 BIBLIOGRAPHIE 

Des développements très originaux et peu connus sont donnés sur la va- 
leur moyenne d'une fonction. Il faut entendre par là le résultat obtenu en 
donnant à la variable d'une fonction analytique des valeurs prises eu dés 
points qui divisent une circonférence en 2" parties égales, en faisant la somme 
«le ces valeurs, en la divisant par 2 n et en passant à la limite pour // crois- 
sant indéfiniment. Au fond cela se ramènerait facilement à une certaine inté- 
grale définie prise le long de la circonférence et, d'ailleurs encore, ce théo- 
rème de la moyenne intervient de façon bien connue dans la théorie des 
fonctions harmoniques, mais ce qui me fait précisément dire qu'il y a là 
quelque chose d'intéressant et qui paraîtra nouveau à beaucoup, c'est que 
les notions précédentes ne sont pas invoquées. Signalons l'étude de la déri- 
vation et de l'intégration des séries entières, la définition des points singu- 
liers, le théorème de Laurent, les séries de fonctions rationnelles désignées 
sous le nom d'expressions arithmétiques. Après quoi nous passons à l'étude 
proprement dite des fonctions analytiques, classées d'après la nature de leurs 
points singuliers. L'auteur en fait le tableau suivant : 

A. Fonctions sans singularités. 

B. Fonctions qui n'ont que des pôles. 

1. Un seul pôle, a) à l'infini, b) à distance finie. 

2. Fonction avec un nombre fini de pôles. 

3. » » » » infini » » 

C. Fonction avec des singularités essentielles. 

1. Une seule singularité, a) à l'infini, b) à distance finie. 

2. Un nombre fini de points singuliers, 
o. Un nombre infini de points singuliers. 

a) Une infinité de pôles et un point essentiel. 

b) Une infinité de pôles et un nombre fini de points essentiels. 

c) Un nombre infini de points singuliers arbitraires. 

Les A sont des constantes, les B la des polynômes, etc., mais, une lois 
le tableau débarrassé des résultats évidents, toutes les autres classes de 
fonctions sont étudiées avec la plus méthodique et la plus grande clarté. 

Les C 1 a sont des fonctions entières. Leur élude si importante présente, 
en outre, la plus grande élégance et de nombreux exemples à 1 appui des 
théorèmes. La décomposition en facteurs est étudiée pour sin x et ex avec 
la méthode de Weierslrass ingénieusement complétée de façon à ne pas lais- 
ser subsister le facteur que le créateur de la théorie laissait indéterminé. 

Dans une troisième et dernière partie du livre, qui, à vrai dire, en forme 
à peu près la seconde moitié, sont exposées les recherches récentes sur les 
sujets étudiés auparavant de façon plus classique. 

Ces! là que le travail d analyse deviendrait prodigieusement difficile 
puisqu'il faudrait parler de plusieurs centaines de mémoires et de notes 
dont M. Vivanti a réussi à tirer un tout homogène. 

Je n essaierai pas une telle description. Je me bornerai à dire qu il s'agit 
d'abord des nouvelles recherches sur les fonctions entières, du lemme de 
M. Picard et de ses généralisations et des tentatives nombreuses faites 
pour étendre à des fonctions non entières certaines propriétés des fonctions 
entières (fonction quasi-entières, etc.). 

Signalons aussi les fonctions à espaces lacunaires dont un type intéres- 
sant est dû à M. Poincaré, les séries divergentes, le prolongement analy- 



/,' ('/./. /■: I l N H IBLIO (, H APHIQV E 83 

tique, cl la possibilité de comparer deux fondions analytiques de façon à se 
renseigner sur les singularités de l'une connaissant celles de l'autre. 

Admirable ouvrage au fond pour se mettre rapidement au courant des 
derniers résultats acquis à la science. La rédaction n'en est pas alourdie par 
lfinploi exagéré d'inégalités ni par le désir de remplacer l'évident par le 
rigoureux 

J'insiste encore sur la richesse de la bibliographie; *>7 lî mémoires sont 
cités et tout est merveilleusement arrangé pour la commodité des recherches. 

Remercions M. Yivanli d'avoir eu tant de science et de patience et M. <iiii/- 
iner d'avoir traduit si bien et si à propos. 

A. Bi m i Montpellier). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Sommaires des principaux périodiques: 

American Journal of Mathematics, edited bv F. Morlet. Vol. XXVIII, 
1906: n°s 3 el 'i : The Johns Hopkins Press, Baltimore. 

Edw. Kasner : The Geometry of différent ial Eléments of second Order 
with Respect to Group of ail donit Transformai ions. — Corueyio : Gyros- 
copes and Cyclones. — Manning : On the Primitive Croups of Class 
l'eu. — Virgil Snyder : On certain Unicursal Troisled Curves. — 11. Li- 
vim;stox Coar : Funclions of tliree Real Independent variables. — Cobli: : 

An invariant G lilion for certain Automorphic Algebraic Forms. — Koi.o- 

son : On sonie Cases of Motion of a solid in Infinité Liquid. — \. Rags- 
dale : On the Arrangement of the Real Branches of Plane Algebraic Curves. 

Annales de la Société scientifique de Bruxelles. 30 rac année 1905-1906. 

Louvain. 1906. 

o n,e et 'i me fascicules. — .1. Neuberg : Sur les lieux discontinus ou suites 
itératives de points. — R. P. H. Bos.mans : Le fragment du commentaire 
d'Adrien Romain, sur l'Algèbre de Mahumed Ben Musa El-Chowarezmi. — 
Ch. J. oe la Vallée Poussin : 1° Continuité des intégrales des équations dif- 
férentielles contenant un paramètre. — 2° Sur les équations aux différen- 
tielles totales. — J. Delemeb : Elude sur la vibration des cordes de piano. 
— de Sparre : Sur la stabilité du mouvement du cerceau. 

Atti délia Reale Accademia dei Lincei, anno 303, 1906 série 5; Rendiconti, 

vol. XV, I er semestre 1906: Rome. 

L, Orlando : Alcuiie applicazioni dell'integrale di Fourier. — E. Ai.manm : 
Sul principio dei lavori virtuali in rapporto all'attrito. — C. Akzela : 1° 
Condizioni di esistenza degli integrali nelle equazioni a derivate parziali. — 
'1" Suite equazioni a derivate parziali. — E. Bortolotti : 1° Sopra una ri- 
cerca di limite ; — ï" Sulle trasformazioni che lasciano invariata la frequenza 
di insierni lineari. — G. Castelmovo : Sulle série Algebriche di gruppi 
dipunti appartenenti ad una curva algebrica. — H. Lebesgie : Sur les fonc- 
tions dérivées. — E. Lj bon : Théorie et construction de tables permettant 



84 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

de trouver rapidement les facteurs premiers d'un nombre. — B. Levi : Ki- 
cerche sulle funzioni derivate. — N. Nielsen : 1° Sur le développement en 

fraction continue de la fonction Q de M. Prym. — 2° Sur quelques pro- 
priétés nouvelles des fonctions cylindriques. — L. Orlaxdo : Sull' integra- 
/inni ili ima nolevole equazione differenziale a derivate parziali. — M. Pan- 
mli.i : l ,j Sopra alcuni caratteri di una varietà algebrica a tre dimension! 
rispetto aile transformazioni birazionali. — E. Pascal : Sui simboli di Rie- 
manu ne! Calcolo differenziale assoluto. — G. Pea.no : Sulle differenze li- 
nile. — S. Pinc.herle : Sulle singolarità di una funzione che dipende da due 
funzioni date. — V. Yolterra : I e Nuovi Studi sulle distorsioni dei solidi 
elastici. — 2° Sull' applicalione del metodo délie immagini aile equazioai 
del tipo iperbolico. — T. Boggio : Sulla deformazione di un ellissoide elas- 
lico. — G. Eaurkella: 1° Sull integrazione délie equazioni dell' equilibrio 
dei corpi elastrici isotropi. — 2° Sulla risoluzione del problema di Dirichlet 
col metodo di Predho.lm e sulla integrazione délie equazioni dell' equilibrio 
dei solidi elastici indefiniti. — 3° Sul problema derivato di Diricblet, sul 
problema dell elettrostatica e sull integrazione délie equazioni dell elasticità. 
— R. Marcolongo : Sugl' integrali délie equazioni dell'elettrodinamica. — 
Pavamm : Sul problema dei due corpi nell ipolesi di un potenziale newto- 
niano rilardato. 

Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 

de Paris. — 1906, 2 e semestre, T. CXLIII. — Gauthier-Yillars, Paris. 

2 juillet 1906. — S. Carrus : Feuilles de Lamé à trajectoires planes, les 
plans passant par un point fixe. — Ed. Maillet : Sur la classification des 
irrationnelles. — Alliaume : Influence de la tension superficielle sur la pro- 
pagation des ondes parallèles à la surface d'une laine liquide. 

lfi juillet. — A. Bi/hl : Sur le caractère arbitraire des développements 
des solutions, même uniques, des problèmes de la Physique mathématique, 
et sur de nouvelles propriétés des séries trigonométriqnes généralisées. 

23 juillet. .. — E. W^elsch : Extension de l'Algèbre vectorielle à laide de 
la théorie des formes binaires avec des applications à la théorie de l'élasti- 
cité. — Pétkovitsch : Sur une classe de séries entières. 

30 juillet, 6 août. — iPas de mathématiques!. 

13 août. — P. Duhem : Sur les deux chaleurs spécifiques d 1 nilieu 

élastique faiblement déformé', formules fondamentales. 

3 sept. — G. Re.molndos : Sur la croissance des fonctions multiformes. 
13 sept. — A. Bi'ul : Application du procédé de sommation de M. E. Borel 

aux séries trigonométriques généralisées. 

10 octobre. — C. Stôrmer : Sur les trajectoires périodiques des corpus- 
cules électriques dans l'espace, sous 1 influence du magnétisme terrestre, avee 
application aux perturbations magnétiques. 

s el 1") octobre. — H. A. Zeuthek : Le principe île correspondance pour 
une surface algébrique. — Rothé : Sur la transformation de M. Darbonx et 
l'équation fondamentale des surfaces isolhermiques. — Eaton : Sur les so- 
lutions uniformes de certaines équations fonctionnelles. — Lœwi : Méthode 
nouvelle et rapide pour la détermination des erreurs de division d'un cercle 
méridien. 

22 octobre. — E. Raffy : Surfaces rapportées à leurs lignes de longueur 
nulle ei surfaces isothermiques 'le première classe. ■ — H. Rothé : Suc les 



/,' U I. I. É T I .V /,' / B I. I fi /.' APH1QUE s 5 

surfaces isolhermiques. — Rigniér : Sur tes conditions d'intégrabililé com- 
plète «li- certains systèmes différentiels. 

2 ( .i octobre. — I.. Bianchi Sur la déformation îles quadriques. — 
.1. Ci.aiiun : Sur 1rs transformations de quelques équations linéaires aux dé- 
rivées partielles du second ordre. — E. Traynard : Sur le système d'inté- 
grales de différentielles totales appartenant à une surface hyperelliptique. 

5 novembre. — F. Autonnf : Sur certains groupes linéaires — Korn : 
Sur les potentiels d un volume atliranl donl la densité satisfait à l'équation 
de Laplace. 

12 novembre. ~ Fr. Uns/. : Sur les ensembles de fonctions. — Gambier : 
Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont 
l'intégrale générale est à points critiques fixes. 

I \ novembre. — S. Lattes : Sur les courbes qui se reproduisenl pério- 
diquement par' une transformation (X. Y, x. v. v'). — I.. Remy : Sur une 
famille de surfaces hyperellipliques du quatrième ordre. 

2ii novembre. — E. Picard : Sur la détermination des intégrales de cer- 
taines équations aux dérivées partielles par les valeurs des dérivées nor- 
males sur un contour. — Claiki.n : Sur les équations aux dérivées partielles 
du second ordre à deux variables indépendantes qui admettent un groupe 
d'ordre pair de transformations île contact. — Li Roux : Sur l'intégration 
des équations différentielles. 

:> décembre. — L. Raffï : Remarque sur la recherche des surfaces iso- 
thermiques. — F. Mah.i.i i Sur certains nombres transcendants'. — 
<J. lliKwir/ : Sur les points critiques des fonctions inverses. — I'. (loi six : 
Sur les fouctions périodiques. 

10 décembre. -■ Félix Bernstein: Sur la théorie des ensembles. — 
Km. Schmidt : Sur la puissance des systèmes orthogonaux des fondions 
continues. — L. Fejér: Sur le calcul des limites. — Révereau : Sur une classe 
d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires. 

17 décembre. — Séance annuelle: Prix décernés par l'Académie en 1906 
(v. p. 68). 

2 i décembre. — 1' kaki» : Sur la détermination des intégrales des équations du 
type elliptique par certaines conditions auxlimites. — Painlevé: Sur les équa- 
tions différentielles du second ordre à points critiques lixes. — Hadamaru : 
Sur une méthode de calcul des variations. — Clairin : Sur les équations aux 
dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes qui 
admettent un groupe d'ordre impair de transformations de contact. - 
Lecornu : Sur l'extinction du frottement. — Belot : Formule applicable aux 
durées de rotation directe des planètes et du soleil. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von 
K. Hinski.. Band 131. Georg Reimer, Berlin. 

Bauer : Ueber die arithmetische Reihe. — Boni. : Ueber eiue Differential- 
gleichung der Stôrungstheorie. — Busche Ueber Gitterhunkte in der 
Ebene. — Ermakoff : Equations différentielles i\n premier ordre ayant des 

" a i 

multiplicateurs de la forme n ( y — m) . — Fahkas : Beitragezu den Grund- 

l 
lagen der analyt. Mechanik. — Fejér : Ueber Stabïlitaï u. Labilitiil eines 
inateriellen Punkles im widerstiebenden Millel. — Gundelfinger : Brîefe 
von Gauss au Joli. v. .Millier. — Horn : Bewegungen in der JN'iilie einer 
Gleichgewichtslage. — .). Knobl.vuch : Die Biegungsinvarianlen u. Kova- 



86 B ULLET1 Y H 1 H 1,1 G li À I 1 II IQU E 

ri an te n von gegebener Ordnung. — Landsberg : Bemerknngen zur Théorie 
der algebraichen Kurven. — Ma.ndl : Ueber die Zerlegung von Funklionen 
mebrerer Variabeln in irreduktible Faktoren. — Mertens : Ueber zyklische 
Gleichungen. — Rados : Die Diskriminante der allgemeineu Kreisteilungs- 
gleichung. — Schlesikger : Zur Théorie der horaogenen linearen Differen- 
tialsysteme. — Schwering : Anwendung der ellipt. Funklionen auf eine 
geometrische Aufgabe. — Stéphanos : Sur des forces donnant lieu à des 
trajectoires coniques. — Teixeira : Sur quelques applications des séries 
ordonnées suivant les puissances du sinus. — Thomé : l eber simultané 
liueare Différent ial gleichungen. 

Monatshefte f. Mathematik u. Physik, berausgegeb'en vonG. v. Escherich, 
F. Mertens u. \\ . Wirtinger. XVII. Jahrg. 1906. Eisenstein, Wîen. 
Berger, A. : l'eber die zur drilten Stufe gehôrigen bypergeomelrischen 
[ntegrale am elliptischen Gebilde. — Biermann, O. : Ueber gewisse lineare 
Transformazionen — Carda, K. : 1° Zur Théorie der Jacobischen Difléren- 
lialgleichung. — 2° Ueber eine Schar dreigliedriger algebraischer Gruppen 
der Ebene. — Eberhard. Y. : Ein Beitrag zur Tetraederlehre. — Ernst, P. : 
Ueber das Kùppersche Konoïd. — Gmeixer. .l.-A. : Otto Stolz, Nachruf. — 
Gri.wvald. J. : Ueber duale Zahlen uud ihre Anwendung in der Géométrie. 

— Haun, H. l<> Ueber eiuen Satz von Osgood in der Variationsrechnung. 

— 1" Ueber das allgemeiueP robleiu der Variationsrechnung, — Ki.lt., L. 
Konstruktion der Brennpunkte der ebeueu Schnitte eine s Kegels zweiter 
Ordnung. — Lerch, M. l'eber einige Punkte i\cv Théorie 'h-r Euler- 
sehen [ntegrale. — Mack, K. Das Berùhrungsproblem fur «lie allge- 
meine Regelschraubenflitche. — Meuer. A. : L'eber die Déterminante von 
\\ ronski. — Nielson. N. : 1° Ueber bestirnmte Intégrale mit der Prym- 
schen Q-Fonktion. — 2° Notiz uber die Kugelfonklionen. — 3° Notiz ûber 
eine allgemeine Integralformel. — Tauber, A. : Lebec die unvollstiindigen 
(iaiumafunktionen. — Waelsch. E. Ueber mehrfachc Vekloren und ihre 
Produkte sowie deren Anwendung in der Elastizitatstheorie. — Zi.ndler. K. 
Zur Dilferentialgeometrie der Linienkomplexe. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par C.-A. Eaisant, C. 
Bourlet et R. Bricard. 4 e série. T. VI. Gauthier-Villars, Paris. 
Janvier-février-mars 1906. — G. Fontené : Sur nue surface de troisième 

ordre qui est l'analogie du cercle des neuf points. — R. Bricard : Sur la 
Géométrie de direction. — J.-J. Chapei.on : Sur la surface lieu des centres 
de courbure des courbes d'une surface passant par un point de celle sur- 
face. — L. Dvnoyer : Sur les courbures de poursuite d'un cercle. — A. Gk- 
rarotn : Contribution à l'étude de l'équation 1.2.3. 'i...:-|-I=v-. — A. Maxx- 
heim : Démonstration de la construction trouvée par Hamilton pour déter- 
miner le point où le cercle des neuf points d'un triangle louche le cercle 
inscrit. — A. Maxnheim : Note à propos de la question i960. — H. Lai ri ni : 
Sur les substitutions linéaires qui laissent une forme quadratique invariante. 

— E. Guittox : Démonstration de la formule / e -. c i rf r — - i/^ Pfrxot 

J+oo 

et .Moissox : Elude des [joints à l'infini d une courbe algébrique. — H. l.vi - 
i;i vr : Sur un théorème de Chasles et d'Abel. — Ph. du Pless's : Concours 
d'admission à l'Ecole Polytechnique en 1906. Composition de Géométrie 
analytique et mécanique. — Ch. Méray : Construction de la surface du se- 



BULLETIN BIBLIOG H A P H I Q V E 87 

cond ordre déterminée par neuf points ou neuf plans tangents. — il. Padé 
Sur la propriété de concavité de l'herpolhodie de Ponsot. — S. Lattes : Sur 
les courbes invariantes par polaires réciproques. — Jean Servais : Concours 
d'admission à l'Ecole Polytechnique en 1906. Composition d'Algèbre et Tri- 
gonométrie. — F.-Gomes Teixeira: Sur une propriété de la strophoïde et 
sur les cubiques qui coïncident avec leurs cissoïdales. — Emile Weber : Sur 
quelques cercles du plan d'un triangle. — Stuyvaert : Un théorème sur la 
collinéation et la réciprocité. — H. Laurent : Sur une généralisation de la 
transformation birationnelle. — Jean Servais: Concours d'admission à l'Ecole 
Normale supérieure en 1906. Première composition de mathématiques. 
Sciences I. — Jean Servais : Concours d'admission à l'Ecole Normale supé- 
rieure en 1906. Deuxième composition de mathématiques. .Sciences I et If. 

— Paul Lévy : Sur la densité des nombres premiers inférieurs à une grandeur 
donnée. — A. Vacquant : Note sur l'hyperbole équilatère inverse d'une 
droite OS par rapport à un triangle ABC et sur le triangle pédal du point S. 

— .1. Jlhii.-Rénoy : Sur les centres de gravité. — Agrégation des Sciences 
mathématiques (Concours de 1 906). — C. Clapier: Solution de la question 
de Mathématiques élémentaires. — Certificats de calcul différentiel et inté- 
gral. — Certificats de mathématiques préparatoires à l'étude des Sciences 
physiques. 

Prace Matematyczano-Fizyczne, przez S. Dicksteina. T. XVII, 1906. 

T. Levi-Civita: Sur la recherche des solutions particulières des systèmes 
différentiels et sur les mouvements stationnaires. — K. Zorawski : Ueber 
Krùmmungseigenschaften der Scharen von Linienelementen. — W. Siek- 
pi.nski : Sur un problème du calcul des fonctions asymtotiques. — G. -A. 
Miller : Croups generaled by two operators which transform each other 
inlo Ihe same power. — A. Pkzebokski : Sur les intégrales non analytiques 
des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre. — G. Do- 
borzikski : Ueber die van der Waals'che Hypothèse der ùbereinslimmenden 
Zustànde. — G. Mittag-Leffler : Sur la représentation analytique d'une 
branche uniforme d'une fonction monogène. — A. Przeborski : Sur les inté- 
grales non analytiques des équations aux dérivées partielles du premier 
ordre. 

Proceedings of the London Mathematical Society. Série 2, vol. i, fasc. 1-'.. 
W. Burnsioe : On the Arithmetical Nature of the Coefficients in a Group 
ot Linear Substitutions of Finite Order (Second Paper). — G. -H. Hardy : 
The Continuum and the Second Number Class. — A.-C. Dixon : On « Well- 
ordered » Aggregales. — E.-W. Hobson : On the Arithmetic Continuum. - 
B. Russell : On some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and 
Order Types. — W. Birnside : On the Hessian Configuration and its con- 
nection wîth the Group of 360 Plane Collineations. — L.-J. Rogeks : On the 
Représentation of certain Asyinptotic Séries as Convergent Continued Frac- 
tions — H. Bateman : The Theory of Intégral Equations. — H. -F. Baker : 
On the Monogeneity of a Function defined by an Algebraic Equation. — .1. 
Brill : On the Expression of the so-called Biquaternions and Triqualer- 
nions wilh the aid of Quaternary Matrices. — H. -F. Baker : Remark on the 
Eisénstein-rSylvester Extension of Fermat's Theorem, — E.-W. Hobso.n : 
Ou absolutely Convergent Improper Double Intégrais. — A.-C. Dixon and 
1 . Stuaht : On the Réduction of the Ternary Quintic and Septimic to theïr 
Canonical Forons. — L.-J. Rogers : On Function Sum Theorems connected 



88 S ULL E T I N HIBI.H) G RAPffIQi/ E 

n 

wiih the Séries £_ . — Horace Lamb : On Sommerfeld's Diffraction Pro- 

„=\'t- 
blem ; and on Reflcction by a Parabolic Mirror. — T. -.1.-1 A. Bromwich : 
Investigations on Séries of Zonal Harmonies. — A.-C. Dixon : The Cano- 
nieal Komis of the Ternary Sextic and Quaternary Quartic. — E.-B. Eixiott : 
On perpétuants and Contra-Perpeluants. — G. -H. Hardy : Sonic Theorems 
connected with Abel's Theorem on the Continuity bf Power Séries. — P. -E - 
B. Jourdain : On the Question of the Existence of Transfinite Numbers. — 
Rev. E.-W. Barnrs : Ou certain F u net ions delined by Taylor s Séries <>l 
Finite Radius of Convergence. — A.-C. Dixon : On a Question in ihe Theory 
of Aggregates. — W.-F. Sbeppard : On the Accuracy of interpolation by 
Finite Différences. 

2. Livres nouveaux : 

Gabr. Ak.noix. — Arithmétique graphique Introduction à l'élude des fonc- 
tions arithmétiques. — I vol. gr. in-8°. xx-225 p.; 7 fr. 50; Gauthier- 
Villars, Paris. 

E. Blaschke. — Vorlesungen ùber mathematische Statistik. (Die Lehre 
von deu statistischen Masszahlen), mit 17 Fig. u. 5 ïafeln. — 1 vol. relié 
in-8°, 268 p.; 7 Mk. 40: B.-G. Teubner, Leipzig. 

Alb. Co.mi. — Elementi di Aritmetica razionale ad uso degli allievi délie 
Scuole Normali. Terza edizione. — 1 vol. in-16, 286 p. 2 L. : Zanichelli, 
Bologne. 

Durège i . Maurer. — Elemente der Théorie der Funktionen einer kom- 
plexen Verânderli'chen Grosse. — 1 vol. relié, in-8°, 397 p.; H) Mk.: 
B.-G. Teubner. Leipzig. 

J. He.mpel. — Schattenkonstruktionen, fur den Gebrauch an Baugewerk- 
schulen, Gewerbschulen sowie zuni Selbstunterricht. Mit 51 Textfiguren a. 
20 Tafeln praktischer Beispiele in Lichtdruck. ■ — 1 vol. cari, in-'i". 60 p.; 
5 Mk.: B.-G. Teubner. Leipzig. 

A lois Lanner. — Neuere Darstellungen der Grundprobleme der reinen 
Mathematik im Bereiche «1er Mittelschule.— 1 vol. in-8°, 192 p.; 3 Mk.. 
O. Salle. Berlin. 

Ernest Lebon. — Géométrie cotée et Géométrie descriptive, ouvrage 
conforme aux programmés du 27 juillet 1905 pour l'enseignement secon- 
daire. — 1 vol. in-8t>. 190 p.; 3 fr.; Delalain frères. Paris. 

Edm. Maillet. — Introduction à la Théorie des nombres transcendants et 

à des propriétés arithmétiques des fonctions. — 1 vol. gr. in-8". v-27.") p.; 

12 fr. ; Gauthier-Villars; Paris. 
IL Mandart — Cours de Trigonométrie rectiligne et sphérique à l'usage 

de l'enseignement moyen. — 1 vol. gr. in-8", 194 p.; '.'> fr.; Wesmall- 

Charlier, Namur. 
Fr. Reidt. — Anleitung zum mathematischen Unterricht. Zweite Auflage, 

revidierl u. mit Anmerkungen versehen von H. Schottkn. — I vol. in:8". 

296 pages; Grote, Berlin. 
Serret. — Lehrbuch der Differential- u. Integralrechnung. Nach Axel 

Harnacks Uebersetzung, Drille Aufl. . neu bearbeitet von Georg Scheffers, 

/ Differentialrechnung. 1 vol. relié. in-8°. 62'i p.; 13 Mk.: B.-G. Teubner. 

Leipzig. 

P. Zvhlke. — Ausfùhrung elementargeometrischer Konstruktionen bei 
ungùnstigen Lageverhàltnissen. — 1 broch. cart. in-8". 16 p.; I Mk.. 
B.-G. Teubner. 



LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE AU CONSERVATOIRE 
DES ARTS ET MÉTIERS DE PARIS 

Extrait 1 de la leçon d'ouverture de M. Carlo Boihlkt. 



La Géométrie, telle que l'ont forgée les mathématiciens 
pendant de longs siècles depuis Euclide, est une Géométrie 
synthétique d'une élégante logique, mais factice, comme toute 
science qui procède par synthèse. Les démonstrations y ont 
cette forme inattendue et quelque peu mystérieuse qui, sous 
prétexte de rigueur, cache la nature des choses. La genèse 
des idées a disparu pour faire place à un lien logique que 
rien ne semble imposer; et l'étudiant ne trouve dans cette 
science aucune méthode générale qui puisse lui servir de 
guide, soit pour classer les notions acquises, soit pour décou- 
vrir à son tour quelques propriétés nouvelles. 

Les beaux travaux de Poncelet et de Chasles sur la projec- 
tion, l'homologie, l'homographie, avaient jeté une lumière 
nouvelle sur la froide Géométrie d'Euclide. Us avaient doté 
la science d'un des premiers exemples de ces transforma- 
tions générales des figures qui, actuellement, servent de base 
à notre Géométrie supérieure moderne. 

Mais, à étudier de plus près ces transformations, on s'aper- 
çut bientôt qu'il y en avait d'autres beaucoup plus intuitives, 
plus élémentaires, dont nous nous servions d'ailleurs aveu- 
glément, et qui étaient à la base de la géométrie : ce sont les 
déplacements d'une figure invariable et, parmi eux, les plus 
simples, la translation et la rotation. 



• M. Bourlet a bien voulu nous autoriser à reproduire cet extrait de sa leçon d'ouverture 
comme professeur titulaire de la chaire de géométrie descriptive à laquelle il a été nommé 
en remplacement de M. Rouché. V. Rev. Scient, du 22 déc. 1906. 

L'Enseignement mathém., 9 e année : 1907. 7 



90 C. B OURLE T 

L'existence même de la Géométrie implique la notion de 
mouvement. S'il pouvait exister un être pensant, condamné 
à une immobilité absolue au milieu d'un Univers également 
rigide et immuable, un tel être ne pourrait, quelque puis- 
sante que soit sa force de pensée, imaginer une Géométrie 
quelconque, car il serait dans l'impossibilité absolue de com- 
parer deux longueurs. La Géométrie est la science de la com- 
paraison des figures et cette comparaison n'est possible qu'à 
condition que nous puissions déplacer les objets sur lesquels 
nous raisonnons pour en identifier les dimensions com- 
munes. Puisque donc la possibilité du déplacement est la 
condition essentielle d'existence de la Géométrie, il semble 
naturel, je dirais même nécessaire, de l'aire de ce déplacement 
l'instrument fondamental du raisonnement géométrique. 

En faisant de l'étude des déplacements élémentaires le 
fondement de la Géométrie moderne, en nous servant 
systématiquement de cet instrument primordial, nous cons- 
truirons une science non seulement plus réelle, plus tan- 
gible, mais encore plus vaste et plus en harmonie avec les 
grandes découvertes des mathématiciens du siècle dernier. 
Après avoir, à la suite d'Euclide, fait un long détour dans le 
domaine de l'abstraction, nous reviendrons au concret. Nos 
idées auront, suivant la loi générale de l'évolution humaine, 
décrit un cycle ; mais ce cycle n'est pas fermé, car nous le 
décrivons à la manière d'une vis qui se meut dans son écrou 
et avance d'un cran à chaque tour. Ainsi chaque cycle nous 
l'ait faire un pas en avant dans ce vaste inconnu que nous nous 
efforçons de pénétrer. 

De la Géométrie pure à la Géométrie descriptive, il n'y a 
qu'un pas, car la seconde est l'application directe de la pre- 
mière aux problèmes de la pratique. 

La Géométrie descriptive a traversé les mêmes phases 
que la Géométrie pure. Ayant pris naissance dans les tracés 
empiriques des anciens appareilleurs, elle fut- systématisée 
et érigée en science par les géomètres et particulièrement 
par Monge et son école. Elle passa ainsi des mains des pra- 
ticiens dans celles des théoriciens. Bientôt ceux-ci, oubliant 



LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE 91 

sa raison d'être, lui donnèrent une tournure de plus en plus 
dogmatique pour ne plus y voir qu'une traduction graphique 
de faits analytiques. 

Deux écoles se trouvèrent ainsi en présence : l'une théo- 
rique qui met la Géométrie descriptive en formules et l'ap- 
plique à des objets irréels ; l'autre pratique qui ne veut ja- 
mais perdre de vue le but technique du Dessin géométrique 
et le limite aux tracés utiles. Les théoriciens nous défendent 
de voir dans l'espace; ils établissent, par le raisonnement 
pur et abstrait, en se basant sur des définitions présentées 
a priori, des règles générales immuables, panacées univer- 
selles, que l'on doit appliquer aveuglément, sans les discuter, 
pour obtenir un résultat d'autant moins facile à contrôler 
qu'il est plus inattendu. Et, pour justifier leurs prétentions, 
ils font exécuter, parfois, à leurs élèves, des épures bizarres, 
dont les données sont choisies à dessein de façon à en rendre 
la vision impossible. Il est clair que si l'on opère sur des 
surfaces illimitées, placées par rapport aux plans de projec- 
tion de manière à n'avoir aucun contour apparent où le regard 
s'accroche, l'imagination visuelle a peine à concevoir les 
formes des objets qu'il s'agit de figurer. Mais ce sont là des 
problèmes dénués d'intérêt, jongleries de dessinateur, dont 
nous ne savons que faire. Dans la réalité, nous n'aurons ja- 
mais à considérer que des portions Limitées de ces surfaces 
illimitées; et nous serons, d'ailleurs, toujours libres de choi- 
sir nos plans de projection pour en rendre la vision facile. 

11 ne faut pas, en effet, oublier que le but unique de la 
Géométrie descriptive et de la Stéréotomie est de représen- 
ter des morceaux de pierre, des pièces de bois, des organes 
de machines, des détails et ensembles architecturaux d'une 
façon claire et précise qui en permette l'exécution. L'artisan, 
auquel on transmettra le dessin, doit pouvoir, d'un premier 
coup d'œil, connaître la forme et les détails de la pièce qu'il 
est chargé d'exécuter. Le rôle — je dirai plus — le devoir du 
dessinateur est donc de présenter ces objets d'une manière 
simple. Il doit, non pas s'imposer au hasard des plans de 
projection, ni même un mode de représentation, mais les 
choisir judicieusement pour atteindre le maximum d'effet 



92 C. B OURLET 

utile. Il doit faire voir; et pour cela, il faut d'abord qu'î7 
voie Lui-même. 

Loin de nous la pensée de nier les grands services que 
nous ont rendus les théoriciens. Ceux qui ont reçu leur ensei- 
gnement y ont trouvé des méthodes générales fécondes, ils y 
ont appris à dominer leur sujet et à en dégager ce qu'il con- 
tient d'essentiel. Mais, en toutes choses, l'excès est détes- 
table; et il est toujours fâcheux de faire dévier systématique- 
ment une science du but fondamental qui justifie son exis- 
tence. 

Nous nous rangerons donc. Messieurs, résolument, dans 
le parti des praticiens ; et nous nous efforcerons, suivant 
les traditions du Conservatoire des Arts-et-Métiers, à rester 
ensemble dans le domaine technique, le seul qui puisse 
trouver asile ici. Gela ne signifie pas que nous exclu- 
rons de nos études les idées et les méthodes générales, 
mais nous essaierons d'en faire un emploi raisonné et 
judicieux ; nous chercherons à voir, et, au besoin des mo- 
dèles placés sous nos yeux nous aideront à ne pas perdre de 
vue, jusqu'au jour où notre imagination seule pourra y suf- 
fire, les objets que nous serons appelés à représenter. Nous 
saurons, quand il le faudra, nous inspirer des circonstances, 
éviter l'usage machinal des règles compliquées, pour faire 
souvent appel au simple bon sens qui, après tout, n'est qu'une 
forme vulgaire de celte logique naturelle qui est le fondement 
de toute l'intelligence humaine. 

Jusqu'ici, Messieurs, nous avons passé en revue les appli- 
cations directes du dessin, celles qui en sont, en quelque 
sorte, la raison d'être primordiale. 

Le cours de cette année, fermant le cycle que nous recom- 
mencerons l'an prochain, sera réservé à l'étude de la Statique 
graphique. Je pense que la place que doit occuper cette 
science dans ce cours ne saurait être diminuée ; et je 
ne crois pas inutile d'en développer ici mes raisons, en 
définissant nettement les limites du cadre dans lequel nous 
aurons à nous mouvoir. 

Le Cours de Géométrie descriptive doit, à mon avis, coin- 



LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE 93 

prendre toutes les applications du Dessin géométrique. Mais 
que devons-nous entendre sous ce nom? Comprendrons-nous 
dans le Dessin géométrique toutes les applications graphi- 
ques de la science, quelles que soient leur portée ou leur na- 
ture ? Certes, non, car, s'il en était ainsi, nous devrions em- 
brasser toutes celles des connaissances humaines qui plus ou 
moins se servent de représentations graphiques. Or, notre 
esprit a tant de peine à demeurer dans l'abstrait, que, même 
dans celles des parties de la science pure qui sont les plus 
éloignées des applications immédiates, on se sert de schémas 
graphiques, bornes concrètes qui marquent une étape, et où 
la pensée lasse s'arrête pour se reposer. Si nous voulions 
étudier tous les cas où la représentation graphique rend des 
services, nous ne saurions plus nous arrêter. Même en res- 
tant sur le terrain géométrique, nous serions ainsi conduits 
à exposer ici toute la Géométrie analytique ; car, si celle-ci, 
vue sous un certain angle, est la traduction analytique de 
formes géométriques, elle est aussi, prise à rebours, la tra- 
duction graphique de formules et d'équations. 

Le Dessin géométrique a un rôle plus restreint : celui de 
résoudre graphiquement, au moyen de la règle, de l'équerre 
et du compas tous les problèmes pratiques qui comportent 
une pareille solution. 

Et le champ ainsi délimité est encore assez vaste pour que 
le cycle de nos trois années ne suffise pas à le parcourir en 
entier. 



SI II UN PARADOXE DE LA THEORIE 
DES ENSEMBLES ET SLR L'AXIOME ZERMELO 



J'ai signalé autrefois, dans la Revue, générale des sciences, 
un paradoxe relatif à la théorie des ensembles. L'explica- 
tion que j'en ai donné n'est pas entièrement exacte, comme 
l'a remarqué M. Peano. Je voudrais reprendre la question 
ici, et la faire suivre de quelques réflexions sur ce qu'on 
nomme Yaxiome Zermelo. 

Mon paradoxe concerne l'ensemble E des nombres suscep- 
tibles d'être définis par un nombre fini de mots. 

Cet ensemble est dénombrable. En effet, la définition d'un 
nombre par un nombre fini de mots est un arrangement 
avec repétition des 26 lettres de l'alphabet. Rangeons par 
ordre alphabétique, d'abord tous les arrangements un à un, 
puis à la suite tous ceux deux à deux, puis tous ceux trois à 
trois, etc. Puis, parmi ces arrangements conservons seule- 
ment ceux qui définissent des nombres, en biffant tous les 
autres. 

Dans la suite des arrangements restant et définissant des 
nombres, toute définition de nombre occupera un rang. Ces 
définitions, ou les nombres correspondants forment donc 
un ensemble dénombrable. 

Cet ensemble que je nomme E est défini par les mots qui 
précèdent. Mais, étant donné un ensemble dénombrable de 
nombres, on sait qu'on peut trouver un nombre n'apparte- 
nant pas à l'ensemble. 

Pour définir un pareil nombre, aux chiffres 

0123456789 
faisons correspondre respectivement 

1234567811 



SUR LA THÉORIE DES ENSEMBLES 95 

à chaque chiffre 36 correspond un autre chiffre <p (x) et y(x) 
est distinct de x. En outre <p (x) n'est jamais égal à 9. 

Formons alors un nombre N ayant zéro pour partie entière 
et pour //""' chiffre décimal le correspondant du //" ,e chiffre 
décimal du n me nombre de l'ensemble E. 

Le nombre N ainsi défini ne fait pas partie de E, car s'il 
était le //'"" nombre de E, son n me chiffre serait identique au 
n" ,e chiffre du //""' nombre de E, et cela n'est pas. 

Voilà donc un nombre N, défini par un nombre fini de 
mots et n'appartenant pas à E, ce qui est contradictoire avec 
la définition de E. 

Telle est la contradiction. 

Il m'avait paru assez facile d'expliquer ce paradoxe. Soit 
G la phrase définissant N. Cette phrase est un arrangement 
de mots. Gomme les éléments de E sont des arrangements 
de mots, en formant l'ensemble E, on rencontrera la phrase G. 
Supposons qu'on la rencontre au rang/?. A ce moment elle 
n'a pas de sens, car à ce moment les p — 1 premiers élé- 
ments de E sont seuls définis. La phrase G n'ayant pas de 
sens devra être biffée. 

Voici l'objection de M. Peano. Dans la phrase G on peut 
remplacer les mots : l'Ensemble E par leur définition. La 
phrase G acquiert alors un sens et elle définil un nombre. 

Le paradoxe subsiste donc. 

Mais alors on peut remarquer ceci : la phrase G formule 
une contradiction. Soit p son rang dans l'ensemble E ; si la 
phrase G définit un nombre N, soit x son n me chiffre. La 
phrase G exprime que le p me chiffre de N est égal à <p (x), elle 
exprime donc que : 

cp (x) = X . 

or par la définition de <j> (x) on a <p (x) ^ x. 

La phrase G exprime donc que le p me chiffre du/> me nombre 
de E est différent de lui-même, ce qui est absurde. On de- 
vra donc la biffer. 

Il reste encore une difficulté. M. Peano l'indique et la ré- 
sout comme il suit : Je cite textuellement en traduisant en 
français le latin sans flexion dont l'auteur fait usage). 



96 ./. RICHA H I) 

« Si la phrase qui définit N n'exprime pas un nombre, 
comme il est démontré ci-dessus, alors dans le calcul de N 
je passe cette phrase qui ne définit pas un nombre, et la dé- 
finition de N acquiert un sens. C'est-à-dire : si N n'existe pas, 
alors il existe ». 

« La contradiction est dans l'ambiguilé de la phrase N. Il 
est nécessaire d'ajouter dune manière explicite, « cette 
phrase non exclue » ou « cette phrase exclue». 

« Alors nous biffons la phrase ambiguë, et nous continuons 
au delà. Un peu plus loin nous trouvons les deux phrases : 

« N' — (Phrase N) cette phrase exclue, 

« N" = (Phrase N) cette phrase non exclue. 

«N" n'existe pas, par la raison indiquée. N' représente un 
nombre déterminé, appartenant à E, et évidemment différent 
de tout autre nombre de E. » 

Telle est l'explication de M. Peano. On pourrait encore y 
faire cette objection que l'ensemble E (qui contient N) est 
malgré tout dénombrante: Alors cet ensemble E étant formé, 
la phrase G aura un antre sens et définira un nombre qui 
n'est pas dans E. Cette fois le nombre n'est défini qu'après 
la formation totale de E et mon explication redevient bonne. 

Je n'insiste pas plus longtemps sur ce sujet, de peur de 
patauger dans l'infini, selon l'expression de M. Poincaré. 

Je vais parler de Y axiome Zermelo, ce qui n'est pas sans 
liaison avec ce qui précède, comme on pourrait le croire. 

On est conduit à l'axiome en question, en cherchant à dé- 
montrer la proposition suivante : 

Si A est un ensemble infini non dénombrable, on peut tou- 
jours trouver un ensemble dénombrable B contenu dans A. 

Un ensemble infini, c'est un ensemble tel que si ai a t ... a p 
sont p éléments distincts de l'ensemble, on peut toujours 
trouver un élément distinct des premiers, a p+1 appartenant 
à l'ensemble. 

D'après cela, dans l'ensemble A on peut toujours trouver 
une série d'éléments a t a 2 . . . a n . aussi longue qu'on voudra 
contenue dans l'ensemble. Si on se contentait de cela la pro- 
position énoncée serait démontrée. 



SUR LA THEO R l E I) E S E N S E M h I. E S 9 7 

Mais une suite infinie a x a% . . . a„ . . . n'est définie que si 
Ton peut calculer a„ . On dit cela dans les cours de mathé- 
matiques en commençant l'étude des séries. Pour démontrer 
complètement la proposition, il faudrait donc prouver Y exis- 
tence d'une règle permettant de calculer a„ en fonction de n. 

On peut il est vrai prendre arbitrairement a n , mais on a 
l'embarras du choix. Cet embarras se répète une infinité de 
fois. C'est là la difficulté. 

Dans les ensembles particuliers on a en général la possi- 
bilité d'une pareille règle. Soit par exemple l'ensemble des 
nombres transcendants. On pourra prélever dans cet en- 
semble un ensemble dénombrable 



. , etc. 



Mais la chose est-elle toujours possible ? 

Pour plus de clarté nous énoncerons l'axiome Zermelo 
ainsi. Etant donné un ensemble infini A, il est toujours pos- 
sible de faire correspondre à chaque entier // un objet a„ de 
l'ensemble, à deux entiers distincts correspondant deux élé- 
ments distincts. 

On devra également admettre l'énoncé suivant un peu 
différent. Dans une suite d'ensembles rangés, Ai A 2 ... A„ ... 
sans éléments communs, on peut prélever une suite d'élé- 
ments, r/i a 2 . . . a n . . . l'élément a„ étant dans A„ . 

Ces propositions constitueront pour nous l'axiome Zermelo. 
Elles ne paraissent pas démontrables dans le cas le plus gé- 
néral, elles le sont dans un cas très étendu, le seul qu'on 
ait à considérer pratiquement. Envisageons la l re proposition. 
Supposons ceci « Dans l'ensemble A il y a des éléments pou- 
vant être définis par un nombre fini de mots ». En faisant 
cette hypothèse supplémentaire nous ne restreignons pas 
beaucoup la question. On ne peut en effet se faire aucune 
idée d'un ensemble ne possédant pas cette propriété. 

Avec notre restriction l'axiome Zermelo se démontre im- 
médiatement. En elfet reprenons les arrangements de lettres 
dont j'ai parlé au début de ce travail. Parmi ces arrange- 
ments, rangés comme nous l'avons dit, biffons tous ceux 



98 /. RICHARD 

(jtii ne définissent pas des éléments de L'ensemble A. Ceux 
qui restent définiront des éléments de l'ensemble A rangés 
dans un certain ordre. Nous aurons donc bien une suite 
rangée <?i a 2 ... a„ . . . formée d'éléments de l'ensemble A. 

La seconde partie se démontre de même. On peut suppo- 
ser rangés des éléments des ensembles Ai A 2 . . . A„ , par la 
règle précédente, et dans chacun d'eux on prendra le pre- 
mier élément, a n sera alors le premier élément de A„ . 

Ces démonstrations laissent un peu à désirer. Il faut en ef- 
fet bien préciser dans quel cas un arrangement de lettres dé- 
finit un élément de l'ensemble A. Lorsqu'on arrive en effet à 
un arrangement de mots définissant un élément de l'en- 
semble A mais avec une incorrection de langage, par exemple 
en omettant les articles, doit-on le biffer ou non. Il faut faire 
à ce sujet des conventions précises, car pour bien démontrer 
l'axiome, il faut supprimer partout l'embarras du choix. 

Je considère ces questions comme curieuses, mais absolu- 
ment oiseuses en mathématiques. La vraie mathématique, 
celle qui nous fait connaître le monde extérieur, n'a que 
faire des ensembles non dénombrables, et des objets non 
susceptibles d'être définis par un nombre fini de mots. Ces 
objets n'existent qu'en un sens : leur existence n'implique 
pas contradiction. Et encore n'est-ce pas sur. 

En géométrie il est vrai on considère des segments de 
droite, des arcs de courbe, etc. Ce sont des ensembles de 
points non dénombrables. Mais tous les points obtenus par 
une construction géométrique quelconque ont une position 
définie par un nombre fini de mots. 

J. Richakd Dijon). 



LES TKOIS CONCEPTS GEOMETRIQUES 



En remontant le cours des définitions logiques, on parvient 
nécessairement à des concepts indéfinissables logiquement . 
On peut les appeler empiriques en raison de ce qu'ils ne sau- 
raient prendre naissance sans données fournies par l'expé- 
rience. Ce sont les concepts de cette sorte qu'il s'agit de spé- 
cifier pour la Géométrie. 

Le point Géométrique. — La notion de point matériel est 
le SLibstratunt des conceptions géométriques; un point maté- 
riel possède, à tout instant, une qualité locale, sa position ; 
les points géométriques sont, en définitive, les positions 
ponctuelles et, par suite, sont définis comme qualités des 
points matériels. La notion de point matériel joue donc, dans 
les conceptions géométriques, le même rôle latent que la no- 
tion d'ensemble dans la génération des concepts numériques, 
les nombres cardinaux (ou puissances) se définissant en effet 
comme qualités afférentes aux ensembles; l'idée de position, 
ou qualité locale, est subordonnée a celle de matière comme 
l'idée de nombre à celle d'ensemble. 

L'ensemble des points géométriques est Y espace; c'est la 
seule signification précise qui convienne à ce terme. On attri- 
bue à l'espace la puissance du continu et il n'a pas d'autres 
propriétés intrinsèques que celles qui appartiennent à tous 
les ensembles ayant cette puissance, de sorte que la Géomé- 
trie n'est qu'une application de la théorie des ensembles ayant 
la puissance du continu. 

Les propriétés de ces ensembles ne trouvent évidemment 
leur application dans la Géométrie qu'autant qu'elles corres- 
pondent à des concepts réellement géométriques. Mais leur 
existence n'en est pas moins indépendante de toute considé- 
ration géométrique. 



100 G. COMBE BI A C 

On sait que tout ensemble M ayant la puissance du continu 
est susceptible d'être appliqué, et d'une infinité de manières, 
sur le continu numérique, sur la variété numérique à deux 
dimensions, etc. Ces représentations numériques donnent 
lieu h des notions plus générales qu'elles-mêmes, qu'il est 
nécessaire de dégager des concepts numériques. C'est ainsi 
qu'en ce qui concerne les représentations numériques simples, 
un même ordre est défini par toutes celles qui sont suscep- 
tibles d'être déduites de l'une d'entre elles au moyen de rela- 
tions de la l'orme : 

x' = f(x), 

où /V.r désigne une fonction uniforme, continue et toujours 
croissante de x. On . sait d'ailleurs que l'idée d'ordre peut se 
définir en dehors de toute considération numérique. 

Pour élucider complètement la question géométrique, il est 
nécessaire de réaliser une généralisation de l'idée d'ordre, 
suivant l'indication donnée d'ailleurs par G. Cantor; il suffit, 
pour cela, de considérer, outre les ordres simples, des ordres 
complexes, ceux-ci étant déterminés par les représentations 
numériques à plusieurs dimensions comme les premiers par 
les représentations numériques simples et un même ordre 
complexe correspondant, par suite, à une infinité de repré- 
sentations numériques ou, ce qui revient au même, de sys- 
tèmes coordonnés. On obtient ainsi la notion d'ordres conti- 
nus à deux, trois, etc. dimensions. En définitive, ce qu'ont de 
commun toutes les représentations numériques afférentes à 
un même ordre continu, simple ou complexe, se réduit 
presque à une notion de continuité. Il est à signaler qu'un 
ordre complexe donne lieu à la notion de certains ensembles 
simplement ordonnés, qui suffisent à le caractériser et qui se- 
ront appelés ses caractéristiques. 

Enfin les ordres se divisent, comme l'on sait, en catégories 
ou types d'après leurs particularités logiques. Il importe de 
signaler que les caractères des divers types d'ordre sont dé- 
finissables logiquement (même sans l'intervention des con- 
cepts numériques), mais qu'un ordre déterminé ne saurait 
être défini sans données empiriques. 



/. /; .s' TROIS CONC E P T S G É () M É T R 1 Q V E S 101 

La continuité Géométrique. — Un point matériel possé- 
dant, à tout instant, une position, l'ensemble des positions 
qu'il occupe pendant un intervalle de temps se trouve or- 
donné suivant le même type d'ordre que cet intervalle de 
temps lui-même considéré comme ensemble d'instants, c'est- 
à-dire dans un ordre continu simple . Mais la réciproque 
n'est pas vraie, c'est-à-dire que tout ensemble de points or- 
donné dans un ordre simple continu ne constitue pas une 
trajectoire possible pour les points matériels. Les seuls, 
parmi ces ensembles, qui jouissent de cette propriété sont 
les lignes, et l'on se trouve ainsi en présence d'un nouveau 
concept empirique. 

Ce concept peut recevoir la désignation générale de conti- 
nuité géométrique, en appelant géométriquement continu tout 
ensemble de points tels que deux quelconques d'entre eux 
soient susceptibles d'être réunis par une ligne formée de- 
points appartenant tous à l'ensemble. On reconnaît facile- 
ment que le concept empirique de continuité géométrique 
définit, pour l'espace, un ordre complexe de la nature de 
ceux dont la possibilité a été signalée pour les ensembles 
ayant la puissance du continu ; les lignes sont les caractéris- 
tiques de cet ordre. 

L'axiome de YAnalysis sitûs, c'est-à-dire de la partie de la 
Géométrie qui a pour objet l'étude de la continuité géomé- 
trique, doit simplement classer Y ordre géométrique, c'est-à- 
dire indiquer le tvpe auquel il appartient. Ce type n'est 
autre, comme l'on sait, que celui qui est caractérisé par la 
variété numérique à trois dimensions, de sorte que, ration- 
nellement, YAnalysis sitûs n'est qu'une application de la théo- 
rie de ce type d'ordre. 

Les idées de localisation et d'ordre géométrique fournis- 
sent un nouvel exemple de la distinction à observer entre la 
notion d'un ensemble déterminé et celle d'un ordre qui lui 
est afférent. L'analogie est complète avec la dissociation ac- 
tuellement réalisée des notions de nombre cardinal et de 
nombre ordinal. Dans les deux cas, de nouvelles données 
empiriques interviennent pour définir l'ordre ; pour l'ordre 
géométrique, elles résident dans la propriété de la matière 



102 G. COMBEBIA C 

de ne se déplacer qu'en observant certaines conditions et, 
quant à la grandeur relative des nombres cardinaux, elle se 
définit en faisant appel à la notion de « partie d'un en- 
semble», qui n'est nullement impliquée dans celle de nombre 
cardinal. 

L'ordre géométrique a donc une existence objective, et il 
en est, par suite, de même de ses propriétés, notamment du 
nombre de ses dimensions. L'axiome de YAnalysis sitûs, ex- 
prime, en définitive, des qualités d'un concept- empirique, 
savoir de l'ordre complexe dont les lignes sont les caracté- 
ristiques. 

Comme la théorie de l'ordre, la théorie de la mesure doit, 
rationnellement, être établie en toute généralité et en dehors 
de toute considération de réalisation physique. 

La notion de grandeur continue le temps ou la tempéra- 
ture, par exemple se réduit évidemment à celle d'ensemble 
ordonné dans un ordre continu. Elle est donc susceptible de 
la même généralisation que celle-ci, et rien n'empêche, dans 
cet ordre d'idées, de parler de grandeurs continues à deux, 
trois, elc. dimensions. On peut étendre à ce domaine l'idée 
de mesure, et il est facile de reconnaître que, dans tous les cas, 
un système de mesure se caractérise par une fonction numé- 
rique de deux éléments définie à un facteur numérique près 
à déterminer par le choix d'une unité. Dans tous les cas éga- 
lement, les fonctions caractéristiques des systèmes de mesure 
doivent satisfaire à certaines conditions, qui ne peuvent trou- 
ver place dans cette esquisse. 

Les systèmes de mesure, ou métriques, se répartissent, 
d'après leurs propriétés (correspondant à celles de leurs 
fonctions caractéristiques , en catégories, dont l'existence est 
évidemment toute logique. Mais, conformément à ce qui a 
lieu pour les ordres, une métrique déterminée ou sa fonction 
caractéristique ne peut être définie sans l'intervention de 
nouveaux éléments empiriques. 

La mesure Géométrique. — On sait que le coneept fonda- 
mental de la Géométrie métrique réside dans la notion de 
figure invariable, à laquelle on peut substituer celle de dé- 
placement sans déformation ou encore celle de distance, deux 



LES TROIS CONCEPTS GEOMETRIQUES 103 

quelconques de ces trois notions se définissant très simple- 
ment en fonction de la troisième. Aces notions se rattachent, 
par des liens purement logiques, celles d'égalité géométrique, 
de ligne droite, de longueur, d'angle, d'aire, etc., toutes no- 
tions servant à édifier la Géométrie traditionnelle ou eucli- 
dienne. Celle-ci constitue, en définitive, la théorie d'un sys- 
tème de mesure, d'une métrique, dont la fonction caractéris- 
tique est la distance. 

A ne considérer que l'enchaînement logique de ses propo- 
sitions, cette doctrine n'est évidemment pas spéciale au sys- 
tème de mesure ainsi défini empiriquement et doit s'appliquer 
à toutes les métriques appartenant à une certaine catégorie, 
caractérisée par des propriétés purement logiques; cette ca- 
tégorie est constituée par les métriques dites paraboliques 
et archimédiennes. La doctrine euclidienne, ainsi interprétée, 
est applicable a la mesure géométrique en vertu d'un classe- 
ment de celle-ci. On voit combien il est radicalement absurde 
d'appliquer le qualificatif « euclidien » au substantif « es- 
pace » ; ce qui est euclidien, c'est la mesure géométrique. 

La notion de la mesure géométrique a manifestement son 
origine dans l'observation imparfaite des corps sensiblement 
indéformables; mais une grande part de son individualité 
est due au rôle important qu'elle joue dans le domaine 
concret. 

Elle a d'abord, comme tout système de mesure, un rôle de 
représentation. La qualité locale de la matière a, comme on 
l'a vu, une existence propre, indépendamment des autres 
concepts géométriques. Sa représentation numérique peut 
être conçue de bien des manières différentes, même en se 
bornant aux systèmes de coordonnées qui observent la con- 
tinuité géométrique. Mais la définition d'un tel système de 
topographie (au sens étymologique) nécessite toujours l'in- 
tervention de données empiriques ; elle comporte en effet un 
système de repères et des instruments d'opération, qu'il faut 
bien trouver dans la nature. C'est pour cela qu'on est né- 
cessairement conduit à recourir à l'emploi des notions mé- 
triques, notamment de la distance et de l'angle. 

Mais le rôle principal des notions métriques est celui 



lUi G. CO MB E RI A C 

qu'elles jouent dans les lois physiques. On peut dire en effet,. 
d'une manière générale, que la qualité Locale de la matière 
n'est reliée à ses autres qualités physiques que par l'intermé- 
diaire des notions métriques. Il suffit de citer les lois sur 
l'élasticité, la chaleur, l'électro-magnétisme, la gravité, etc. 
On pourrait objecter, il est vrai, que les notions physiques 
reçoivent peut-être, dans leur définition même, l'empreinte 
métrique, de sorte que la Physique ne serait que l'élude de 
certaines propriétés des corps par rapport aux notions mé- 
triques. Mais si cette observation pourrait être admissible en 
ce qui concerne les systèmes de mesure des grandeurs phy- 
siques; elle ne parait pas applicable à certaines relations 
d'équivalence, telles que l'équilibre de température et l'éga- 
lité de pression entre deux corps. 

Il parait donc impossible d'éliminer les notions métriques 
(et, à plus forte raison, l'idée de la continuité géométrique 
qu'elles impliquent) des lois physiques où elles figurent, et 
elles reçoivent de ce fait une objectivité nouvelle. 

La xatlre et le rôle de la Géométrie. — La question de 
la nature logique de la Géométrie ne pouvait être pleinement 
élucidée avant les travaux de G. Cantor sur les ensembles et 
de S. Lie sur les groupes continus de transformation, parce 
que ce sont ces travaux qui ont permis de spécifier les caté- 
gories logiques auxquelles appartiennent les concepts géo- 
métriques. 

Il importe de distinguer : dune part, des notions logique- 
ment définies ensembles ayant la puissance du continu, or- 
dres simples ou complexes, métriques) : d'autre part, des 
.concepts d'origine empirique (espace, c'est-à-dire ensemble 
des points géométriques, ordre géométrique, mesure géomé- 
trique . Les catégories logiques doivent faire l'objet de doc- 
trines fondées sur leurs définitions et édifiées, par consé- 
quent, avec toute la généralité qu'elles comportent. Quant 
aux concepts empiriques, ils sont à classer, au moyen 
d'axiomes, dans les catégories logiques, et ne doivent pas, 
rationnellement, donner lieu à des doctrines spéciales ; mais, 
même considérés comme idéaux, ils sont parfaitement déter- 
minés et il en est, par suite, de même de leurs propriétés ini- 



L E S T R O /S (ON CEP T S G E O M E T li IQL E S 1 05 

tiales, telles quelles sont révélées par l'observation mentale, 
c'est-à-dire par Y intuition. 

C'est dans ses concepts empiriques que réside le véritable 
intérêt de la Géométrie et son unique raison d'être. Son in- 
dividualité est donc indépendante de son appareil logique et, 
par suite, la terminologie qui lui est propre ne saurait être 
reportée, sans abus de langage et sans équivoque, dans les 
théories générales dont la Géométrie n'est qu'une applica- 
tion. Ces théories sont d'ailleurs elles-mème un objet parfai- 
tement défini, bien que non géométrique, et elles n'ont rien à 
gagner à affecter la forme de ces jeux logiques où se com- 
binent artificiellement des mots qui, selon la formule chère 
à certains néo-logiciens, ne doivent avoir aucune sigmifica- 
tion, comme si l'idéal mathématique consistait dans l'auto* 
matisme. 

En ce qui concerne le rôle scientifique de la Géométrie, on 
a répété à satiété, sans que la moindre démonstration ait 
d'ailleurs jamais été tentée, que la Géométrie constitue, vis- 
à-vis de la réalité, un système de coordination, de représen- 
tation ou d'analyse et on en a finalement situé l'origine et la 
nature dans la physiologie humaine; c'est ainsi qu'on en est 
venu à affirmer sérieusement que les trois dimensions de 
l'espace sont dues à l'existence, chez les vertébrés, de trois 
directions « cardinales ». On devrait alors rechercher dans 
la seule conformation de l'oreille les raisons de la diversité 
des sons et voir, dans les théories de l'acoustique, de la cha- 
leur, de l'optique et <le l'élecfro-magnétisme, des systèmes 
artificiels ne dépendant que de la nature des sens humains. 
L'unité de la Physique se réaliserait ainsi dans la Physiologie. 

Il ne manque à ces conceptions, ou plutôt à ces formules, 
que d'avoir une signification ; on serait curieux, par exemple, 
de voir définir les choses à représenter ou à coordonner et 
celles qui doivent servir à représenter les premières. Con- 
traires au bon sens, susceptibles de faire illusion, comme 
toutes les théories philosophiques, en raison du soin avec le- 
quel elles évitent toute application aux faits concrets, ces di- 
vagations sans fondement procèdent de la théorie idéaliste 
ou subjeetiviste de la Connaissance, qui devrait pourtant bien. 

L'Ensc-ignrment mathém., !l e année; 1907. 8 



106 G. COMBEB1AC 

près d'un demi-siècle après les études réalistes de Helmholt/. 
et de Taine, avoir perdu tout crédit dans le monde scienti- 
fique. N'est-il pas manifeste, par exemple, que l'idée de la 
troisième dimension s'imposerait rapidement, bien qu'incons- 
ciemment, au spectateur dune scène cinématographique, 
comme le serait un homme uniquement pourvu du sens de 
la vue ? C'est que les objets et les événements ne sont pas, 
comme le disent les subjectivistes, des « complexes de sen- 
sations » ; ce sont des « complexes de prévisions » (savoir, 
c'est prévoir). Tout objet de Connaissance est conçu comme 
source de faits, comme cause; « Réalité » se résoud, en der- 
nière analyse, en «Causalité». 

Les propriétés géométriques de la matière car il doit bien 
être permis, même aux. mathématiciens, de se souvenir, de 
temps à autre, que les figures sont des positions possibles 
pour la matière n'ont ni plus ni moins de réalité que les qua- 
lités dites physiques. La Géométrie est donc, en définitive, 
une branche de la Physique; seulement, une frondaison, peut 
être un peu abusivement luxuriante, en a masqué le point 
d'insertion, comme cela pourrait se produire pour la Méca- 
nique, la Thermodynamique, etc. Les Mathématiques, pas 
plus que l'Art, n'ont rien à gagner à renier leur mère : la 
Nature. 

G. Combebiac Bourses). 



GENERATION DES COURBES ET DES SURFACES 
SUPÉRIEURES 

Notes de géométrie synthétique l .) 



! 



Courbes du (n -f P) e degré. 

Nous appellerons groupe du 
(n -f- p ' degré deux faisceaux 
de rayons tels cpie tout rayon 
du premier correspond à p 
rayons du deuxième et tels en- 
core que chaque rayon de celui- 
ci correspond à n du premier. 

Théorème. Le lieu des points 
de coupe des rayons homologues 
de deux faisceaux formant un 
groupe du n + pf degré est une 
courbe du (n -\- p) e degré. Le 
sommet du premier faisceau est 
un point multiple d'ordre n et 
celui de l'autre un point multiple 
d'ordre p. 



Courbes de la (n + p) e classe. 
Un groupe de la n -J- p)° classe 
est formé de deux ponctuelles 
dans lesquelles chaque point de 
l'une correspond à p de l'autre 
et chaque point de celle-ci à n 
de la première. 

Théorème. L'enveloppe des 
droites joignant les points homo- 
logues de deux ponctuelles ap- 
partenant à un groupe de la 
(n -|- p) e classe est une courbe 
de la (n -f- p) L ' classe. La pre- 
mière base est une tangente mul- 
tiple d'ordre n et l'autre, une 
d'ordre p. 



En désignant par a. et /3 les coefficients angulaires de deux 
rayons homologues ou les abscisses de deux points homo- 
logues, ces valeurs « et (S seront, en se basant sur les défini- 
tions précédentes, liées par l'équation : 

j?'FW(«)+^r- 1 FW(.«)+ ... -r-j3FJ, B 'i«i + F^a) = (1) 

dans laquelle on a : 

F<">(a) = A a" + B*"" 1 + . . . + La + P . 



1 Voir L. Crelier: C. H.. 11 juin et 2 juillet 1906; et l'« Enseign. mathématique», 1"> no- 
vembre 19(M>. 



108 



/.. CREHEli 



En prenant S», sommet du 
premier faisceau com me origine 
et S^,, sommet de l'autre sur 
l'axe des x avec une abscisse 
égale à k nous aurons pour les 
équations de deux rayons homo- 
logues : 

y = «x 

y = p [x — k) . 

On en déduit : 
.1 



« P = 



—k 



En introduisant ces valeurs 
dans l'équation générale 1 et 
en posant : 

Av " + Br"- 1 .*+... + Lv^"- 1 
+ P".r = F'" l {xy] 

nous aurons : 

yPF^(xy) +yP-\x — k)FW(xy) 

+ ... +y[x — kf- A F^{xy) + 

[x _ kfF {n) [xy) = 0. 

dette équation représente le 
lieu des points cherché. Elle est 
du n -\- p) e degré et le terme 
inférieur du degré n. D'autre 
part .r = k entraine 



ou aussi 



Nous prendrons les ponctu- 
elles comme axes et nous utili- 
serons les coordonnées liné- 
aires. Toute droite joignant 
deux points homologues sera 
définie par les équations : 



1 

- et 



On a donc 



I et = 1 



En introduisant ces valeurs 
dans l'équation générale on ob- 
tient évidemment l'équation de 
l'enveloppe cherchée; soit : 

3*të) + ■•■ + ;*£) + 



F ") 1 
p + i 



. 



On en déduit de suite 



/F 



1 , ■ n 



/+',(f*) + v- 1 F;"( P t)+ ... 

+ F/' (pt)=0. 

L'équation est bien de la 
(p -f- n) e classe. 

La valeur v = zc entraine 



- =0: 



. 



P+ ' 



en conséquence, la première 
base est une tangente multiple 
d'ordre n. D'un autre coté //= x 
nous donne : 



Dans ces conditions la courbe 
est du // -f- p ' degré. L'origine 
Su est un point multiple d'ordre 
n et le point ik, oi est aussi un 
point multiple d'ordre p. 



1 1 

— 4- P 4- 



I 



+ P." + 

" V 



( ï / Y E RAT 10 N 1) E S < ' UR B E S ET DE S S URFA C E S 1 09 

ou 



Y 



'(-)=0. 



Corollaire. Quand les fais- 
ceaux ont deux rayons homolo- 
gues confondus, la courbe se ra- 
mené à une courbe du (n -j- 
p — I ' degré. Le sommet du 
premier faisceau est un point 
multiple d'ordre n — 1 et V au- 
tre un d'ordre p — Y . La droite 
formée par les rayons homolo- 
gues s'est détachée de la courbe. 

La ligne des sommets est con- 
fondue avec les rayons homo- 
logues dont il est question. En 
la prenant comme axe des r. la 
solution a = entraînera j3 = . 

(lette condition donne 

P ,+ .= °- 

L'équation de la courbe de- 
vient : 

fFf^xy] +yP-\ x — k)FJ; i) {xy) + 
... + (x — k)PyFl"-V(xy) = 0. 

A cause du dernier terme on 
trouve 

y = U el 

j-r-*Fl n Hxyl+ ■■■ + 
" -^r D FJr+ 1 1, (*j) = 0. 



La deuxième base est une 
tangente multiple d'ordre p. 

Corollaire. Quand les deux 
divisions ont un point homologue 
commun la courbe est de la (n -\- 
p — l) e classe. La première base 
est tangente multiple d'ordre 
(n — I et l'autre d'ordre p — 1). 



Le point commun est pris 
comme origine et la solution 
« = donne $ = . 

Ceci entraîne par conséquent : 

P , . = . 

p+ i 

L'équation du lieu devient 



I F («-i)/' 







La classe de la courbe est 
[n + p — 1 . 



v = se donne — F' 



P+ i 






On a donc n — 1 solutions 
1 



Celle-ci montre suffisamment 

que le degré de la courbe est 

/ , i ,\ • i • . en — ditierentes de ti == ce ; la 

(n -\- p — li, puis que les points ;* ^ 

•o,o et k,o sont des points première base est tangente 



110 



L. CREI.II.lt 



multiples d'ordre, le premier multiple d'ordre (n — 1 : fj = x 

[n — J et l'autre p — 1). donne : 

1 l 

P — 4 I' i 4- • • • 4 



P_- = 

P V 



1 /n _i 



P.--Î+ . + p /) _ 1 ) = o 



Il y a [p — 1 solutions en — 

différentes de v = x ; la deu- 
xième base est tangente multiple 
d'ordre {p — 1). Comme fi = x 
donne également v= x , toute 
droite passant par l'origine se- 
rait une tangente et l'origine 
devient un point isolé détaché de 
ht courbe. 



Construction des courbes. 



En coupant le faisceau S n par 
un rayon issu de S^ puis S p par 
un des rayons homologues du 
précédent issu de S ;î , on obtient 
deux ponctuelles formant un 
groupe du [n -j- pf ordre régi 
par le cas spécial. 

En d'autres termes, la courbe 
du [n -\- pf degré correspon- 
dant à deux faisceaux du [n-\- p) e 
degré également se déduira 
d'une courbe de la « -f- p — 1)" 
classe dépendant de deux ponc- 
tuelles ayant un point homo- 
logue commun. 

Le choix des ponctuelles 
étant arbitraire, il y a une infi- 
nité de courbes analogues de 
la n -\- p — I ' classe qui peu- 
vent servir pour la construction 
de la courbe principale. 



Etant donné un groupe de 
la n 4" pY classe formé par 
deux ponctuelles, nous pouvons 
former deux faisceaux ayant un 
rayon homologue commun et 
formant un groupe du [n 4- p) e 
degré régi par le cas spécial. Il 
suffît pour cela de joindre un 
point d'une ponctuelle avec 
tous ceux de l'autre puis un des 
points homologues de celle-ci 
avec tous ceux de la première. 
La courbe primitivede la (n-\- p) e 
classedépendainsi d'une courbe 
du [n -\~ p — l) e degré. Le choix 
des sommets des faisceaux se- 
condaires étant arbitraire, la 
courbe auxiliaire peut avoir 
une infinité de positions. 

Quand on veut déterminer de 
nouvelles tangentes de la courbe 



G É N E R . I 77 () N D E s C O UR B E S E T DES S URFA CE S 111 



principale, on mène un rayon 
d'un des faisceaux secondaires, 
puis on joint ses points de coupe 
avec la courbe auxiliaire, avec 
le sommet du deuxième faisceau. 
Les divers rayons ainsi obtenus 
donnent des points homologues 
sur les deux bases, et les lignes 
de jonction de ces points homo- 
logues sont des tangentes nou- 
velles de la courbe primitive. 



Pour obtenir les points de la 
courbe du n -\-p e degré engen- 
drée par les deux faisceaux pri- 
mitifs on peut remarquer que les 
tangentes à la courbe auxiliaire 
menées par un point quelconque 
d'une des ponctuelles considé- 
rées, donnent les points homo- 
logues sur l'autre. En outre, si 
l'on joint les points homologues 
des ponctuelles avec les som- 
mets respectifs on obtient des 
rayons homologues des deux 
faisceaux. Les points de coupe 
des rayons homologues sont 
les points cherchés. 

Dans un mémoire précédent UEns. math. 1. c.) nous 
avons montré que pour les courbes du ( n-\- i) e degré ou de 
la //_(-l e classe, les courbes auxiliaires se l'amenaient suc- 
cessivement par degré et par classe jusqu'à des coniques. 

Remarque : Four construire deux faisceaux ou deux divi- 
sions formant un groupe du n -f- p) e ordre il faut 

(n -f- li i p-\- 1) — 1 ■=. np -\- p -f- » coeÇBcîents 

dans l'équation fondamentale L, autrement dit, une courbe 
du // -f- jtf degré ou de la (/? -(- p) e classe dépendant d'un 
tel groupe peut être construite dès qu'on connaît np -\- p -f- n 
paires d'éléments homologues. 



C 'ourbes du 4 e degré avec deux 
points doubles. 

Ces courbes proviennent de 
deux faisceaux tels qu'à chaque 
rayon du premier en correspon- 
dent deux du deuxième et in- 
versement. 11 faut huit paires 
de rayons homologues pour les 
déterminer. 

La courbe auxiliaire qui per- 
met de les construire est une 
courbe de la troisième classe, 
courbe générale déterminée par 
un ensemble de neuf tangentes. 



Courbes de la 4 e classe avec 
deux tangentes doubles. 

Ces courbes proviennent de 
deux ponctuelles telles qu'à 
chaque point de l'une corres- 
pondent deux points de l'autre 
et inversement. 

Elles demandent huit paires 
de points homologues pour 
être construites. 

La courbe auxiliaire à laquelle 
on peut les rattacher est une 
courbe générale du troisième 
degré donnée par neuf points. 



112 !.. (BEI. 11. S 

A ouveUe construction descour- Nouvelle construction des 

bes du 3* degré par neuf points. courbes de 3 e classe pur neuf 

La courbe est engendrée par tangentes. Ou peut considérer 

un groupe du 2 + 2 ' degré cette courbe comme provenant 

avec un rayon homologue com- d'un groupe de la 2 -f- 2 ' 'classe 

mun aux deux faisceaux. avec un point homologue com- 

A.u point de vue constructif, mun aux deux bases. Construc- 

nous admettrons la courbe tivement nous formerons avec 

comme provenant d'un faisceau les (déments connus, un faisceau 

de coniques, homographique de courbes de deuxième classe 

avec un faisceau de rayons. etune division de points simples 

Le faisceau de coniques est qui lui est homographique. 

déterminé par quatre points: Nous prendrons quatre tan- 

chacune d'elles passera par un gentes pour déterminer le fais- 

autre des points connus. Consi- ceau de coniques, chacune d'el- 

dérons une nouvelle conique les s'appuiera sur une autre des 

déterminée par les cinq der- tangentes. Nous considérerons 

niers points. In point quelcon- en outre une nouvelle conique 

que de celle-ci donne une invo- déterminée par les cinq der- 

lution de rayons avec le faisceau nières tangentes. Une quelcon- 

de rayons fondamental. que de ces tangentes coupera 

D'autre part les tangentes des les paires de tangentes à cette 

coniques du premier faisceau dernière conique issues des 

prises par l'un quelconque des points de la division fondamen- 

quatre points constituent un taie, suivant une involution. 

faisceau de rayons homogra- D'un autre côté les points de tan- 

phique avec l'involution. gence des coniques du premier 

Comme on possède cinq paires faisceau avec une des tangentes 

d'éléments homologues de ces fondamentales formeront une 

deux derniers faisceaux, on division de points homographi- 

peut construire la cubique a que avec l'involution précédente, 

point double correspondante Comme on a cinq paires de 

et en déduire le faisceau simple points homologues de ce groupe 

puis la cubique cherchée. nouveau, on peut d'après ce 

qui précède construire la courbe 
de troisième classe à tangente 
double correspondante et en 
déduire la base de la division 
simple puis la courbe générale 
cherchée. 

En appliquant le raisonnement général à ces nouvelles 
courbes, considérées comme courbes auxiliaires dans des 
groupes du (2 -f- 2) e ordre, on obtiendra sans difficulté les 
courbes relatives a ces groupes. 



GÉNÉJRATION DES COURUES ET DES SURFACES 



113 



II 



Cônes du (n + p) e degré. 

Deux faisceaux de plans dont 
les arêtes ont un point commun 
peuvent former un groupe du 
(n -|- p) 6 degré dans les mêmes 
conditions que deux faisceaux 
de droites. Un plan du premier 
correspond à /; du deuxième et 
un de celui-ci à n du premier. 

Théorème. Le lieu géométri- 
que des lignes d'intersection des 
plans homologues de deux fais- 
ceaux de plans d'un groupe du 
(n 4" P) e degré est un cône du 
il -J- |) ' degré. L'are le du pre- 
mier /'(//sceau est une génératrice 
multiple d'ordre n et celle de 
Vautre une d'ordre p. 

Dans un système de trois 
axes nous considérerons l'axe 
des x comme arête du premier 
faisceau et celui des y comme 
arête du second. 

Les équations des plans du 
premier faisceau seronl de la 
forme 



Celles des plans de l'autre 



Les valeurs a et /? sont liées 
par l'équation (1) du chapitre 
précédent, de telle manière que 
toute valeur de fi en donne n 
de a et une de a en donne p 
de fi. 

On a : 

« = 4 "' 13 = 4. • 



Cônes de la (n + p) e classe. 

Deux faisceaux de rayons si- 
tues chacun dans un plan et 
ayant les sommets communs for- 
ment un groupe de la /t -\- pY 
classe quand, à tout rayon du 
premier en correspondent/? du 
deuxième et à tout rayon du 
deuxième // du premier. 

Théorème. L'enveloppe des 
plans passant par deux rayons 
homologues de deux faisceaux 
formant un groupe de la n -f-p) e 
classe est un cône de la n -\- p) e 
classe. Le plan du premier fais- 
ceau est un plan tangent mul- 
tiple d'ordre n et Vautre un 
plan tangent multiple d'ordre p 

Nous prendrons le plan du 
premier faisceau comme plan 
«les Xo/j et celui du deuxième 
comme plan des Aor . Le som- 
met commun sera situé en un 

point lixe A = — . 

Tout plan passant par deux 
rayons homologues déterminera 
des coordonnées fj et v telles 
que 



— = a el - 
f* v 



P 



A est connu, puis les valeurs a 
et fi sont liées par la relation 
fondamentale (1). 

En introduisant ces valeurs 
on obtient : 



avè>. 



+ 



p+ 



Il' 



/.. C RE LIER 



On introduit ces valeurs et <ui 
on trouve l'équation de la sur- 
face, Lieu géométrique. 

On obtient : 



-\P 



p(») 



+ 



+ 



En divisant par :," + p on 
trouve : 



p(« + /' 



(ft) = 



Donc la surface est un cône 
du degré ii -j- p). 

Il reste facile de voir analyti- 
quement que les axes des x et 
des y sont des génératrices mul- 
tiples d'ordre n et p. 

Corollaire. Quand les fais- 
ceaux de plans ont deux plans 
homologues communs, le cône se 
ramène à un cône du , u + p — 1 r 
degré. La première arête est 
une génératrice multiple d'ordre 
(n — 1) et l'autre d'ordre (p — 1). 

Le plan homologue commun 
sera pris comme plan des xoy, 
et la solution a = devra don- 
ner /? = 0. Comme pour les 
courbes par degré du chapitre 
précédent on aura 






On en tire également : 

F '" + "(f •*) = •■ 

Nous avons donc un cône de 
la {n -(- p)" classe et, en faisant 

, 1 

a — j = constante, nous trou- 
vons la section par le troisième 
plan. C'est une courbe de la 
n -\- p ' classe d'équation 

11 en résulte a priori que le 
plan lop est tangent multiple 
d'ordre n et le plan Âov lest 
également d'ordre p. 



Corollaire. Quand les deux 
faisceau. c de rayons ont deux 
rayons homologues commun*, la 
surface enveloppe, se ramène 
<i un cône de la n -f- p — 1)° 
classe. Le plan du premier fais- 
ceau est tangent multiple d'ordre 
n — 1) et l'autre d'ordre (p — l). 

Le rayon homologue commun 
sera l'axe oÀ et la solution 
/; — y. donnera v = y. ce qui 
correspond à 

a = el p = . 



P+ i 



(i . 



GENERATION DES COURBES ET DES SURFACES 115 

L'équation du cône donne: De même que pour les déve- 

loppements analogues on a: 
zPFl") {y z)+ ... +**(A, + 1 «» + 

B, + 1 «— V + ... + P, + i = 0. 

L , t z) = . 

Par analogie nous pouvons 
écrire pour l'équation de la 
On peut sortir z et l'on a : surface : 



ii 



... + x^- 1 ^»)^ + 

X P - ' pW| y Z ) + X P F <» -U = ' Vf*/ 

on obtient aussi i* V + ' Vit/ 

F " ~ (~ ■ ~r ) — ° • ou en multipliant par p" et en 

divisant par A 



.Nous avons un cône du n -f- 



/> — l) e degré. ^ ^ K (';+ 1 ni V' + v'-'FWfXfO + 

Le plan s = s est détaché 
de la surface et les arêtes ou les ... -+- V ~ 2 vF^(Xfi) + 

axes o.r et o^/ sont des généra- 
trices multiples d'ordre [n — 1) ^ - ^'^(Xf*) = 
et [p — 1 . 

Ceci se démontre en menant ou 
des plans sécants du cône par 
ces axes. F" +p ~ '(-£ , 1\ = . 



Nous avons également un 
cône de classe (n -j- p — 1). 

Comme tous les plans passant 
par l'axe oX correspondent à 
/n = oo et v = oo , ils sont tan- 
gents et dans ce cas la droite 
oX\ est une génératrice détachée 
du cône. 

En outre les plans lo/u et Xov 
sont tangents multiples d'ordre 
ii — ! et [p — I . 



116 



L. Cli EL LE H 



Construction des cônes. 



1. Etant donné deux faisceaux 
de plans formant un groupe du 
[n -j- p) e degré, nous pouvons 
considérer deux plans homo- 
logues coupant les faisceaux. 

Ces plans correspondent à 
deux faisceaux de rayons avec 
un rayon homologue commun; 
autrement dit le cône du (n + p) e 
degré dépend d'un cône de la 
(n -f- p — l e classe régi par le 
corollaire. 

2. En faisant/? = 1, on a des 
groupes du [n -j- 1 ' degré, et les 
cônes correspondants dépen- 
dent de cônes auxiliaires de la 
//' classe. De la même manière 
que nous avons montré que les 
courbes de cette nature se ra- 
menaient par une alternance de 
classes et de degrés jusqu'à des 
coniques nous pouvons établir 
la même loi pour les cônes et 
dire : 

Un cône du n -\- J ' degré 
avec une génératrice multiple 
d'ordre n se ramené a an cône 
de la n'' classe avec un plan tan- 
gent multiple d'ordre n — 1. 

La transformation dtialistique 
est applicable à ce. dernier cône 
et en procédant comme dans les 
courbes, nous dirons : 

La construction d'un cône du 
(n -f- lt*' degré se ramène à celle 
d'un cône du deuxième degré ou 
de la deuxième classe. 

3. Théorème. Quand une gé- 
nératrice multiple d'ordre (n — 1) 
d'un cône du n e degré est consi- 
dérée comme arête d'un faisceau 
de plans formant une involution 



1. Etant donné deux faisceaux 
de rayons formant un groupe 
de la [n -\- p '' classe, nous pou- 
vons considérer deux rayons 
homologues et les joindre par 
des plans avec tous les autres 
rayons des faisceaux. On forme 
ainsi deux faisceaux de plans 
avec un plan homologue com- 
mun donnant un groupe du 
[n -\- p '' degré dépendant du 
corollaire. En d'autres termes : 
Un cône de la (n -f- p' classe 
dépend d'un cône auxiliaire du 
(n -f- p — 1 " degré régi par le 
corollaire. 

2. Avec p = 1 les cônes auxi- 
liaires sont du /* e degré. Il est 
évident que les développements 
connus pour les courbes sont 
applicables aux cônes et nous 
avons : 

Un cône de la n -\- 1 ' classe 
avec un plan tangent multiple 
d'ordre n .se ramené à un cône 
du n e degré avec une gênera triée 
multiple d'ordre n — 1. 

Ce cône est évidemment dé- 
pendant d'un autre comme nous 
l'avons vu dans les courbes et 
par une succession de transfor- 
mations nous pouvons remon- 
ter à un cône du deuxième de- 
gré ou de la deuxième classe. 



3. Théorème. Si dans an plan 
tangent multiple d'ordre n — 1) 
d'un cône de la \V classe nous 
considérons une involution de 
rayons de degré n ayant le som- 



I.ENE RATION DES COURBES ET DES SUREACES 117 



du n' de gré, les lignes d'inter- 
section des n plans homologues 
avec le cône sont dans un même 
plan, et les plans correspondant 
a chaque groupe de n plans de 
l'involution passent par une 
même arête commune. 

La démonstration de ce théo- 
rème découle, a priori, du théo- 
rème des cônes, du n -\- p ' de- 
gré. 

4. Les cônes du V degré avec 
deux générations doubles dé- 
pendent d'un cône auxiliaire de 
la troisième classe donne par 
neuf plans tangents. 

La construction de ce cône 
peut être déduite directement 
de la construction que nous 
avons indiquée pour les courbes 
de la '.]' classe par neuf tan- 
gentes. 



met du cône comme centre, les 
plans tangents du cône issus des 
n raiforts homologues d'un même 
groupe passent par une arête 
commune et les arêtes relatives 
aux différents groupes de rayons 
sont situées dans un même plan. 

La démonstration de ce théo- 
rème découle du théorème gé- 
néral des cônes de la n -\- pY 
classe. 

4. Les cônes de la 4 e ' classe 
avec deux plans tangents mul- 
tiples d'ordre deux, dépendent 
d'un cône auxiliaire du troisième 
degré donné par neuf généra- 
trices. 

Là construction de ce cône 
est analogue à la construction 
que nous avons indicpiée pour 
les courbes du 3 e degré par 
neuf points. 



Il 



Surfaces réglées du (n 4- p) e degré. 



Deux faisceaux de plans dont les arêtes ne sont pas situées 
dans un même plan peuvent également former un groupe du 
(n + p e degré. Dans ee cas, tout plan du premier faisceau 
correspond à p du deuxième et tout plan du deuxième à n du 
premier. 

Théorème. — Le lieu géométrique des lignes d'intersection 
des plans homologues de deux faisceaux de plans dont les 
arêtes ne sont pas dans un plan et qui forment un groupe du 
(n -\- p) e degré est une surface réglée du (n -\- p/ degré. La 
première arête est une ligne multiple de la surface, d'ordre n 
et la deuxième une d'ordre p. 

Nous pouvons prendre une des arêtes comme axe des x 
et la deuxième comme étant située dans le plan yoz. 



118 /- C RE LIER 

Les plans du premier faisceau auront comme équation 



Si maintenant nous posons comme équations de la deu- 
xième arête : 

k t y+ Kz + /■,= 
x = , 

tout plan passant par cette droite aura pour équation : 

Px + hy -f k t z + /-,= . 

Les valeurs h\ , À- 2 . k a sont des constantes qui définissent 
l'arête, tandis que « et /3 so-nt les paramètres variables qui 
donnent les plans homologues. 

a et /3 sont liés par l'équation (1). En tirant leurs valeurs 
des équations que nous avons et en les introduisant dans 
l'équation (1) nous obtiendrons évidemment le lieu géomé- 
trique cherché. 

On a : 



p = _ ~~ ' 



On obtient ensuite : 

ZlS\ [t tJ + *,3 + fc)*FJ"' (î) + . . . + flliVvv + k t Z + 

MF^(^) + Fl«), 1 (j) = 
ou 

•^ FJT+i«y*) + **-*(- *o - *** - *•)*£' fcr«) + ••■ + 

(_ x lV _ / a - _ ^i p F;"'(v;i — o 

Cette équation correspond à une surface du // + // e degré. 
La surface étant engendrée par une droite qui se meut en 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 119 

restant dans deux plans homologues, elle est bien une sur- 
face réglée. D'autre part tout plan passant par Taxe ox 

z = my ou — =: ni — ((instante 
y 

donne comme intersection avec la surface : 

X P . A + xP- l {My + N) B + /- 2 (Mj + N)*C + ... + 
[My + N)* .1 = 

Il en résulte que Taxe est une droite multiple d'ordre n 
et Ton démontrerait de la même manière que la droite 
/,,// -f- UiZ + ka = est une droite multiple d'ordre/?. 

L. Crelier (Bienne). 



SUR LES DEMONSTRATIONS EN GEOMETRIE 
DESCRIPTIVE 



On n'a pas l'habitude, pour démontrer les théorèmes, qui 
appartiennent spécialement à la Géométrie descriptive, de 
recourir aux moyens fournis par cette dernière. 

On s'impose ainsi des considérations inutilement compli- 
quées et on méconnaît le but général de cette science, au 
moment même de la développer. Les démonstrations sui- 
vantes de trois théorèmes, dont deux sont bien connus et le 
troisième peut-être nouveau, montreront l'avantage de faire 
autrement. Cette manière de procéder placerait la Géométrie 
descriptive à doubles projections naturellement avant la 
méthode des plans cotés, contrairement à ce que suppose le 
programme officiel des lycées de France. 

Théorème I. — Pour que deux droites AB, CD, soient 
perpendiculaires, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi de leurs 



120 C. LEUR 

projections sur un ///un P parallèle a la direction de l'une 
AB et non perpendiculaire a l'autre CD. 

Pour le démontrer je prendrai I' pour plan horizontal de 
projections et a b pour ligne de terre. AB sera une horizon- 
tale, par conséquent parallèle à la direction de a b ou de la 
ligne de terre XX. 

l" La condition est nécessaire: CD étant perpendiculaire 
à AB l'est à XX et est donc soit de bout soit de profil. Dans 
les deux cas cet est perpendiculaire à XX ou a b. 

2° Elle est suffisante : cd étant perpendiculaire aab ou 
X X, CD est soit de bout soit de profil, par conséquent per- 
pendiculaire à XX et à sa parallèle A 15. 

Théorème II. — Pour que les projections de deux droites 
perpendiculaires AB, CD, s'oient deux droites perpendicu- 
laires il faut et il suffit que le plan de projection P soit paral- 
lèle à la direction de l'une des droites sans être perpendicu- 
laire à l'autre. 

Ici la condition suffisante revient à la condition nécessaire 
du théorème précédent. Pour démontrer la nécessité je 
prends encore P pour plan horizontal de projections et a b 
par exemple pour ligne de terre XX. Par hypothèse cd est 
perpendiculaire à a b ou X X, donc CD est soit de bout soit 
de profil. Dans le premier cas elle est parallèle à la direction 
du plan horizontal P. Dans le second cas, comme AB est 
frontale et que CD lui est perpendiculaire, a'b' sera perpen- 
diculaire à cd' et par conséquent parallèle à la direction de 
XX; AB est donc horizontale ou parallèle à la direction de P. 

Théorème 111. — Pour que deux droites AB et CD, non 
parallèles aux directions des plans de projections, soient per- 
pendiculaires, il faut et il suffit que les cotes réduites de 
leurs secondes extrémités B et D, par rapport respectivement 
a leurs premières extrémités A et C, soient inversement et né- 
gativement proportionnelles aux segments a b, co d < obtenus 
en projetant orthogonalement les projections horizontales a b, 
cd des deux droites sur l'une quelconque d'entre elles et choi- 
sissant les origines a et co d'après les premières extrémités 
A et C. 

1 1 1 fb' . Fd? = —âb . cj . 




G ÉOMÉ TU I E /)/; s CRIP TI VE 
Le théorème reste vrai si l'on rem- 
place les cotes par les ordonnées et 
les projections horizontales par les 
projections verticales. 

Pour le démontrer je mène par A 
la parallèle AE à CD et j'emploie un 
second plan vertical de projections 
parallèles à AB. On remarque que * 
ae et ae sont parallèles respective- 
ment à cd et à c'd'. Les secondes 
projections verticales de AB et AE 
sont a v b v , a v e v telles que 

j37;, = pb' et /V, = 7e' . 

Le parallélisme de AE et CD, celui 
des côtés dans les triangles cc'e'e' et c'd'd' ainsi que da 
triangles aeb et cdt où cd est parallèle a ab, donne 



121 



■ -■& 



ns les 



ae 


= 


a e 

7d' 














a' e' 
7d' 




e'e' 

¥?' 




ae 
cd 


= 


ab 

cl ~ 


ab 


al, 
c~d n 


= 


e'e' 
Fd' ' 








1° La condition est nécessaire: De ce que CD et par consé- 
quent AE sont perpendiculaires à AB, il résulte d'abord que 
a v e v 1 est à a v b v et ensuite qu'il a été possible de choisir e sur 
la seconde ligne de rappel bb v - cette dernière particularité ne 
serait irréal. sable que si ae était perpendiculaire à ab ce qui 
est contraire à notre hypothèse, puisque l'une des deux 
droites AB, AE ou AB, CD serait horizontale. Le triangle 
a v b v e v , rectangle en a v , donne 

(3) a v p v = — p v b v x fa v , d'où al, x a~b = — fb' x pp ( 4 , 

L'Enseignement mathém., 9« année : 1907. 



122 G. I. E II H 

Cette relation est homogène par rapport au second facteur 
ab et au facteur sV, on peut donc remplacer ces segments 
par les grandeurs dont ^2 constate la proportionnalité. On 
trouve ainsi 

|5l ab X Coda = — $'!>' X Pcl' . ce qui esl (1). 

2° La condition est suffisante: La relation (1) est vraie par 
hvpothèse. Donc d'abord on peut choisir e comme précé- 
demment : en effet, le premier membre de (1) est signifi- 
catif donc codo < o et par suite cd n'est pas perpendiculaire 
à ab. Ensuite (5), qui est une forme de (1) devient (4) par la 
substitution inverse de la précédente, et par conséquent (3 . 
Celle-ci prouve que b v a v e v est droit, donc «„e v est perpendi- 
culaire à «„ô„, donc AE ou CD l'est à AB. 

Corollaire. — La condition de perpendicularité de deux 
droites AB, CD, se simplifie si l'on choisit les extrémités de 
celle CD, qui ne fournit pas l'axe de projections ab, de ma- 
nière que la projection orthogonale correspondante c„d soit 
égale à la cote réduite ft b' relative à l'autre droite: il faut 
alors et il suffit que la seconde cote réduite $'d' ne diffère que 
par le signe de la valeur de la projection horizontale ab de 
cette autre droite. 

George Lehh Montauban). 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 
DES MATHÉMATICIENS 



LES RESULTATS 1 — VU 

Question 14. 

44. Quand vous abordez une question cherchez-vous à étu- 
dier de suite d'une façon aussi générale que possible les pro- 
blèmes plus ou moins précis que vous vous posez ? Préférez- 
vous habituellement traiter d'abord des cas particuliers, ou 
un cas étendu, pour généraliser ensuite progressivement? 

C'est cette dernière méthode « la méthode expérimentale » 
comme l'appelle l'un de nos collaborateurs, qui est la plus 
répandue. Elle consiste à procéder par généralisations suc- 
cessives en partant de cas simples. Sur 60 réponses à la ques- 
tion 44, 30 doivent être rangées dans cette première caté- 
gorie. Mais il n'existe pas de méthode générale s'appliquant 
à la fois à toutes les questions et à tous les mathématiciens. 
Il en est aussi un bon nombre (14) qui préfèrent aborder 
directement le cas général et utiliser les cas particuliers 
simplement à titre de vérification. Enfin, les 16 autres 
emploient tantôt lune des méthodes, tantôt l'autre, suivant 
la nature de la question. 

Beaucoup de réponses sont à peu près identiques. Nous 
reproduisons ci-après les plus typiques; elles caractérisent 
en même temps les diiférentes méthodes. 

Rép. I (France). — Oui, je préfère rester dans l'étude générale ; 
mais quand je ne réussis pas promptement, je cherche la clef du 
général dans l'étude approfondie et le rapprochement des cas par- 
ticuliers faciles. Une théorie mathématique a presque toujours 



1 Voir VEns. math., 7« année, n° 5, p. 387-395; n° 6, p. 473-478, 1905; 8 e année, n» 1, 
p. 43-48, n» 3, p. 217-225, n° 4. p. 293-310, n° 5, p. 383-385, n° (i, p. 4(13-475, 1906. 



124 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

pour base son cas particulier le plus simple. Exemple : la théorie 
des équations linéaires se fonde sur le cas d'une seule inconnue, 
celle des séries entières sur celui de la simple progression géo- 
métrique 1 + .r 2 -f- .v A -f- ... Th. d'Abel . celle des singularités 
des fonctions implicites sur le cas du monôme à exposant frac- 

m 

tionnaire // = .c , ramené à l'équation binôme W" — dk n = 0, etc. 

Ch. Méray. 

Rép. I\ Autriche . — Cela dépend de la difficulté du sujet. 
Si l'on a l'espoir de pouvoir dominer le cas général, il est préfé- 
rable de tendre dès le début vers la généralité. Zindler. 

Rép. \ I Allemagne . — J'examine d'ordinaire le cas général et 
je cherche à m'assurer de sa justesse et de sa portée par des hypo- 
thèses particulières. 

Rép. IX France . — Suivant les cas: mais plus un sujet est 
neuf, plus il est nécessaire dé s'en faire une idée sur des cas 
simples; c'est la méthode expérimentale. 

Rép. XV Allemagne . — J'ai beaucoup appris et trouvé par 
l'étude de cas particuliers. 

Rép. XXII Etats-Unis . — Dans beaucoup de problèmes, lorsque 
le cas général est trop difficile, je préfère approfondir d'abord un 
certain nombre de cas particuliers et je cherche ensuite à obtenir 
le cas général par induction. E. B. Escott. 

Rép. XXIII. Fiance . — Je n'ai pas de règles absolues ; d'ordi- 
naire j'étudie des cas simples, puis je me trouve conduit à géné- 
raliser, sans avoir eu d'avance la volonté de cette généralisation. 

C. A. Faisant. 

Rép. XXXIII France . — C'est une question de mesure. En gé- 
néral l'esprit humain ne peut aller que du particulier au général. 
Mais il faut se méfier: ainsi, pour les courbes algébriques, les sin- 
gularités diminuent le nombre des transcendantes attachées, tan- 
dis que c'est le contraire pour les surfaces algébriques. De même 
le problème de Dirichlet peut offrir plus de difficultés dans le 
plan que dans l'espace. R. d'Adhémar. 

Rép. XLII1 France . — Actuellement, je cherche à étudier la 
question aussi généralement que possible, en principe, quitte à 
en tirer ce que je peux, en particularisant au besoin. Mais, inver- 
sement, si l'idée m'en vient, je généralise. A ce point de vne je 
fais comme je peux. 

Pratiquement, ou. si l'on veut, inconsciemment, j'ai plutôt la 
tendance a généraliser, mais par la marche naturelle de mes idées 
plutôt que systématiquement. 

J ai remarqué plusieurs fois que l'étude d'une voie ou d'un but 
déterminé aboutissant à un échec m'engageait dans une autre voie 
où je réussissais, ce qui me fait dire, assez souvent, on trouve ce 
qu'on peut, non ce qu'on veut. E. Maillet. 



ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL \2'> 

Rép. LV (Etats-Unis). — Autrefois, notamment dans mes re- 
cherches sur la théorie des groupes, je partais de cas particuliers; 
puis je suis parvenu, peu à peu, à aborder immédiatement le cas 
général en vérifiant toujours à l'aide de cas simples. 

L. E. Dikson. 

Rép. LXIX (Italie). — Je préfère partir du cas général lorsque 
mes moyens intellectuels me le permettent. 

Rép. LXXY1 France). — Les concepts sont d'autant plus précis 
et faciles à manier qu'ils sont plus particuliers ; mais une propriété 
a d'autant plus de valeur qu'elle est plus générale. J'adopte le plus 
haut degré de généralité que me permet ma capacité de concep- 
tion, sauf à procéder à une généralisation ultérieure. Combebiac. 



Question 15. 

['>. - - Faites-vous une distinction, au point de vue de la 
méthode, entre le travail d'invention et celui de rédaction ? 

Il existe évidemment une différence, au point de vue de la 
méthode, entre le travail d'invention où la pensée a, pour 
ainsi dire, libre cours, et celui qui consiste à coordonner 
dune manière systématique les résultats. Nos correspondants 
sont presque unanimes à le reconnaître. Sur 46 réponses, 
42 parlent dans ce sens ; les 4 non ne sont pas motivés. Les 
réponses affirmatives sont souvent aussi très brèves, de sim- 
ples oui ; d'autres sont accompagnées de développements 
très intéressants, ainsi que nos lecteurs peuvent le constater 
d'après les extraits ci-dessous. 

Rép. I (France). — L'invention n'a pas de méthode, sauf le pas- 
sage du simple au composé; le souci constant des analogies elles 
sont perceptibles entre toutes choses au monde), le cheminement 
prudent et progressif du connu, pris pour base d'opération, à l'in- 
connu, objet des explorations. Dans la rédaction, l'ordre histo- 
rique me parait détestable: il faut toujours présenter les choses 
de la manière et dans l'ordre qui rendent leur conception sédui- 
sante et définitive. Ch. Méray. 

Rép. II (France).— L'un porte l'autre. Je ne puis mieux dire. 

A. AuDEBKAXDT. 

Rép. IV (Autriche). -- Oui, dans le travail d'invention on ne 
peut immédiatement s'astreindre à une rigueur absolue. 

ZlXDLER. 

Rép. VII (Allemagne). — Oui. — Pendant une lecture, avoir le 
crayon à la main, réfléchir, puis rédiger". M. Cantôr. 



126 ENQUÊTA SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

Rép. IX France . — Oui. On trouve par le chemin que l'on peut. 
Quand on a trouvé on voit clair, alors on voit quel est le meilleur 
chemin. C'est celui qu'il faut montrer. Autrement la société n'est 
plus une société coopérative, ce qu'elle doit être. (...) 

Rép. XXI Jl France. — La distinction est essentielle; mais le 
travail de rédaction provoque assez souvent l'invention ; on est 
amené alors à interrompre la rédaction pour suivre la pensée qui 
est venue. C. A. Faisant. 

Rép. XXXVIII Allemagne . — Oui, la rédaction est plus systé- 
matique. \\ ERMCKE. 

Rép. XL VIII Hollande). — Pendant le travail d'invention les 
théorèmes se présentent souvent sans ordre logique, ce qui fait 
que, par exemple, une conséquence se révèle quelquefois avant le 
théorème principal. Le travail de rédaction doit y apporter l'ordre 
et combler les lacunes. J. Cardinaal. 

Rép. LXXV1 France^. — Oui,- certes. Le point de vue n'est pas 
le même. Bien heureux ceux à qui les résultats se présentent sous 
une forme ordonnée et propre à être facilement assimilée par le 
public. Combebiac. 

Rép. LXXVIl (Etats-Unis). — Oui. Le premier est un vrai plai- 
sir ; le second un labeur très ardu. F. R. Moulton. 



Questions 16 et 17 

16. — Vos habitudes de travail, depuis vos études terminées, 
vous semblent-elles avoir été sensiblement les mêmes ? 

17. — Dans vos principales recherches, avez-vous poursuivi 
constamment votre but, sans discontinuité, ou bien avez-vous 
abandonné le sujet à certains moments, pour y revenir 
plus tard ? 

Si vous avez pratiqué les deux méthodes, de laquelle, en 
général, vous êtes-vous le mieux trouvé ? 

Si l'on parcourt les réponses à la question 16, on est 
frappé de voir combien elles sont à peu près identiques. 
Pour la plupart de nos correspondants 45 sur 53) les habi- 
tudes de travail sont restées [sensiblement les mêmes. Les 
réponses négatives elles-mêmes parlent plutôt d'une unifica- 
tion dans la méthode que de modifications profondes. 

La majorité est encore plus forte pour la question 17 et 
cela tient à la nature même des questions que se posent les 
mathématiciens. 56 sur 62 estiment que des interruptions 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 127 

sont nécessaires. Il est rare, si non impossible, que Ton 
puisse résoudre et épuiser une question de quelque ampleur 
sur un sujet nouveau dans une première étude. Ce n'est que 
lorsqu'il s'agit de problèmes dont on possède déjà les éléments 
principaux que l'on peut se borner à un seul examen pour obte- 
tenir un ensemble de résultats satisfaisants et bien coor- 
donnés. Presque toutes les réponses sont rédigées dans ce 
sens; nous nous bornons à reproduire ici celles qui offrent 
le plus de variétés dans les considérations qui viennent 
justifier la réponse. 

Rép. 1 (France). — 10. Oui, depuis l'âge tout au moins où j'ai pu 
avoir quelques idées à moi. — 17. Il faut songer sans cesse au 
sujet que l'on travaille, s'y acharner souvent. Mais il est bon par- 
fois de le laisser pour revenir plus tard, car alors l'esprit a géné- 
ralement perdu des mauvais plis qui lui cachaient obstinément 
des choses aperçues sans peine dans d'autres dispositions. 

Ch. Méray. 

Rép. II (France). — lu. Elles n'ont pas pu être les mêmes, vu la 
variété des occupations que j'ai eues. Cependant, plus j'avance en 
âge, plus je me possède, plus la méthode tend à s'unifier 1° dans 
les recherches, 2° les réflexions, 3° la notation, 4° les discussions, 
5° la rédaction. — 17. J'ai dû pratiquer les deux méthodes; j'ai 
une préférence intuitive pour la première, la seconde m'a parfois 

réussi. AuDEBRANDT. 

Rép. VI Allemagne). — 16. Oui. — 17. En général, je me suis 
occupé d'un sujet sans interruption essentielle ; mais dans 
beaucoup de cas je suis revenu plus tard sur la même question. 

(...) 

Rép. VII (Allemagne). — l(>. Ma manière de travailler est la 
même depuis 50 ans. — 17. Une fois engagé dans une recherche 
je ne l'abandonne que lorsque j'ai terminé, ou que j'ai la convic- 
tion de ne pas pouvoir la terminer. Mor. Cantor. 

Rép. IX (France). — 16. Oui. — 17. J'ai fait les deux, l'interrup- 
tion a l'inconvénient d'exiger un nouvel effort de mise au point. 
Il ne faut l'employer que si on y est obligé ou si l'on sent qu'on 
aurait avantage à reprendre son étude avec un esprit nouveau. 

(...) 

Rép. XI (Russie). — 17. Les grands problèmes sont toujours 
présents à mon esprit et j'y reviens toujours ; quant à des sujets 
moins étendus, ils peuvent souvent être traités d'une seule haleine. 

N. Delauxay. 

Rép. XIII (Angleterre). — 17. Lorsqu'il s'agit de problèmes 
difficiles, il est souvent nécessaire de les abandonner. Certaines 



128 ENQUETE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

questions peuvent être traitées en quelques semaines ou mois : 
d'autres doivent attendre et subir des interruptions de plus d'une 
année. 

Rép. XVI (Belgique;. — 16. Oui. — 17. J'ai souvent abandonné 
un sujet pendant des mois et des années, pour y revenir ensuite. 

Stuyvaert. 

Rép. XXI Autriche . — 10. Ma méthode de travail a toujours 
été la même. — 17. 11 m'est arrivé d'interrompre un travail parce 
que je ne pouvais pas avancer et de le reprendre plus tard avec 
succès. Toutefois, j'ai fait mes meilleurs travaux d'un seul trait . 

L. BoLTZMAXX. 

Rép. XXIII France . — 1(3. Oui, à peu près. — 17. Je n'ai pour- 
suivi le sujet qu'autant qu'il continuait à m'intéresser. Il faut une 
certaine persistance, mais, quand arrive la fatigue, on ne fait plus 
grand chose de bon. Souvent j'ai laissé de côté, très longtemps, 
un travail entrepris, pour le reprendre beaucoup plus tard, et je 
ne m'en suis pas mal trouvé. C.-A. Laisaxt. 

Rép. XXX\ II France . — 1G. Oui. — 17. Lorsqu'un sujet parait 
ne plus rien donner, il y a tout avantage à l'abandonner, sauf a le 
reprendre après un an ou deux. Bien souvent on voit alors la 
question à un autre point de vue. Des questions oubliées et repri- 
ses à deux ou trois intervalles m'ont conduit à des résultats impor- 
tants. Il est rare que du premier coup on tire d'une question tout 
ce qui est possible. Fabiîy. 

Rép. XL VI Espagne . — 1(>. Oui. — 17. Dans les recherches je 
trouve convenable une certaine discontinuité. Vaincre les diffi- 
cultés dans certains moments favorables. La continuité dans une 
seule recherche produit de la fatigue. Z.-G. de Galdeaxo. 

Rép. LA 11 (Etats-Unis . — 16. Ma méthode n'est pas aussi sys- 
tématique et aussi régulière que je le désirerais. — 17. J'ai la ten- 
dance à abandonner une longue étude pour la reprendre après 
quelque temps. Des travaux plus courts peuvent être traités d'une 
manière continue. Il me semble que la meilleure méthode consiste 
en un travail continu avec interruptions pour le repos. 

E.-F. Thompson. 

Rép. LXXXIV Suisse . — 17. J'ai souvent abandonné un sujet 
pour y revenir ensuite. Cela dépend, du reste, de la disposition 
dans laquelle on se trouve. G. Oltramare. 

Questions 18 et 20 ! 

18. — Quel est, d'après vous, le temps minimum qu'un 
mathématicien ayant d'autres occupations journalières doit 



1 L'étude des questions 18 et 2(i est due à M. Th. Flournoy, professeur de psychologie à 

l'Université de Genève. 



ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 129 

consacrer dans sa journée, sa semaine et son année aux 
mathématiques pour arriver et cultiver avec fruit certaines 
branches des mêmes mathématiques ? Vaut-il mieux quand 
on a le choir, d'après vous, travailler tous les jours un peu : 
anc heure, par exemple, au minimum? 

20. — Si vous avez des occupations professionnelles absor- 
bantes, comment vous appliquez-vous à les concilier avec vos 
travaux personnels ? 

Il nous a paru indiqué de rapprocher les réponses aux 
questions 18 et 20 à cause de leur connexilé, el de renvoyer 
à un prochain article l'étude du n" 19. 

Près des deux tiers de nos documents renferment des ré- 
ponses à la question 18; mais elles sont loin de s'accorder 
entre elles, ce qui n'est pas pour étonner lorsqu'on pense à 
la variété des tempéraments individuels, el aussi .aux divers 
sens du mot travaille/'. Autre chose est en effet d'apprendre, 
c'est à dire d'étudier et de s'assimiler une science déjà exis- 
tante, autre chose de préparer un enseignement, autre chose 
encore d'inventer et de se livrer à des recherches origina- 
les, etc. Il y a, de même, des natures pondérées, qui l'ont 
tout avec suite et régularité, comme si elles ignoraient égale- 
ment la lassitude et l'emballement ; et il y a des natures ex- 
plosives, procédant par saccades ou bourrées suivies de 
périodes d'inactivité plus ou moins prolongées. Ce sont ces 
oppositions, et leurs combinaisons diverses, qu'on voit se 
relléter dans les extraits ci-dessous de notre enquête. 

Les uns recommandent avant tout la régularité du travail, 
à raison dune, deux, trois, jusqu'à six heures chaque jour 
ou chaque semaine. Les autres, davantage frappés des phéno- 
mènes d'entrainement et de fatigue, préconisent les coups 
de collier, et ont plus de confiance, par exemple, dans deux 
journées consécutives de travail par semaine, ou dans quatre 
heures par jour pendant deux mois, que dans une ou deux 
heures chaque jour pendant toute Tannée. D'autres encore, 
songeant évidemment avant tout a la production originale, 
ne veulent d'aucune règle et s'abandonnent pour ainsi dire 
à l'inspiration du moment, travaillant jour et nuit quand 
une idée les tient, quitte à ne plus rien faire ensuite pendant 



VAO ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

des semaines ou des mois. De tout cela on ne peut rien con- 
clure, en somme, de général. Mais n'est-ce pas aussi un 
résultat que d'avoir mis en lumière cette extrême diversité, 
et par conséquent le droit et le devoir de chacun de se for- 
ger sa propre méthode et d'adopter le mode de travail que 
l'expérience lui aura montré être le mieux adapté à ses cir- 
constances personnelles? 

Même conclusion, ou absence de conclusion, quant à la 
question 20, qui a provoqué une quarantaine de réponses. Il 
n'y a pas de panacée, il n'y a que des expédients variables et 
généralement précaires, pour résoudre l'éternel conflit en- 
tre les devoirs professionnels, absorbants et ingrats, et les 
recherches personnelles, les chères études de prédilection. 
En se levant tôt, en se tenant a un horaire rigoureux, en 
empiétant sur le repos de la nuit et des vacances, etc. , cha- 
cun se tire d'affaire comme il peut — rarement à son entière 
satisfaction — . Heureux les privilégiés à qui la destinée, et 
leur nature, permettent de concilier pleinement ces deux sor- 
tes d'occupations, ou de se confiner exclusivement dans 
l'une d'elles ! 

Rép. 1 France). — 18. Je ne puis formuler aucune règle : à un 
travail de copie, on peut se mettre, se retirer quand on veut ; 
mais le travail intellectuel ne produit rien s'il n'entraîne pas 
l'ouvrier, et dans ces conditions il est presque impossible de s'y 
mettre quand il n'attire pas, de s'en arracher quand il attire. Je 
ne considère pas comme possible d'abandonner un problème dont 
la solution est en bonne voie, autrement que sous le coup de 
quelque nécessité. 

20. La difficulté n'existe pas pour moi, puisque mon métier 
consiste préei'sément à cultiver les mathématiques. Je constate 
que leur étude et le reste m'a fait trop souvent négliger mes 
affaires proprement dites. Méhay. 

Rép. Il France . — 18. Nulla dies sine linea !... Ce doit être 
l'idéal, mais la réalité en est bien loin! — 20. Utiliser les marches 
libres... comme on peut! Ai okbhand. 

Rép. III Angleterre . — 11 faut prendre tout le temps qu'on 
peut, et c'est bien peu. Une heure n'est pas assez pour s'en- 
traîner. • Brvax. 

Rép. VII Allemagne . — 18. 11 m'est impossible de travailler 
régulièrement. Tantôt j'ai travaillé 12 à t4 heures par jour, 
tantôt je n'ai pas travaillé du tout, ou peu. Mais je ne voudrais 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL L31 

absolument pas ériger cela en règle. — 20. J'ai toujours considéré 
qu'il fallait d'abord m'aequitter de mes devoirs professionnels ; 
mes travaux de prédilection sont toujours venus en seconde 
ligne. Caxtor. 

Rép. IX (France). — Réponse difficile. En thèse générale, il me 
faut de la continuité dans le travail. 

Rép. XI (Russie). — 18. Ai s longa et vita brevis est : on ne 
saurait rattraper le temps. Travailler chaque jour une heure et 
seulement une heure, dans la voie des recherches scientifiques, 
est tout à fait contraire à ma nature : lorsque je suis possédé par 
une idée, elle est dans ma tète toute la journée et je saisis tous les 
instants possibles pour faire mes calculs et mes constructions. — 
20. En pensant à mes problèmes même au milieu c\es occupations 
professionnelles, et en réservant les soirées pour les recherches 
et lectures mathématiques. Delauxay. 

Rép. XIII Angleterre). — 18. Il vaut mieux travailler 3 heures 
tous les deux jours qu'une demi-heure chaque jour. Mais il fau- 
drait donner au moins 3 ou 4 heures par jour aux recherches si 
on en a le loisir, c'est-à-dire si les autres travaux ne prennent pas 
plus de 6 heures. 

Rép. XIV (Irlande). — 18. C'est l'inclination qui doit décider. 
Mais les distractions sont fatales. — 20. Il faut séparer entière- 
ment ces deux sortes de choses, de façon à les mettre sur des 
jours différents. (...) 

Rép. XVI Belgique). — 18. Deux heures par jour au minimum 
et de préférence tous les jours. — 20. Les devoirs professionnels 
ont naturellement le pas sur les travaux personnels. 

Stuyvakrt. 

Rép. XX France). — 18. Je considère qu'il faut donner une ou 
deux heures par jour aux mathématiques pour maintenir le 
niveau de ses connaissances. — 20. Très simplement : en me 
levant matin. Brocard. 

Rép. XXI (Autriche). — 18. Je n'avancerais pas en ne travaillant 
qu'une heure par jour. Quand je suis en train, je travaille six 
heures par jour, et davantage; mais ensuite, quand je ne suis 
plus en train, je ne fais plus rien pendant des mois. — 20. Je n'ai 
pas d'occupations professionnelles régulières en dehors de mon 
enseignement. Ce dernier favorise à un haut degré mon activité 
scientifique en stimulant continuellement mes lectures, en me 
faisant exprimer à ma façon et sous une forme précise ce que j'ai 
lu, et en me mettant en contact avec des jeunes gens travailleurs 
dont les questions me sont un nouveau stimulant. 

BûLTZMANN. 

Rép. XXII (Etats-Unis). — Il est difficile de fixer un minimum; 
mais même avec une ou deux heures seulement par semaine, on 
peut faire des progrès évidents. Je pense qu'il vaut mieux tra- 



132 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

vailler un peu chaque jour, pourvu que ce ne soit pas moins d'une 
heure à la fois, plutôt que de travailler plus longuement, mais à 
des intervalles plus prolongés. Escott. 

Rép. XXIII France). — 18. Il n'y a pas de règle à formuler. 
Pour mon compte, je suis resté des semaines, peut-être des mois, 
sans m'occuper de mathématiques. Par contre, j'ai passé quelque- 
lois des nuits entières à travailler sans interruptions. 11 faut que 
l'on soit entraîné "par le sujet ; quand l'attrait cesse, on ne fait 
rien qui vaille. C'est vrai pour l'invention, pour la rédaction et 
pour les lectures. 

20. J'ai toujours pris un quart d'heure s'il s'offrait à moi, une 
semaine s'il m'était possible. Même très occupé, on trouve 
toujours un peu de temps pour faire des mathématiques quand 
on en a le goût. 11 m'est souvent arrivé de griffonner sur mon 
pupitre des équations au milieu des séances les plus tumul- 
tueuses de la Chambre. , Faisant. 

Rép. XAYI France . — 18. Ma manière de travailler exclut 
cette question. Je travaille en me promenant. S'il faut un calcul 
un peu compliqué et que je n'aie sur moi pas de quoi écrire, 
j'achève au retour. Richard. 

Rép. XXX III France . — 18. Il me semble qu'en une heure on 
ne fait rien. J'aurais plus de confiance dans 4 heures par jour 
pendant 2 mois qu'en une heure chaque jour de l'année. 

R. d Adiikmah. 

Rép. XXXV France . — 18. Question toute personnelle. Il faut 
évidemment que l'on dispose, soit toutes les semaines de quelques 
heures, soit tous les ans de quelques semaines, pendant lesquelles 
l'esprit n'est ni absorbé, ni fatigue par les occupations profes- 
sionnelles habituelles. Il est préférable de travailler deux jours de 
suite chaque semaine plutôt que une heure ou deux tous les 
jours avec d'autres occupations absorbantes). ...) 

Rép. XXXIX Grèce'. — 18. Deux à trois heures par jour au 
moins, excepté les dimanches et peut-être un à deux mois dans 
l'année. Oui, tous les jours, ne fût-ce même que pour une demi- 
heure. Hatzidakis. 

Rép. XL (Allemagne). — IH. J'estime qu'il vaut mieux s'occuper 
de mathématiques chaque jour qu'une fois par semaine, etc. Il 
serait désirable de s'en occuper au moins deux heures chaque 
matin; il faut que l'esprit soit frais pour pouvoir produire. 

Menzel. 

Rép. XL1 Feosse . — 18 et 20. J'aimerais consacrer toute la 
journée aux mathématiques pures, mais hélas je ne peux pas, j'ai 
trop peu de loisir pour cela il est astronome dans un observa- 
toire Réd. . 

Rép. XL1I (Italie). — 18. Je n'ai jamais eu le choix. J'ai pris le 
temps où je pouvais. Pendant les vacances, j'ai préféré travailler 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 133 

chaque jour quatre ou cinq heures, le matin pour l'invention, le 
soir pour la rédaction. — 20. En sacrifiant toutes les heures qui 
devraient être accordées au repos et au divertissement. 

A.MODEO. 

Rép. XL1II (France). — 18 et 20. Quand j'avais un service d'in- 
génieur, en province, j'avais pour principe de toujours faire, même 
le dimanche, au moins une demi-heure, ou mieux une heure de 
mathématiques par jour (lectures, recherches ou rédactions). 
Comme me l'avait dit Hermite avant ma sortie de l'Ecole des 
Ponts et Chaussées, quand on le veut sérieusement on trouve tou- 
jours ce temps pour étudier les mathématiques. Avec ce procédé 
on t'ait quelque chose : c'est pour moi un minimum de principe, il 
est désirable qu'on ne reste pas au-dessous d'une heure en 
moyenne. Maillet. 

Rép. XL 1\ Italie). — 18. Pour être vraiment mathématicien, il 
faut vouer à cette sublime science tout, son temps disponible et y 
penser constamment... Marletta. 

Rép. XLVI (Espagne). — 1S. Quand il y a d'autres occupations, 
je conseillerais au moins trois heures par jour. 

Z. de Galdeaxo. 
Rép. XL VII (Suisse). — 18. Il faut travailler les mathématiques 
tous les jours, au moins un peu, une heure au minimum. — 20. Il 
me faut employer mes moments de loisir, soirées, dimanches, 
vacances. Gubler. 

Rép. XLIX France). -- 18. Certainement deux ou trois heures 
consacrées par jour aux mathématiques permettraient une spécia- 
lisation assez rapide ; mais combien peu, surtout chez les profes- 
seurs qui veulent travailler personnellement, peuvent s'estimer 
assez heureux pour jouir régulièrement même d'une heure?— 20. 
Ceci devient presque de l'adresse : il faut avoir l'esprit assez délié, 
le travail assez facile pour ne consacrer, l'habitude aidant, que le 
temps strictement nécessaire aux occupations professionnelles et 
s'en réserver un peu pour les chères études. On y arrive à la 
longue, mais ce n'est pas donné à tout le monde. Heureux les ren- 
tiers qui ont du temps de trop ! Baiibaiîin. 

Rép. L Etats-Unis). — 18 et 20. Une heure par jour, en y ajou- 
tant de temps à autre une demi-journée au moins de travail con- 
tinu, me parait nécessaire pour arrivera un résultat. Je m'applique 
à trouver chaque jour un moment pour faire des mathématiques, 
et, en outre, une journée entière chaque semaine. Davis. 

Rép LI France). — 18. Cela dépend beaucoup des circons- 
tances. Ma vie a été exceptionnellement éprouvée, très traversée 
par les longues maladies de tout mon entourage. De là une très 
grande inégalité. La régularité vaudrait certainement mieux, en 
lui adjoignant des coups de collier au service de l'inspiration 
lorsqu'elle vient. — 20. Avec un travail constant, inlassable, sans 



134 ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

aucune perte de temps et avec le plus possible d'ordre et de 
méthode. Haton de la Goipillière. 

Rép. LYII Etats-Unis). — 18. Quand on a d'autres occupations 
quotidiennes, pour continuer à s'intéresser probablement aux 
mathématiques il faut leur consacrer au minimum une heure par 
jour, et de temps en temps plusieurs heures. Deux ou trois heures 
par jour vaudraient mieux. - 20. Etant professeur de mathémati- 
ques, c'est à cela que mon travail est principalement consacré. 

E.-P. Thompsox. 

Rép. L1X Allemagne ). — 18 et 20. Mon idéal serait de pouvoir 
consacrer 4 ou 5 heures chaque matin aux travaux scientifiques ; 
malheureusement, la plus grande partie de mon temps est absor- 
bée par mon enseignement. Je me réserve deux matinées par 
semaine pour mon travail personnel et je me lève à 5 heures, été 
et hiver. Tafelmacher. 

Rép. LX (Suisse . — 18. Je trouve que le mieux est de concen- 
trer ses énergies mathématiques sur un ou deux jours par semaine. 

Emch. 

Rép. LX1I (Etats-Unis . — 18 et 20. Le seul moyen de mener à 
bonne fin un travail mathématique est de lui réserver chaque jour 
un certain temps, le plus possible, sur lequel on ne laissera empié- 
ter aucun autre travail quelque pressant qu'il soit. Tallmaxx. 

Rép. LXV1 Etats-Unis). — 20. En ayant un programme jour- 
nalier strict. Swder. 

Rép. LXYI11 Etats-Unis . — 18. Le mieux est de travailler un 
peu chaque jour, deux heures. 

20. En consacrant un temps spécial aux occupations profes- 
sionnelles et en ne leur permettant pas d'empiéter sur mes 
travaux mathématiques. Coxaxt. 

Rép. LXIX Italie . — 18. Une heure de travail par jour me 
semble peu : on risque d'oublier dans les 23 autres heures plus 
qu'on n'a appris dans la première. (...) 

Rép. LXXI1 Etats-Unis. — 18. Je crois que, quand on a du goût 
pour les mathématiques, le moindre temps régulièrement con- 
sacré à cette ét'ude chaque jour ou chaque semaine est déjà profi- 
table. Cela ne su (lit peut-être pas à donner des résultats impor- 
tants, mais le bénéfice subjectif qu'on en retire vaut cependant 
la peine, pour peu qu'on ait une profession ayant quelque 
connexion avec les mathématiques. Quant à savoir si le travail 
mathématique doit être fait à heures fixes, cela dépend du type 
d'esprit... — 20. Je suis dans l'enseignement, en sorte que mon 
travail personnel ne vient qu'au second plan : j'en suis réduit 
à faire de mon mieux pour réserver un peu de temps à mes propres 
travaux ; c'est le cas général en Amérique. .... 

Rép. LXXIY Italie . — 18. Trois heures journellement. Il vaut 
mieux travailler tous les jouis un peu. Pirondixi. 



ENQUÊTE SUR LA M ET II OD E DE TRAVAIL 135 

Rép. LXXV (France). — J'ai toujours consacré, en dehors de 
mes obligations professionnelles, pourtant très lourdes, trois 
heures par jour en moyenne aux recherches personnelles. Long- 
temps, j'ai pris ces heures de travail dans la soirée. Depuis l'âge 
de 45 ans, j'ai compris que ce travail du soir produisait peu et me 
fatiguait; je lui ai substitué le travail de l'après-midi. 

De Longchamps. 

Rép. LXXVI1 (Etats-Unis . — J'estime qu'il faut toujours réflé- 
chir à des sujets mathématiques pour que cela soit profitable. 

Moulton. 

Rep. LXXXII (Suisse). — 18. Travailler toutes les fois que l'on 
se trouve en bonne disposition. Mais il faut savoir provoquer soi- 
même ces bons moments et en tirer parti en s'astreignant à un 
minimum de travail personnel chaque jour autant que possible. 

20. — Mes occupations professionnelles et la direction de 
l'Ens. Math., ne me laissent que fort peu de temps. Fehh. 

Rép. LXXXIY Suisse). — 18. Il faut travailler lorsque les idées 
surgissent, mais on ne peut pas limiter le temps qu'on y a 
consacré, attendu qu'en pareil cas la notion du temps n'existe 
plus. Oltramare. 



A PROPOS DE 

ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

DES MATHÉMATICIENS 



Réflexions sur les réponses ' aux questions 4 et 5. 

Par V. Bobynin (Moscou). 

Etant donné le nombre peu considérable des réponses à la 
première et principale partie de la question 4 2 , on est tenté 
de croire que les personnes qui étudient les mathématiques 



1 Voir l'Enseignement mathématique, 8 e année, n° 3, p. 217-225. — Traduction de M" Byck 
{Genève). 

3 Question 4. — Avez-vous conservé un souvenir précis de votre manière de travailler lors- 
que vous poursuiviez, vos études, alors que le but était plutôt de s assimiler les richesses d'au- 
trui que de vous livrer à des recherches personnelles ? Avez-vous sur ce point quelques ren- 
seignements intéressants à fournir ? 



136 ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

n'ont pas dans la première période de leurs études de mé- 
thode personnelle, tout au moins que ces méthodes sont in- 
conscientes et par conséquent ne laissent aucun souvenir. 

Dans vingt réponses 3 on constate que, pendant la première 
période des études, les élèves qui ont du goût pour cette 
science ont la tendance à faire des recherches personnelles. 

R. de Montessus clans sa rép. XLX dit : « 11 m'a toujours 
été très pénible d'apprendre ; je préférais chercher moi-même 
et trouver a ma manière la solution des questions exposées 
dans les cours ». 

Dans les réponses concernant la période des études supé- 
rieures universitaires), on rencontre, comme il fallait s'y 
attendre, une tendance plus accusée à cet égard. 

Un mathématicien allemand dans la Rép. VI dit: « Je m'oc- 
cupe de préférence de recherches personnelles. Lorsque je 
lis les travaux d'autres auteurs, je me borne souvent à lire 
les résultats et je cherche à les établir ensuite moi-même. » 

Boltzmann Rép. XXI) avait toujours des doutes sur ce 
qu'il lisait ou entendait, tant qu'il n'avait pas obtenu les ré- 
sultats par une voie personnelle. 

In mathématicien hollandais Jean de Yries (Rép. XXYII) 
dit : « J'ai toujours éprouvé le besoin de remanier un mé- 
moire ou un livre selon mon goût personnel ». 

Qu'est ce qui pouvait provoquer cette tendance chez les dé- 
butants qui sont encore bien loin de la période des investiga- 
tions. Il me semble qu'on n'a qu'une seule réponse sur cette 
question ; c'est que la tendance considérée est provoquée par 
la nature intellectuelle de l'homme, qui suit pendant l'étude 
de chaque science la même voie qu'a suivie l'humanité* en- 
tière, c'est-à-dire la voie des découvertes. 

Les mathématiques élémentaires de même que les supé- 
rieures doivent être enseignées de telle sorte, que l'élève, 
guidé par ses maîtres, participe seul à la découverte; des vé- 
rités et résolve lui-même toutes les questions qu'il rencontre. 

Et comme l'enseignement des mathématiques ne donne 
rien de pareil, on comprend pourquoi il ne satisfait pas tous 



s Rép. I, V, VI, IX. XIII. XIX. XXI. XXIII. XXVII. XXX. XXXV. XXXVI. XLV, XLVIII- 
LVII. LVIII. LXX1I. I. XXVII et LXXVIII. 



ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 137 

ceux qui avaient montré un intérêt spécial pour les mathéma- 
tiques. 

Cette observation se trouve d'ailleurs dans quelques ré- 
ponses, notamment dans celle de M. Ch. Méray (v. Rép. I . 
Plusieurs auteurs manifestent leur opinion sur les défauts 
que présente à ce point de vue renseignement élémentaire. 

Dans cinq réponses ' les auteurs se prononcent non pas 
seulement contre les « cours » de mathématiques, mais aussi 
contre la lecture en général des œuvres mathématiques. 

Il y a déjà longtemps qu'on rencontre ces idées et surtout 
la seconde. Ainsi, en parlant de Poinsot dans son introduc- 
tion à la 11""' édition de ses « Eléments île Statique », J. Ber- 
trand dit : « peu soucieux d'étudier les livres, il aimait à 
suivre ses propres idées 2 ». 

On sait qu'il en est de même de Carnot et de beaucoup 
d'autres. 

Rappelons encore quelques réponses qui parlent dans le 
même sens. Un mathématicien allemand, qui désire rester 
inconnu, écrit dans sa Rép. XIX : 

« Je n'ai jamais éprouvé beaucoup de plaisir à étudier des 
ouvrages d'une certaine étendue; une fois que je possédais 
les bases des branches spéciales, je cherchais à continuer 
par mes propres moyens. Il en résultait nécessairement des 
lacunes et des détours inévitables ». 

M. G. -A. Laisant (Rép. XXIII), dit : « l'étude dans les livres 
m'a toujours été très pénible. Il me semble qu'en principe 
il vaut mieux chercher par soi-même, sauf à contrôler et com- 
pléter ses résultats par des lectures ultérieures. Pour cela 
cependant un premier bagage général est nécessaire ». 

D'autres, au contraire, recommandent la lecture. Ainsi 
M. Méray (Rép. I), dit : «Je n'ai presque rien lu et le regrette. 
Je conseille aux autres de lire tant qu'ils pourront pendant 
leur jeunesse, mais en étant guidés de manière à éviter l'in- 
nombrable quantité d'écrits qui n'apprennent rien ». 

Il y a beaucoup de réponses par exemple XIX), où l'on 
considère comme obligatoire la lecture non pas seulement 



1 I, VI. XIX. XXIII et LXXVIII. 

3 Bull, des se. math, et astr., T. IV, p. 18, 187:1. 

L'Enseignement mathém., 9« année ; 1907. 



1:58 ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

pour les autres, mais aussi pour soi-même. On trouve cinq 
réponses concernant ce point de vue (V, XVIII, XXIII, XLIII 
et L . « Dès l'âge de 16 ans. dit un mathématicien italien 
Rép. V , lors de mon entrée dans les études universitaires, 
je pris I habitude de lire et d'étudier dans toutes les direc- 
tions, auteurs classiques et auteurs... de moindre valeur. Je 
voulais m'emparer de tout ce que Ton a fait en mathématiques ! 
En même temps je voulais faire des recherches pour mon 
compte ». 

Un autre mathématicien italien Rép. XYI1I dit: « J'ai tou- 
jours lu peu de livres, mais des bons. Je les étudiais com- 
plètement et je reviens souvent aux points qui sont restés 
obscurs ». Voir aussi la réponse XXXIII, du mathématicien 
français R. ÔVAdhémàr. 

Pour écarter les nombreuses difficultés que présente l'en- 
seignement des mathématiques, d'ALEMBERT n'a pas vu d'autre 
moyen que celui qu'il a donné dans son sage conseil : «Avan- 
cez et la foi vous viendra ». Ces mots caractérisent bien la 
situation. C'est par négligence que renseignement laisse sou- 
vent beaucoup de choses mal expliquées et par cela obscures, 
et même tout à fait inconnues. Pour l'élève les conséquences 
de cet état de choses sont considérables. Elles ne peuvent 
être aplanies que si les études sont bien coordonnées. 

Le conseil de d'Alembert s'adresse d'ailleurs à tous ceux qui 
s'occupent de mathématiques. Dans l'état actuel de l'enseigne- 
ment ils ne peuvent faire autrement. Ce point de vue ressort 
très nettement dans la réponse XLYI du mathématicien es- 
pagnol Zœl (j. de Galdeano : « Mes études universitaires 
une fois terminées, j'écrivis dans un gros volume toutes mes 
pensées sur l'enchaînement des idées mathématiques, la com- 
paraison des diverses méthodes d'exposition des auteurs que 
je connaissais, la formation des concepts mathématiques au 
point de vue de la logique et en cherchant la genèse des idées. 
Au lieu d'approfondir des points particuliers, j'ai cherché d'ob- 
tenir le moyen d'acquérir de la variété dans les connaissances 
avec l'idée que leur enchaînement produit souvent la connais- 
sance d'autres vérités. J'ai suivi l'idée de d'Alembert: Avancez 
el la foi vous viendra, conquérir les hauteurs et après appro- 



ENQUÊTE SLR LA MÉTHODE DE TRAVAIL L39 

fondir et vaincre des difficultés ». Cette réponse désigne bien 
la pensée du savant et la direction de ses travaux; elle montre 
clairement sa façon de suivre le conseil de d'Alembert. Il en 
est de même dans la réponse XXX du mathématicien norvé- 
gien Stôrmeb. 

Les difficultés qu'on rencontre en étudiant les mathémati- 
ques à cause de L'organisation de l'enseignement et qui sont 
souvent au-dessus des forces des gens peu doués, provoquent 
au contraire chez ceux qui ont du talent l'emploi des mé- 
thodes artificielles pour parvenir à comprendre le sujet, et 
pour s'engager eux-mêmes à faire des investigations person- 
nelles. Mais il n'est guère possible de donner des indications 
spéciales à cet égard. On en trouve cependant dans deux ré- 
ponses. L'une d'elles (XXXIX), appartient à un mathémati- 
cien grec N. rÏATZinAKis. Il parle de la première des deux 
questions, c'est-à-dire de la recherche des moyens particu- 
liers de l'étude. Il dit : « Quant à la manière de travailler, 
j'ai trouvé que j'apprenais bien mieux en cherchant à expli- 
quer le sujet à un autre étudiant en mathématique ». 

La seconde réponse (LVII) est donnée par un mathémati- 
cien des Etats-Unis, Edw. P. Thompson : « J'ai suivi les étu- 
des des autres plutôt que de m'engager dans des recher- 
ches personnelles, et cela à mon grand regret. Je conseil- 
lerais aux étudiants de s'initier de bonne heure aux recher- 
ches. » 

Voici maintenant quelques réflexions que me suggère 
l'examen des réponses à la question 5 l . On remarque tout 
de suite qu'il est difficile de découvrir chez les auteurs une 
direction consciente de leurs travaux après avoir achevé 
leurs études générales de mathématiques. Ainsi, dans la 
réponse (IX), qui appartient à un mathématicien français 



1 Question 5. — Une fois les études mathématiques usuelles (correspondant par exemple 
.m programme de la licence mathématique ou de l'agrégation ou de deux licences) terminées, 
dans quel sens avez-vous cru devoir orienter vos études ? Avez-vous d'abord cherché à 
acquérir une instruction générale très étendue sur plusieurs points de la science avant de 
produire ou de publier quelque chose de sérieux? Avez-vous au contraire cherché à appro- 
fondir d'abord un point particulier en n'étudiant à peu prés que ce qui était indispensable 
dans ce but ; et n'est-ce qu'ensuite que vous vous êtes étendu peu à peu ? Et si vous avez 
employé d'autres méthodes pouvez-vous les indiquer sommairement. Qu'elle est celle que 
vous préférez ? 



L40 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

anonyme , railleur dit : « Je n'ai employé, de parti pris, 
aucune méthode. J'ai seulement voulu élucider renseigne- 
ment que j'ai reçu, et avoir la réponse aux questions non 
résolues. J'ai travaillé, non pas pour savoir et me faire une 
carrière plus brillante, mais par simple curiosité. » 

Après avoir fini les études fixées par les exigences ofli- 
eielles, en abordant les travaux qui ont pour but un avance- 
ment de la science, les uns commencent par acquérir une 
instruction générale et plus complète dans les mathémati- 
ques, tandis que les autres suivent, dès le commencement, 
la voie étroite de la spécialisation particulière. 

11 v a 13 réponses 1 sur cette partie de la question 5, où les 
auteurs appartiennent à la première catégorie, et 11 2 à la 
seconde. De ceux qui appartiennent à cette dernière, il y a 
5 cas 3 où les auteurs passent graduellement de la spécialisa- 
tion particulière à une extension du domaine qu'ils étudient. 
11 arrive aussi des cas où l'absence de spécialisation n'est 
qu'apparente : c'est lorsque le savant réunit la théorie ii la 
pratique. La réponse de M. Maillet LUI est à peu près la 
seule. 

Les passages concernant la période qui a précédé le travail 
créateur offrent un grand intérêt. Il indique la voie de ce 
travail et les conditions dans lesquelles on est placé quand il 
se présente de nouvelles idées. 

D'après Zindler (rép. IV) et Jean de Yfues rép. XXYII . 
l'effet du travail préparatoire commence Lorsque le domaine 
d'investigation change en même temps que l'objet. Il se pré- 
sente alors une tendance à faire des recherches variées. 
Chacun aura" remarqué les intéressantes réponses de MM. E. 
Fabry (rép. XXXVII , X. Hadzidakis (rép. XXXIX), Amodeo 
rép. XLII), et Lergh (rép. XXXII , qui parlent d'une façon 
détaillée des études mathématiques. 

Pour découvrir et pénétrer dans un champ de recherches. 
M. Zindler retourne à Yétude des branches qu'il n'avait pas 
encore eu l'occasion d'approfondir. M. Jean de Yries tâche 



1 Rép. IV, V, XVIII, XXII, XXX. XXXV. XLVI. L, LVIII, LXVI, LX1X. LXX. LXXI. 
» Rép. VI. XVII. XXIII. XXVI. XXXV. XLI.XLV. XL1X. LXVIII. LXXII et LXXVII. 
* Rép. VI. XVII WVI. LXXII et LXXVII. 



ENQUÊTE SUR I.A MÉTHODE DE TRAVAIL 141 

d'abord de s'orienter dans le nouveau domaine et après seu- 
lement il crée, et il réussit. 

(i. de Longghamps (rép. LXXY guide tout à f'ail autrement 
la préparation aux investigations. Il dit : « A l'exception de la 
surface de Steiner que j'avais étudiée à fond parce que 
j'avais l'idée d'en faire le sujet d'une thèse de doctorat, je 
n'ai jamais cru utile de faire des études à priori sur un 
sujet adopté. Je crois qu'il est préférable de chercher une 
voie, et une fois engagé, de se documenter sur une idée 
originale et susceptible d'être poursuivie avec les éléments 
nouveaux obtenus. » 

BoLTZMANN rép. XXI donne des renseignements plus pré- 
cis sur la manière de guider les travaux de recherches; il 
dit : « Je considérais toujours d'abord des cas plus particu- 
liers et afin de bien faire comprendre la véritable signifi- 
cation d'un théorème, et ce ne fut qu'ensuite que je cher- 
chais la démonstration générale. » 

MM. de Longchamps rép. LXXV)et F.-J. Vaes (rép. LXXXI 
donnent quelques indications sur les circonstances extérieu- 
res et accessoires pendant lesquelles il arrive des idées sur 
un sujet nouveau et sur sa solution, par exemple au cours 
d'une promenade, ou pendant les insomnies. Nous renvoyons 
le lecteur à leurs réponses. Une seule réponse (LXXY1 1 1 
examine la manière d'envisager les résultats finaux des tra- 
vaux personnels. Cette réponse est très instructive. On en 
conclut que quelques mathématiciens confondent avec le 
temps ce qu'ils ont étudié et ce qu'ils ont créé eux-mêmes. 
Cela provient peut-être de la nature de l'esprit humain qui 
veut suivre la voie naturelle des découvertes et, inconsciem- 
ment, il a la tendance de croire que tout ce qu'il a étudié il le 
doit à des découvertes personnelles. L'auteur (LXXV1II 
dit : » Je confonds facilement au bout de peu de temps ce 
que j'ai écrit avec ce que j'apprends chez les autres, pourvu, 
bien entendu, qu'il ne s'agisse pas de théorèmes fondamen- 
taux et de résultats absolument nouveaux. Si l'on me posait 
des questions sur les recherches que j'ai publiées, je devrais 
d'abord me préparer comme pour une chose étudiée depuis 
longtemps. » 



MELANGES 



Le stéréoscope et ses applications scientifiques'. 

L4. — Dos Stereoskop*, Anleitung zur selbstàndigen Herstellung 
eines Stereoskops, mit Modellbogen, von M. Mittag. — Ce petit 
ouvrage est destiné à la jeunesse. Il permet à un jeune garçon de 
construire lui-même son stéréoscope et de se familiariser ainsi 
avec les principes de cet appareil tout en jouant. Par un exposé 
très clair, accompagné d'utiles comparaisons, l'auteur a su se 
mettre à la portée de l'enfant. Son petit opuscule constitue un 
excellent ouvrage d'initiation. 

15. — Das Stereoskop, 3 und seine Anwendungen, von Prot. 
Th. Hartwig. — Lorsque nous avons entrepris cette série de 
petites notes destinées à rappeler les avantages que présente le 
stéréoscope dans renseignement scientifique et à taire connaître 
le matériel dont on dispose, nous cherchions en vain une mono- 
graphie à signaler à nos lecteurs dans laquelle ils trouveraient les 
principes et les applications modernes de cet appareil. Un tel ou- 
vrage vient de paraître et nous nous empressons de le mentionner à 
cette place. Auteur d'une remarquable collection de planches sté- 
réographiques pour la cristallographie voir la note 11, p. 477, 
UEns. math.. 1906 , M. Hartwig semblait tout particulièrement dé- 
signé pour écrire cette utile monographie. Le volume comprend 
sept parties, dont voici les titres: I. La chambre photographique 
et l'œil humain. — II. La vision monoculaire et le vérant. — III. La 
vision binoculaire et le stéréoscope. — IV. Stéréogrammes el 
effets stéréoscopiqués. — Y. Les téléstéréoscopes et la photogra- 
phie à grande distance. — VI. Le microstéréoscope. — VIL Le 
stéréocomparateur. 

L ouvrage est accompagné de 1!) stéréogrammes fort bien choisis 
et très variés; ils forment un excellent matériel de démonstration. 
Au moment où l'emploi du stéréoscope pénètre dans les sciences 



1 Ces iiOtes font suite aux articles sur les vues stéréoscopiqués pi>u>- l'enseignement <1c la Géo- 
métrie. — Voir VEnseign. mathém., 8« année, 1H06, n» 5. p. 385-390 : n" il. p. 'i7ô-'*7s ; 9« année, 
n» 1, p. 61-63. 

3 Librairie O. Maier. Ravensbourg : 1 fasc. de 16 p. avec de nombreuses figures. — n° 5 de 
la Collection Spiel u. Arbeit. 

5 Librairie Teubner, Leipzig ; 1 vol. 70 p. avec 40 fig. el 19 vues stéréoscopiqués ; IMk. 25; 
<le la Collection Ans Xatur u. Geisteswelt. 



.)/ E I. . I X G E s 



143 



les plus diverses, depuis la minéralogie jusqu'à la mesure des 
distances astronomiques, ce petit volume est appelé à rendre de 
grands services dans les établissements secondaires supérieurs et 
dans les laboratoires. 

16. — Le stéréoscope Zeiss\ — Les progrès de la stéréoscopie 
devaient nécessairement dépendre en première ligne des perfec- 
tionnements apportes aux instruments. Pour l'usage courant, dans 
les familles et en classe, la boite stéréoscopique de Brewster et le 
stéréoscope à main resteront toujours d'un emploi très répandu. 
Les améliorations ont porte principalement sur le stéréoscope de 
laboratoire et sur son adaptation à divers instruments de préci- 




sion ; (dles sont dues, en grande partie, aux efforts d une maison 
bien connue pour tout, ce qui touche aux instruments d'optique, la 
Maison Zeiss à léna. 

Nous signalerons ici son stéréoscope nouveau pour épreuves 
stereoscopiques du formai ordinaire : il présente sur l'appareil à 
main du modèle courant l'avantage de permettre d'examiner les 
images dans de meilleures conditions. L'appareil est muni de deux 
réglages, l'un K pour modifier, suivant la vue de l'observateur, la 
distance entre les lentilles oculaires et les épreuves, l'autre W pour 
adapter l'écartement des oculaires à I'écartement des yeux et à la 
distance entre les points correspondants des deux images. 11 peut 



1 Stéréoscope avec oculaires simples de 1" 
cm.. 46 Marks, 



•ni. de loyer, 'ill Mark 



ivec oculaires de 10 



I i i .¥ /: /. . / .V G E S 

être employé indifféremment pour des vues sur papier ou pour 
des positifs sur verre 1 . 

Nous avons eu l'occasion de constater que la vision stéréoseopi- 
que varie souvent beaucoup avec les élèves. Le stéréoscope nou- 
veau permet, mieux (pie le modèle courant, d'apprécier les diffé- 
rences d'un observateur à l'autre. Il suffit d'examiner le tableau- 
épreuve imaginé par M. C. Pulfrich 2 . Ce tableau contient une 
série de figures géométriques complètement dépourvues de tout 
faux effet stéréoscopique ; ainsi elles ne présentent pas trace de 
perspective. Grâce à cet artifice, celui-là seul qui est capable de voir 
stéréoscopiquement, peut saisir la véritable disposition des figures 
dans l'espace. Le tableau peut donc être utilisé pour un contrôle 
qualitatif et quantitatif de la vision stéréoscopique, mais il peut 




aussi servir à exercer la vision binoculaire et à développer la per- 
ception de la profondeur. 

Ce nouveau stéréoscope permet aussi d'initier les étudiants à la 
méthode des mesures stéréoscopiques et d'étudier le principe et 
les avantages de cette méthode en la comparant aux procédés 
monoculaires. Dans ce but on fait usage du stéréo-micromètre 
celui-ci se compose d'un cadre rectangulaire (ig. 2 , que l'on 
place sur l'image qui se trouve sur la platine du stéréoscope. 
L'appareil micrométrique est adapté à la partie supérieure du 
cadre. Lorsqu'il s'agit d'obtenir des mesures d'une grande préci- 



1 Parmi les plaques éditées par la maison Zeiss. signalons le tableau épreuve pour adultes : 
la vue portant une échelle des distances, les corps géométriques, la lune, etc. 

3 V. y.eitsch. f. Instrumentenkunde, XXI. p. 2'«9. 1901. — Consulter aussi l'ouvrage de M. 
Hartwio on trouvera, entre autres, une échelle des distances parmi les stéréogrammes placés 
à la tin du volume. 



MELANGES 145 

sion on remplace le stéréoscope par un stéréomicroscope ; l'en- 
semble porte alors le nom de stéréomètre 1 . 

17. — Les applications de la Stèrêoscopie en Topographie et en. 
Astronomie. — L'étude des mesures stéréoscopiques et de leurs 
applications a donné lieu à d'intéressantes recherches 2 concer- 
nant l'évaluation des distances d'après des photographies. Ces 
mesures sont obtenues d'une manière très exacte au moyen du 
stéréo-comparateur imaginé par M. Pulfrieh et construit par l;i 
Maison Zeiss. On obtient cet appareil en remplaçant le stéréoscope 
ordinaire par un microscope binoculaire ; les mesures peuvent 
alors être faites avec une grande exactitude. On comprend aisé- 
ment qu'en Topographie et en Astronomie, comme encore dans 
d'autres branches, on se soit immédiatement emparé de cette 
sorte de télémètre perfectionné ; il suiïit d'avoir des vues fournies 
soil par le photo-théodolite, soit parla photographie stéréoscopi- 
que. .Nous donnerons une idée suffisante de la grande portée de 
ces méthodes en indiquant ici quelques-uns des problèmes qu'elles 
permettent de résoudre : 

En Topographie. Tracé de plans topographiques très exacts ; 
construction des courbes de niveau, des profils, etc.; lever des 
tûtes à partir d'un navire au moyen d'épreuves téléstéréoscopi- 
ques ; etc. 

En Astronomie. Mesure des parallaxes sensibles des étoiles et 
des nébuleuses : étude des taches solaires et des mouvements qui 
se produisent sur le soleil ; mesure de l'altitude des montagnes de 
la lune ; étude de la libration de la lune: etc. 

En Météorologie et en Géologie. Mesure de l'altitude des nuages, 
des aurores boréales, des étoiles filantes ; études géologiques dans 
les hautes montagnes ; étude des mouvements des glaciers. 

.1 titres applications. Mesure anthropométrique de crânes ; déter- 
mination des dimensions d'oeuvres d'arts, d'objets divers, d'ani- 
maux vivants, etc. 

Ces quelques notes destinées à signaler les applications didac- 
tiques et scientifiques du stéréoscope donnent un aperçu, bien 
incomplet il est vrai, du chemin parcouru depuis l'appareil de 
Brewster (Londres, 18Ô0 jusqu'aux remarquables instruments de 
précision que l'on trouve sous les noms de stéréomètres ou de 
stéréocomparateurs. Sans perdre de vue son but primitif, la sté- 
réoscopie a considérablement augmenté le nombre de ses pro- 



1 Pour la description complète et les prix voir les catalogues de la maison Zeiss. 

3 Voir notamment les articles de M. Pulerich dans la Zeitschr, f. ïnstrumentenkunde (depuis 
1901. Voir aussi Laussiîdat, De l'emploi du stéréoscope en topographie et en astronomie, C. 
II. t. l'34, p. 22-28, 1003 : la stéréoscopie appliquée à la construction des plans, dans le t. Il de 
ses » recherches sur les instruments topographiques », 1903, p. 2(19-280. 



146 CHRONIQUE 

blêmes en cherchant toujours à tirer parti des progrès de la 
science et de l'outillage scientifique. 11 y a là un bel exemple de 
ce que peut fournir une collaboration étroite entre les savants et 
leurs précieux auxiliaires les constructeurs. II. Fehr. 



CHRONIQUE 



IV e Congrès International des Mathématiciens. 
Rome 6-11 avril 1908. 

Le Comité d'organisation du 4' Congrès International des Ma- 
thématiciens vient de lancer sa première circulaire. Le Congrès 
aura lieu à Hume, du 6 au 11 avril 1908. 

On sait que les Congrès précédents ont été tenus à Zurich L897 . 
à Paris L900 . à Heidelberg 1904 . C'est précisément pendant 
cette dernière réunion que Rome fut choisie comme siège du 
Congrès suivant; la proposition fut accueillie par acclamation, car 
chacun voyait là une occasion pour rendre hommage a la part 
importante que prennent les mathématiciens italiens au mouve- 
ment scientifique contemporain. 

En s'inspirant du but pour lequel ces Congrès internationaux 
ont été particulièrement institués, le Comité a pensé qu'il serait 
utile de jeter un regard sur les principaux résultats obtenus jus- 
qu'ici, et sur les grands problèmes qui attirent encore l'attention 
des mathématiciens. Dans ce but, il organisera une série de confé- 
rences qui pourront donner une idée de l'état actuel des princi- 
pales branches des Mathématiques et de leurs applications. Le 
Comité s'est déjà assuré le concours de MM. G. Daisisoix, A. Pi. 
Forsyth, D. Hilbert, F. Klein, 11. A. Lorentz, G. Mittag- 
I .ii ii. kis, S. Xewcomb, E. Picard, H. Poixcaré. qui ont consenti a 
faire dans les séances plénières des conférences sur des thèmes 
qui seront indiqués par la suite. 

11 est décidé, dès maintenant, que le Congrès sera divise en 
quatre sections : 

I. Arithmétique. Algèbre, Analyse. — 11. Géométrie. — III. Méca- 
nique, Physique mathématique. Mathématiques appliquées. - 
IV. Questions philosophiques, historiques et didactiques. 



CHRONIQUE 147 

Une autre circulaire viendra préciser le programme du Congrès 
et indiquer les réceptions offertes aux savants qui voudront bien y 
prendre part. 

Le Comité d'organisation est composé comme suit : 

P. Blaserna, président; G. Castelnuovo, secrétaire général; 
\. Iikina. trésorier; V. Cerruti ; A. Di Legge ; G. Pittarelli ; 
A. Sella : A. Tonelli ; V. "\ olterra. 

Pour tous les renseignements se rapportant au Congrès, s'adres- 
ser au Secrétaire général du Comité d'organisation : M. le Prof. 
G. Castelnuovo, 5, Piazza S.Pietro in Vincoli, Rome Italie). 



Association scientifique internationale espérantiste ; 
création d'un Bureau permanent. 

Dans une réunion tenue, le .'5i août dernier, à Genève, à l'occa- 
sion du 2 e Congrès universel de l'Espéranto, un certain nombre 
d'hommes de science, membres de ce Congrès, ont exprimé leur 
intention de créer une Association scientifique espérantiste réunis- 
sant les savants e1 les amis des sciences de tous les pays qui, 
convaincus de l'utilité de la langue auxiliaire internationale « Espé- 
ranto » pour la diffusion des sciences, seraient disposés à cherchée 
à en propager, le plus rapidement possible, l'emploi dans le 
monde scientifique et notamment a en introduire l'usage dans les 
Congrès internationaux, a côté des langues nationales multiples 
qui sont aujourd'hui acceptées pour les communications faites 
dans ces Congrès. 

Pour faciliter la réalisation de ce programme, M. René de 
Saussure, Privat-docent à l'Université de Genève, vient de consti- 
tuer dans cette dernière ville un Bureau permanent, qu'il met à la 
disposition de l'Association. 

Il compte apporter le concours de ce Bureau, tant à la rédaction 
des Revues ' scientifiques espérantistes qu'à l'œuvre, déjà entre- 
prise par ces Revues, de la préparation des vocabulaires techni- 
ques de la langue Espéranto, et, à cet effet, il s'est assuré la colla- 
boration d'un grand nombre de savants. 

Après avoir obtenu, à ce sujet, l'assentiment du D' Zamenhof, 
auteur de la langue Espéranto, ainsi que celui de M. Boi-rac, pré- 
sident du Comité linguistique espérantiste , le Comité de l'Asso- 
ciation, composé de M. II. Sebert, Membre de l'Institut de France, 
et de M. C. Bourlet, Professeur au Conservatoire des Arts et 
Métiers de Paris, a accepté avec empressement la proposition de 
M. de Saussure. 



1 A la suite d'un arrangement spécial avec le comité de rédaction de Vïnternacia Scienca 
Hevuo. cette importante revue, publiée jusqu'ici a Paris et rédigée entièrement en Espé- 
ranto, paraîtra désormais à Genève mensuellement et sera l'organe oiïiciel du Bureau. 



148 CHRONIQUE 

Le Bureau permanent portera le nom de Bureau scientifique 
international espéra /ttistc. 

L'une de ses premières missions consiste à recueillir de nou- 
velles adhésions à la Déclaration signée par 1rs membres de la 
réunion de Genève, et à préparer l'organisation définitive de l'As- 
sociation scientifique espérantiste. 

Nous pensons que l'Association devra comprendre non seule- 
ment les personnes qui s'occupent des Sciences pures, mais aussi 
celles qui s'occupent des applications de la science aux Arts et à 
l'Industrie, ainsi que celles qui portent intérêt a la Science, dans 
son acception la plus générale. 

Pour les adhésions et les renseignements, s'adresser au Bureau 
scientifique international espérantiste, 8, rue Bovy-Lysberg, Genève. 



Un journal mathématique- en espéranto. 

An moment où le vocabulaire scientifique en espéranto est 
encore en voie de formation, le Bureau scientifique fondé par 
M. de Sai ssure est appelé à rendre de grands services aux publi- 
cations et revues spéciales qui ne tarderont pas à éclore de divers 
côtés. Ce sera précisément le cas de la Gazeto Matematika Inter- 
nacia qui va se fonder à Rotterdam, sur l'initiative de M. F.-.l. 
Yaes. Les mathématiques possèdent déjà un projet de vocabulaire, 
le Matematika Terminant 1 , de M. Bricard ; elles auront donc un 
périodique en espéranto. Nous en rendrons compte dès que nous 
aurons reçu les premiers fascicules. Souhaitons, pour le moment, 
que cette tentative soit bien accueillie des mathématiciens espé- 
rantistes et qu'elle ne tarde pas à en augmenter le nombre. 

Les adhésions et les articles sont reçus, dès ce jour, par 
M. F.-J. Yaks, Mathenesserlaan, 290, Rotterdam. IL F. 



Association allemande pour l'avancement de l'enseignement 
des sciences mathématiques et naturelles. 

La 1(5' réunion de cette Association Verein zur Fôrderung 
des Unterrichts in der Mathematik und den Naturwissenschaften 
aura lieu à Dresde du 21 au 24 mai. L'ordre du jour comprend, 
entre autres, deux rapports qui seront suivis de discussions, l'un 
de M. Kraisk, sur le rôle des écoles techniques supérieures dans 
la formation des maîtres de mathématiques et de physique ; l'antre. 
de M. Rimxfiardt, sur les vœux exprimés par les maîtres au sujet 



1 V. dans l'Ait, math., nov. 1906, p. i94-495, l'analyse qu'en donne M. do Saussure. 



CHRONIQUE 149 

de renseignement supérieur destiné aux candidats à l'enseigne- 
ment. 

Nous comptons pouvoir donner un aperçu de ces travaux. 



Association italienne pour l'avancement des sciences. 

Le Congrès des naturalistes italiens, tenu à Milan en septembre 

1906, a décidé de faire un appel à tous les savants italiens en 
faveur de la fondation d'une Association permettant de grouper 
toutes les sciences. Bien qu'il y ait déjà eu plusieurs Congrès 
scientitiques dont le premier remonte à l'année 1839 Pise , l'Italie 
manquait d'une Association ouverte à toutes les branches scienti- 
fiques et possédant une organisation analogue à celle des Associa- 
tions pour l'avancement des sciences. De pareilles Sociétés exis- 
tent en Suisse depuis 1815, en Allemagne depuis 1822, en Angle- 
terre depuis 1831, aux Etats-Unis depuis 1833, en France depuis 
1864 ; l'Australie et l'Afrique du Sud ont également créé des grou- 
pements analogues. 

La circulaire qui vient d'être lancée à tous les savants de l'Italie 
rappelle ces dates et insiste, ajuste titre, sur les services que peut 
rendre la Société Italiana per il progresso délie Scienze. Elle 
annonce que le premier Congrès aura lieu à Panne en septembre 

1907. Le Comité, tel qu'il a été constitué au mois de septembre der- 
uier à Milan, est composé comme suit : 

Ettohe Airnxi. — Deputato Pietro Cardaxt. — Giov. Celoria. 
— Arturo Issel. — Fh. Sav. Moxticelli. — Senatore Fmanuele 

PaTERNO. — ROiMUALDO PlROTTA. GuGLIELMO PlOMITI. AlFOXSO 

Sella. — Senatore Vito Volterra. 

Les adhésions et communications sont reçues à l'adresse du 
Comité. 23, Via del Collegio Romano, Rome. 



Faculté des Sciences de Paris. 

Thèses soutenues en 1906 en vue du doctorat es sciences mathé- 
matiques : 

Doctorat d'Etat. — Carrls : Familles de surfaces à trajectoires 
orthogonales. — Fréchet : Sur quelques points du Calcul fonc- 
tionnel. — Lattes : Sur les équations fonctionnelles. — Fayet : 
Recherches concernant les excentricités des comètes. — Saixt- 
Blancat : Action d'une masse intramercurielle sur la longitude de 
la lune. 

Doctorat d'Université. — Re.mocxdos : Sur les zéros d'une classe 
de fonctions transcendantes. 



150 CHRONIQUE 



L'Exposition mathématique de l'Université Columbia 
de New-York. 

Le Teachers Collège 1 de L'Université de Columbia vient d'orga- 
niser une Exposition mathématique permanente comprenant toul 
le matériel utile à l'enseignement, depuis l'école frœbelienne jus- 
qu'aux cours les plus élevés des sciences mathématiques. Cette 
exposition, qui est extrêmement variée, comprend une série de 
sections. Nous n'en pouvons donner une description détaillée. 11 
suffira à mettre en lumière le caractère même de cette heureuse 
initiative qui, espérons-le. trouvera «les imitateurs dans d'autres 
établissements. 

Mentionnons tout d'abord la collection des instruments et des 
appareils mathématiques destinés au.x divers degrés des établis- 
sements élémentaires et supérieurs. 11 a été largement tenu 
compte du côté historique et de l'intérêt que présentent certains 
instruments astronomiques tels que l'astrolabe et le sextant. A si- 
gnaler aussi d'anciens globes terrestres. 

On y trouve encore une belle collection de mécanismes anciens 
concernant le calcul mécanique, entr'autres les essais faits par les 
Chinois et les Japonais. 

L'Exposition renferme une belle série de portraits de mathéma- 
ticiens; faute de place, elle a dû faire un choix de 40 portraits 
parmi les 2,000 réunis par M. Dav.-Eug. David au cours de ses 
voyages en Europe. On sait qu'il a entrepris la publication d'un 
choix de portraits : les deux portefeuilles parus ont été signalés 
dans VEns. math. 

Puis viennent les médailles de mathématiciens, les autographes, 
des manuscrits rares, des ouvrages annotés par les auteurs, et une 
très belle série d'ouvrages anciens présentant un grand intérêt 
historique. 

Pour un grand nombre d'objets exposés il sera tiré des clichés 
destinés aux leçons accompagnées de projections. 

On ne peut que féliciter vivement les organisateurs de cette 
utile exposition, et tout particulièrement son fondateur et direc- 
teur M. le Prof. Dav.-Eug. Smith. 

Association des naturalistes et médecins allemands. 

La prochaine réunion annuelle aura lieu à Dresde, du l."> au 
22 septembre 1907. La Section des Sciences Mathématiques sera 



1 L'Enscigii. math, a publié un aperçu de l'organisation des études. [V. n" île juillet, 1904, 
p. 313-316.1 



CHJtO NIQUE 151 

présidée par M. le Professeur Kn \ i si: Dresde . A l'occasion de 
cette réunion il sera organisé une Exposition d'instruments et 
d'appareils scientifiques. 



Réunion des philologues et professeurs allemands. 

La 49 e réunion aura lieu à Baie, du T.\ au 27 septembre 1907, 
sous la présidence de MM. Munzer et Schaiblix, professeurs à 
Bâle. Au nombre des onze Sections figure une Section des Sciences 
mathématiques et naturelles ; elle sera présidée par deux profes- 
seurs bâlois, MM. BriîKHAKDT et Veillon. 

Ce Congrès se tiendra a Bâle, de manière à provoquer un échange 
de vue entre les professeurs allemands et leurs collègues suisses. 
La Société suisse des professeurs de Gymnase, qui tient habitu- 
ellement ses séances en octobre, vient de renoncer à sa réunion 
annuelle, afin de permettre à ses membres de participer au Con- 
grès de Bâle ; tandis (pie l'Association suisse des professeurs de 
mathématiques tiendra précisément son assemblée annuelle à Bâle, 
à l'occasion de ce Congrès. 



II e centenaire d'Euler. 

Dans les séances dont il vient d'être question, on ne manquera 
pas de rappeler le nom de l'illustre bâlois Léonard Euleh, qui fut 
non seulement le plus grand savant de son siècle, mais qui compte 
parmi les plus grands penseurs de tous les temps. 

La Société mathématique de Berlin se propose de célébrer le 
200 e anniversaire de la naissance d'Euler, en une séance solen- 
nelle, qui aura lieu le lô avril (jour de la naissance), sous la prési- 
dence de M. Schafhkitlix. On sait que le savant bâlois resta à 
Berlin de 17M à 1766. MM. Valentin, Kneser et Kotter parleront 
du savant, de son séjour à Berlin et de ses travaux dans les divers 
domaines scientifiques. 

On remarquera, d'autre part, dans les programmes des cours 
de l'Université de Berlin, que M. Knoblauch consacre précisément 
l'un de ses cours à l'œuvre de Léonard Euler et à son influence 
sur les mathématiques modernes. 

Nominations et Distinctions. 

M. S. Epsteen est nommé professeur extraord. à l'Université de 
Colorado. 

M. E. Grossmann est admis en qualité de privat-docent pour 
l'Astronomie à l'Université de Munich. 



152 CHRONIQUE 

M. G.-W . Jones, professeur de Mathématiques à la Cornell- 
Université, prend sa retraite après 30 ans de fonctions. 

M. Nielsen est nommé professeur extraord. à l'Université de 
Copenhague. 

M. Ernest Lebox Paris a obtenu une Médaille d'or à L'Exposi- 
tion internationale de Milan pour l'ensemble de ses publications 
scientifiques. 

M. R. Muller, professeur à l'Ecole technique sup. de Braun- 
schweig, est nommé professeur ord. de Géométrie descriptive à 
l'Ecole techn. sup. de Dresde. 

M. ^. Oppolzkk. professeur extraord., est nommé professeur 
ord. à l'Université d'Innsbruck. 

M. C.-K. Russjan, professeur à l'Ecole techn. sup. de Lemberg, 
est nommé professeur de Mathématicpies pures «à l'Université de 
Charkow. 

Nécrologie. 

M. E. Jcroexs, professeur à TEcole techn. sup. d 'Aix-la-Chapelle, 
est décédé le 5 janvier 1907. à l'âge de 56 ans. 

M. A. Oudemaxs, professeur d'Astronomie à l'Université 
d'Utrecht, est décédé le 13 décembre 190(5, dans sa 78'' année. 

M. A. Sicharda, professeur émérite de l'Ecole techn. sup. de 
Brunn, est décédé le 20 février 1907, à l'âge de 52 ans. 

M. Joseph Lyon. — Nous enregistrons avec regret la mort de 
M. .1. Lyon, survenue à Genève le 20 janvier 1907, à la suite d'un 
accident de tramway. D'origine russe, M. Lyon termina ses études 
a Paris par une thèse de géométrie supérieure, en 1890. Cette 
même année il vint &e fixer à Genève et professa à l'Université en 
qualité de privat-docent. Il n'était âgé (pie de 49 ans. II. F. 

Notice sur le Colonel Mannheim. 

Nous avons déjà consacre quelques lignes au Colonel Mannheim 
en annonçant sa mort dans notre numéro de janvier. 

Dans un des prochains numéros, nous publierons une Notice 
sur la vie et les travaux du savant aréomètre. La Rédaction. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

Semestre d'été li>07. 

Note de la Rédaction. — Afin d'éviter tout retard dans la publication 
des programmes, qui nous parviennent souvent très tardivement, nous prions 
nos collègues des universités et écoles techniques supérieures d'insister 
auprès de leur secrétariat pour l'envoi rapide des listes de cours. Nous 
voudrions pouvoir les publier en mois, pour le semestre d'été, et eu sep- 
tembre pour le semestre d'hiver. Prière d'adresser les envois, si possible 
avant le fer m ars et le t eT septembre, à M. II. Fihr, Professeur à l'Uni- 
versité de Genève. 

Nous saisissons celte occasion pour remercier ceux des professeurs qui 
veulent bien nous faciliter la publication des programmes par l'envoi direct 
des extraits, sous forme manuscrite, d'après la disposition adoptée par la 
Revue. 

ALLEMAGNE 

Berlin; Universitât. — Schwarz: Integralrechn ; I bgn. dazu ; Théorie 
der ellipt. Fnnktionen ; Ausgew. Kapitel der Th. (1er analyt. Funktionen : 
Mal hem. Kolloquien ; Seminar. — Frobexius : Th. der algebr. Gleich- 
iingen ; Sein. — Schottkt : Poteutialtheorie ; Spezielle Funktionentheorie ; 
Seminar. — Hettner : Uber Fouriersche Reihen und Intégrale. — Kno- 
blauch : Uber Leonhard Eulers Werke und ihre Bedeutung fur die neuere 
Mathematik ; Theoiàe der krummen Fliichen II; Théorie der Raumkur- 
ven II. — Lehmann-Filhès : Differenlialrechn. ; Ubgn. dazu.-ScHi h : Th. 
i\cr Determinanten. — Landau : Variationsrechn. Wahrscheinlichkeits- 
rechn. — Foerster : Gescliichte der neueren Astronomie: Fondamentale 
Ausgleichung von Zeit- und Raumrechnung. — Struvk : Prakt. Astronomie : 
Seminar. — Bauschikger : Th. der Stôrungen ; Iuterpolalionsrechn. u. 
mechanische Intégration. — Marcuse : Einfùhrung in die aslron. Géogra- 
phie ^ot\ Erdphysik : Th. und Anw. astronomischer Instrumente- — Ristetj- 
i'.\rt : Gemeinverstandliche Himmelskunde ; Der Merkursdurchgang 1907 
und verwandte Erscheinungen. — Helmert : Figur der Erde ; Geodâtische 
Dreiecke. — Rubens : Mathem. Erganzungen zur Experimentalphysik. — 
Planck : Mechanik deformierbarer Kôrper ; Ubgn. — Neesen : Geometri- 
sche Oplik. 

Bonn; Universitât. — - Study : Differentialgeometrie ; Ausgw. Kapitel der 
Mechanik : Seminar. — Kowalewski : Das Problem der Kreisteilung : 
Allgemeine Th. der Differentialgleichungen ; Ubgn. dazu. — Loxdox : Ele- 

L'Enseigncnient mathém., 9« année: 1907. 11 



1 5 ', y T E s /■: 1 I) O ( U M E S I s 

mente der Diff.- und [nlegralrecbn. ; Ubgn. dazu; Axonometrie und Pers- 
pektive mil Zeichenûbungen. — Schmidt : Bestimmte Intégrale; Grundlagen 
der Mengenlehre und der Théorie der reelen Funktienen. — Mônnicbmeyer 
Mechanik des Himmels; Prakt. Ùbgn. — Kustkeb : Th. der Bahnbeslim- 
mung der Planeten und Kometen II. Astron. Kolloquium. 

Braunschweig ; Teckn. Hochschule. — Fricke : Diff.- und Intègral- 
rechnune I mit Ûbgn. ; Trigon. Reihen und harmonische Analyse ; Vekto- 
rentheorie. — N. N., Géométrie der Bewegung : Ausgew. Kapilel ;ius der 
Th. der Kurven und Flëchen. — Wernicke : Statik starrer und elastischer 
Kôrper. — Wiegharbt : Technische Mechanik 1; Ausgewahlte Kapitel aus 
der aualvt. Mechanik; Ausgew. Kapitel aus der Festigkeitslehre und Stalik 
derBaukonstruktiooen. — Koppe : Geodàsie II ; Ausgleichungsrechn. ; Grund- 
ziïge der sphàr. Astronomie; Vermessungsûbungen. — Schôttler : Kinema- 
tik. 

Breslau . Univers itât. — Rosanes : Diff. Rechnung und Elemente derlnle- 
eralrechn. : Seminar. — Sturm : Geom. Verwandtschaften I ; Geoin. Ab- 
schnitte der Mechanik. Seminar. — Knesek.: Die allgemeinen Prinzipien der 
Dynamik; Théorie der Fourierschen Reihen und Intégrale; Seminar. — 
Franz : Geodiisie. niedere und Elemente der hôheren ; Geodâtisch-astron. 
Praktikum ; Ûbgn. ûber die Théorie der Astronomie. — Sch.ïier: Theore- 
tische Mechanik. 

Danzig ; Techn. Hochschule. — Lorenz : Einf. in die Mechanik mit t'bgn. 
Ausgew. Kapitel aus der Mechanik. — v. Mangoldt : Hôhere Mathematik 1. 

— Schilling: Darst. Géométrie mit Ubgn.; Graphische Stalik: mit Ubgn. 

— Sommer: Hôhere Mathematik II mit Ubgn. : Einf. in die hôh. Mathema- 
tik. 

Darrastadt; Techn. Hochschule. — Di.ngeldey : Elemente der hôh. Algebra 
Hôh. Mathematik. I — N. N„ Ausgew. Kapitel ans der Mathematik ; Hôh. 
Mathematik. — Gr.eij: : Hôhere Mathematik II. — Wiener : Darst. 
Géométrie I; Synth. Géométrie ; Arbeiten im inathem. Institut. — Henne- 
berg : Mechanik I ; Reine Kinematik. — Schi.ink : Ausgew. Abschnitte der 
Slatik: Die Hauptsâtze der Mechanik. — Pfarr : Hydranlik. — Fehker : 
Geodàsie : Ausgleichung nach der Méthode der kleinsten Quadrate. 

Erlangen ; Universitât. — Gorban: Algebra: Raumgeometrie ; Seminar. 
Nœther : Diff. und Integralrechnung II; Analyt. Mechanik. — IIilb: Ein- 
leitend-mathematische sowie synthetisch- unddarstellend-gebmetrische Vor- 
triige und Uebungen. 

Freiburg i. Br. ; Universilàt. — Luroth: Ellipt. Funktionen ; Theoret. As- 
tronomie. — Stickelberger : Integralrechn. ; Ubgn dazu : Infinitesimalgeo- 
metrie. — Lcewï : Algebr. Gleichungen ; Einf. in die hôh. Mathematik mit 
Anw. auf Fragen «1er Naturwissenschaften ; Seminar. — Weingarten : Ueber 
die Déformation der Flàchen. — Seith : Die Kegelschnitte in elementargeo- 
metr. Behandlung. — Kœmgsberger : Mechanik der festen, flùssigen und 
gasfôrmigen Kôrper: Geophysik. — Tollé : Mechanische Technologie I. 

GÔttingen ; Universitât. — Klein: Kurven und Fliichen ; Seminar. — 
Hilbert : Th. der Differentialgleichungen mit einer unabh. Variabeln ; Se- 
minar. — Mi.nkowsk! : Variationsrechnung ; Wàrmestrahlung : Seminar. — 
Runge : Numerische Auflôsung von Gleichungen mit Ubungen : Photogram- 
metrie mit Uebungen : Seminar. — Brendel: Versicherunersrechnung ; Ver- 



.Y T E S E T DOCU M E Y T S 155 

sicherungsseminar ; Arbèiten auf déni Gebiele der Stôrungslheorie. — 

Prandtl : Einf. in die Therinodynainik ; Maschinenlehre ; Seminar. — llii; 
gi.otz : Lineare Differentialgleichungen ini komplexen Gebiete. — Cara- 
theodory : Diff.- und Integralrechn. I. — N. N. : Analyt. Géométrie. — 
Schwarzschild : Populàre Astronomie ; Rotation der Himraelskôrper ;Aslro- 
physik. Praktikum; Seminar. — Ambronn : Geogr. Ortsbeslimmungen ; 
Bahnbestimmungen von Doppelsternen. 

Greifswald ; Universitât. — Thomé : Mechanik I ; jEbene algeb. Kurven : 
Seminar. — Engel : Difl". und Integralrechnung II ; Ubgn. dazu ; Th. der 
Trausformationsgruppen (Fortsetznng) ; Seminar. — Vahlen : Projektiv.e 
Géométrie; Ubgn. da/.u; Th. und Anw. der geodàtischen Instrumente. — 
Mie Elementarmathematische Ergiinzungen zur Experimentalphysik. 

Halle a. S.; Universitât. — Cantor : Difl'-. und Integralrechnung II; 
Aualyt. Mechanik; Seminar. — Wakgerin : Synth. Géométrie; Diff-. 
lechnung: Seminar. — Gutz.mek : Analyt. Géométrie der Ebene ; Einf. in 
die Théorie der tinearen Differentialgleichungen ; Seminar. — Eberhard : 
Zahlenth. ; Ubgn dazu. — Bernstein : Algebra; Ubgn dazu; Einf. in die 
Versicherungsinathematik; Ubgn dazu. — Walter : Graph. Statik mil 
Ubgn; Feldmessen und Nivellieren ; Eisenbahnbau und -Betrieb mit Exkur- 
sionen II. — Richholz : Wahrscheiulichkeits- und Ausgleichungsrechnung 
mil Anwendung auf Triangulation : Praklische Ubungen in geographischer 
( trtsbestimmung 

Hannover; Tech. Hochschule. — Kiepert : Diff. und Integralrechnung II ; 
Analyt. Géométrie der Ebene und des Raumes. — Stackel : Diff. und Inte- 
gralrechnung I und II; Anw. der hoh. Malhematik. — Rodenberg : -Darst. 
Géométrie. — N. N. : Grundzùge der hoh. Mathematik fur Architekten und 
Chemiker. — Hotopp : Mechanik. — WebeR : Mechanik ; Ausgew. Kapitel 
der techn. Mechanik. — N. N. : Geodiisie ; Prakt. Géométrie. — Barkhausicn 1 : 
Ausgew. Kapitel der Statik. — Petzold : Geodiitisches Rechnen ; Ubungen 
in der Ausgleichungsrechnung. 

Heidelberg ; Universitât. — Kœmgsbergek : Diff.-u. Integralrechn., i; 
Funktionentheorie, i, math. Seminar, 2. — M. Cantor: Anw. der Analysis 
auf hohere ebene Kurven. '» ; Arithmetik u. Algebra (fur Kameralisteni )>. — 
Kœhler : Anal. Géométrie d. Ebene, 3: Ausgew. Kapitel ans der synth. 
Géométrie des Raumes, 1. — Boehm : Die Grundlagen d. Arithmetik. 
Algebra u. Analysis (Elementar mathematik, Arithm. Teil), 3; Uebgn. 3, 
hoh. Mathematik, 1. — ■ Bopp : Geschichte des Infînitesimalrechn. von Leib- 
niz bis Lagrange, 2. — Valentiner : Bahnverbesseruog, 2 ; Kapitel aus dei 1 
Slellarastronomie, 1 ; Entwicklung der Astronomie seit Newton, 1. — 
Wolf : Elemente der Météorologie. 2. 

Iena ; Universitât. — Haussner : Differentialrechnung mit Uebgn , 5 ; Aus- 
gew, Kapitel aus der Géométrie, (Kollineation, Perspektive und Axometrie), 
2 : Differentialgeometrie, 3 ; Mathem. Proseminar, Uebgn. aus der analyl. 
Géométrie [der Ebene, 2; Mathem. Seminar, 2. — Thomje : Analyt. Géomé- 
trie der Ebene, 4 ; Kartographie, 2. — Fkege : Théorie der nach dem New- 
ton'schen Gesetze wirkenden Krâfte, 3. — Rau : Technische Elastizitats- 
und Festigkeitslehre, 2; Graphische Uebungen, 3. — Knopf : Zeil- und 
Ortsbestimmung mit prakt. Uebgn., Sternwarte, 4; Geodiisie mit prakt. 
Uebgn. im Gelànde, 2 ; Berechnung des scheinbaren Laufs der Planeten und 
Kometen, 2. 



1 56 .V () I E S K T DOC V M E N T s 

Karlsruhe ; '/'relui. Hochschule. — Krazer : Hôh. Mathematik I. — 
Wedekind : Grundlehren der hôh. Mathematik ; Hôh. Mathematik II. — - - 
Ludwig : Elementare und analyt. Géométrie 'des Raumes ; Projektionslehrc. 

— Fabkr : Algeb. Analysis ; Repetilorimn der hôh. Mathematik-, Ubungen. 

— Schur : Darst. Géométrie II : Konstruktive Ubungen der Perspektive. — 
Hein : Mechanik II : Seminar. — Brauer : Hydraulik ; Festigkeitslehre. 

Kiel ; Universitàt. — Pocuhammer : Analyt. Géométrie des Raumes; EînI. 
in die Th. der ellipt. Funktionen; Seminar. — Hefftek : Analyt. Mechanik: 
Grundlagen der Analysis (Irrationalzahl , Grenzwert, Konvergenz, Stctigkeil : 
Seminar. — Landsberg : Diff-.rechnung; Ubgn. dazn : Variationsrechnung. 

— Wei.nnoldt : Synth. Géométrie. — Koboi.d : Hôh. Geodâsie; Geodâtische 
Ubungen. — Harzer : (ieogr. Ortsbestimmungen ; Ubgn. dazu ; Th. der 
Prâzession und Nutation. — Kreltz : Bercchnung der Doppelsternbahnen : 
Parallaxe und Aberration. — Strômgren Num. Behandlung spezieller 
Fiille des Dreikôrperproblems ; Mathem. Géographie. 

Konigsberg i. Pr. : Universitàt. — Meteb : Analyt. Géométrie der Ebene 
Ubungen dazu: Differentialgeometrie ; Seminar. — Schoekflies Diff-. 
rechnung; Ubgn. dazu; Uber den KurvenbegrifF. — Saalschltz : Determi- 
nantenlèhre ; Uber Gauss hypergomelrische und andere intéressante Reihen; 
Algeb. Ubungen und Vortrag. — Battermann : Th. der astron. Inslru- 
mente : Uebgn. an Instrumenter der Sternwarte. — Cohn : Einf. in die iheor. 
Astronomie : Ausgew. Kapilel der Himmelsmechanik. 

Leipzig; Universitàt. — Neumakn : Ausgew. Kapitel der Mathematik oder 
der mathematischen Physik. — Mayer : Analyt. Dynamik ; Uebungen dazu. 

— Hôlder : Allg. Th. der Funktionen einer komplexen Verànderlichen : 
Bestimmte Intégrale; Seminar. — Rohn : Projektive Géométrie; Analyt. 
Géométrie der Ebene; Seminar. — v. Oettingen : Geometrisch-perspek- 
tivisches Zeichnen. — Haisdokij : Algebr. Gleichungen. — Liebmaxm : 
Gewôhnliche Differentialgleichungen ; Uebungen dazu. — Brins : Prakl. 
Analysis; G( i. Optik : Prakt. Uebungen in der Sternwarte. — Pi iik As- 
tron. und techn. Chronologie : Prakl. Uebungen. — Fischer : Einf. in die 
mathem. Behandlung der Naturwissenschaften. — Strecker Praklische 
Géométrie. — Zim.mern : Ueber die Astronomie der Babylouier. — Des Cm - 
dres : Ëinleitung in die theorelisehe Physik ; Uebungeu dazu Fouricrsche 
Reihen und harmonische Analysatoren. 

Marburg; Universitàt. — Hi.nsi.l : Analyt. Géométrie der Ebene und des 
Baumes; Funktionenth. ; .Seminar. — Neumann : Algebra : Analyt, Mechanik : 
Seminar. — v. Dalwigk : Differential rechnung ; Ubungen dazu ; Darst. licn- 
metrie I mit Ubungen. — Fuëter : Uber beslimmte Intégrale und fur die 
physikalische Anwendung wichtige Funktionen in elementarer Dartstellun» 
Populare Astronomie. — Ju.ng : DiOerentialgeichungen. — Feussner und v. 
Dalwigk : Anleitung zu Zeit- und Ortsbestimmungen. 

Mùnchen ; Universitàt. — Lindemann ; lit der ellipt. Funktionen : Th. der 
algebr. Formen ; Seminar. — Voss : Part. Differentialgleichungen; Algebra 
II; Seminar. — Pringsheim : Integralrechnung ; Ubgn. dazu : Geomet. Fi- 
ganzungen zur Differentialrechnung. — Doeiile.mann : Darst. Géométrie II : 
Ubgn. dazu: Graph. Stalik: Ubgn dazu. — v. Weber : Analyt. Géométrie 
des Raumes; Ubgn. dazu; Differentialrechnung; Ubgn. dazu. — Brunn : 
Elemente der hôh. Mathematik. — Hartogs : Elem. Géométrie dtr Ebene 



iv o t /■: s E r doc i.\i /■; . v r s 1 5 : 

iiiul des Raumes. — Perron : Analyt. Zahlentheorie. — v. Seeliger : Die 
neueren Methoden in der Théorie der Bewegung der Planeten ; Ubgn. — 
Grossmann : Einf. in die Astronomie. — Graetz : Analytische Mechanik II 

Strassburg ; Strasbourg. — Reye : Ausgew. Kapitel derhôh. synlh. Géo- 
métrie ; Théorie der Kràfte, die nach Newtons Gesetz wirken (Potential- 
iheoriei ; Serainar. — Weber : Bestimmte Intégrale und Einl, in die Funk- 
Ironentheorie ; Algebra : Seminar. — Simon : Methodik und Didaktik des 
Reehnens und der Mathematik auf den hôh. Schulen. — Wellstein : Einleil 
in die Théorie der algebr. Funklioncu ; Riemannsche Flacheu ; Seminar. — 
Timerding : Analyt. Géométrie des Raumes; Darst. Géométrie II mil Ubun- 
gen: Die Entwicklung der mechanischen Prinzipien ; Seminar. — Epstein : 
Analyt. Zahlentheorie ; Seminar. — Becker : Sphâr. Astronomie; Geodiisie 
mil Ubungen und Demonstralionen ; Astron Beobachtungen an Instrumen- 
1 tu der Sternwarte ; Astron. Kolloquium. 

Stuttgart; Techn. Hoclischule. — Reuschle : Analyt. Géométrie Aev 
Ebene, mit Obgn. ; Diff.- und Integralrechnung, mit Ubgn.; Seminar. — 
Min.MKi : Darst. Géométrie mit Ubgn.; Projektive Géométrie mit ÙbgD. ■. 
Seminar. — Bretschneider : Repetitionen in nied. Mathematik. — Wôlf- 
fing : Krùmmungsth. Partielle Differentialgleichungèn. — Roth : Perspek- 
tive. — Wf.yrauch : Einl. in die mathem. Théorie der Elastizitàt. — N. N. ; 
Techn. Mechanik. — Ham.mer : Prakt. Géométrie mit Ubungen ; Ausglei- 
chungsrechnung. — Hohenner : Trigon. Ubgn.; Prakt. Géométrie mil 
Ubungen ; Astron. Zeit- und direkte geogr. Ortsbestimmung mit Ubungen. : 
Katastermessungen. — Stûbler : Mathem. Géographie. — I.ang : Die DifFe- 
rentialgleichungèn der mathem. Physik. 

Tubingen ; Universitàt. — t. Brill ; Analyt., Géométrie des Raumes, 3 
Krùmmung d. Flâchen. i : Sem. 2. — v. Stahl : Niedere Analysis; 3; Induré 
Analysis (Diff. rechn i :! ; Variationsrechn. 2; Sem. 2. — Maurer : Synthe- 
tische Géométrie 2 ; Uebgn. I ; Darst. Geom. 1 ; Uebgn. 2. — Gans : Ein- 
fûhrung in die Vektoranalysis mit Anw. auf. <li'' math. Physik. 



AUTRICHE-HONGRIE 

Kolorsvar ; Université. — Schlesinger : Intégrales définies, :! : Fonctions 
fuchsiennes, 2 ; Séminaire. 1 ; Exercices, 1 , Astronomie théorique, 2. — 
Valyi : Géométrie analytique, 5; Equations résolubles algébriquement, 2: 
Exercices, l ; Séminaire. 1. — Fijek : Equations différentielles au domaine 
réel, 3 ; Fonctions entières transcendantes, 2. — Klug : Géométrie descrip- 
tive, '.] : Géométrie projeclive, 2; Exercices, 2. — Farkas : Propagation de 
l'énergie, \ ; Mécanique analytique, 3 ; Séminaire, 2. 



FRANCE 

Paris; Vacuité des sciences. 2 e semestre (à partir du I e ' mars 1907). — 
E. Picard : Détermination des intégrales des Equations aux dérivées par- 
tielles par diverses conditions aux limites, 2 leçons par semaine. — Gour- 
sat : Des Equations différentielles et des Equations aux dérivées partielles. 



158 -V O J E S ET DOC V M E .Y T S 

1. — L. Rai fy : Théorie de la courbure el propriétés des lignes tracées sur 
les surfaces. — P. Painlfvf: : Lois générales du mouvement des systèmes, 
la Mécanique analytique, l'Hydrostatique et l'Hydrodynamique, 2. — P. 
Appell : Eléments d'Analyse et de Mécanique, 3. — Andoter : Ensemble 
des matières comprises dans le programme du Certificat d'Astronomie, 2 le- 
çons. 1 conférence. — Bovssinesq : Des écoulements tumultueux et tourbil- 
lonnants auxquels donnent lieu les lits à grande section (tuyaux de conduite 
et cours d'eau découverts), 2. — G. Kœ.mgs ■ Etude cinématique et dynami- 
que des machines. 2. — Borf.l : Calcul des probabilités el théorie dos 
erreurs, 1. 

Conférences. — L. Kaffy : Conférence sur le calcul intégral et les appli- 
cations géométriques, 1 conférence. — P. Piiseix : Conférences sur la mé- 
canique, 2. — Servant : Travaux pratiques de mécanique physique. 

Enseignements et exercices pratiques ouverts aux étudiants appartenant 
à PEcole normale supérieure. — J. Tanxery : Calcul différentiel et intégral 
— L. Raffy : Applications de l'Analyse à la Géométrie. — G. Borfi. : Ma- 
thématiques. — F. Hada.mard : Mathématiques. 

Cours libres. — M. d'Ocagne : Calcul 'graphique el nomographie, 2 le- 



çons. 



SUISSE 

Berne; Universitàt. — Graf : Besselsche Funkt. "m. Ftepetit. .'i ■. Bes- 
limmle Intégrale m. Repetit. 3: Differentialgleichungen 2: Differential- u. 
Integralrechnung 2: Renten- u. Versicherungsrechnung 2; Repetit, d. 
Elemeutar-Math. 3 : Math. Seminar m. Huber 2. — Ott : Differential- 
rechnung 2: Analyt. Geom. d. Ebene, I. Teil 2. — G. Huber : Sphàr. 
Astron. II. 2; Repelit. der Astronomie I: Analyt. Géométrie des Raumes m. 
Théorie d. Flâchen II. Grades 3: Théorie d. Enveloppen u. Brennlinien 2: 
Math. Seminar Igeometr. Richtungi, m. Graf I. — Bentelli : Elem. il. 
darst. Geom. t : Prakt. Geom., meist Uebungen auf d. Terrain 3. — Mosi r 
Ausgew. versicherungs-wissenschaftl. Kap. : Die Tranzendente tt (Beslim- 
mung durch Beobachtung m. Hùlfe d. Fehlertheoriei I : Math.-versichrgs- 
wschftl. Seminar 2. — Crelier : Synthet. Geomet . II. Teil 2 : Zentralpro- 
iektion2; Exercices de Géométrie 2. — Bohren : Wahrscheinlichkeilsrech- 
n uni;- 2. 

Genève; Université. — C. Cailler : Calcul diff. et intégral, 3: Exerc. 2: 
Mécanique rationnelle, 3: Exerc, 2 : Conférences d'Analyse, 2. — H. Fini; 
Théorie des Equations, 2 ; Géométrie descriptive et projective. 2 : Exerc . 
d'Algèbre et de Géométrie, 2, Géométrie vectorielle, 1: Séminaire de Géo- 
métrie sup. 2. — R. Gautier : Astronomie théorique, 2. — R. ni: Saussuri : 
Géométrie du mouvement, 2 ; Mécanique des fluides. 1. 

Zurich: Ecole polytechnique fédérale: Section normale des sciences ma- 
thématiques. — Hirsch : Integralr. i; Repet. 1 : Uebgn. 2: Invariaiiten- 
theorie 2. — Franel : Calcul intégral 4: Répét. 1 : Exerc. 2. — Herzog : 
Mechanik I, (i : Repet 1 : Uebgn. 2. — W. Fiedlfr : Darst. Géométrie 2: 
Repet. 1 ; Uebgn. i : Géométrie du Lage i : Elemente d. Anal. Geom. der 
Liage 2. — Lacombe : Géométrie descriptive 2 : Répét. 1 ; Exerc. '». — Gitsfh : 
Analyt. Géométrie II: Algebr. Flachen i. — Hurwitz : Algebr. Gleichungen 
i. — Hurwitz mil Lacombe : Math. Seminar 2. — Rfbstfi.n : Versicherumïs- 



BIBLIOGRAPHIE L59 

mathcmatik 2 ; Anw. d. Wahrscheihlichkeitsrechn. auf d. Fehler th. I. — 
Roseinmund : Vermessungskunde m. Uebgn. — Wolfek : Geogr. Ortsbe- 
stirnmung 3; Uebgn im astron. Beobachten •> : Ausgew. Methoden der 
Zeit u. Ortsbestimmung 2. — Bf.ykl : Die Grundlagen der Géométrie 2; 
Axonometrie u. Perspektive 2 ; Schaltenlehre 1. — Dumas : Exercices de 
Homographie 1 ; Exere. sur la résolut, numérique des équations 1. — T. 
Kelleu : Uebgn. ans d. Dill'.- n. Intégral rechn. 2. — Kraft ; Anal. Mecha- 
nik 3; Geometrischer Kalkùl, I, I; II, 2; III, 1. 



BIBLIOGRA 



Ch. Fassbinder.— Théorie et pratique des approximations numériques. 
. — 1 vol. in-8°, 91 p. ; prix: 3 l'r. ; Gaulhier-Villars, Paris. 

Ouvrage élémentaire dans lequel l'auteur se borne aux Dotions les plus 
essentielles, généralemenl exigées des candidats à des écoles techniques spé- 
ciales. Ce sonl les définitions et théorèmes concernant l'erreur absolue. 
l'erreur relative, le nombre des chiffres exacts. <)n y trouve aussi quelques 
aperçus sur les opérations abrégées e1 1 application de l'Algèbre à la 
théorie des erreurs. 

De nombreux problèmes et exercices numériques accompagnent le texte. 
L'ouvrage se termine par les exercices proposes aux concours d admission 
.i I Ecole navale et aux Ecoles des Arts et métiers depuis 1 8 ,S ô . 

Otto Biermann. — Vorlesungen ùber mathematische Nàherungsmethoden. 

1 vol. gr, in-K>. 226 p. . 8 M. ; Vieweg u. Sohn, Braunschweig. 

Le présent Ouvrage est établi sur un plan beaucoup plus vaste que celui 
de M. Fassbinder; il s'adresse aussi à d'autres lecteurs. Destinées aux étu- 
diants qui désirent s initier à la pratique du calcul numérique dans les pro- 
blèmes scientifiques, ces leçons seront les bienvenues dans les séminaires 
et les laboratoires de mathématiques. Ici ce terme de laboratoire est conçu 
dans son véritable sens, mais il en existe bien peu où l'on s'attache à initier 
et à exercer les étudiants aux méthodes de calcul. L'ouvrage de M. Bier- 
mann contribuera à développer cel enseignement, car il repose sur nue ex- 
périence de nombreuses années. Nous ne saurions trop en recommander 
'étude à tous ceux qui seront appelés à faire des exercices numériques dans 
les problèmes des sciences pures et appliquées. Les professeurs y trouve- 
ront d'intéressantes et utiles indications quant aux méthodes de calcul. 

I ne énumération des principaux chapitres donnera une idée de l'étendue 
des matières traitées: 

Calcul avec des nombres exacts ou approchés. — L'approximation dans 
les séries numériques. — Résolution approchée d'équations numériques. 
— Interpolation et calcul des différences. — Application de l'interpolation 
aux problèmes de quadrature et «le cubalure. — Emploi d'instruments ma- 
thématiques tels que la règle à calculs, l'intégraphe et le planimètre. 



160 n i in. i (x, ii a l' il 1 1: 

Brioschi. — Opère Matematiche. Tome IV. — 1 vol. gr. in-4», il8 p. 
•25 1. : (J. H ce pli, Milan. 

La publication des œuvres de Brioschi continue d'une manière 1res régu- 
lière — on en voudrait pouvoir dire autant des différentes œuvres complètes 
«n cours de publication dans divers pays — . Ce tome IV contient une cinquan- 
taine de mémoires ayant principalement pour objet les fonctions hyperellip- 
ticpies. la théorie des formes quadratiques et biqnadratiques, etc. Citons 
aussi les belles recherches sur l'équation du cinquième degré. La publica- 
tion de ce volume a été faite sous la direction de MM. Gfrbaldi et Pascal 
qui se sont chargés de revoir les mémoires originaux et les épreuves. 
L'exécution matérielle est faite avec le soin qui caractérise les ouvrages de 
la Maison Hcepli. 

C.-C. Dâssen. — Tratado elemental de Aritmetica de acuerdo con las ideas 
raodernas y melodos mas rigurosos. — 1 vol, in-8", X^ III, 548 p. 

— Tratado elemental de Algebra. — 1 vol. in-8» XN III. 528 p., Coni Her- 
manos, Buenos-A ires. 

Dans une de ses préfaces l'auteur constate que les manuels en usage dans 
la République-Argentine sont bien faibles cl que la rigueur, en général, 
<> y brille par son absence. » 

S'il en est ainsi, les deux volumes de M. Dassen constituent sans doute 
un progrès considérable sur la littérature actuelle de ce pays; car SCS 
théories sont, dans leur ensemble, établies avec logique et rigueur. 

L'auteur devait même éviter de verser dans un modernisme outré, sous 
peine de ne pas être compris fie ses concitoyens. Il a heureusement échappe 
à ce danger cl, sauf le vocabulaire qu'il pouvait rajeunir sans inconvénient, 
il s'est avancé, avec sagesse et prudence, dans la voie du progrès. 

11 v aurait maladresse de notre part à formuler des critiques de détail, 
car les particularité;- de ces livres s expliquent peut-être par celte circons- 
tance qu'ils succèdenl à une littérature presque nulle. 

Par exemple, si l'on trouvait le travail un peu long. M. Dassen pourrait à 
bon droit répondre qu'il a tout à édifier, qu il doit faire l'éducation des 
professeurs mêmes, de sorte que son exposé prend parfois les allures du 
plaidoyer. 

Beaucoup d'autres faits s'expliquent sans doute de la même manière. Bien 
que très au courant de la bibliographie générale. M. Dassen a du, en écri- 
vani ses livres, tenir compte du milieu auquel il les destinait. El le même 
devoir nous incombe quant à l'appréciation. Il sérail donc souverainement 
injuste de porter un jugement sur la valeur absolue de ce- ouvrages. L'im- 
portant n'est pas qu'ils sont comparables a la h le moyenne des manuels 

usités en Europe, mais qu'ils soient adaptés aux exigences >\\\ moment et du 

liell. 

Il ne nous reste, pour donner une idée exacte de ces deux traités, qu a 
résumer et a caractériser sommairement les matières exposée-. 

Arithmétique. Livre I Nombres entiers — Notions fondamentales : les 
concepts de nombre cardinal et de nombre ordinal. — Les trois opérations 
directes. — Opérations inverses, y compris l'extraction de- racines cl les 
logarithmes entiers isi b x = a. l'entier .c est le log. de a). — Systèmes de 
numération. — Mécanisme du calcul dans le système décimal. — Divisibilité 
et nombres premiers. 



Il 1 1! I. I OC, Il A l> 111 E ICI 

Livre II. Le concept de grandeur ou de quantité mathématique. — Notion 
«le nombre fractionnaire basée sur la mesure des grandeurs concrètes. — 
• '.aïeul des Fractions ordinaires cl décimales". — Fractions périodiques. — 
Calculs approchés. — Concepts de limite et de nombre incommensurable : 
ce dernier esl la limite d'une série de valeurs approchées. — Système mé- 
trique cl autres mesures. — Rapports el proportions. — Règle de trois, 
intérêt, escompte, etc. 

Appendice : Equidifféreuces. — Equations. — Progressions el logarithmes 
(avec une table à i décimales); intérêts composés. 

Algèbre. Livre I. Calcul algébrique. — Opérations sur les grandeurs non 
dirigées (celte partie tait double emploi avec l'Arithmétique, parce que 
l'Algèbre a été publiée la première). — Opérations sur les grandeurs diri- 
gées (les nombres négatifs sont basés sur la notion empirique des gran- 
deurs susceptibles de varier dans deux sens opposés). — Calcul des 
polynômes. — Fractions algébriques. — Irrationnelles. 

Livre II Equations. — Principes fondamentaux. — Equations et systèmes 
du premier degré : problèmes. — Equations du second degré. — Trinôme. 
— Equation bicarrée. 

Livre III. Applications. — Calcul des imaginaires. — Analyse combina- 
toire el binôme. — Progressions et logarithmes. 

Appendice. Rapports et proportions, etc. 

Les (\ru\ volumes sont édités avec soin et ornés de ligures. Chaque para- 
graphe est suivi d'une série d'exercices. Le nombre total d'exercices est 
considérable : si les plus simples manquent d'intérêt, c'est que chaque série 
est soigneusement graduée'. M. Stiyvaekt (Gand). 

.1. Hokn. — Gewohnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. 
(Sammlung Schubert). — 1 vol. de X. 392 pages : Kl ML. G.-J. Gôschen, 
Leipzig. 

.le ne saurais donner une meilleure idée de ci' qu est ce volume qu'en 
traduisant et résumant sa préface. Le treizième volume de la collection 
Schubert déjà consacré aux équations différentielles par le professeur 
Schlesinger, est un ouvrage surtout destiné aux commençants, ouvrage qui 
se limite aux équations du premier ordre el aux équations linéaires du 
second. Le présent livre ne se propose pas de revenir sur ces débuts, mais 
plutôt de traiter systématiquement les équations différentielles d ordre 
quelconque. C est ainsi qu'il débule par des généralités sur les systèmes 
d'équations simultanées. 

Il n est pas possible en de telles matières d'écrire un ouvrage véritable- 
ment complet et l'auteur a surtout développé, quant aux applications, les 
questions empruntées à la Physique, à la Mécanique céleste, etc., qui 
avaient été négligées par Schlesinger, ce qui ne veut pas dire qu'il néglige 
ici tout ce qui a été traité par ce dernier. 

L'unité de l'œuvre n'est donc altérée en rien et, pour la pouvoir parcourir 
avec fruit, il suffit de connaître les éléments classiques de la théorie des 
fonctions el de la théorie des déterminants. La connaissance des fonctions 
elliptiques et de la mécanique analytique n est nécessaire que pour quel- 
ques paragraphes spéciaux. 

Ce portrait rapide peut être complété de façon fort intéressante si l'on 
feuillette les quatre cents pages ainsi présentées. 

Dans le premier chapitre, à propos des théorèmes d'existence, signalons 



162 BIBLIOGRAPHIE 

dos discussions très approfondies faites à l'aide des méthodes de MM. Pain- 
levé et Picard, et notamment l'emploi de la méthode d'approximations suc- 
cessives due à ce dernier géomètre. 

L'étude des équations linéaires, est à la lois très étendue, très simple el 
très nelte. L'étude des différentes branches des intégrales est précédée de 
la théorie des substitutions linéaires et la grande importance mécanique du 
cas où les coefficients sont constants est mise en lumière par la considéra- 
tion des petites oscillations d'un système possédant divers degrés de 
liberté. 

Mais nous pouvons passer sur ces débuts élémentaires pour constater 
combien l'ouvrage sera utile à ceux qui voudront s élever jusqu aux derniers 
progrès faits dans une si intéressante branche de l'analyse. 

Après les équations linéaires considérées par Fuehs nous étudions celles 
qui admettent des solutions asymptotiques du genre de M. Poincaré, celles 
dont l'intégration exige l'emploi de déterminants infinis comme l'équation 
rencontrée par Hill dans sa belle théorie de la Lune, les équations à coeffi- 
cients simplement ou doublement périodiques dont un type célèbre est fourni 
par l'équation de Lamé. 

Ces hautes questions n'empêchent pas le professeur Horn de consacrer 
un très intéressant chapitre aux équations, les plus simples el les plus 
anciennes, intégrables ou tout au moins réductibles à laide de procédés 
élémentaires, telles les équations homogènes, linéaires, de Bernoulli, de 
Riccati, de Clairaut, etc., etc.. mais il nous montre, ne serait-ce que par 
la théorie du facteur intégrant, à quelles circonstances ces cas simples doivent 
leur existence. Dans le même ordre d idées les équations de la dynamique 
sont étudiées avec les recherches de Jaeobi notamment sur la notion du 
dernier multiplicateur. 

Des pages, liés remarquables au point de vue de la physique mathéma- 
tique, sont consacrées aux équations qui contiennent dans leurs coefficients 
un paramètre arbitraire p. On sait que si l'on astreint les solutions de telles 
équations à certaines conditions aux limites, on ne peut plus alors donner à 
jx que certaines valeurs en nombre infini qui sont racines d'une équation 
transcendante. On peut en général appliquer à de telles équations le procédé 
d'approximations successives de M. Picard. 

L ouvrage, décidément fort au courant des résultats les plus modernes, 
se termine par létude des (([nations considérées par M. Painlevé, équations 
dont l'intégrale générale est uniforme. 

En résumé, nous trouvons ici sous une forme simple et claire les résul- 
tats les plus importants acquis à la science. Le professeur Horn nous donne 
le moyen de les comprendre avec un effort certainement réduit au minimum. 
car il va en général droit aux points qu'il se propose d'exposer sans les 
faire précéder de préliminaires qui donnent souvent aux questions une appa- 
rence obscure qu'elles n'ont pas en réalité. A. Buhl (Montpellier). 

E. Jouffret. — Mélanges de Géométrie à quatre dimensions. — 1 vol. gr: 
in-8°, XI, 227 p. ; 7 fr. 50; Gauthier- Villars, Paris. 

On sait que les propriétés projeclives, en Géométrie plane, n'onl aucun 
fondement simple qui soit propre à cette Géométrie puisqu'elles y trouvent 
pour unique appui la proposition de Desargues jouant alors le rôle d'un 
axiome ; elles se coordonnent, au contraire, facilement lorsqu'on les envisage 
comme des conséquences de propriétés spatiales, (lest ainsi que les pro- 



/;/ H LIOGRAPHIE 163 

priélés diverses cl compliquées auxquelles donnent lieu les hexagrammes de 
Pascal et de Brianclion acquièrent, par ce moyen, une évidence particulière. 

Des travaux divers ont en effet montré que ces propriétés constituent un 
cas particulier de propriétés pins générales se rattachant à la théorie d'une 
certaine surface du troisième degré ; cette théorie acquiert elle-même une 
simplicité' remarquable lorsqu'on considère l'espace comme une variété 
linéaire appartenant à une variété à quatre dimensions. Ce sont ces résul- 
tats dont M. Jouffret présente un exposé méthodique et clair. Il étudie égale- 
ment, dans le même ordre d'idées, les surfaces du quatrième degré Ion quar- 
tiques) en les considérant comme intersections d'kypersurfaces appartenant 
à une variété à quatre dimensions. 

Quelques alinéas, qui ont pour objet la définition de la dislance et de la 
mesure dans l'espace à quatre dimensions, nous ont paru hors du sujet dans 
cette étude essentiellement projective. Enfin M. Joull'ret a cru devoir consa- 
crer à la c question de l'existence réelle de 1 hyperespaee » des spéculations 
qui ne nous mil pas convaincu, mais qui contiennent pourtant des remarques 
intéressantes. G. Combf.biac. (Bourges). 

H Laurent. — La Géométrie analytique générale. — I vol in-8°, Vil, 
J51 p. ; 6 IV. ; Hermann, Paris. 

« On appelle point ou variété à o dimensions, dans un espace à // dimen- 
sions, l'ensemble de n quantités .*■, , ra r« ». Celle définition 

suffit à caractériser le point de vue nettemenl analytique adopté par l'au- 
teur. 

Après une claire exposition concernant les éléments : substitutions ortho- 
gonales, lignes droites, longueur, contact, enveloppes, surfaces développa- 
bles, I auteur consacre à la théorie des surfaces algébriques un beau chapi- 
tre qui, avec un autre chapitre de compléments sur le même sujet, consti- 
tuent la partie la plus saillante de l'ouvrage et, peut-être, sa raison d'être. 
Signalons, parmi les questions traitées dans ces chapitres, la théorie des 
points communs à n surfaces dans l'espace à // dimensions, comprenant 
l'établissement des relations différentielles d Abel, qui existent entre les 
coordonnées de ces points, ainsi qu'une démonstration analytique extrême- 
ment élégante d'un théorème «le Chasles généralisé, savoir : si on mène à 
une surface algébrique des plans tangents parallèles à une même direction, 
le centre de gravité des points de contact restera fixe quand on fera varier 
la direction. 

La théorie des surfaces du second degré (ou, si l'on préfère, des fonctions 
quadratiques) fait l'objet d'un chapitre spécial ; puis, dans un chapitre con- 
sacré aux géométries non-euclidiennes, on trouve un exposé des géomélries 
sphériques et des géométries hyperboliques, ainsi qu'une étude des trans- 
formations homographiques et, en particulier, homologiques. 

Enfin, en une brève « incursion dans le domaine concret », l'auteur a cru 
devoir exposer ses vues sur la nature de la Géométrie. Les idées subjecti- 
vistes semblent décidément séduire certains géomètres éminents. Je ne 
saurais les suivre dans celte voie et, bien que je croie avoir, autant que 
quiconque, l'esprit affranchi « des préjugés que nous devons à notre éduca- 
tion et à notre atavisme», je m'inscris franchement en faux contre celle 
affirmation contenue dans l'épigraphe de l'ouvrage : « L'homme a créé l'es- 
pace puni' expliquer et coordonner ses sensations; il l'eût créé à deux 



164 RI BLI H II A I> H I E 

dimensions, s'il avait été condamné à l'immobilité ei s il n'avait eu que le 
sens de la vue ». 

Le nom de l'auteur doit nous dispenser <l insister sur la clarté de l'expo- 
sition, la personnalité des poinls de vue, la parfaite élégance des mé- 
thodes. G. Co-mbebiac (Bourges). 

Niels Nielsen. — Handbuch der Théorie der Gammafunktion — 1 vol.in-8° 
cart. de X-3<i2 p., 12 M. B. G. Tiibner, Leipzig. 

L'ouvrage de M. Nielsen constitue une Monographie complète de la fonc- 
tion gamma. Nul n était plus qualifié pour l'écrire; les nombreux et beaux 
travaux de l'Auteur sur les transcendantes eulériennes lavaient préparé à 
celte tâche. Il s'en est acquitté d'une façon magistrale. Aucun point de la 
théorie n'a été laissé de côté. — Une érudition profonde s'allie partout à 
une science d'exposition tout à fait remarquable. Il en résulte, dans l'en- 
semble, une œuvre qui en impose par son ampleur et sa solidité. 

La première partie du livre est consacrée à un exposé, sous une forme 
élémentaire, des propriétés de la fonction gajnnia et des fonctions analogues, 
déduites de la théorie des fonctions analytiques, sans le secours des inté- 
grales délînies. C était la façon de procéder de Weierstrass ; il faut espérer 
qu'elle deviendra définitivement classique. L'Auteur passe successivement 

en revue les fonctions — loe Tix) . Plji et Oi.ri de Prvm. les développe- 
dx 

ments en séries entières, les factorielles, la formule de Stirling, le théorème 

de Holder. 

La seconde partie est relative aux intégrales définies (propriétés des in- 
tégrales eulériennes. intégrales exprimables au moyen de la fonction gamma, 
fonctions *¥[x) et logTJa:), séries de Kuminer, de Lerch, de Stirling, fonc- 
tions de >Prym. problème de Melliin. 

La troisième et dernière partie renferme les théories des séries de facto- 
rielles où l'Auteur a introduit de si importantes contributions. 

Telles sont, en quelques mots, les matières traitées par M. Nielsen. Ce 
sommaire, trop restreint, ne suffît pas évidemment à donner une idée, même 
approximative, de la richesse de documentation et de la sûreté de méthode 
qui caractérisent ce livre excellent. On sent que l'Auteur a pris plaisir à le 
composer, plaisir bien compréhensible puisqu'il n'est guère d'analystes qui 
ne se soient laissé séduire par l'attrait des transcendantes eulériennes. Le 
lecteur, à son tour, éprouvera bien certainement une égale satisfaction à 
l'étudier et à le méditer. M. Godeiroy 'Marseille). 

Ed. Bidw. Wii.soN. — Seven Lectures on Spherical Geometry, — I fasc. 8° 
34 p., Drury Collège, Springfield, Missouri. E.-U. 1904. 

L'étude suggestive de M. Wilson ne se prèle pas bien à une courte ana- 
lyse. Nous nous bornons à en indiquer le but et la disposition. Les discus- 
sions sur les fondements de la Géométrie étant assez abstraites, rien ne lui 
parait plus apte à taire disparaître certaines difficultés que 1 analyse com- 
plète d un exemple particulier déjà connu, mais présenté maintenant sous 
un autre jour et discuté dans l'intention de préparer le chemin pour des 
recherches moins familières, quoique analogues. L'exemple lui est fourni 
par la Géométrie sphérique. 11 considère donc la surface sphérique indé- 
pendamment de la Géométrie euclidienne de l'espace, el suivant ■ l'idée qui 



/,' JJLL E T I N B I H II () G H APHIQV E 165 

« est le fondement de la conception moderne, que ce sont les axiomes qui 
« en réalité font la géométrie», il forme d'abord un ensemble d'axiomes sur 
li hase desquels il construit son système de Géométrie sphérique. Il examine 
ensuite plus spécialement ces axiomes pour se rapprocher de la manière 
moderne d'envisager les fondements des Mathématiques et de la Géométrie 
en particulier. M.-Fr. Daniels (Fribourg, Suisse). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Sommaires des principaux périodiques : 

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Direttore G.-B. Guccia. 

T. XXII. — M. FréChet : Sur quelques points du Calcul Fonctionnel. — 
L. Bianchi : Ricerche sulla deformazione délie quadriche. — E. Pascal : 
S ii 1 lu equivalenza di «lue sislemi di forme dill'erenziali multilinea ri, e su 
quella di due forme dilFerenziali complète di 2° ordine. — l. Sbrana : Sopra 
cerli inviluppi di sfere. — O. Niccoletti : Su un teorema di Kronkcker délia 
leoria dei delerminanti. — L. S. da Kios : Sul moto d'un liquido indefinito 
cou un filetto vorticoso di forma qualunque. — L. Berzolàri : Sull'esten- 
sione de! concetto di tetraedi di Mobius agli Iperspâzii. — P. Stjeckel : Geo- 
diitische Linien auf Polyederflàchen, — C. Burali-Forti : Sui principii délia 
Meccanica. — P. Gordan : Die Résultante binàrer Formen. — P. Calapso 
Sugl'invarianti del gruppo délie trasformazioni confbrmi dello spazio. — 
L. Berzolàri : Àlcuni teoremi sulle curve razionali di uno spazio ad /• di- 
mensioni dotale di r -|- 1 punti d'iperosculazione. — T. Boggio : Trasfor- 
mazione <li alcune funzioni potenziali. — A. Kiseser : Ein Breilag zur Théo- 
rie der Integralgleichungen. ■ — I". Picard : Sur quelques applications de 
l'équation fonctionnelle de M. Fredholm. — Th. Rf/ïe : Folgerungen ans 
einem Salz von Bobillier ùber confocale Flachen zweilen Grades. — .1. 
< h AN.ii i : Les équations générales de la Mécanique dans le cas des liaisons 
noii-holoiiomes. — P. QuiNTiLi : Del erminazione délia funzione ni ma di Green 
per un campo sferico di p dimenzioni. — E. Ciani : Sopra la sestiche gobbe 
dota te di inliniti pianti tritangenti. — B. Lkvi : Sul principio di Dikiciilf.t. 

— P.Appell : Sur les fonctions harmoniques à trois groupes de périodes. — 
E. Pascal : Sui delerminanti composli e su di un GOvariante eslensione del- 
l'hessiano di una forma algebrica. — G. Fubini : Sul principio di Dirichlet. 

— B. Levi : Sul principio di Dirichlet. 

Revue de Métaphysique et de Morale, dirigée par X. Lhéon. Arm. Colin, Paris. 

l+ e année. N° 6. — Hannequin : La méthode de Ddscartes. — La philoso- 
phie de Leibniz, et les lois du mouvement. — PoincarÉi: A propos de la Lo- 
yisiique. 

15"" année. N° 1. — A. X. Whitehead : Introduction logique à la géomé- 
Irie. — Voir, dans ce même fascicule 1. p. 11 du supplément, l'analyse de 
l'ouvrage de Frege. LJeber die Grundlagen der Géométrie. 



166 B VLLET1 N BIBLIO G R APHIQU E 

Sitzungsberichte der K. Akademie der Wissenschaften, Wien. Math. - 
Naturw. Klasse. CXIV Band, Jahrgang 1905. — Gerold's Sohn, Vienne. 

Daublebskï v. Stekneck, 11. : 1° Ueber die Kombinatiooeo der Potenz- 
reste einer Primzahl zu bestimmten Summen. — 2° Yersuch einer Théo- 
rie der sr.heinbaren Entfernungen. — Klug, L. : Konstruktion des 
Reliefs einer Flàche zweiter Ordnung. — Kohn. G. Ueber den \N urf 
von sechs Punkten der Ebene, — Merte.ns. F. : l u Ueber zyklïsche Glei- 
chungen. — 2° Ueber den Dedekind'schen Beweis der Irreduktibilitât der 
Gleichung fur die primifciven n ten Einheitswurzeln — o" Die Kummer sche 
Zerfâllung der Kreisleilungsresolvente. — Niessl, G. v. : 1° Bahnbestim- 
mung des Meteors vom 2 November 1903. — 2° Bahnbestimmung des Meteors 
vom 14 Marz 1905. — Pick. G. : Zur Théorie der Differentiationsprozesse 
der Invariantentheorie. — Pkey, A. Ueber eine Vorrichlung zur Vermei- 
dung des Mitschwingens des Statives beim Doppelpendel. — Radacovic, M. : 
Uebei* die Berechnung der erzwungenen Schwingungen eines materiellen 
Systems. — YV.ki.sch, E. Ueber die Résultante binàrer Formen. — 
\\ agker, A. : Eine neue Méthode zur Messimg der Horizonlalintensitat auf 
Reisen. — Weinek, L. : Zur Théorie der Sonnenuhren. — 'W illkens, A. : 
Untersuchungen ùber eine neue Klasse periodischer LôsuBgen des Pro- 
blenis der drei Kôrper. — Wirtinger. W. : Ueber die Anzahl der linear 
unabhiingigen bypergeometrischen Intégrale n ler Slufe. — Zahradmk. K. 
Ueber eine birationale kubische Verwandschaft und deren Ainvendung. 

Unterrichtsblâtter fur Mathematik und Naturwissenschaften. herausge- 

geben von F. Pietzker. XII, Jahrgang, 1906. Otto Salle, Berlin. 

Th. AnniAN : Die Behandlung der Zycloide in einem angepassten Koordi- 
natensystem. — K. Geissler : Die Bedentung der Winkeldefînilion fur das 
Parallelenproblem. — O. Lesseb : Négative Flâchen im Schulunterricht. — 
O. Nitsche : Elementare Berechnung bestimmter Intégrale von Potenzen 
mil ganzen und gebrochenen Exponenten. — G. Ju.nge : Die Bazillenver- 
mehrung. ein Beispiel fur die Théorie der Potenzen. — E. Haentzschel : 
Ueber die Genauigkeit geometrischer Konstruktionen. — J. Braun : Der 
Cosinussatz fur beliebige Vielecke. — G. Ju.nge : Zur Einfùhrung in den 
Satz von Pythagoras. — ■ 11. Haage : Die Bestimmung der Charakteristik 
eines Kugelschnilts ans dem NeigUBgswinkel der Kegelkante und dera der 
Schnittebene gegen < 1 i < ■ Kegelachse. — H. Wieleitker : Beitrag zur Lehre 
von den negativen Fliichen. — F. Pietzker : Fliichemverle von entgegen- 
geselztem Zeicben. — Th. Schwartze : Die Grundforrael des Paralklo- 
grammgesetzes. — A. Wenuler": Maximum, Minimum und Symmetrie. — 
O. Ohmann : Ueber eine kreisfôrmige and drehbare Wandtafel und ihre 
Verwendung im mathematischen Unterricht. — O. Lesser ; P. Kirchbergek , 

F. Pietzker : Nochmals die negativen Fliichen. — V. Dorr : Eine verein- 
fachte Lichtstufen-Bestimmung. — E. Wiedemann : Ueber das Experiment 
im Altertum und Mitlelalter. — F. Pietzker : 1° Die Stellung der Fach- 
kreise zu den Vorschlàgen der von der Naturforscher-Gesellschaft einge- 
setzten Unterrichtskommission. — 2° Diskussion ùber dièse Frage. — 

G. Holz.mlli.er : Karl Schellbach und seine Stellung zur Frage der Dille- 
rential-und [ntegralrechnung auf hohereu Schulen. — II, \N'ieleitner : Der 
Zahl-und Mengebegriff im Unterricht. — O. Nitsche : Die Anwendbarkeit 
der Simpsonschen Regel, gleichzeitig eine Verallgemeinerung des Arehi- 
medischen Satzes. — J. Ducrue : Ueber geometrische Propiideutik. — 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 167 

G. 1 lu L/.Mi 1.1.1:1; : Eine Abplatlungsaufgabe. — Th. Adrian : Tangential- 
Koordinaten. 

Zeitschrift fur das Realschulwesen, herausgegeben von Em. Czuber, Ad. 
Bechtel und Moi". Gloser. XXXI Jahrg. 1906; Alfr. Hôlder. Wieo. 

>' 0s 7 ;i 12. (Juillet-décembre, 1906). — P. v. Schaenwen : Quadrierbare 
SiimiiHMi von mondfôrmigen Figuren. — E. Czuber : Die Kollektivmasslehre. 
— Adr. Achitsch : Zwei Reihen zur Berechnung von Logarilhmen. — K. 
Kircbberger : Die darstellen.de Géométrie an unseren Realschulen seil dcren 
Beslande . 

Zeitschrift fur Mathematik und Physik, herausgegeben von R. Mehmke u. 
C. Runge. — 53. Band, 1906. B.-G. Teubner, Leipzig. 

N° 1. — Nitz : Beitràge zu einer Fehlertheorie der geomelrischen Kons- 
truktionen. — Mie : Uber «lie Kurzschlussstromkurve fines Gleichstroman- 
kers. — Ernst : Zut- Addition und Subtraktion mit Hilfe des logarithmi- 
schen Rechenschiebers. 

N° "2. — Wieghardt . Uber die Nebenspannungen gewisser hochgradig 
statisch unbestimmler Fachwerke. — Léon : Spannungen und Formànde- 
rungen rolierender Kugelschalen. — Lerch : Ùber die Berechnung der Sum,- 
ini'ii diskontierler Zahleu fur eine nach dem Makehamschen Gesetz forl- 
schreitende Sterbetafel. — Welliscb : Die Gewôlbetheorie im Lichle der 
Théorie der kleinsten Produkte. — Girtler : Uber die kubische Dilatation 
und ihre Beziehung zur Beanspruchung isotroper elastischer Kôrper. 

N° .'!. M. Radakovic • Ûber dit- theoretische Behandlùng des Problems 
der stôrenden Lokomotivbewegungeu. — Hans Linsekmann : Die elastische 
Linie der Gehause von Drehstrommaschinen mit grossen Durchmessern. — 
F. Wittenbauer : Dynamische K.rat'tplâne. — E. Wôlffing : Abhandlungsre- 
gister 1904-1905. — E. Wôlffing : Verzeichnis der in lechnischen Zeit- 
scbriften 1903-1904 sich vorfindenden mathemati-schen Abhandlungen. 

N" 4. — P. Riebesell : Uber die Kommutation des Stromes in Gleichstrom- 
generatoren. — J. Horn : Weitere Beitràge zur Théorie der kleinen Schwin- 
gungen. — N. Dki.mway : Graphische Berechnung der elliptischen Funk- 
tionen, mit einigen Anwendungen. — F. Biskk : Réflexion de la lumière sur 
1 eau ébranlée. — Otto Biekma.nn : Uber die dichleste Lagerung gleicher 
Kreise in einem Kreise. — R. Gans : Das Potenlial einer leitenden Kreis- 
scheibe. — Kleinere Mitteilungen. — Bûcherschau. 

Zeitschrift fur mathematischen u. naturw. Unterricht, herausgegeben von 
D r H. Schotten. — 37. Jahrgang, 1906: B.-G. Teubner, Leipzig. 
N oa 1 à 4. — Eckhardt : Berechnung der zyklometrischen und goniome- 
Irischen Funklionen ohne Reihenentwîcklung. — Hagge : Das Volumen des 
Tetraeders als Funklion der Kanlen. — Epstein : Ein Zerlegungsbeweis 
des Pythagoreischen Lehrsatzes. — Tesar : Ein Beispiel ans der Mathematik 
und Mechanik zur Lehre von den Grossenordnuugen. — Pasternak : Uber 
die Identitàt [or -\- n 2 ) (o 2 + p 2 \ = H>io + np) 2 -f- \»>p + no)" 1 . — Hermès : 
Bemerkungen zum Paskalschen Sechsecke. — Milarcii : Elément are Berech- 
nung der Logarithmen. — Th. Habler : Die Ausnahmslosigkeit beim Defi- 
uieren trigonometrischer Funktionen, — H. Bondenstedt : Das Berùhrungs- 
problem des Apollonius. — A. Schûlke : Uber die Einfùhrung negativer 
Zahlen. — C. Fre.nzel : Neue elementare AbleiUing der Formeln zur Be- 
stiminung der Haupt-und Brennpunckte einer Linse. — A. Schûlke : Uber 



1 68 H VLL E I I N H I H I. I G 11 A l' H IQV E 

die Reform 'les mathematischen l alerrichls an hôheren Se lui lin. — II. Kefi k- 
s 1 1 i.\ : Eine gemeinsame Méthode zur Lôsung der Gleichungen 2, :>. und i. 
Grades. — Th. Nonne Das Kaumvcrhallnis îles konkaven und konvexen 
Umdrehungs-Paraboloïds bei 2/"-Hôhe. — J. Schreiner : Ein Salz der 
Schulgeometrie. — Ernst Sôs : Zwei diophantische Gleichungen. — Ludwic 
Matthiessen : Merkwiirdige Zahlenreihéa. — II. Wieleither : Die Evoluten 
der Kegelschnitte. — H. Pfaff : Geometrische Oerterals ÛbungsslofF fur die 
Prima. — J. Schlesinger : Zur Lehre von der Proportionalitâl der Linien a m 
Kreise. — Wilh. Lehnex : Teilung eines jeden gegebenen Winkels in den 
Primzahlen 3, 5. 7. 11, I3,...usw. entsprecheude gleiche Teile. — P. Zùhlkj 
Einfacher Beweis des Satzes vom Neunpunktekreis. — Ernst Vogi i. : Dber 
die mechanische Ermittlung des Durehdringungspolygons. — Grosse: Die 
graphische Behandlung der Gleichungen ini Unterricht. 
Literarische Berichte; — Piidagogische Zeitung. 



2. Livres nouveaux: 

<). Broggi. — Traité des assurances sur la vie avec développements sur le 
calcul des probabilités, traduit de l'italien par S. Lattes. — 1 vol. cari.. 
306 p.; 7 fr. 50; Librairie Hermann, Paris. 

C.-H. Chandler. — Eléments of the Infinitesinnl Calculus. — 1 vol., in-12, 
relié, 319 p.. 146 figures, .S' 2: John Wiley and Sons. New- York. 

I. Czuber. — Vorlesungen ùber Differential- u. Integralrechnung. Il Band. 
Zweile, sorgfaltig durch gesehéne Aullage. — 1 vol. iu-8°. relié, 522 p. : 
12 marks ; B. G. Teubner, Leipzig. 

U. Hartwig. — Das Stereoskop und seine Anwendungen, mil i0 Abbil- 
dungen im Texl u. 19 strreoskopischen Tafeln. — 1 vol. cart. 70 p.. Col- 
lection « Natur u. Geisteswelt »: 1 m. 2.~i : B. G. Teubner. Leipzig. 

F. Pietzker. — Lehrgang der Elementar-Mathematik. I. Unterslufe. — 
1 vol. in-8°. relié. ol<S p. : 3 m. 20; B. G. Teubner, Leipzig. 

H. Poincaré. — Leçons de Mécanique céleste. T. IL l re partie: Développe- 
ment de la fonction perturbatrice. — 1 vol. gr. in-8, 167 p.: Gauthier- 
Villars, Paris. 

J. Riollot. — Les carrés magiques. Contribution à leur élude. — I \<>!. 
gr. in-8, 119 p. : Gauthier- Villars, Paris. 

Osw. Vkble.n and >'. I. Leknes. — Introduction to Infinitésimal Analy- 
sis. — Funktions of duc real variable. — 1 vol. in-8. relié, 22, p.. 
22 ligures ; .S 2 . John Wiley ami Sous. New- York. 

H. Vogt. — Eléments de mathématiques supérieures à l'usage des physi- 
ciens, chimistes et ingénieurs et des élèves dis Facultés des sciences. 
'i' 1 " édition, très augmentée el entièrement retondue. — 1 vol. gr. in-8°. 

;in p. ; 12 fr. : Vuiberl el Nony, Paris. 




A. MANNHEIM 

[83 1-] ')> )" 



LA VIE ET LES TRAVAUX D'AMEDEE MANNHEIM 



Le 11 décembre 1906 est une date de deuil pour la science 
française: ce jour-là, un grand géomètre, continuateur des 
Chasles et des Poncelet, était emporté à l'âge de 7o ans par 
une courte maladie. 

L'histoire de la vie du colonel Mannheim est simple, et of- 
fre surtout de l'intérêt pour ceux cpii l'ont connu, c'est a dire 
pour ceux qui l'ont aimé. Cependant il nous semble bon de 
ne pas la séparer de l'exposé de son œuvre ; il n'est pas inu- 
tile de présenter aux jeunes générations, l'exemple d'hom- 
mes chez lesquels la bonté, la droiture, la noblesse du carac- 
tère, les vertus privées fuient en harmonie avec la puissance 
intellectuelle. 

L'exposé des travaux scientifiques de Mannheim a été et 
sera sans doute présenté encore dans les journaux mathé- 
matiques. Les Nouvelles Annales de Mathématiques, notam- 
ment, ont publié sous le titre « L'Œuvre d'Amédée Mann- 
heim » une notice excellente de mon ami M. R. Bricard, à 
laquelle je me permettrai de faire de larges emprunts. 

Né à Paris le 17 juillet' 1831, Mannheim montra de très 
bonne heure un goût prononcé pour les mathématiques ; ses 
dessins d'enfant témoignent d'un sentiment inné de la pers- 
pective. 

A l'Institution Martelet. où il fut placé par ses parents, 
il put commencer à révéler certaines particularités carac- 
térisant ses aptitudes. Sa famille habitait rue de la Paix, 
l'institution était au Marais; et c'est pendant le trajet, de 
plusieurs kilomètres, que L'élève résolvait mentalement les 
problèmes qui lui avaient été posés. 

Reçu à l'Ecole centrale, il voulut pousser plus loin ses étu- 
des et fut au lycée Gharlemagne l'élève de Catalan. Il entra 

L'Enseignement mathém., 9 e année : 190". 12 



170 C.-A. LAIS AN T 

à l'Ecole Polytechnique en 1848, âgé de 17 ans, en sortit sous- 
lieutenânt d'artillerie, et, quittant Paris pour la première lois, 
se rendit à l'Ecole d'application de Metz. 

C'est là qu'il eut l'ingénieuse idée de modifier la règle a 
calculs, d'y adapter le curseur, et d'en l'aire l'instrument pra- 
tique si répandu, si utile, auquel son nom reste attaché. Rap- 
pelons ici qu'il devait plus tard perfectionner aussi le vernier 
et en décupler la précision. 

C'est également pendant son séjour à l'école de Metz qu'âgé 
de moins de vingt ans, il publiait son premier travail mathé- 
matique, sur la théorie des polaires réciproques (1851 . 

Comme lieutenant, il fut envoyé dans plusieurs garnisons 
successives, puis à Marseille, où il séjourna deux ans et put 
se remettre à la science. 

Détaché ensuite à la Manufacture d'armes de Châtellerault, 
en qualité de capitaine, il eut occasion de donner carrière à 
son génie inventif, par plusieurs perfectionnements dans le 
matériel de l'armée, et s'occupa des questions scientifiques 
s'y rapportant, comme plus tard au Comité technique de 
l'artillerie, auquel il fut pendant longtemps attaché. 

En 1857 il avait publié, sous forme de brochure, un curieux 
mémoire, sur la « Transformation des propriétés métriques 
des figures à l'aide de la théorie des polaires réciproques », 
où se révèlent déjà dans leur plénitude son originalité et son 
tour d'esprit. Alors que Poncelet n'avait abordé le problème 
qu'en rendant les relations métriques d'abord projectives, 
Mannheim le résoud directement, en (ait les applications les 
plus diverses et, allant plus avant encore, obtient la trans- 
formation, non seulement des théorèmes, mais de leur dé- 
monstration même. 

Peu après, il faisait paraître dans divers journaux mathé- 
matiques d'intéressantes notes relatives aux centres de cour- 
bere et à la Géométrie infinitésimale. 

11 était cependant encore peu connu lorsqu'en 1859, une 
place de répétiteur devint vacante à l'Ecole Polytechnique ; 
Mannheim v fut nommé, grâce à l'appui de l'illustre Lamé, qui 
avait su apprécier la valeur du jeune géomètre. 

De cette année 18.")!) date la véritable carrière de Mannheim. 



A M E D E E M A N N II El M 171 

Désormais, il va se consacrer entièrement à la science et à 
l'enseignement. 

C'est à cette époque également que remontent mes pre- 
mières relations, d'élève à répétiteur, avec celui qui pour 
moi devait devenir plus tard un ami respecté. J'ai tou- 
jours gardé le souvenir de la sympathie que nous inspirait, 
à mes camarades et à moi, ce jeune répétiteur, de quelques 
années plus âgé que nous, et en qui nous sentions déjà un 
maître. 

En 1860, Mannheim fit partie d'une mission envoyée dans 
le sud de la province de Constanline, pour l'élude d'une 
éclipse totale de soleil, et il s'y distingua par des observa- 
tions, aussi curieuses qu'inattendues, relatives aux phénomè- 
nes d'interférences. 

Nommé examinateur d'admission en 1863, il devenait 
l'année suivante professeur de Géométrie descriptive, en 
remplacement de M. de la Gournerie, et il a occupé 
cette chaire, on sait avec quel éclat, jusqu'à sa limite d'âge, 
en 1901. 

Dans les années qui s'écoulent de 1859 à 1870, de nom- 
breux et très importants travaux sont publiés par Mannheim 
sur la cyclide de Dupin, sur les transformations, sur les po- 
lvgones inscrits et circonscrits, sur la Géométrie infinitési- 
male, et enfin sur le déplacement d'une figure de forme in- 
variable, point de départ (1866 de cette « Géométrie cinéma- 
tique » dont il est le créateur et qui restera comme la partie 
maîtresse de son œuvre. 

Pendant le siège de Paris en 1870, il commande la batterie 
de l'Ecole Polytechnique; après le siège, au début de la Com- 
mune, il parvient à quitter Paris pour aller reprendre son 
enseignement à Tours, où avait été transférée l'Ecole Poly- 
technique. 

Les années qui suivent comptent parmi les plus lécondes. 
Mannheim publie une foule d'articles et de mémoires remar- 
quables, soit dans les Comptes rendus de l'Académie des 
Sciences, soit dans les journaux mathématiques. Il pousse 
ses recherches dans toutes les directions où il devait défini- 
tivement établir son domaine, et il apporte d'importantes con- 



172 C.-A. LA ISA NT 

tributions à toutes les questions qu'il aborde; elles concer- 
nent notamment les surfaces du 2 e ordre, la courbure et le 
contact des surfaces, les pinceaux de droites, les normalies, 
le déplacement des figures, la surface de Tonde, les surfa- 
ces réglées. 

Ces sujets si divers, et dont plusieurs paraissaient ne pou- 
voir être traités que par l'Analyse, il les résoud par des pro- 
cédés de Géométrie pure qu'il crée au fur et à mesure des 
besoins, et dont l'emploi donne à toutes ses productions un 
caractère saisissant de simplicité et d'élégance. 

On retrouve ces mêmes qualités au plus haut degré dans 
son enseignement. Soucieux à juste titre d'en élever le ni- 
veau, il l'ait profiter ses élèves d.e ses découvertes, en attri- 
buant un rôle prépondérant à la Géométrie cinématique ; il 
réussit ainsi à apporter, avantage très précieux, l'unité de 
méthode dans les démonstrations, et à obtenir une concision, 
une clarté, qui ne sont pas loin d'atteindre la perfection 
m ê m e . 

En peu d'années, le cours est entièrement rénové. De la 
chaire de Géométrie descriptive il a fait, sans en altérer le 
programme et sans amoindrir, tant s'en faut, son utilité pra- 
tique, une chaire de Géométrie supérieure. 

Aussi les suffrages du monde mathématique ne manquè- 
rent-ils pas au « Cours de Géométrie descriptive de l'Ecole 
Polytechnique, comprenant les éléments de la Géométrie ci- 
nématique », que Mannheim, après quinze années de profes- 
sorat, fit paraître en 1880. 

D'éminents géomètres tels que Gilbert, Cremona, Zeuthen, 
dans de lonoues et flatteuses analvses, donnèrent à cet ou- 
vrage la consécration de leurs éloges. Resal, dans une com- 
munication à l'Académie des Sciences, disait de son côté: 
« Ce beau travail établit un point de repère important dans 
l'histoire de la Science. » 

Mannheim professait d'ailleurs avec une clarté impeccable 
et une grande autorité, complétant l'intérêt de ses leçons par 
l'habileté remarquable avec laquelle il exécutait au tableau, 
tout en parlant, les épures les plus compliquées. Aussi la re- 
nommée du professeur dépassa-t-elle l'enceinte de l'Ecole et 



AMÉDÊE MANNHEIM 1 73 

plusieurs savants étrangers sollicitèrent et obtinrent l'auto- 
risation de venir suivre cet enseignement. 

Puisque nous sommes conduit en ce moment à parler plus 
spécialement du professeur, il est bon de remarquer que les 
qualités de l'esprit ne se spécialisent et ne se divisent pas. 
C'est parce que Mannheim était un savant précis, conscien- 
cieux, sévère vis à vis de lui-même, qu'il a été un maître des 
plus éminents. C'est parce qu'il était bon et qu'il aimait la 
jeunesse, qu'il a conquis l'affection de ses élèves s'ajoutant 
à l'admiration et au respect. 

Qu'il écrive ou qu'il enseigne, il ne se sent jamais satisfait 
s'il lui semble qu'on pourrait encore atteindre à une plus 
grande simplicité, soit dans les démonstrations, soit dans 
les constructions. S'il est conduit à une citation, il tient à la 
donner précise, rigoureuse et complète. Il tient aussi à ne 
jamais omettre l'indication d'un auteur qui s'est occupé du 
même sujet ou d'un sujet analogue, fût-ce par une contribu- 
tion minime. Sa scrupuleuse conscience a ainsi sauvé cer- 
tains noms d'un oubli immérité. 

En 1886 parait une deuxième édition du Cours de Géo- 
métrie descriptive, contenant de nombreuses modifications 
et additions. Signalons aussi une brochure publiée en 1882 
et intitulée « Premiers Eléments de Géométrie descriptive », 
où Mannheim préconise la suppression de l'emploi systéma- 
tique de la ligne de terre. 

Ses idées très juste t s, sur ce point, furent introduites rapi- 
dement dans de nombreux établissements d'instruction, et 
nous pouvons constater qu'aujourd'hui elles ont à peu près 
universellement prévalu. 

Durant la période s'étendant à partir de 1881 jusqu'en 1894, 
le domaine des recherches de Mannheim se précise; il les 
poursuit et les achève. Parmi les travaux qu'il publie, men- 
tionnons, presqu'au hasard, des notes importantes sur la 
polhodie et l'herpolhodie, sur l'hyperboloïde articulé, sur le 
conoïde de Pliicker, etc. etc.. 

Prise clans son ensemble, son œuvre, comme le remarque 
M. Bricard, peut être divisée en trois groupes. 

Le premier concerne la théorie des surfaces; Mannheim 



174 C.-A LAI SA NT 

généralise le théorème de Meusnier, il découvre le parabo- 
Ioïde des huit droites, et apporte des contributions considé- 
rables à l'étude des propriétés qui dépendent d'infiniment 
petits du 3 ,ue ordre. 

La considération des normalies. qui appartient en propre 
à Mannheim, le conduit à trouver et à vérifier des proposi- 
tions qu'on aurait pu croire inabordables par la Géométrie 
pure. Enfin, les recherches sur les pinceaux, éléments infi- 
nitésimaux des eongruenees de droites, aboutissent au très 
beau « Mémoire d'optique géométrique » (1884), où tout est 
nouveau, méthode et constructions. 

L'étude de la surface de l'onde de Fresnel constitue à elle 
seule un second groupe imposant de travaux. Ces recherches, 
qui forment encore un important chapitre des applications de 
la Géométrie cinématique, ont amené Mannheim à la déter- 
mination des ombilics, à la considération de la surface de 
l'onde comme surface limite, etc. 

Parmi les nouvelles propriétés géométriques qu'il a décou- 
vertes, Mannheim a été assez heureux pour en rencontrer 
un certain nombre qui sont suceptibles d'une interprétation 
physique. On ne connaissait que peu de propriétés de ce 
genre, malgré les beaux travaux de Fresnel, Hamilton, Mac- 
Cullagh et Plùcker. 

Enfin le troisième groupe de ses travaux constitue la partie 
capitale de son œuvre et concerne la Géométrie cinématique. 
Nous avons déjà cité de nombreux mémoires qui s'y ratta- 
chent. Ils ont servi d'élément au plus important de ses ou- 
vrages scientifiques, qui est le volume intitulé : Principes et 
développements de Géométrie Cinématique (1894 . 

Là il reprend, coordonne et expose magistralement les 
idées qu'il a émises depuis 1866, qu'il a développées dans de 
nombreux mémoires et présentées en partie à ses élèves, 
au cours de son enseignement, sur le déplacement des figu- 
res. 

Un pareil livre peut être mis en parallèle avec la Géométrie 
Supérieure de Chasles et les Propriétés projectiles de Pox- 
celet, et l'auteur, dans sa préface, exprime rigoureusement 
la vérité en écrivant cette phrase : « Je puis dire que cet ou- 



A M E DEE M A .V A II E l M 175 

vrage tout entier est le fruit de mes recherches personnel- 
les 1 . » 

M. Bricard, en parlant de ce beau livre, dit qu' « il restera 
« l'un des monuments de la science française au XIX e siècle, » 
et il ajoute: « il serait diiïieile de citer beaucoup de traités 
« mathématiques de cette étendue aussi complètement ori- 
« ginaux, et dont la lecture soit aussi propre à développer 
« l'esprit d'invention. 

« Dans un tel livre où tout est personnel, les idées sem- 
« blent encore animées de l'activité qui leur a donné le jour. » 

Arrivons maintenant à Tannée 1901. C'est l'instant où pre- 
nait lin la carrière de Mannheim comme professeur; la re- 
traite lui était imposée par limite d'âge. 

Ici se place un épisode touchant et sans précédent à l'Ecole 
Polytechnique. A l'insu du professeur, un comité se forma 
pour lui offrir un souvenir artistique (la Renommée, de Coû- 
tant) qui lui serait solennellement remis dans le grand am- 
phithéâtre de physique, à l'Ecole même. 

Mannheim fut prévenu quelques jours à peine avant la cé- 
rémonie, qui eut lieu le 14 décembre 1901, sous la présidence 
du Ministre de la Guerre d'alors, le Général André. De bel- 
les allocutions furent adressées au Colonel Mannheim par le 
Général Debàtisse, commandant l'Ecole, par M. Mercadier, 
Directeur des Etudes, par M. Rouché, Examinateur de Géo- 
métrie, enfin par le premier élève de la promotion des an- 
ciens. M. Aubrun. 

Le Journal de l'Ecole Polytechnique (2 e série, cahier 7) a 
publié (y compris les discours) le compte rendu de cette 
belle séance, à propos de laquelle un jeune et regretté ma- 
thématicien, prématurément enlevé à la science depuis lors, 
écrivait: « Cette récompense est le couronnement d'une car- 
« rière vouée avec le plus complet désintéressement à la 
« science que M. Mannheim aime vraiment comme un artiste 



1 Si cet ouvrage n'a paru qu'en 1894,1a Géométrie Cinématique était, comme nous l'avons 
dit, créée, connue et professée par l'auteur même depuis environ un quart de siècle. Des 
disciples avaient suivi, plutôt à l'étranger qu'en France, et Schœnflies, en Allemagne, avait 
publié en 1893 sa «Géométrie du mouvement », livre des plus intéressants et des mieux faits, 
dont une traduction française apparut rapidement. Schœnflies y désigne lui-même Chasles 
et Mannheim comme les fondateurs de la Géométrie Cinématique. 



176 C.-A. LAIS AN T 

« aime son art. Nul mieux que lui n'a jamais cultivé la Géo- 
a métrie pour sa beauté propre, qu'il met si harmonieuse- 
« ment en évidence par l'élégance de sa méthode et par la 
« concise précision de sa forme » (Ernest Duporcq, Nouvel- 
les Annales, janvier 1902.) 

Lors de cette grande manifestation d'admiration et de sym- 
pathie, Mannheim, profondément ému, ajouta à ses remer- 
ciements les paroles les plus élevées relativement à la mis- 
sion de l'Ecole et au rôle de la Géométrie. 

Mais Mannheim n'avait pas seulement honoré comme pro- 
fesseur cette Ecole à laquelle il avait entièrement consacré 
quarante années de sa vie avec le désir passionné de lui être 
utile; c'est dans les conseils qu'il put donner toute la mesure 
de son dévouement. Il s'y montra toujours le défenseur désin- 
téressé de tout ce qui touchait a la grandeur de cette insti- 
tution nationale, terme d'esprit, indépendant, inébranlable. 

Mannheim fut aussi l'un des fondateurs, et, pendant vingt- 
cinq ans, l'un des membres les plus actifs de la Société Ami- 
cale des anciens élèves de l'Ecole. 

Pendant les années qui s'écoulèrent de 1901 jusqu'à sa 
mort, Mannheim ne resta pas inactif. Son intelligence était 
de celles qui ne sauraient se laisser engourdir. Malgré une 
santé depuis longtemps atteinte, on lui aurait attribué physi- 
quement dix ou quinze ans de moins que son âge. Un deuil 
cruel, dans la dernière période de sa vie. lui enlevant une 
fille charmante, produisit en lui un déchirement, et un ébran- 
lement de la santé qui devait être irrémédiable. 

11 se confina dès lors dans une retraite absolue. Mais ni les 
souffrances phvsiques, ni les épreuves ne portèrent jamais 
atteinte à sa vigueur intellectuelle ni à sa haute sérénité mo- 
rale. Il ne s'est jamais abandonné au découragement ni à 
l'amertume. 

Un des côtés les moins connus du caractère de Mannheim, 
c'est le plaisir qu'il prenait à des œuvres utiles, en apparence 
bien au dessous de son talent, mais en y mettant une sorte 
de coquetterie discrète. C'est ainsi par exemple que pen- 
dant plusieurs années ( de 1879 à 1886 il a donné régulière- 
ment dans les Nouvelles Annales les solutions des composi- 



A ME DÉ E M AN N HE I M 177 

tions proposées à chaque concours d'admission a l'Ecole 
Polytechnique. 

Il les signait « Un ancien élève de mathématiques spé- 
ciales » ! ; Ces solutions d'une extrême élégance présentaient 
cette particularité, quelles reposaient exclusivement sur 
l'emploi de la Géométrie, sans aucun recours au calcul. Le 
secret fut bientôt percé à jour, car il n'était pas malaisé de 
voir que cet « ancien élève » ne pouvait être qu'un maître in- 
contesté. Dans le même ordre d'idées, au cours des derniè- 
res années, il a publié dans plusieurs journaux des notes 
ou des énoncés de questions, souvent d'apparence très élé- 
mentaire, sous le pseudonyme de «Canon ». Il y aura intérêt 
a accorder une attention particulière aux moindres problè- 
mes portant cette signature, car pas une ligne n'était écrite 
par Mannheim, qui n'eût un cachet d'originalité et souvent 
une portée dépassant de beaucoup l'apparence première. Sous 
cette sorte de jeu, il poursuivait toujours le même but; per- 
fectionner l'enseignement à tous les degrés, y infuser le goût 
et le culte de la Géométrie. 

On retrouve à chaque instant chez lui les marques de cette 
préoccupation. Elle se manifeste notamment, avec une net- 
teté particulière, dans son discours d'adieu du 14 décembre 
L901, dont nous parlions tout à l'heure. 

« L'étude de la Géométrie, disait-il, est toujours féconde en 
« elle-même, car aucune autre science n'est plus propre à 
« donner le goût de la simplicité, de la clarté, aucune n'ha- 
» bitue mieux l'esprit à synthétiser et à rendre concrètes les 
« conceptions mathématiques; aucune enfin n'est plus capa- 
« ble de développer la faculté de réfléchir, la faculté de rai- 
« sonner, de l'aire, en un mot, l'éducation de l'intelli- 
gence. » 

Je n'ai parlé ni de l'étonnante érudition mathématique de 
Mannheim ni de la bienveillance avec laquelle il mettait ce 
trésor à la disposition des mathématiciens, surtout des jeu- 
nes, qui venaient le consulter comme une bibliothèque vi- 
vante. Il avait la faiblesse d'en paraître flatté. Au fond, je 



1 Dans le même recueil 1 189(1) (in trouve encore sous la même signature deux articles de 
Géométrie dignes d'attention. 



178 



C.-A. LAIS AN T 



crois bien que sa satisfaction était surtout de savoir qu'il 
rendait service 

Mais je n'en terminerais pas, si je me laissais aller à la ten- 
tation de décrire tous les côtés originaux et charmants de 
cette nature d'élite, si je faisais appel aux souvenirs person- 
nels, si j'essayais de montrer par des exemples la finesse de 
vues qui était alliée en lui à la force et à la pénétration de la 
pensée. 

Le lecteur est en droit d'attendre qu'on lui parle surtout 
du savant et de l'œuvre. Il a dû deviner suffisamment par ce 
qui précède le chagrin que causa la disparition de l'ami. 

L'œuvre de Mannheim, écrit M. Bricard (op. cit.) « frappe 
« à la fois par l'unité des principes qui ont dirigé ce savant 
« dans toutes ses recherches, et par la diversité des applica- 
« tions qu'il en a faites dans les domaines les plus variés. » 

Elle témoigne d'un merveilleux génie d'invention ; mais la 
faculté dominante et caractéristique de Mannheim, celle qui 
lui a permis d'aussi belles découvertes par des moyens d'ap- 
parence simple, semble avoir été « la vision de l'espace ». Il 
faut entendre par là, non pas la vue dans l'espace de corps 
plus ou moins compliqués, représentés sur une épure, mais 
une sorte de puissance imaginative fort rare, qui permet de 
former directement dans le cerveau les schémas nécessaires 
à la conception nette des figures, de leurs éléments infinité- 
simaux, de leurs rapports, et des propriétés qui s'en sui- 
vent. 

De là son culte pour la Géométrie, culte qu'il était loin de 
pousser jusqu'au mépris du calcul. Il avait pour cela trop 
d'équilibre d'esprit et d'équité scientifique. Mais il avait rêvé 
et il pouvait légitimement espérer de voir continuer l'éclat 
dont avait brillé la Géométrie pure, en France surtout, dans 
la première partie du XIX e siècle, grâce aux travaux de Ch. 
Dupin, de Chasles et de Poncelet. Cet éclat, Mannheim a 
contribué à en augmenter la splendeur ; et cependant le dé- 
laissement s'est produit de son vivant au profit exclusif de 
l'Analyse mathématique. 

Il s'en suivit chez lui une inévitable mélancolie scientifi- 
que, bien justifiée, car il était en droit d'avoir conscience de 



/) É TE R MINA TIO N I) E S M É T /.' / Q V E S 1 79 

sa valeur. Il en ressentit de la tristesse, sans aucune aigreur. 
Sa science de prédilection « n'était plus à la mode ». 

Mais la mode n'est pas maîtresse du temps. Ce que les 
contemporains de Mannheim n'ont pas su faire, la postérité 
le fera, et reconnaîtra en lui l'un des bons ouvriers de la pen- 
sée humaine, l'un des savants auxquels ira le plus justement 
l'hommage des hommes épris de science et de vérité. La re- 
naissance de la Géométrie est inévitable, sinon prochaine. 
C'est surtout à celui que nous venons de perdre que la gloire 
en reviendra. 

C.-A. Laisant. 



SLR LA DÉTERMINATION DES MÉTRIQUES 



I. — Il ne semble pas qu'on ait encore signalé une pro- 
priété importante par laquelle la métrique lobatchewskienne 
se distingue de la Géométrie ordinaire ou métrique eucli- 
dienne. Cette propriété consiste dans la possibilité de trans- 
porter un segment d'une droite sur une autre au moyen de 
constructions uniquement projectives, tandis qu'en Géomé- 
trie ordinaire il est seulement possible, par ces moyens, de 
transporter un segment sur une même droite ou sur des 
droites parallèles entr'elles. Autrement dit, les notions pro- 
jectives suffisent à établir la métrique lobatchewskienne, 
tandis qu'elles ne suffisent pas à établir la métrique eucli- 
dienne. 

On sait que les constructions projectives (ou par aligne- 
ments) permettent de déplacer un segment sur une même 
droite ; il suffit donc de montrer comment l'on peut détermi- 
ner un segment Ob égal à un segment 0« de même origine 
mais ayant une direction différente. 

En métrique lobatchewskienne comme en métrique ordi- 
naire, les extrémités de segments égaux portés sur deux 
droites Ox et Qy, à partir d'un même point O, déterminent 



180 



G. COMBEBIAC 



une correspondance homographique, dans laquelle le point O 
se correspond à lui même; les droites qui joignent les points 
correspondants et, en particulier, les points a et b sont donc 
concourantes. En métrique ordinaire, le point de concours 
est à l'infini, comme lest elle-même la droite qui joint les 
deux points situés à l'infini sur les deux droites Ox et Qy. 
En métrique lobatchewskienne, le point de concours est 
imaginaire et situé sur les deux droites qui joignent deux a 
deux les quatre points situés à l'infini sur Ox et O?/, points 
qui se correspondent homographiquement. Ces deux der- 
nières droites ne sont pas en général accessibles ; mais il 

est facile de construire une droite 
concourante avec elles, et passant, 
par exemple, par le point a, extré- 
mité du segment donné. 11 suffit, 
pour cela, de faire appel au théo- 
rème de Desargues, qui est le re- 
présentant en Géométrie plane de 
l'axiome d'existence du plan axio- 
me principal de la Géométrie pro- 
jective). La construction est la 
suivante : mener par le point a 
les deux droites U' et III' asymptotiques a O?/, puis, par 
le point O, une droite quelconque, et, par les points c et 
cl, où elle rencontre les deux premières, mener les deux 
droites II et III asymptotiques à O.r. La droite qui joint le 
point de rencontre m de ces deux dernières au point a passe 
par le point b; car les deux triangles formés respectivement 
par les droites I, II, III et I', II', III' sont homologiques par 
construction. On peut d'ailleurs vérifier qu'en vertu du 
théorème de Desargues, le point b est bien indépendant du 
choix de la droite de construction Ocd, en tenant compte du 
fait que trois droites asymptotiques d'un même côté doivent 
être considérées comme concourantes. 

La différence qui vient d'être établie entre la métrique 
lobatchewskienne et la métrique euclidienne trouve facile- 
ment son explication dans la genèse même des métriques, à 
la condition toutefois de se placer au point de vue franche- 




DÉTERMINATION DES METRIQUES 181 

ment géométrique et, avant tout, d'abandonner la manière 
de s'exprimer encore employée dans ce paragraphe et qui 
consiste à désigner, sous le nom de lignes droites, des lignes 
qui ne présentent aucune particularité individuelle, mais qui 
forment un ensemble jouissant des mêmes propriétés que 
l'ensemble des lignes droites. C'est cette genèse géométrique 
des métriques qui fait l'objet du paragraphe suivant. 

II. — Le fondement de la théorie proprement géométrique 
des métriques réside dans les recherches de Cayley sur les 
métriques projectives, parmi lesquelles figure la Géométrie 
ordinaire. Une métrique projective s'obtient en adoptant 
comme distance de deux points la grandeur définie par la 
propriété d'être proportionnelle au logarithme du rapport 
anharmonique déterminé par ces points et par les points 
d'intersection de la droite qui les joint avec une surface du 
second ordre prise pour base de la métrique. 

Les métriques de Cayley n'épuisent pas les interprétations 
géométriques dont sont susceptibles les diverses théories 
édifiées sous le nom de géométries non-euclidiennes. 

En effet, si l'on applique aux divers points de l'espace une 
transformation ponctuelle réelle, continue et n'introduisant 
aucune singularité, les lignes droites sont transformées en 
d'autres lignes également simples, s'étendant à l'infini dans 
les deux sens et formant un ensemble qui jouit des mêmes 
propriétés géométriques que l'ensemble des lignes droites 
(détermination par deux points et formation de surfaces pos- 
sédant les mêmes propriétés que les plans). Un tel ensemble 
de lignes permet de définir des nombres qui présentent tou- 
tes les propriétés des rapports anharmoniques et d'établir, 
par leur intermédiaire, des systèmes de coordonnées en 
tout semblables aux systèmes de coordonnées projectifs: 
une surface du second ordre aura pour transformée une 
surface représentée, dans les nouveaux systèmes de coor- 
données ainsi définis, par une équation du second degré. 
On dispose donc des mêmes éléments qu'en Géométrie pro- 
jective pour établir, par le procédé même de Cayley. d'autres 
métriques possédant les mêmes propriétés essentielles que 
les métriques projectives auxquelles elles correspondent, les 



182 G. COMBE BU C 

lignes droites étant seulement remplacées dans leur rôle par 
d'autres lignes, que l'on peut appeler les lignes axiales des 
nouvelles métriques. 

Ce sont les métriques susceptibles d'être obtenues par le 
procédé exposé ci-dessus que Sophus Lie a exclusivement 
visées dans ses recherches sur les axiomes de la Géométrie 
et qu'il a pu réunir dans une définition commune en les ca- 
ractérisant par une propriété simple et indépendante de 
toute notion métrique ou projective. On peut reconnaître 
d'ailleurs que les systèmes d'axiomes adoptés par le,s géomè- 
tres qui, comme M. Hilbert, se sont placés au point de vue 
purement logique, définissent au fond ces mêmes métriques. 

Il résulte de là qu'une métrique est déterminée par ses 
lignes axiales et par la surface du second ordre (par rapport 
à ces lignes) qui joue le rôle de surface fondamentale. On va 
rechercher dans quelle mesure est réduite l'indétermination, 
pour les diverses catégories de métriques, par l'introduction 
d'une nouvelle condition, la condition archimédienne. 

III. — Les métriques susceptibles d'êtres déduites les unes 
des autres, c'est-à-dire de l'une d'entr'elles, par l'application 
de transformations ponctuelles n'introduisant pas de singu- 
larité seront dites semblables. 

On se bornera aux trois catégories de métriques générale- 
ment envisagées, savoir : 

i° les métriques hyperboliques, c'est-à-dire celles qui 
sont semblables à la métrique projective ayant pour surface 
fondamentale un ellipsoïde réel, par exemple la sphère : 

, T s 4- f _|_ ;2 _ R 2 _ . 

2" les métriques elliptiques, c'est-à-dire celles qui sont 
semblables à la métrique projective ayant pour surface fon- 
damentale un ellipsoïde imaginaire à centre réel, par exem- 
ple la sphère imaginaire : 

x i _|_ y 2 _|_ -2 _|_ R 2 _ . 

3° les métriques paraboliques, c'est-à-dire celles qui sont 
semblables à la Géométrie ordinaire. 

Le transport successif d'un segment le long d'une ligne 



D E T E 11 )/ / N ATI () N 1) E S M ETRIQUES 1 83 

axiale présente des caractères différents dans ces trois caté- 
gories. 

Dans les métriques hyperboliques ou paraboliques, les 
points du segment ne peuvent atteindre que les points situés 
d un même côté de la surface fondamentale pour les métri- 
ques projectives, ellipsoïde réel ou plan); dans les métriques 
elliptiques, au contraire, on atteint l'infini après un nombre 
fini d'opérations. 

Si l'on appelle archimédiennes les métriques, projectives 
ou non, dans lesquelles le transport d'un segment le long 
d'une ligne axiale permet d'atteindre un point quelconque de 
cette ligne et peut, en outre, être répété indéfiniment, on 
voit que la condition pour qu'une métrique hyperbolique ou 
parabolique soit archimédienne est que sa surface fonda- 
mentale soit rejetée à l'infini. 

La Géométrie ordinaire est une métrique parabolique et 
archimédienne, sa surface fondamentale étant constituée par 
la surface du second ordre dégénérée qui est définie par le 
cercle imaginaire du plan de l'infini. 

Pour obtenir une métrique qui soit a la fois hyperbolique 
et archimédienne. c'est-à-dire qui soit justiciable de la théorie 
logique édifiée par Lobatchewski, il suffit d'appliquer aux 
points de l'espace une transformation ponctuelle continue qui 
fasse correspondre l'espace tout entier au volume intérieure 
une sphère 1 ; cette sphère est alors transformée en une sur- 
face rejetée à l'infini, les lignes transformées des lignes 
droites sont des lignes simples, s'étendant a l'infini dans les 
deux sens et formant un ensemble tel que par un point exté- 
rieur à l'une d'elles on peut mener à celle-ci deux lignes 
asymptotiqiies appartenant a l'ensemble. C'est donc là une 
propriété caractéristique des métriques à la ibis hyperboli- 
ques et archimédiennes. 

Réciproquement, des lignes simples, s'étendant à l'infini 



1 On peut, par exemple, faire correspondre. ;i tout point M situé à une distance r « R) du 
centre de la sphère, un point M' situé sur la droite OM, du même côté de O que M et à une 
distance r' de déterminée par 



TT = l °s r-=7 



184 G. COMBEBIAC 

dans les deux sens et formant un ensemble qui jouit des 
mêmes propriétés géométriques que l'ensemble des lignes 
droites, à l'exception de la propriété de l'unicité de l'asymp- 
totique, sont les lignes axiales d'une et d'une seule métrique 
archimédienne, et celle-ci est hyperbolique. 

En effet une étude d'un tel ensemble de lignes, calquée sur 
la Géométrie projective, conduit à considérer les points si- 
tués à l'infini sur ces lignes comme appartenant à une même 
surface du second ordre, c'est-à-dire qu'un tel ensemble de 
lignes donne lieu à une surface du second ordre de l'infini, 
comme les lignes droites déterminent le plan de l'infini. La 
seule métrique archimédienne parmi celles qui admettent 
ces lignes pour lignes axiales est, d'après la condition établie, 
celle dont la surface fondamentale est la surface de l'infini. 

Les métriques paraboliques àrchimédiennes ne sont pas 
déterminées par leurs lignes axiales. Elles sont obtenues, en 
partant de la Géométrie ordinaire, par l'application d'une 
transformation ponctuelle continue et biunivoque. La pro- 
priété de l'unicité de l'asyinptotique est conservée et se 
trouve ainsi caractériser les métriques à la fois paraboliques 
et àrchimédiennes ; les lignes axiales déterminent une sur- 
face de l'infini qui est du premier ordre pour les métriques 
projectives, c'est le plan de l'infini). Mais ces données ne 
suffisent pas pour déterminer une métrique : pour les métri" 
qu'es projectives, par exemple, il reste à spécifier la conique 
imaginaire qui doit jouer le rôle du cercle imaginaire de 
l'infini. On peut, c à cet effet, se donner, par exemple, une des 
surfaces qui doivent jouer le rôle des sphères. Ces surfaces 
sont, dans le cas en cause, des ellipsoïdes semblables entr'eux 
et semblablement placés. Moyennant ces données on pourra 
transporter un segment sur une droite de direction quelcon- 
que, ce qui suffit pour déterminer une métrique. 

Enfin, en ce qui concerne les métriques elliptiques, on a 
vu que le transport d'un segment sur une ligne axiale ne 
peut pas être répété indéfiniment; mais cela supposait que 
ces lignes s'étendaient à l'infini. Une métrique elliptique 
pourrait être archimédienne si ses lignes axiales étaient 
toutes fermées. Mais il est facile de reconnaître qu'un en- 



RECHERCHE DES FACTEURS PREMIERS 185 

semble de lignes tel qu'il en passe une par deux points 
quelconques de l'espace comprend forcément des lignes s'éten- 
dant à l'infini. C'est ainsi que parmi les cercles orthogonaux 
à un plan, qui forment, comme on sait, un tel ensemble, figu- 
rent les droites parallèles à ce plan. On doit donc conclure 
(pie les métriques elliptiques archimédiennes n'ont pas d'exis- 
tence géométrique, dans notre conception de l'espace. Mais 
ces métriques s'imposeraient, au contraire, si l'espace venait 
à être conçu, selon I idée émise par Fliemann, comme une va- 
riété numérique fermée 1 . On peut bien ajouter que rien ne 
permet d'aflirmer que cette conception n'est pas celle de 
L'avenir. G. Combebiac (Bourges). 



TABLE D'ELEMENTS RELATIFS A LA BASE 30030 

POUR LA RECHERCHE RAPIDE 

DES FACTELRS PREMIERS DES GRANDS NOMBRES 



La dignité de la science semble 
demander que l'on recherche avec 
soin tous les secours nécessaires 
pour parvenir à la solution d'un 
problème si élégant et si célèbre. 
Gauss l . 

I. — Pbkliminaibks. 

1. Pour reconnaître si un nombre donné est composé ou 
premier et trouver les facteurs premiers d'un nombre composé, 
il n'existe ni de méthode générale, ni de procédé pratique ; 
on a, il est vrai, quelques procédés applicables à des nom- 
bres ayant des formes particulières ; mais il est regrettable 
de constater que l'on ne soit guère maintenant plus avancé 
qu'au début du XIX ,ne siècle et que les réflexions, suivantes 
publiées par Gauss 2 en 1801, soient malheureusement encore 
vraies. 

« On ne peut s'empêcher de convenir que toutes les mé- 
« thodes proposées jusqu'à présent sont restreintes à des cas 



1 Ou mieux, si la continuité géométrique venait à être assimilée à celle d'une variété numé- 
rique fermée. 

8 Disquisitiones Arithmeticœ, Lipsia>. 1801. N° .V29. — Cet Ouvrage a été traduit par Poi:llet- 
Delislk sous le titre Recherches Arithmétiques. Paris. ÎSO-T. p. 416. 

L'Enseignement mathém.. 9 e année; 1907. 13 



186 E LE BON 

« très particuliers, ou sont si longues et si pénibles, que 
« même pour ceux de ces nombres qui ne dépassent pas les 
« limites des Tables dont on est redevable à quelques mathé- 
« maticiens, c'est-à-dire pour les nombres à L'égard desquels 
« ces méthodes sont inutiles, elles fatiguent la patience du 
« calculateur le plus exercé, et qu'elles ne sont pour ainsi 
« dire pas applicables à de plus grands nombres. » 

Notons que Legendre ' a écrit en 1830 des considérations 
analogues à celles de Gauss et que E. Lucas 2 a jugé néces- 
saire de reproduire en 1876 les réflexions précitées. 

Par exemple, ce n'est qu'après des raisonnements et des 
calculs assez longs et compliqués que Legendre arrive à 
montrer qu'il suffit d'essayer les nombres premiers 83, 107, 
163, 401, 409, 467 et 509 pour conclure que le petit nombre 
333667 est premier; que Th. Pépin 3 trouve que le nombre 
7444009 est égal à 53.140453. Ce dernier savant, en consta- 
tant qu'il trouve le facteur premier 53, ne peut s'empêcher 
d'ajouter : « On regrette de ne pas avoir employé la méthode 
des diviseurs ». 

2. — C'est pour obvier à l'absence de méthode pratique 
que l'on s'est astreint à construire des Tables de diviseurs 
premiers des nombres. Mais il ne faut pas songer à continuer 
la publication de telles Tables dans le mode de disposition 
employé jusqu'ici, consistant à inscrire chaque nombre et son 
moindre diviseur premier : en effet, il a fallu, pour les 9 pre- 
miers millions, 9 volumes dont chacun contient 112 pages 
grand in-4°, les chiffres étant imprimés en petits caractères. 

La Table dont je propose l'emploi pour résoudre le double 
problème en question, dont la construction repose sur d'élé- 
gantes propriétés non encore signalées de certaines progres- 
sions arithmétiques, n'exige que de rapides comparaisons de 
nombres et occupe une surface petite relativement à l'impor- 
tance des résultats qu'elle donne. Son emploi ((institue une 
méthode uniforme applicable aux grands nombres. 



1 Théorie des Sombres. '.i< édit., Paris. 1830. N« 256. X 260. 

2 Compte rendu de la Session tenue à Clermont-Ferrand en lsTii par l'Association Française 
pour l'Avancement des Sciences. P. 61. 

3 Extension de la Méthode d'En 1er pour la décomposition des grands nombres en facteurs pre- 
miers. Memorie délia Pontificia Acc.wleniia dei nuovi Lincei. vol. IV, Ronia, 1893. P. 12. 



RECHERCHES DES FACTEURS PREMIElts 187 

3. — Soient : 

B le produit a/S...), de nombres premiers consécutifs a,/3,...,X 
à partir de 2 ; 

P le produit (« — 1) (/3 — 1 ... (X — 1) ; 

I l'un quelconque des P nombres premiers à B et inté- 
rieurs a B ; 

K un nombre successivement égal aux entiers positifs, a 
partir de 0. 

On reconnaît aisément que : Chacun des systèmes des P 
progressions arithmétiques de terme général BK+I renferme 
tous Les nombres premiers autres que ceux qui forment B. 

On peut dire que B est la base du système considéré et 
que I est Y indicateur d'un terme de ce système. 

Deux indicateurs sont dits complémentaires lorsque leur 
somme est égale à la base. 

4. — Soient N, I) et M des nombres d'un système de pro- 
gressions de base B. 

II est évident que : Le nombre X est ou n'est pas divisible 
par le diviseur D selon que K et M sont ou ne sont pas tels 
que l'équation 

\,t) BK + I = Ml) 

soit satisfaite, B, 1 et D étant connus. 

Soient k et m les valeurs minima de Iv et AI satisfaisant à 
l'équation a . Les nombres k se nomment caractéristiques. 

Nous dirons que la caractéristique /.' et l'indicateur I soûl 
les éléments du nombre N par rapport à un diviseur D. 

5. — Le lecteur est supposé connaître les propriétés que 
j'ai établies ' pour calculer les éléments k et I. La construction 



1 Mon premier travail sur ee sujet a été signalé à l'Académie tics Sciences de Paris, dans la 
séance du 3 Juillet 11105 (Comptes Rendus, T. CXLI, Paris, 1905, P. 78). Mes principaux Mé- 
moires se trouvent dans le Jornal de Sciencias Matheinaticas. J'hysicas e Naturaes publié par 
l'Académie Royale des Sciences de Lisbonne 11 er Août 1905, 2 e série, T. VII, Lisbonne, 1906) ; 
dans les Rendiconti de l'Académie Royale des Lincei (Vol. XV, Roma : Nota presentata dal 
Socio V. Voi.TiiHRA nella Seduta del 22 Aprile 1906) ; dans le Bulletin de la Société Philoma- 
thique de Paris (28 Avril 1906, Paris, à la Sorbonne, 1906) ; dans le Bulletin de la Société Ma- 
thématique Américaine iMay 1906, New York. 1906) ; dans les Comptes Rendus du Congres tenu 
à Lyon en août 1906 par l'Association Française pour l'Avancement des Sciences; dans II J'ita- 
gora, Giornale di Matematica di Gautano Fa/.zari (Anno XIII, 1906-1907, Palermo, n» 6-7, 
1907). Ce Journal contient une Table de base 30030 donnant, pour les nombres inférieurs à 
510510, les caractéristiques relatives aux diviseurs premiers de 17 à 709, le multiplicateur cor- 
respondant à la première valeur de l'indicateur pour chaque caractéristique et cette première 
valeur, et permettant, par suite, d'abréger notablement la recherche des facteurs premiers de 
ces nombres. 



188 E. LE l'.OS 

de la Table dont je propose l'emploi dépend principalement 
de la propriété suivante : 

Lorsque deux nombres N et Ni, N > Ni, admettent le même 
diviseur D et la même caractéristique k. la différence de leurs 
indicateurs I et Ii est multiple de D. 

Il en résulte que, si m et un sont les multiplicateurs de D 
tels (jue N = Dm, Ni = D«?i, on a la Formule 

1 — U 

ifrl m = m t -| — — . 

Pour trouver les facteurs premiers de m ou reconnaître 
que m est premier, on cherche si m se trouve parmi les indi- 
cateurs des groupes dans les Tableaux D, de 17 à 173. ou 
bien on se sert de la Table de caractéristiques relatives a la 
base 2310 {*). 

11. — Disposition des Eléments. 

6. — Au point de vue de la moindre surface occupée par 
la Table de base 30030, je vais donner une disposition des 
éléments plus avantageuse que celle que j'ai proposée au 
Congrès des Sociétés Savantes en avril 1906. 

7. — Pour chaque diviseur premier D, ces diviseurs étant 
considérés en ordre croissant à partir de 17, on l'orme un Ta- 
bleau de la manière suivante : 

La caractéristique la plus faible k = *. correspond au carré 
d[\ diviseur premier considéré $. On écrit cette caractéris- 
tique, puis le multiplicateur nu = $, ensuite l'indicateur Ii 
relatif à $ 2 , enfin les indicateurs l relatifs aux produits de <î 
par les multiplicateurs m non divisibles par les nombres pre- 
miers inférieurs à $. On écrit la caractéristique k = y. + 1, puis 
le premier multiplicateur im non divisible par les nombres 
premiers inférieurs à $, ensuite l'indicateur h relatif au pro- 
duit $mi, enfin les indicateurs 1 relatifs aux produits de $ par 
les multiplicateurs m non divisibles par les nombres pre- 
miers inférieurs à d. On continue à écrire ainsi les valeurs 
successives de /.% de mi, de h, des indicateurs I, jusqu'à et y 
compris la caractéristique k= $ — 1. 



1 Paris. Delalain Frères, 1906. 



RECHERCHES DES FACTEURS PREMIERS 189 

Comme les valeurs des multiplicateurs m vont en croissant, 
il en est de même des valeurs des indicateurs relatifs à une 
même caractéristique. 

8. — La Table sera donc formée d'autant de Tableaux D 
qu'elle contiendra de diviseurs premiers D. Chaque Tableau 
D contiendra autant de groupes d'indicateurs que de caracté- 
ristiques inscrites. 

De D= 17 à D=173, les Tableaux D commencent à la ca 
raetéristiqueO;àpartirdeD = 179, deD=251, deD = 307,..., 
les Tableaux D commencent respectivement aux caractéristi- 
ques 1, 2, 3 



III. — ■ Mode d'emploi de la Table. 

9. — Soit N un nombre non divisible par les facteurs pre- 
miers 2, 3, 5, 7, il et 13 de la base 30030. En divisant N par 
30030, ce qui est rapide, on trouve pour quotient le nombre K 
et pour reste l'indicateur i. 

10. — Par rapport aux caractéristiques /.• d'un Tableau D, 
le nombre K peut être inférieur à D — 1, égal à D — 1, supé- 
rieur à D — 1. 

Si K > D — 1, soient §) et 3/1 respectivement le quotient et 
le reste obtenus en divisant K par D. On est alors ramené à 
se servir de ^ de la même manière dont on se sert de K, 
lorsque K ^ D — 1. 

11. — Supposons que l'on ait reconnu que N admet le fac- 
teur premier D. 

SiK^D — 1, la formule (b) donne le multiplicateur m de D. 
Si K>D, le multiplicateur de D est un nombre M inférieur 
à N et ayant la forme BK + I. Alors, on trouve la formule 



M = Bi>+ ( mi + î__Ji) 



12. — Selon que I se trouve ou ne se trouve pas, dans le 
Tableau 17, parmi les indicateurs soit du groupe k = K, soit 
du groupe k = M , N est ou n'est pas divisible par 17. 

Lorsqu'un nombre N n'est divisible par aucun des diviseurs 



190 E. LE BON 

premiers inférieurs à un diviseur D = J, le Tableau d indique 
de même que N est ou n'est pas divisible par $. 

13. — Soit à résoudre, avec la Table de base 30030. le double 
problème en question. 

On consulte le Tableau 17. Si Ton reconnaît que N est di- 
visible par 17, on calcule le multiplicateur m ou M ; on 
cherche si m ou M est divisible par 17 ; etc., jusqu'à un mul- 
tiplicateur //,' ou M non divisible par 17. On est alors ramené 
à résoudre, pour le multiplicateur M le problème que Ion va 
résoudre quand on a reconnu que X n'est pas divisible par 17. 

Sachant que X n'est pas divisible par 17, on voit si N est 
divisible par 19 en consultant le Tableau 19. Si Ton reconnaît 
que N est divisible par 19, on calcule le multiplicateur m ou 
M ; on cherche si m ou M est divisible par 19; etc., etc. 

Si Ton arrive à un Tableau A tel que I — Ii, on en conclut 
que N = A 2 . 

Sinon, on est averti que Ton a essayé tous les diviseurs 
premiers de 17 au nombre premier A immédiatement infé- 
rieur à [/~S, lorsque Ton arrive à un diviseur premier /\' tel 
que I < h. 

Avant de consulter les Tableaux D en ordre croissante par- 
tir du Tableau 17, on regarde s'il y a un Tableau A tel que 
I = h sinon on cherche le Tableau A' tel que I < h. Alors, 
on consulte d'abord tous les Tableaux D où il existe une ca- 
ractéristique k = K. Etc. 

IV. — Remarques. 

Vi. — Si les indicateurs inscrits étaient remplacés par des 

, , , I — 1 - . 1 — 15015 . ... ,. 

nombres égaux a — — ou a » , selon que 1 indicateur 

est supérieur ou inférieur à 15015, la Table serait encore 
moins étendue. 

15. — Comme, pour le diviseur premier 17, il n'y a aucun 
indicateur supprimé, on peut diminuer de moitié l'étendue 
du Tableau 17 en faisant correspondre à chaque caractéris- 
tique seulement les indicateurs inférieurs à 15015. Alors, si 
l'on trouve I> 15015, on cherche le complément de I dans les 
indicateurs inscrits à la caractéristique 16 — k. 



RECHERCHES DES FACTEURS PREMIERS 191 

16. — Si l'on formait les autres Tableaux D en ne suppri- 
mant aucun indicateur, on pourrait aussi n'y inscrire que 
les indicateurs inférieurs à 15015, et opérer de même quand 
on a I > 15015. 

17. — Se plaçant toujours au point de vue de faire occuper 
à la Table le moins possible de surface, on pourrait, pour un 
certain nombre des diviseurs premiers D les plus petits, 
n'inscrire, à chaque caractéristique de à D — 1, que les 
indicateurs inférieurs à 15015, mais en ne supprimant pas les 
indicateurs venant d'un produit Dm divisible par les nombres 
premiers inférieurs à D. Alors, quand N donnera le quotient 
K et l'indicateur I supérieur à 15015, on regardera si le com- 
plément de I se trouve parmi les indicateurs qui correspon- 
dent soit a k = D — 1 — K, soit à A; = D — 1 — SI. 

18. — On peut prendre pour nombres directeurs des Ta- 
bleaux les caractéristiques /.', des groupes les facteurs pre- 
miers D. Alors, on consulte d'abord le tableau /.• — K. 
Lorsque I se trouve parmi les indicateurs d'un groupe D', 
N est divisible par D' ; s'il n'en est pas ainsi, il y a deux cas. 
1° Quand K < 17. N est premier. 2° Quand K ^ 17, on con- 
sulte le groupe 17 du Tableau k = Si n : si I se trouve dans 
ce groupe, N est divisible par 17 ; sinon, N n'admet pas le 
l'acteur 17 et il faut consulter le groupe 19 du Tableau 
K =-- S 19 ; etc ; N est premier lorsque l'on est conduit à un 
diviseur premier D supérieur à K. 

Paris, Février 1907. 

Ernest Lebon. 



LA THÉORIE DES GROUPES APPLIQUÉE 
AUX MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



Note de la. Rédaction. — On connaît le rôle fondamental que joue en ma- 
thématiques la notion de groupe ; elle fournit une idée directrice qu'on ne 
saurait mettre assez en lumière et dont doivent s'inspirer de plus en plus 
tous ceux qui enseignent. Mais on ne possédait guère d'exposé se limitant 
aux applications les plus élémentaires. Nous croyons donc intéresser nos 
lecteurs eu leur donnant ici la traduction 'û 'une Note 1 de M. G. -A. Miller, 
professeur à l'Université d Illinois (Etats-Unis), qui a déjà consacré de 
nombreuses et importantes recherches à la théorie des groupes. Nous la 
ferons suivre d'une note ayant en vue plus particulièrement lu théorie des 
parallèles ; elle est extraite d'un récent mémoire de M. C. Boiklet, pro- 
fesseur au Conservatoire des Arts et Métiers de Paris. 

A la cinquième assemblée annuelle de l'Association suisse 
des professeurs de mathématiques, tenue à Zurich le 9 dé- 
cembre 1905, le Professeur H. Fehb, de l'Université de 
Genève, donna un bref aperçu de quelques tendances ac- 
tuelles dans l'enseignement de la Géométrie élémentaire. 
Il insista spécialement sur le fait que le maître devrait se fa- 
miliariser avec la notion de groupe, qui joue actuellement un 
rôle si fertile dans les développements mathématiques 2 . 

Le présent article a pour objet de donner quelques appli- 
cations de la notion de groupe aux mathématiques élémen- 
taires. Nous espérons q'u'il pourra servir non seulement de 
première initiation aux éléments de la théorie des groupes, 
mais aussi de moyen d'arriver à des notions plus étendues se 
rapportant à quelques sujets fondamentaux des mathéma- 
tiques élémentaires. 

Nous considérerons d'abord les deux opérations de sous- 



1 V. School Science and Mathematics, dec. 1906, Chicago. — Reproduite avec l'autorisation 
de L'auteur. Traduction de J.-P. Dumur Genève 

2 L'Enseignement Mathématique S' année, p. 54, 1906. 



T H E O U TE DES GROUP E S 193 

traire de i et diviser i. La première opération sera repré- 
sentée par s et la dernière par d. Les deux opérations suc- 
cessives, d'abord soustraire de 1 et ensuite diviser 1 par le 
reste, seront représentées par sd. Il est facile de prouver 
qu'en effectuant s d trois fois successivement en partant d'un 
nombre quelconque, on retrouve le nombre primitif. Par 
exemple, si nous partons de 2 et effectuons sdsiir lui, nous 
arrivons à — 1 ; effectuant sd sur — 1 nous arrivons à x- ; 

effectuant sd sur ^ nous obtenons 2. En général, si nous effec- 
tuons l'opération sd successivement sur le nombre /?, nous 

obtenons les trois nombres suivants : , — ^— , //. 

1 — n n 

Les trois nombres // , . , sont distincts, excepté 

1 — n n I 

lorsque n a l'une des valeurs suivantes : -^ ± — y — 3 . Par 
conséquent, l'opération sd combine tous les nombres (réels 
et imaginaires) en collections de trois, à l'exception des deux 
nombres ci-dessus mentionnés. Si l'un des nombres d'une 
telle collection est réel tous sont réels, et si l'un est rationnel 
tous sont rationnels puisque les opérations de division et de 
soustraction effectuées sur des nombres rationnels condui- 
sent à des nombres rationnels. 

Si nous considérons les six opérations 

1 sd {sdf 

(A) 
d s sd s 

où t représente comme habituellement l'opération identique 
(c'est-à-dire une opération qui ne modifie rien), nous pouvons 
aisément vérifier qu'elles associent, en général, six nombres 
distincts. Par exemple, si nous effectuons ces six opérations 
sur le nombre n nous obtenons 

i n — \ 



n — 1 



Un des faits les plus importants n'a pas encore été établi 
explicitement ; à savoir que nous arrivons à la même collée- 



194 i.-A. MILLER 

tion de nombres en appliquant toutes ces opérations à L'un 

quelconque des nombres de la collection. Par exemple, si 

nous partons de 3, les six opérations indiquées conduisent 

• , 12 13 

aux nombres suivants, dans Tordre : 3, — ^ , — , 77 , — 2, ^ . 

I 12 3 1 

En partant de — -^ , Tordre est : — — , -^ , 3, — 2, - . -^ . De 

la même manière, en partant d'un autre nombre quelconque 
de cette collection et lui appliquant les six opérations indi- 
quées, on obtiendrait simplement un nouvel arrangement de 
ces six nombres. Ceci est directement dû au fait que les six 
opérations dénotées par (A) forment un groupe. 

Supposons que ces six opérations soient effectuées dans 
Tordre sur sin^r. Les fonctions obtenues seront: sin 2 .r, sec 2 .r, 
— cotg 2 #, — tg 2 .r, cosec 2 .r, cos 2 .r. 'Par suite, ces six fonctions 
représentent une collection de nombres sous le groupe A 
pour chaque valeur de x. On dit que les nombres d'une telle 
collection sont conjugués sous le groupe représenté par (A). 
Quoiqu'il soit aisé de présenter des relations beaucoup plus 
intéressantes, celles-ci ont cependant une valeur spéciale, 
étant donné qu'elles constituent une partie d'un ensemble 
très considérable de faits qui s'y rattachent étroitement. En 
d'autres termes, elles sont un acheminement vers des hori- 
zons plus étendus. 

Nous avons remarqué que chacun des deux nombres 

-s- :± ô" V — 3 est transformé en lui-même par les trois pre- 
mières opérations de (A . Il est facile de vérifier que les trois 
autres opérations transforment l'un de ces nombres en l'autre. 
Par suite, chacun de ces nombres n'a que deux conjugués 
sous le groupe (A). Chacune des deux collections de trois 

nombres ( — 1, 2, x j, (1,0, x ) a trois conjugués sous le groupe 

(A). Tous les autres nombres ont six conjugués distincts 
sous le groupe A). Cette proposition peut être démontrée 
facilement ' et renferme évidemment des questions concer- 
nant l'égalité des fonctions trigonométriques du paragraphe 
précédent. 



1 Quarterly Joui nul <>f Mathematics, vol. 37 (1905), p. 80. 



THÉORIE DES CROUPES 195 

Les opérations de A peuvent être placées en correspon- 
dance (1, l) avec les six mouvements qui transforment un 
triangle écjuilatéral en lui-même. Celles de la première ligne 
correspondent aux rotations de 0°, 120° et 240° respectivement 
autour du centre du triangle, tandis que les trois dernières 
correspondent à des rotations de 180° du plan du triangle 
autour d'axes dé symétrie. Comme ces six mouvements et les 
opérations de (A) obéissent aux mêmes lois de combinaison, 
on dit qu'ils représentent le même groupe abstrait. 

De même que les opérations de soustraire de 1 et diviser 1 
conduisent à un groupe de Tordre six, les opérations de 
soustraire de 2 ou 3 et diviser 2 ou 3 conduisent à un groupe 
de Tordre 8 ou 12 respectivement. Dans le premier cas il y a 
10 nombres particuliers qui sont égaux à quelques-uns de 
leurs conjugués, tandis que dans le dernier cas il y a 14 nom- 
bres analogues. Suivant l'un ou l'autre de ces groupes, les 
autres nombres sont associés en collections de 8 ou 12 res- 
pectivement, de telle façon que chaque nombre d'une collec- 
tion est transformé en chaque autre nombre de la collection 
au moyen des opérations des groupes respectifs. Pour les dé- 
tails et démonstrations nous renvoyons à l'auteur mentionné 
ci-dessus. 

Si nous considérons les huit mouvements du plan qui 
transforment un carré en lui-même, nous verrons facilement 
qu'ils peuvent être mis en correspondance (1,1) avec les huit 
opérations obtenues en combinant cU et 52, où dz représente 
diviser 2 et s* représente soustraire de 2. L'opération S2 cfa 
doit être répétée quatre fois pour revenir au nombre primitif, 
et peut correspondre à une rotation de 90° dans le groupe 
des mouvements du carré. Le fait que sz ck est généralement 
de période quatre est rendu évident par les équations : 

2 , 9 2 — n ... -2,1 — 2 

Ajjf/j, = ■ , |s 2 f/ 2 r = . . Is- 2 a 2 l = , (s s «»r = n . 

2 — n 1 — n n 

Ce groupe de Tordre 8 est généralement connu sous le 
nom de groupe octique et se présente lui-même très fréquem- 
ment dans les mathématiques élémentaires. Nous avons déjà 
donné un exemple en arithmétique — soustraire de 2 et 



196 G. -A. MILLER 

diviser 2 — et un exemple en géométrie élémentaire — les 
mouvements qui transforment un carré en lui-même. Nous 
continuons en donnant une application fondamentale de ce 
groupe en trigonométrie. 

Représentant les opérations de prendre le complément et 
le supplément d'un angle par c et 5 respectivement, il est 
facile de voir que es augmente l'angle de 90°. Par suite 
(cs) 2 = a+ 180°, (cs)* = a + 270°, [cs)*=oc, où « est l'angle 
considéré. Par conséquent, il est clair que es est une opéra- 
tion de période quatre comme szdz. En plus, les huit opéra- 
tions 

1 C.V \CS) 2 |C.<f| 3 

S C CSC SCS 

forment un groupe qui a exactement les mêmes propriétés 
que le groupe formé par S2. th. 

Il est spécialement intéressant de remarquer que les huit 
opérations du groupe octique transforment a en les huit 
angles dont on donne généralement les fonctions dans les 
livres de trigonométrie élémentaire. Ces angles sont dans 
l'ordre : «. « + 90 c , « + 180°, « + 270°, 180° — a, 90°— a, 
270° — a. En vertu de la prédominence de ces angles et des 
opérations e et s, notre trigonométrie élémentaire pourrait 
être appelée, d'une façon appropriée, la trigonométrie <.\v\ 
groupe octique. Quelques-unes des méthodes concernant 
l'emploi des propriétés du groupe octique dans* l'étude des 
fonctions de ces huit angles ont été données dans l'article 
intitulé « A new ehapter in trigonometrv ». Quart. Journal 
of Mathematics. vol. 37, (1906 , p. 226. 

Ces quelques applications du groupe du triangle et du 
carré dans d'autres sujets élémentaires montrent clairement 
la relation intéressante entre ces sujets. Ceci est un des traits 
les plus importants de la notion de groupe. Nous ne voulons 
pas dire que ces relations doivent être développées dans un 
enseignement élémentaire, niais le maître qui les connaît 
enseignera plus sagement et avec un intérêt plus profond 
que s'il les ignorait. Ce qui est nécessaire à tout maître est 
une compréhension claire des principes qui trouvent des 
applications étendues. Des faits isolés sont souvent intéres- 



THEORIE DES GROUPES 197 

sauts, mais ils ne peuvent pas être si fructueux que ceux cpii 
trouvent des applications générales clans des développements 
plus éloignés. Le vrai pédagogue seul peut être un juge de 
l'importance relative des éléments qui entrent dans l'ensemble 
du bagage mathématique. 

Les trois polygones réguliers qui entrent pour la plus 
grande part dans l'étude de la géométrie élémentaire sont : 
le triangle, le carré et l'hexagone. Nous avons considéré 
brièvement les groupes des mouvements des deux premiers. 
Le groupe des mouvements du dernier est de l'ordre 12, et 
a les mêmes propriétés que le groupe obtenu par les deux 
opérations de soustraire de 3 et diviser 3. Si ces deux opéra- 
tions sont représentées par sz et cU respectivement, il est 
facile de vérifier que Ss cU est une opération de période six, 
qui peut correspondre à une rotation de 60°. Les autres opé- 
rations du groupe, obtenues par ss, (h, correspondent à des 
rotations autour des axes de symétrie de l'hexagone réeru- 
lier. 

C'est un fait curieux que les groupes des trois polygones 
réguliers fondamentaux soient les mêmes que les trois grou- 
pes finis de soustraction et division, avec des nombres ration- 
nels, si nous excluons le cas presque trivial de soustraire 
de et diviser i. Tandis que chacun des autres polygones 
réguliers possède un groupe de mouvements dont l'ordre est 
également deux fois le nombre des côtés du polygone, ces 
groupes, cependant, ne se présentent pas comme groupes 
de soustraction et division lorsque le nombre dont on sous- 
trait et le nombre qu'on divise sont tous les deux rationnels '. 
En tenant compte de ces faits, les groupes qui ont été consi- 
dérés sont d'un intérêt plus spécial. 

Les principales visées d'un bref article sur un vaste sujet 
doivent être de susciter un vif intérêt et de donner de bonnes 
références. Pour ce qui concerne ces dernières, nous vou- 
drions spécialement renvoyer à l'article de Poincaré publié 
dans The Monist, vol. 9, (1898), p. 34. Des données sembla- 
bles sont utilisées déjà en 1874 dans les « Nouveaux Eléments 



1 Cf. Hilton, Messenger of Mathematics, vol. 35. p. 117, 1905. 



198 C. B OURLET 

de Géométrie » de Mkhay *. Pour de plus brefs développe- 
ments sur ce point, nous pouvons renvoyer à la définition de 
la théorie des groupes dans The Popular Science Monthly, 
février 1904, « on the groups of the figures of elementarv 
geometrv », American Mathematical Monthly, octobre 1903, et 
aux articles ci-dessus mentionnés. 

G. -A. Miller (Université d'Illinois. 



LA NOTION DE GROUPE ET LA THEORIE 
DES PARALLÈLES 

Extrait d un mémoire 2 «le M. C. Bovrlet (Paris). 



Les Instructions qui accompagnent les programmes oiliciels 
(27 juillet 1905 de renseignement de la Géométrie, dans le 
premier cycle de l'Enseignement Secondaire, recommandent 
aux professeurs de « faire un appel constant à la notion de 
mouvement » et de « lier le parallélisme à la notion de trans- 
lation ». Beaucoup d'entre eux se sont émus de ces Instruc- 
tions, et à bon droit, en se demandant si dorénavant on ensei- 
gnerait dans nos lycées deux Géométries : l'une, au premier 
cycle, oii les parallèles seraient définies par la translation ; 
l'autre, au second cycle, où l'on conserverait l'ancienne mé- 
thode. 

La question qui se pose est alors de savoir si l'on ne pour- 
rait pas, en définissant les parallèles par la translation, cons- 
truire une Géométrie aussi rigoureuse que celle que l'on en- 
seigne actuellement et qui puisse être conservée d'un bout a 



1 Voir L'analyse qu'en donne Bourlet dans les Nouvelles Annales, année 1904. p 811-219. 
ilicd.i 

8 Sons le titre de théorie des parallèles basée sur la translation rectiligne, M. Bourlet vient 
de publier dans les Noav. Annales (Nov. 1906), un important mémoire que nous signalons a 
tons ceux qui enseignent la Géométrie élémentaire. Nous en reproduisons ici la préface. 

Note de In Rédaction. 



LA NOTIO . V 1) i: i . R OUP E 1 9 9 

l'autre de l'Enseignement Secondaire. C'est pour y répondre 
que j'ai rédigé ce petit travail qui n'est, en somme, que le 
premier Chapitre d'une nouvelle Géométrie où l'on ferait un 
appel constant à la notion de déplacement et où l'on donne- 
rait à la méthode des groupes de transformations une place 
prépondérante. 

C'est M. Charles Méray qui, à ma connaissance du moins, 
a pour la première fois, dans ses Nouveau. v Eléments de Géo- 
métrie, dont la première édition remonte à 1874, fait usage 
de la translation pour définir les parallèles. En lisant l'Ou- 
vrage de M. Méray, j'avais été frappé de la place qu'y tenait 
le postulat qu'il y a introduit, à savoir que deux translations 
peuvent être remplacées par une troisième; mais l'éminent 
professeur de l'Université de Dijon, ayanl surtout en vue la 
fusion des deux Géométries plane et de l'espace, ne s'était 
pas préoccupé de réduire le nombre de ses postulats et, à 
côté de celui que je viens d'énoncer, il en admet bien d'autres. 
Il admet, par exemple, l'existence d'une infinité de glissières 
dans la translation reetilign-e ; il admet aussi que, lorsque 
deux plans se déduisent l'un de l'autre par translation, toute 
droite qui rencontre l'un rencontre l'autre. Je me suis alors 
demande si, en se plaçant, ce que n'avait pas fait M. Méray, 
au point de vue de la théorie des groupes, on ne pourrait 
pas bâtir une Géométrie élémentaire dans laquelle le postu- 
lat de M. Méray serait Y unique postulat fondamental rempla- 
çant celui d'Euclide. 

Reprenant ainsi la chose de fond en comble, je suis par- 
venu à établir la théorie qui suit, qui diffère totalement de 
celle de M. Méray quant à l'esprit et s'en écarte notablement 
quant à l'ordre et à la nature des propositions. Il est clair que, 
dans un Traité complet de Géométrie, que je pense pouvoir 
faire paraître bientôt, on étudierait les angles et les rotations, 
l'hoinotliétie et la similitude dans le même esprit. 

Je suis actuellement convaincu que l'introduction d'une 
telle Géométrie dans notre Enseignement Secondaire cons- 
tituerait un réel progrès. 

Cette nouvelle méthode, substituant aux démonstrations 
artificielles actuelles d'autres plus naturelles, est plus infui- 



200 C. BOUR LE I 

tive, car elle fait voir à l'étudiant les déplacements qui per 
mettent de comparer les figures. 

Définissant les figures géométriques par les constructions 
mêmes par lesquelles on les obtient, elle donne lieu à des 
applications graphiques immédiates. Dès qu'on y a défini le 
parallélisme de deux droites, on sait tracer deux droites pa- 
rallèles. On n'est pas obligé d'exposer, comme cela a lieu 
maintenant, deux Livres entiers de Géométrie, avant de pou- 
voir justifier la moindre construction élémentaire. 

Enfin, et ce n'est pas là l'un de ses moindres avantages, 
cetle nouvelle Géométrie se prête admirablement aux sim- 
plifications nécessaires pour les débutants, et cela sans en 
modifier ni l'esprit ni l'ordonnance. 

J'ai pu, en effet, en conservant l'ordre exact des proposi- 
tions de ce petit Mémoire, rédiger un Volume tout à fait élé- 
mentaire à l'usage du premier cycle 1 , en me contentant de le 
dépouiller de sa forme abstraite et de substituer, aux dé- 
monstrations trop délicates, des vérifications expérimentales 
au moyen des instruments ordinaires du dessin. La compa- 
raison des premiers Chapitres de ce Volume avec le présent 
travail montrera les ressources de cette nouvelle Géométrie. 

Elle descend plus bas et monte plus haut que celle qui a 
cours. Présentée sous une forme expérimentale aux enfants, 
elle leur est plus accessible et est plus attrayante. Présentée 
avec tous ses détails, sous une forme abstraite, dans les 
classes élevées, elle initiera nos jeunes élèves aux méthodes 
fécondes de Sophus Lie qui ont droit de enté dans notre en- 
seignement. 

J'ai volontairement donné à l'exposé une forme un peu 
abstraite, en employant la notation symbolique habituelle 
des groupes de transformations. On peut évidemment se pas- 
ser de cette notation, mais les démonstrations seraient moins 
rapides et peut-être moins claires. D'autre part, pour mon- 
trer la rigueur et la généralité du raisonnement, je n'ai fait 
intentionnellement aucune figure. Le lecteur pourra aisément 
en construire, s'il le juge utile. J'ai également réduit cet ex- 



1 Cours abrégé de Géométrie, chez Hachette et <> : 1906. 



.Y I E S 1) E s TA TIQ f E 20 1 

posé au strict minimum, en élaguant les applications nom- 
breuses dont il faudrait l'illustrer dans un cours de lycée. Il 
ne suppose d'ailleurs que la notion préalable du point, de la 
droite, du plan et de leur détermination; en d'autres termes, 
les préliminaires ordinaires qui servent d'introduction à toute 
Géométrie élémentaire. 

Pour plus de rapidité, j*ai rédigé à la fois la théorie dans 
le plan et dans l'espace. Rien n'est plus facile que de sépa- 
rer la Géométrie plane de celle de l'espace si on le désire ; 
mais on détruit ainsi la parfaite harmonie des parties II, III 
et IV, où Ton remarquera certainement l'exacte correspon- 
dance de Tordre des propositions dans les trois parties. 

G. Combeliac Bourges). 



NOTES DE STATIQUE 



1. — Calcul logarithmique des résultantes. — Deux forces P 
et Q forment entre elles un angle se. Soient X et Y les projec- 
tions de Q sur P et sur une perpendiculaire à P. Tirons X et 
log Y des équations. 

log X = log Q + L cos « — 10 , 
log Y = log Q + L sin a — 10 . 

Si K est la résultante et b son angle avec P, on a 

L tg h — log Y — log (X + P) + 10 , 
et par suite 

log R = log (X + P) -f- L sec <) — 10 , 

ou 

log R ■=. log Y' -f- L cosec H — 10 . 

( L signifie le « logarithme tabulaire » anglais, c'est-à-dire 
le vrai logarithme augmenté de 10). 

2. — Preuve expérimentale de la propriété de trois forces. 
— Prenez une barre ou une règle, trouvez-en le centre de 
gravité G en la balançant sur le doigt et marquez-le avec de 
la craie. Place/ la règle dans une position quelconque au 
moyen d'une ficelle attachée dans une direction quelconque 
en un point au-dessus de G, planche noire devant une 

L'Enseignement mathém. . 9« année ; 1907, 14 



202 (i. -II. BRYAN 

verticale, l'extrémité inférieure étant supportée dans un 
angle de mur. Tirez par G une verticale rencontrant le fil 
en un point l. Joigne/. I à l'extrémité inférieure (soit B) et 
attache/ un lil en B. En tenant alors ce fil dans la direction 
B I, et en le tirant légèrement dans cette direction, la règle 
pourra être soulevée hors de son support. J'ai fait cette 
expérience pour la première fois, comme passe-temps, avec 
des résultats très satisfaisants, sans y avoir été préparé 
par des lectures antérieures. 

3. — Construction graphique concernant une barre sur un 
cercle vertical. — Dessinez le cercle et la barre dans une 
position quelconque. Tirez, par les points d'intersection, des 
droites formant l'angle de frottement avec les normales; 
joignez leur intersection avec le centre de gravité de la barre. 
La position de l'équilibre limite s'obtiendra alors en tour- 
nant la figure jusqu'à ce que cette droite joignant l'intersec- 
tion au centre de gravité de la barre) soit verticale, par suite 
l'angle de cette droite avec la barre mesure l'inclinaison de 
cette dernière sur la verticale. 

4. — Détermination graphique du coefficient de frottement 
limite pour une barre s'appuvant dans une position donnée 
sur deux lignes ayant même coefficient de frottement les 
deux lignes peuvent représenter des plans en section, par 
exemple, une échelle s'appuvant contre un mur et sur le sol, 
les coefficients de frottement étant les mêmes). Construisez 
un cercle passant par les extrémités de la barre et l'inter- 
section des deux lignes. Puisque les coefficients de frotte- 
ment sont égaux, les lignes de réaction totale aux extré- 
mités devront se rencontrer sur ce cercle. Tirez une verti- 
cale par le centre de gravité de la barre, jusqu'à son inter- 
section avec le cercle, joignez l'intersection aux extrémités 
de la barre. Ces dernières droites donnent les directions de 
réaction totale, et l'angle de frottement peut être facilement 
mesuré. Cette méthode s'applique également à la barre sur 
un cercle du problème 3, lorsque la position d'équilibre 
limite est connue, et l'ano-le de frottement inconnu. Dans ce 
cas, le cercle de la construction passe par le centre du cercle 
sur lequel la barre est placée. 



.Y O T E s l) I. STAT1 Q U E 203 

5. — Construction graphique de la position d'équilibre 
limite d'une barre s'appuyant sur deux lignes droites (ou 
sections de plans) dont les coefficients de frottement sont 
inconnus. — Ici les réactions aux extrémités l'ont l'angle de 
frottement avec les normales, leurs directions sont par con- 
séquent connues. Tirez O A, O B parallèles à ces directions 
et O C verticalement. On est alors ramené à trouver une 
droite coupant ces lignes en des points A, G, B, tels que 
le rapport de A C à G B soit égal au l'apport des segments 
suivant lesquels la barre est divisée par son centre de gra- 
vité. Pour une barre homogène, A C doit être pris égal à 
C B. La construction est facilement réalisée en prolongeant 
A O et prenant des longueurs A O, O D proportionnelles à 
ces segments, puis en dessinant D B parallèle à O G, ren- 
contrant O B en B. La position d'équilibre limite est paral- 
lèle à A B. 

Pour construire effectivement la barre, nous n'avons qu'à 
construire une droite de la longueur de la barre, ayant ses 
extrémités sur les lignes données et parallèle à A B, ce qui 
est un simple problème de géométrie. 

6. — Régions de faux équilibre. — Prenez une machine 
quelconque, par exemple un assemblage de poulies. Trouvez 
par expérience les différents poids P qui peuvent élever diffé- 
rents poids ^A r au moyen de la machine et portez, en abeisses 
et ordonnées, les valeurs de W et P sur un papier quadrillé. 
Faites-en autant lorsque le poids W descend et P monte. Les 
courbes ainsi obtenues comprendront entre elles un espace 
qui serait appelé, suivant Duhem, une région de faux équi- 
libre. Faites alors une représentation graphique du rapport 
des vitesses de W et P, représentation qui donnerait les 
relations entre W et P si la machine était sans frottement. 
Ce graphique, qui est généralement une ligne droite, repré- 
sente, selon Duhem, la « courbe d'équilibre vrai » et est 
bordé de chaque côté par les régions de faux équilibre. 

G. H. Bryan (Bangor, N. Wales). 

(Traduction de J.-P. Dumlr, Genève). 



ENQUÊTE SLR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 
DES MATHÉMATICIENS 



LES RESULTATS 1 — VII 



Question 19 2 . 



a) Quelles sont vos distractions^ ou occupations favorites, 
ou vos goûts dominants, en dehors de l'étude des mathéma- 
tiques, ou dans vos moments de loisir? 

b) Les occupations ou distractions artistiques, littéraires, 
la musique et la poésie en particulier, vous semblent-elles de 
nature a détourner de l'invention mathématique , ou bien la 
favorisent-elles, par le repos qu'elles procurent a l'esprit mo- 
mentanément ? 

c Vous sentez-vous attirés par les questions d'ordre méta- 
physique, éthique ou religieux, ou au contraire celles-ci vous 
répugnent-elles ? 

La question 19 a suscité 76 réponses dont nous reprodui- 
sons ci-après celles présentant le plus d'intérêt et de déve- 
loppements. — Bien que nos documents ne distinguent pas 
toujours nettement entre les trois sujets assez différents que 
visait la question, il nous paraît utile de considérer ces points 
séparément dans le présent résumé. 

Question 19 a. 

D'une manière générale, on peut dire que les distractions 
le plus goûtées par les mathématiciens de notre enquête sont : 



1 Voir l'Ens. math., 7« année. n" 5. p. 387-305: n° 6. p. '»73-478, 190."). — 8» année, n" 1, 
p. 43-48; n° 3, p. 217-225; n« 4. p. 293-310; n» 5. p. 383-385; n" 6, p. 463-475, 1906. — 9» an- 
née, n° 2. p. 12:t-135. 1907. 

2 L'Etude de cette question est due à M. Tu. Flournoy, professeur de psychologie à l'Uni- 
versité de Genève. 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 205 

dans Tordre artistique, la musique, comme on pouvait s'y at- 
tendre d'après les affinités si souvent constatées entre la 
bosse mathématique et cet art ; dans l'ordre intellectuel la 
littérature (non scientifique); et, comme exercice physique, 
la promenade à pied. 

I. Pour 3 répondants seulement qui avouent que la musi- 
que ne leur dit rien, il y en a 37 qui la mentionnent avec fa- 
veur. De ce nombre, dix laissent entendre qu'ils en font eux- 
mêmes (instruments indiqués : piano 2, pianola 1, violon 2, 
violoncelle i, chant 1, chant et piano 1). — 18 répondants (dont 
13 déjà compris dans les amateurs de musique) ont accusé 
d'autres formes d'intérêt artistique : peinture ou dessin (men- 
tionnés par 7 personnes), sculpture (3), photographie (2), théâ- 
tre (5), histoire de l'art ou arts en général (5). — Enfin le goût 
de la nature et de ses beaux spectacles, noté dans quelques 
réponses seulement, est sans doute plus fréquent, mais se 
trouve chez la plupart compris dans le plaisir de la prome- 
nade. 

II. En fait de distractions proprement intellectuelles, la 
lecture « littéraire » (romans, journaux, biographies, etc.) 
charme les loisirs d'une trentaine de répondants, dont un bon 
tiers (11) ont déclaré leur goût spécial pour la poésie: l'un 
d'eux compose lui-même des vers. — Notablement moins 
nombreux, une vingtaine seulement, sont ceux qui cher- 
chent tout ou partie de leur délassement dans des branches 
d'études plus sérieuses; et ici les sciences physiques et na- 
turelles semblent l'emporter, car nous avons relevé 13 ma- 
thématiciens s'occupant, par récréation, de physique, chimie, 
hydrologie, botanique (2 cas), histoire naturelle en général 
(3), ethnographie et autres questions scientifiques, contre 7 
cultivant les lanoues, l'histoire ou les sciences sociales et la 
politique. — En outre on trouve mentionné 1 fois le «soin des 
affaires » ; 2 fois les voyages ; 6 fois le jeu d'échecs (seul, ou 
avec le whist ou les dames) ; une dizaine de fois enfin les 
agréments de la société, de la conversation, de la vie de fa- 
mille. D'autre part la « conversation intellectuelle, sans but 
pratique » est formellement condamnée par un de nos ré- 
pondants à cause du temps qu'elle perd. 



206 ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

III. Dans le domaine des récréations physiques, la prome- 
nade à pied, soit solitaire, soit en compagnie, est mentionnée 
par 21 répondants, dont 4 l'affectionnent sous la forme plus 
énergique des courses de montagne ou ascensions. On trouve 
également indiques, par ordre de fréquence décroissante: 
tennis, canotage, jardinage (4 fois chacun); pèche, (liasse 
(3 fois ; golf, bicyclette (2 fois;; enfin gymnastique, danse, 
équitation, escrime, ski. En y joignant une demi-douzaine de 
documents qui mentionnent, sans préciser autrement, les 
exercices corporels, le sport, ou la vie en plein air, cela fait 
un total de 36 mathématiciens adonnés à des distractions 
physiques. — Il ne s'agit évidemment dans tout cela, con- 
formément à la question posée, que des exercices favoris ou 
des goûts dominants. Car on verra plus tard, par les répon- 
ses à la question 26 concernant les exercices physiques en 
général, qu'ils sont plus variés et plus répandus chez nos 
mathématiciens qu'il n'y paraît ici, la promenade à pied, par 
exemple, figurant au total chez une cinquantaine de répon- 
dants, la bicyclette chez 19. la natation (entièrement passée 
sous silence dans les exercices préférés chez 9, etc. 

Question 19 b. 

Nous avons ici 40 réponses, quasi unanimes à reconnaître 
que les distractions artistiques et littéraires ne font aucun 
tort au travail mathématique, ou qu'elles le favorisent bien 
plutôt par le repos cérébral qu'elles procurent. (Un seul de 
nos documents déclare que ces distractions sont préjudicia- 
bles, abtràglich.) — II va d'ailleurs de soi que cette influence 
bienfaisante est soumise à certaines conditions, que quel- 
ques-uns de nos répondants ont relevées, à savoir que ces 
distractions n'absorbent pas trop de temps, qu'on ne s'y livre 
pas avec une passion telle qu'on ne puisse plus s'en arracher, 
etc. Ici encore c'est la musique qui est généralement men- 
tionnée comme le délassement par excellence, le plus repo- 
sant et le plus stimulant à la fois pour l'invention mathéma- 
tique. 



E N Q V Ê T E S l - R L A M É TU () D E DE TRAVAIL 207 

Question 19 c. 

Tôt capita, lot sensus : ainsi pourrait presque se résumer 
notre enquête quant à l'intérêt que les questions d'ordre mé- 
taphysique, éthique, ou religieux, inspirent à nos mathéma- 
ticiens. Des 59 qui ont fourni quelque indication sur ce sujet, 
la plupart (34) englobent ces trois sortes de problèmes dans 
un môme sentiment soit de sympathie et d'attrait plus ou 
moins vif (19), soit de complète indifférence (8), soit d'aver- 
sion et de répugnance bien caractérisée (7). Les autres ont 
introduit des distinctions ou subdivisions dans ces diverses 
matières, et ils offrent toutes les combinaisons d'altitudes 
possibles: indifférence pour la métaphysique, ou pour la re- 
ligion, et penchant vers la philosophie des sciences ou vers 
l'éthique, ou viee-versa, etc. 

En essayant de faire une statistique de tous les verdicts 
émis dans nos documents, nous arrivons à ce résultat, que 
la métaphysique est ce qu'il y a de moins bien vu chez les ma- 
thématiciens, ne réunissant que 22 amateurs contre 24 in- 
différents ou adversaires; puis vient la religion (25 contre 
20); enfin l'éthique, qui a le plus de succès (26 contre 15). 
Ajoutons qu'une quinzaine de répondants (dont 9 déjà com- 
pris dans les chiffres précédents) ont déclaré leur goût pour 
la philosophie (bien que ce mot ne figurât pas dans le ques- 
tionnaire), entendue au sens de philosophie des sciences, lo- 
gique et théorie de la connaissance, Natar philosophie, esprit 
philosophique, etc. 

Inutile d'insister sur ce qu'une telle statistique a forcément 
de superficiel et d'aventureux. Il n'est pas douteux que la va- 
riété ou le désaccord des opinions individuelles de nos ré- 
pondants éclaterait encore davantage, si l'on pouvait savoir 
ce que chacun entend au juste sous ces termes vagues et gé- 
néraux de métaphysique, éthique, religion. Bornons-nous 
donc faute de mieux, en fait de conclusion, à la constatation 
suivante, qui ressort avec une suffisante évidence de la lec- 
ture de nos documents (et qui entraîne, comme conséquence 
pratique très banale, la nécessité d'une tolérance réciproque 
illimitée) : 



208 E N Q V Ê T E S II! LA M E T II D E DE TRAVAIL 

On rencontre chez les mathématiciens — comme partout — 
des esprits tellement spécialises et exclusifs qu'ils ne com- 
prennent pas, et que même cela les irrite, que l'on puisse 
s'occuper de questions absolument étrangères à leur do- 
maine et réfractaires à leurs méthodes rigoureuses voir, 
par exemple, les réponses XXXIX c, LXXVIII, etc. . Il y en a 
d'autres, au contraire, qui continuent de réagir à tous les 
souffles capables de faire vibrer lame humaine en son iné- 
puisable complexité, et qui peuvent s'appliquer sincèrement 
la célèbre devise Homo sum... voir cas II, XVI, XXXIII, 
etc.). Et entre ces deux extrêmes se déroule une gamme in- 
définie de nuances et de combinaisons de tout genre, dont on 
se fera quelque idée par les échantillons renfermés dans les 
citations suivantes. 

Rép. I (France . — a) Presque pendant toute ma vie, j'ai eu 
pour la musique et le violon une passion d'ailleurs peu heureuse; 
j'ai lu beaucoup de romans en évitant ceux qui finissent mal et 
en les prenant pajr la fin pour mieux apercevoir les procédés de 
l'auteur ; je nie suis occupé d'économie politique en donnant 
d'emblée mes préférences aux théories de Bastiat ; j'aime la poésie 
en exécrant la versification indéfinie ; j'aime beaucoup à causer et 
à discuter. Tout m'intéresserait, principalement dans le compar- 
timent scientifique, si j'avais le temps de tout travailler. J'aime 
beaucoup à lire les Traités bien faits, parce qu'ils apprennent 
quelque chose de sérieux, mais j'aime peu les Mémoires a cause 
de ce qu'ils ont habituellement d'inachevé, d'imparfait. 

bj Je crois que toutes les connaissances s'aident les unes les 
autres à entrer dans notre esprit, mais le temps manque pour en 
acquérir beaucoup. 

c) Les questions de cet ordre me paraissent préoccuper tous les 
hommes, et pour ma part j'y ai beaucoup réfléchi, j'en parle volon- 
tiers ; mais cela n'a servi qu'à me montrer toutes ces choses hors 
de la portée, absolument, des moyens dont nous disposons pour 
atteindre la vérité scientifique, même vulgaire, et ce n'est plus 
pour moi qu'une affaire de sentiment, non moins respectable 
pour autant. Méray. 

Rép. Il France . — Autrefois l'équitation, la danse il y a très 
longtemps ! ; puis la marche à pied, la causerie, la peinture, tout 
cela est favorable à l'esprit. Du reste « homo sum et nihil huma- 
niiiii a me alienum puto ! » dans tous les domaines. Si l'ennui me 
prend, c'est que je suis malade. J'aime la musique et ne suis pas 
musicien : j'aime les beaux vers je trouve qu'il y en a peu et suis 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 209 

incapable d'en écrire un seul. Je dessine, je peins, je ne sculpte 
pas. Je trouve que les arts du dessin, et du dessin artistique sur- 
tout, ont une très grande valeur éducative de la pensée, pour 
apprendre à l'esprit à démêler vite ce qui est le principal et le 
secondaire d'un sujet. C'est très simple à formuler, très long à 
maîtriser. Ils apprennent à voir. — Je suis un animal religieux 
sans pratiquer aucun culte et en les respectant tous, même les 
plus étranges . Les questions philosophiques m'attirent beaucoup 
(je le prouve en vous répondant !). Auderraxd. 

Rép. III (Angleterre). — a) L'histoire naturelle botanique, mi- 
croscopie , et surtout la musique (le pianolai. — b) Tout cela 
.repose le cerveau et favorise le travail. — c) Ces sujets ne valent 
rien, parce qu'ils exigent trop de profondeur de pensée. La conver- 
sation intellectuelle, sans but pratique, est le pire sous ce rapport 
et perd un temps démesure. Bryan. 

Rep. IV Autriche. — a Exercices corporels divers. Le jeu 
d'échec me plairait aussi beaucoup, mais je ne le pratique qu'avec 
modération à cause des efforts qu'il exige. — b) Ces occupations 
sont défavorables aux mathématiques. — c) Les spéculations mé- 
taphysiques m'intéressaient dans ma première jeunesse ; mainte- 
nant elles me paraissent stériles. Zindler. 

Rép. \ Italie . — J'aime beaucoup la musique, ce qui parait 
très fréquent chez les mathématiciens. Je ne crois pas que les 
occupations artistiques détournent des mathématiques. — La 
métaphysique me répugne ; au contraire je suis attiré par les 
questions d'ordre éthique qui ont un caractère pratique et tendent 
immédiatement au bien. 

Rép. VU Allemagne . — J'aime les distractions qui stimulent 
sans exciter : les lectures faciles, la musique, le théâtre. J'aimais 
aussi les luttes politiques quand j'étais plus jeune, et je prenais 
souvent la parole dans les assemblées publiques. Je n'ai jamais eu 
d'inclination pour les sujets philosophiques, etc. Mor. Cantor. 

Rép. IX France . — La musique ; le théâtre ; les exercices du 
corps, surtout la promenade, la bicyclette, le canotage ; l'escrime 
faute de plein air. — La lecture littéraire a pour moi un inconvé- 
nient d'inertie : j'ai du mal à m'y mettre, et quand j'y suis je ne la 
quitte plus. Cela me gène pour mes affaires les plus simples, et 
m'empêche de travailler. Je ne peux lire qu'en vacances, et les 
raisons de santé me font préférer les exercices de plein air quand 
il fait beau, de sorte que je lis peu, à mon grand regret. ( ) 

Rep. XI (Russie . — a) Voyages dans les montagnes, sport, et 
éducation de mes enfants. — b) La musique favorise le travail, 
j'aime en entendre lorsque je réfléchis ou que je travaille. — c) 
Autrefois, j'aimais beaucoup la métaphysique, et je pense encore 
maintenant que sans philosophie on n'est pas savant. 

Delaixoy. 



210 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

Rép. \Y Allemagne . — La musique, la lecture de biographies, 
quelquefois un roman, la sculpture sur bois, en'usant de tout cela 
sans excès, favorisent la fraîcheur d'esprit et de corps qui est si 
nécessaire pour que le temps employé au travail scientifique soit 
fécond. J'y joins huit heures de sommeil, de la modération aux 
repas, et du mouvement en plein air. 

Rép. XVI Belgique . — 10 Homo sum et nihil humani a me 
alienuin puto. Stuyvaekt. 

Rép. XVII Allemagne . — a) Je m'occupe volontiers d'art et de 
littérature, surtout de poésie lyrique. En général je n'aime pas les 
romans, à moins qu'ils ne soient très intéressants et ne donnent 
pas dans les problèmes psychologiques ou sociaux ou la peinture 
des sentiments. — bi Je crois que de s'occuper parfois de choses 
hétérogènes rend à 1 esprit sa fraicheur pour les mathématiques. — 
c) Les questions métaphysiques, éthiques, religieuses, et politi- 
ques « me répugnent », je ne saurais mieux exprimer la chose. 

Rép. \\ III Italie . — a)En fait de distractions, je n'aime que les 
promenades en rase campagne, dans des endroits le plus solitaires 
possible. — bi J'aime la musique et la poésie, mais il ne me semble 
pas qu'elles aient une influence bonne ou mauvaise sur l'inven- 
tion mathématique. — ci Je n'ai aucun goût pour les questions 
d'ordre métaphysique, éthique, ou religieux : elles me répugnent 
plutôt, surtout les premières. 

Rép. XIX Allemagne . — J'aime énormément la musique, mais 
je ne puis dire qu'elle me distraise quand je suis seul, car pendant 
que je suis au piano je continue à penser aux mathématiques. 
Par contre, faire de la musique avec d'autres, surtout jouer dans 
un quatuor, me repose parfaitement. Je m'intéresse en outre vive- 
ment à la littérature et à l'histoire de l'art. — c) Je m'intéresse aux 
questions morales. ( ) 

Rép. XXI Autriche . — Ce que je préfère dans mes loisirs c'est 
la bonne musique, et je me remémore des opéras et des œuvres 
orchestrales en en jouant la partition au piano. J'aime aussi lire 
des poésies, et j'en fais moi-même parfois, mais je les garde pour 
moi. J'aime la métaphysique sur l'herbe verte, et les questions 
morales, sociales et religieuses m'intéressent aussi. Boltzmaxx. 

Rép. XXII Etats-Unis . — a) J'aime les jeux de réflexion, sur- 
tout les échecs et le whist, mais je n'y joue pas beaucoup, trou- 
vant meilleur pour la santé les distractions de plein air telles que 
le tennis ou le golf. J'aime beaucoup la musique, quoique non 
musicien. — b Je ne connais pas d'autre effet ii ces distractions 
que de servir de diversion et d'être ainsi favorables à l'esprit. — 
c) .le ne me sens pas attiré par les questions de cet ordre. 

Escott. 

Rép. XX1I1 France . — ai Principalement les distractions ou 



ENQUETE SU II LA METHODE DE TRAVAIL 211 

occupations qui obligenl à un exercice physique. — b) .lai aimé et 
j'aime le théâtre ; j'en use fort peu à cause de la fatigue qu'il en- 
traine. J'adore la musique sans être musicien. Je m'intéresse aux 
choses littéraires et aux arts, j'apprécie beaucoup la poésie, et je 
suis persuadé que rien de tout cela n'est nuisible à l'esprit mathé- 
matique, bien au contraire. — c) La métaphysique, définie comme 
on la comprend d'ordinaire, ne m'attire nullement. Je suis pro- 
fondément anti-religieux ; la philosophie m'intéresse à un haut 
degré ; il en est de même des questions sociales. Quant à la poli- 
tique courante, j'en ai fait avec passion pendant vingt ans environ; 
aujourd'hui, elle me dégoûte. Laisant. 

Rép. XXIV France . — Distractions : lecture, promenade à 
pied. — Je crois que les distractions littéraires ou artistiques ne 
peuvent nuire à l'invention mathématique. Personnellement, mes 
lectures portent volontiers sur la philosophie des sciences, des 
sciences naturelles surtout. L'étude des religions, à un point de 
vue purement objectif, m'intéresse aussi beaucoup. La métaphy- 
sique pure m'assomme. Boutin. 

Rép. XXV (Hollande). — ai Une promenade, la musique 
violon et la littérature classique. — b) Je crois qu'elles favorisent 
l'invention mathématique. — c) Elles me répugnent. de Vries. 

Rép. XXVI (France). — a) J'ai fait de la photographie, je fais 
maintenant du dessin. — b) Je crois qu'une occupation artistique 
est presque nécessaire. — c) Je suis très attiré vers les questions 
métaphysiques et religieuses. Richard. 

Rép. XXVIII (France'. — a) J'aime la sculpture et la musique.— 
c) J'ai horreur des raisonnements vagues : il faut des hypothèses 
pour obtenir des conclusions. Foxtené. 

Rép. XXIX (Hollande). — a) J'aime faire de la musique pour me 
reposer, ou je lis des nouvelles ou des romans. — b) Effet favora- 
ble sur la production mathématique. — c) Ces questions me sont 
passablement indifférentes. ( ) 

Rép. XXX Norvège). — a) La botanique, par exemple. 

Stor.mer. 

Rép. XXXI (Allemagne). — a) La musique, le jardinage, la 
photographie et la peinture ipastel). — c) Oui, les questions méta- 
physiques ou plutôt de philosophie delà nature. V. Œttingen. 

Rép. XXXII Autriche). — Je n'ai pas besoin de ces distractions, 
contre lesquelles je n'ai d'ailleurs aucune objection. — Catholique 
convaincu, d'une extrême tolérance ; je préfère les bonnes actions 
à la piété exagérée. Lerch. 

Rép. XXXIII (France). — La science en général ne correspond 
qu'à l'un des besoins de Yhomme complet, qui doit être aussi épris 
de Yart, et doit être moral et affectueux, appliqué, dans l'ordre 
pratique, aux intérêts de sa famille, de son pays, et de l'humanité. 
C'est dire qu'à mes yeux celui qui voudrait traiter de tout « more 



212 ENQUÊTE SE H LA METHODE DE TRAVAIL 

geometrico » ou n'être « que mathématicien » serait un rabougri ; 
on ne pourrait lui pardonner que s'il avait du génie. 

La science est un de nos plus nobles besoins. Ce n'est pas le 
seul. J'ai besoin pour ma part de l'Art, de la Philosophie et de la 
Religion — la religion qui donne à L'homme une « position totale 
en face de l'Univers, aussi nécessaire à Ampère qu'au hottentot. 
Ma tendance religieuse ressemblerait à celle de Pascal, un des 
plus beaux exemplaires d'homme vivant et sentant. R. d'Adhemar. 

Rép. XXXIV France . — a La musique en premier rang, et 
j'estime que c'est la une qualité commune à pas mal de mathéma- 
ticiens. La peinture et la poésie, la lecture littéraire et philoso- 
phique, en second rang. 

bi Au contraire, j'estime qu'elles sont une aide au travail, et que 
l'excitation produite compense grandement le temps perdu. 

c) Les questions d'ordre religieux me sont indifférentes. L'éthi- 
que, la morale, la métaphysique surtout, m'ont toujours attiré, 
peut-être à cause de la grande liberté qui y est laissée aux recher- 
ches. Azaïs. 

Rép. XXXVI (Suisse. — a) Les courses de montagne. — bj Je 
n'entends rien à la musique. Je m'intéresse beaucoup aux arts. 
mais je né comprends pas encore l'art moderne. J'ai de temps en temps 
besoin de lire un roman. — et Les questions philosophiques et 
religieuses m'intéressent vivement, et j'écris parfois sur ces sujets; 
la politique ne m'intéresse qu'autant qu'elle est en connexion avec 
ces questions. Beyel. 

Rép. XXXVII France). — a) Les promenades à pied, la culture 
d'un petit jardin. — e) Je n'ai aucun goût pour les questions, 
comme la métaphysique ou la religion, qui me paraissent manquer 
de rigueur. Fabry. 

Rép. XXXVIII Allemagne. — Les questions éthico-religieuses 
m'intéressent vivement, de même la théorie de la connaissance et 
la logique, et aussi les choses artistiques. Je m'y livre volontiers 
de temps à autre, et j'en reviens tout reposé aux mathématiques. 

Wernicke. 

Rép. XXXIX Créée . — ji La lecture littérature de tous pays ; 
spécialement la poésie ; la culture des fleurs; les promenades à la 
campagne. 

b) Ces distractions favorisent à un haut degré l'invention. 
L'esprit s'y récrée et en revient frais et dispos aux mathématiques. 
La musique en particulier : pour moi. je travaille avec bien plus 
d'entrain et de facilité en écoutant mais pas de trop pies un bon 
piano bien joué. Les morceaux mélancoliques, cependant, me 
plaisent moins, car ils m'entraînent dans des rêveries contraires 
au travail, (tuant a la poésie, non seulement je la crois très favo- 
rable aux études mathématiques, mais j'interromps souvent mon 
travail pour lire des vers de Moore, Sully Prud'homme ou Bjorn- 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 213 

son, ou pour en composer moi-même. Cette influence delà musique 

et de la poésie a peut-être sa raison profonde dans la nature essen- 
tiellement une des différentes formes de l'harmonie. Car je ne 
crois pas qu'il y ait de différence radicale entre le beau et le vrai 
malgré leur grande différence apparente. C'est toujours l'harmo- 
nique, qu'on l'appelle beau ou vrai selon les cas. En effet, quelle 
différence radicale y a-t-il entre un théorème ou en général une 
vérité mathématique, et une helle poésie ou un beau morceau de 
musique, du moins quant à ce qui fait qu'ils nous plaisent tous 
trois ? C'est Yharmonie qui nous plait dans chaque vérité, poésie, 
ou morceau de musique. De même qu'en chimie on regarde tous 
les éléments, si différents qu'ils soient, comme composés de la 
même matière, seulement arrangée différemment, de même je crois 
que le vrai et le beau, sous toutes leurs formes, sont uniquement 
constitués d'harmonie. Un mathématicien peut donc (j'ajouterais 
même qu'il doit lire et composer des vers, entendre ou faire de la 
musique, en dépit de l'opinion très répandue que les mathémati- 
ciens sont des pédants et les mathématiques une science sèche. 

c) Je ne crois point à toutes ces prétendues branches de la 
science : ce qui me répugne, c'est qu'il y ait encore des personnes 
sérieuses s'occupant sérieusement de ces questions. Hatzidakis 

Rép. XL Allemagne . — A côté des mathématiques, je suis attiré 
par la physique. J'estime qu'une bonne manière de se délasser est 
de construire soi-même de petits appareils de physique, de souffler 
du verre, de travailler le bois, etc. On peut aussi se reposer en 
s'occupant d'art, soit de peinture soit de musique. Dans le domaine 
de la philosophie, je m'intéresse surtout à la logique formelle, 
puis aussi aux questions religieuses, et philosophiques, dans la 
mesure où ces dernières sont en relation avec le domaine des 
sciences naturelles. Menzel. 

Rép. XL11 Italie . — Ma distraction favorite est de me promener 
en pleine campagne avec peu de compagnie. Amodeo. 

Rép. XLH1 France . — Je me suis occupé d'hydraulique, à 
l'occasion de mon service d'ingénieur, et par goût ; plus récem- 
ment d'hydrologie et de psychologie expérimentale. Je prends 
assez d'exercice depuis quelques années, comme dans ma jeunesse. 
Je chasse. Je n'aime pas la métaphysique. Maillet. 

Rép. XLIV Italie . — a) ha. musique, quand mon esprit a besoin 
de repos ou de récréation. 

b) Les beaux-arts, surtout la musique, favorisent les études ma- 
thématiques. 11 m'arrive souvent de résoudre des questions en 
jouant au piano des mélodies sentimentales ou dramatiques, où je 
m'accompagne toujours de mon propre chant. 

ci Ces sujets me sont indifférents. Marletta. 

Rep. XL VI Espagne . — Ma distraction favorite c'est la musique, 
allemande, italienne ou espagnole. J'aime les questions métaphy- 



21i ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

siques pour les appliquer aux sciences. L'ordre moral et intellec- 
tuel mérite mon respect et mon attention ; c'est la source de tout. 

Z. G. de Galdbano. 

Rép. XL VU Suisse . — Etude des Langues, histoire naturelle, 
philosophie. Petites réunions de deux à quatre personnes. Gublbr. 

Rép. XL VIII Hollande . — a) Vie de famille, voyages, récréa- 
tions artistiques. 

bi Les distractions artistiques, littéraires, musique, etc.. don- 
nent le repos nécessaire pour les études mathématiques. — ci Les 
questions religieuses m'intéressent beaucoup, celles d'ordre pure- 
ment métaphysique ne m'intéressent pas. Cardinal. 

Rép. XLIX France . — La musique, surtout celle d'ensemble. 
Je suis persuadé que la musique et les mathématiques sont sœurs; en 
tous cas j'ai rencontré beaucoup plus d'excellents musiciens chez 
les mathématiciens que chez les littéraires. J'ai même remarqué 
que les mathématiciens avaient une prédilection très marquée 
pour le violoncelle. Le caractère grave de l'instrument n'est-il 
pas pour beaucoup dans cette curieuse sympathie ? Barbarix. 

Rép. L Etats-Unis . — a Me promener au milieu d'une nature 
grande et belle. — bi Je trouve la musique particulièrement repo- 
sante. — ci Je les trouve attrayantes. Davis. 

Rép. Ll Etats-Unis . — ai Exercices athlétiques, sports, musi- 
que. — b) Oui. 

Rép. LU France . — ai Le soin de mes affaires, et beaucoup 
d'ordre à apporter en toutes choses ; des lectures de bons livres, 
que me présente de moins en moins, à mon gré, la littérature con- 
temporaine, sauf pour l'histoire. 

b La musique, que j'ai beaucoup aimée et un peu pratiquée. 
J'ai bien peu réussi pour le dessin, et je ne l'ai pas cultivé. 
J'admire comme une très belle chose la poésie ; mais comme 
sastisfaction, je reste plus sensible à une bonne prose au service 
de belles pensées qu'aux vers en général. Dans tous les cas, je suis 
très éloigné de voir le moindre antagonisme entre la science et ces 
belles choses. 

ci Métaphysique pure, pas du tout. Etudes philosophiques plus 
concrètes, et surtout religieuses, avec le plus grand attrait. 

HaTON DE LA GoLPILLÈRE. 

Rép. LIV (Etats-Unis). — Sports en plein air, littérature, poli- 
tique. Je m'intéresse aux questions religieuses et philosophiques. 
Pour moi, les mathématiques sont une branche delà philosophie. 

COOLIDGE 

Rép. LVI France). — En raison de ma situation spéciale, on 
comprend que le travail mathématique n'a jamais été pour moi 
qu'un moyen d'employer mes loisirs. J'ai exercé la médecine pen- 
dant 30 ans, j'ai eu souvent une pratique très active ; c'est surtout 
quand elle l'a été le plus que j'ai obtenu en mathématiques des 



ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 215 

résultats satisfaisants. Cela semble paradoxal, mais peut-être 
trouvera-t-on par d'autres témoignages que le mien, la preuve 
d'un principe qui me semble liés net et très exact : c'est que 
moins on se repose en matière de travaux intellectuels, cela s'en- 
tend et moins on est fatigué. Prompt. 

Rép. LYI1 Etats-Unis . — a) Je m'intéresse a la littérature du 
jour, au jardinage, à la politique étant membre de la commission 
scolaire locale , et à l'activité de l'Eglise (Protestante). Tout cela, 
pourvu qu'on y prenne garde, ne porte pas préjudice aux études 
mathématiques. — b) Je pense que ces choses favorisent Etude des 
mathématiques, pourvu qu'on ne les laisse pas monopoliser 
l'attention. — c) Je me sens attiré par ces questions et non pas 
repoussé. Thompson. 

Rép. EXI1 Etats-Unis . — a) Echecs et tennis. - a Ea métaphy- 
sique, l'éthique, la théologie, et en réalité toute la philosophie, 
m'inspirent un très vifintérêt. Tai.i.max. 

Rép. LX111 Suisse. — a) En dehors des études, mon occupa- 
tion est : 

A.. Quand je suis fatigué des études : I Par le beau temps : 
sport violent, skys, voile, gymnastique. — 2 Par temps de pluie: 
m 'étendre et rêver, à demi endormi, sur les belles profondeurs 
des sciences, jouir de ces mystères ; puis ces pensées, ces envolées 
dans le ciel des sciences me portent a la musique, à la peinture, 
que j'aime beaucoup. En montagne, j'aime le danger, surmonter 
une grande difficulté, puis admirer la belle nature ; pour moi rien 
de plus beau qu'une belle vue de montagne, ca va si bien avec les 
mathématiques ! 

B. Quand le travail ne m'a pas fatigué : chercher en amateur 
des petits cas spéciaux en me promenant, en faisant du sport. 

ci Les questions métaphysiques, religieuses, m'attirent beau- 
coup; mais je déteste discuter là-dessus si l'on ne se base pas sur la 
science et si l'on n'est pas rigoureusement logique. Ferriere. 

Rép. EXIX (Italie). — Mon occupation favorite est la musique, 
que j'ai toujours cultivée depuis mon enfance, et où, modestie à 
part, je réussis assez bien. Je ne crois absolument pas que le culte 
de l'art puisse nuire aux études scientifiques : au contraire, la 
musique peut agir comme le plus utile calmant du système ner- 
veux troublé quelquefois par un excès de travail cérébral. (....) 

Rép. LXX Etats-Unis). — a) Lecture, promenade, tennis, socia- 
bilité. — bi Toute distraction reposant l'esprit est à mon avis 
favorable aux mathématiques. — c) Les questions philosophiques 
m'intéressent beaucoup. Je ne suis pas d'un tempérament religieux. 

J. W. Young. 

Rép. LXXI Etats-Unis . — a J'ai beaucoup écrit pour les pério- 
diques américains d'éducation, sur les questions d'enseignement 
mathématique. 



216 ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

b) Romans, un peu de musique. Cela repose des autres travaux. 

ci Ces questions m'attirent jusqu'à un certain point. ..... 

Rép. LXXI1 Etats-Unis). — a) Musique, athlétique, sociabilité. 

b) Favorables quand on ne s'y livre pas avec excès. 

a Ces questions m'attirent, mais je ne crois pas qu'il t'aille leur 
donner trop de temps. 

Rép. LXXÏV Italie . — a) Lectures littéraires. — b Les occu- 
pations artistiques favorisent d'après moi l'invention mathémati- 
que. — c) Je me sens attiré surtout par des questions d'ordre 
philosophique. Piroxdixi. 

Rép. LXXY France. — al La lecture; particulièrement celle 
des journaux et du roman, c'est-à-dire celle qui n'exige qu'une 
très faible attention. La promenade dans les campagnes et les bois; 
la pèche au bord de la mer. 

b) Toute distraction me parait une force pour le travail futur. 11 
n'y a, je crois, rien de plus funeste-à tous les points de vue. que 
cette tension de l'esprit vers une seule idée, rien de plus opposé 
au développement des qualités inventives. 

c) Non. je ne me sens aucun intérêt pour les questions d'ordre 
métaphysique, éthique ou religieux. Mais on n'introduira jamais 
assez, à mon avis, dans l'enseignement et dans les recherches ma- 
thématiques, l'esprit philosophique : c'est le maître par excellence. 

De Loxgchamps. 

Rép. LXXV1 France . — ai Je suis un liseur passionné ; le 
mouvement des idées générales m'attire. — b) Les occupations 
artistiques me paraissent très appropriées à l'esprit mathématique. 
Alors que je pouvais disposer à mon gré de la presque totalité de 
mon temps, je demandais à la littérature surtout poétique et à la 
musique, sinon la distraction, du moins la diversion nécessaire à la 
détente cérébrale. — c Je suis très attiré par les questions d'ordre 
général, y compris les questions d'ordre métaphysique, éthique, 
ou religieux. Mais il est entendu que cela ne signifie nullement 
que j'attribue à ces questions une réalité objective en dehors de la 
psychologie humaine, c'est-à-dire des conceptions anthropomor- 
phiques. . Comiîei;iac. 

LXXVII Etats-Fnis . — Au point de vue intellectuel, j'aime la 
philosophie et la science pure; au point de vue artistique, la musi- 
que; au point de vue physique, les exercices très vigoureux, 
comme le tennis, la rame, les ascensions. Moulton. 

Rép. LXXVI11 Italie . — a) Me promener dans la campagne en 
compagnie d'une autre personne, pas davantage, de préférence 
cultivée. — b) Je crois que les distractions artistiques ou musicales, 
(pie je me procure quelquefois, distraisent des études mathémati- 
ques. — c) Je ne m'occupe de rien de tout cela, et cela me fâche 
fmifastizza) que d'autres s'en occupent. — 

Rép. LXXXI Hollande . — Penser ;i des choses éthiques ou 



ENQUETE SUR LA. METHODE DE TRAVAIL 217 

sociales. Littérature de haute valeur, ou sujets éthiques, sociaux, 
ethnographiques, de vaste étendue. \.vr:s. 

Rép. LXXXI1 Suisse . — a) Promenades etautres exercices phy- 
siques. Je recherche volontiers la société d'amis aimant à discuter 
les idées générales dans les divers domaines de l'activité intellec- 
tuelle. Quelquefois au contraire je préfère la compagnie de ceux 
de mes amis qui n'appartiennent pas aux carrières libérales; cela 
me permet de sortir entièrement de mes occupations habituelles. 

b) J'aime beaucoup la musique sans être musicien ; le théâtre, 
surtout la belle comédie; de temps à autre la poésie. Je m'inté- 
resse aussi à la peinture et à la sculpture lorsqu'elles restent en 
contact avec la belle nature, la grande inspiratrice de toutes les 
branches artistiques. Ce sont pour moi d'agréables diversions in- 
tellectuelles. 

c) La métaphysique ne m'intéresse pas. Je préfère les questions 
d'ordre général se rattachant à la philosophie des sciences, à la 
psychologie. Fehr. 

Rép. LXXXIII France). — a) Les exercices physiques, la lec- 
ture, la musique, le théâtre. — h) Je ne pense pas qu'elles puissent 
détourner de l'invention mathématique. Klles peuvent la favoriser 
parle changement qu'elles apportent, mais je ne pense pas qu'elles 
soient un aussi bon repos pour l'esprit cpie les exercices phy- 
siques, malheureusement difficiles à pratiquer dans une ville. 

Rép. LXXX1V Suisse). — a) Les jeux de combinaison, tels cpie 
les dames, les échecs, les cartes, etc. — bi Je suis complètement 
étranger à cette question, n'ayant jamais pratiqué ni la musique, 
ni la littérature, ni la poésie. — c) Je m'intéresse aux questions 
métaphysiques, mais les questions religieuses me laissent com- 
plètement froid. Oltramare. 



L'Enseignement mathém., 9 e année; 1907. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Le lieu de naissance de Legendre. 

Une question, déjà ancienne, n" 755 de Y Intermédiaire des 
mathématiciens, a appelé l'attention du colonel Brocard sur le 
problème controversé du lieu de naissance de Legendre, certaines 
biographies désignant Toulouse, et d'autres Paris. M. Brocard 
donnait le conseil de faire des recherches à la mairie du l(V" e 
arrondissement de Paris où, croyait-il, devait se trouver l'acle 
de décès. L'avis me sembla bon, et l'un de nos collègues de la 
Société Mathématique de France, M. Pierre Renard, eut l'obli- 
geance, sur ma prière, d'entreprendre les démarches. 

A la mairie du i(>""' arrondissement, on lui apprit que tous les 
actes antérieurs à 1860 étaient déposés aux Archives départemen- 
tales et communales, quai Henri IV. 11 s'y transporta, et trouva un 
employé fort aimable auquel il exposa sa requête, et le but pour- 
suivi. Après une courte recherche, ou constata que l'acte de décès 
existait effectivement. 

— Très bien, répondit M. Renard ; alors, pourriez-vous me dire 
si Legendre est né à Toulouse ou à Paris ? 

— Impossible, Monsieur. 11 nous est absolument interdit de 
fournir des renseignements. Seulement, nous pouvons vous pro- 
curer une expédition de l'acte de décès pour le prix de .'> francs 
75 centimes. 

— Voici 3 fr. 75. Pouvez-vous m'écrire, sur un bout de papier, 
le lieu de naissance de Legendre ? .le voudrais bien savoir s'il est 
de Paris, ou de Toulouse. 

— Impossible, Monsieur. Nous ne pouvons fournir l'expédition 
que dans un délai de trois jours. Il faut effectuer votre versement 
au guichet voisin. 

Au guichet voisin, un second employé non moins aimable que 
le premier reçut avec une grâce exquise les 3 fr. 75. Et comme on 
lui proposait d'ajouter les frais d'envoi, pour qu'il voulût bien 
adresser l'expédition : 

— Impossible. Monsieur; nous n'envoyons jamais rien. 11 faudra 
que vous ayez l'obligeance de revenir. 

— .le l'aurai. 

Et en même temps l'employé modèle n" 2 tendait à son inter- 
locuteur un reçu n° 3467 où celui-ci lisait avec stupéfaction : 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 2 U> 

« Reçu de M. Legendre la somme de etc pour frais d'expédi- 

« tion d'un acte de décès. » 
Paris, le 16 mars 1907. 

Le Caissier des archives, 
(Illisible). » 

— Mais je ne m'appelle pas Legendre, et je ne suis pas mort. 
Je m'appelle Renard, et je suis toujours vivant. 

— Ça ne fait rien, ea n'a pas d'importance. 

Sur cette parole admirable, la conversation pris lin. Quelques jours 
après, M. Renard, ayant fait un nouveau voyage aller et retour 
d'un bout à l'autre de Paris, me remettait l'expédition de l'acte de 
décès, cpie je ne trouve pas d'un prix trop élevé : 1" parce qu'elle 
contient la solution d'une question d'histoire scientifique intéres- 
sante ; 2° parce que, en raison des circonstances que je viens de 
rappeler, elle fournit un petit paragraphe additionnel à l'inépui- 
sable chronique de la sottise administrative. 

En définitive, il est désormais acquis, d'après l'acte de décès, 
que Adrien-Marie Legendre était né à Paris, qu'il y est mort, en 
sa demeure, quai Voltaire, n°9, à l'âge de 80 ans, le 9 janvier 1833, 
à six heures du matin et non le 10 janvier, comme l'indiquent, 
quelques biographies). Legendre à sa mort, était Membre de 
l'Académie des Sciences et officier de la Légion d'honneur. 

C. A. L. 



Sur le cercle passant par les pieds des bissectrices intérieures. 

1. — Soient P et P' deux points quelconques du plan ABC. 
Nous désignons par A, , B, , C, , A', , B', , C, les intersections res- 
pectives de AP, BP, CP, AP', BP\ CP' avec BC, CA, AB. 
Lorsque ces six points d'intersection sont concycliques, nous 
avons fait voir [Nouvelles Annales, Août 1906), que le point P' est 
le réciproque de l'anticomplémentaire d'un point dont les coor- 
données barycentriques sont 

a 2 l> 2 c' 2 



x{y -(- z) y(z -f x) ' z(x + y) ' 

.i\i/, z étant les coordonnées barycentriques de P. 

2. — D'après cela il est facile de voir, que si P est le centre 
du cercle inscrit à ABC le point P' a pour coordonnées barycen- 
triques 



a -f '+p cos A ' b -\- 'ip cos B ' c -\- kp cos C 



■2-20 M E LA JN G E S E T CO 1! H E S P N 1> ANC E 

On vérifie aisément, ([ne ce point appartient à l'hyperbole de 
Kiepert de ABC. 

3. — Les triangles A, B, C, et A', B', C\ sont les triangles dia- 
gonaux des quadrilatères ABCI, ABCP'. Ces triangles sont donc 
autopolaires aux hyperboles équilatères ABCI ("hyperbole de 
Feuerbach et ABCP' hyperbole de Kiepert;. Comme le cercle 
circonscrit à un triangle autopolaire à une hyperbole équilatère 
passe par le centre de cette courbe et comme le cercle d'Kuler 
est le lieu des centres des hyperboles équilatères ABC. nous 
pourrons dire : le cercle passant par les pieds des bissectrices in- 
térieures coupe le cercle d'Euler-aux centres des hyperboles de 
Feuerbach et de Kiepert. 

Emile \\ ebkr Liège). 



Simple remarque sur un théorème de géométrie. 

Nous avons en vue le théorème : 

Si P est un point pris à l'intérieur d'un triangle ABC, on a 

BP + PC < AB + AC . 

La démonstration donnée dans les ouvrages classiques gagne- 
rait — ce nous semble — en clarté à être exposée comme suit. 

Lemme. — Si l'on prend un point P sur un côté AC d'un trian- 
gle ABC, entre A et C, on a BP + PC<BA + AC. 

La démonstration est immédiate. 

Théorème. Enoncé ci-dessus . — Prolongeons BP jusqu'à sa 
rencontre en R avec AC. En appliquant le lemme aux triangles 
BRC, ABC, on a 

BP + PC < BR + RC < BA + AC . 

C. q. f. d. 

Emile YVkber Liège). 



Sur la relation entre les côtés d'un triangle rectiligne. 

Cette petite note est destinée à attirer l'attention des professeurs 
sur un défaut de méthode, dans tous les traités de géométrie élé- 
mentaire qui nous sont connus. Il s'agit de trois théorèmes qui 
se rapportent à l'expression de la valeur du carré d'un eôté du 
triangle en fonction des deux autres. Tous les auteurs que nous 
avons lus distinguent trois cas suivant que le côté est opposé à 
un angle droit, à un angle aigu ou à un angle obtus. Au fond, ils 



CHRONIQUE 11\ 

déduisent chacun de ces théorèmes de la propriété suivante, dont 
ils recommencent trois fois la démonstration : 

Les hauteurs d'un triangle déterminent dans les carrés construits 
sur les côtés, sic rectangles équivalents deux à deux. Ces rectan- 
gles se suive/if lorsque l'on fait le tour de la figure et font partie de 
carrés distincts. 

Il serait plus méthodique, à notre avis, de poser, une fois pour 
toutes, la proposition précédente en théorème, et d'en déduire les 
trois cas qui se présentent, comme corollaires. ,1. Malaise Liège 



CHRONIQUE 



II e centenaire de Léonard Euler. 

I. Séance commèmorative organisée par la Société Mathématique 

de Berlin. 

Le 15 avril deux cents ans s'étaient écoulés depuis que Léonard 
Euler naquit à Bàle. La Société Mathématique de Berlin avait pris 
la résolution de remplacer la séance mensuelle par une séance 
solennelle à la date du I.') avril. 

Grâce à l'obligeance de M. Bubens, directeur de l'Institut de 
Physique à l'Université, la grande salle de cet Institut fut mise à 
la disposition de la Société. 

En premier lieu, M. Valentin, bibliothécaire à la Bibliothèque 
Royale, fit un discours sur Léonard Euler à Berlin ; en particulier 
il donna des communications intéressantes sur les relations entre 
Frédéricde-Grand et le savant géomètre. Puis M. Kneser, profes- 
seur à l'Université de Breslau, prit la parole pour développer 
les progrès que le calcul ries variations doit au génie ci Euler qui 
continuait l'œuvre de Leibniz et préparait les découvertes de 
Lagrange. Le troisième discours, prononcé par M. Fritz Kotter, 
professeur à l'Ecole Polytechnique de Charlottenbourg, était des- 
tiné à montrer l'impulsion que donnèrent les travaux d'Euler à la 
théorie de la toupie et aux problèmes cpii s'y rattachent. 

La cérémonie officielle a été suivie d'une réunion familière qui 
a réuni un grand nombre de personnes. E. Jahnke Berlin . 

IL Séance solennelle organisée par l'Université de Baie. 

L'université de Bàle avait décidé, dans le courant de l'hiver der- 
nier, d'organiser une cérémonie académique en l'honneur du grand 
mathématicien bàlois Léonard Euler. Ce projet a été mis à exécu- 



222 CHRONIQUE 

tion le 29 avril, et l'université avait convié à cette fête scientifique 
des représentants des Académies des sciences de St-Pétersbourg 
et de Berlin, des universités suisses, de l'école polytechnique de 
Zurich et de quelques universités allemandes voisines de notre i'ron- 
I ière. 

Appelé en qualité de doyen de notre faculté des sciences, à repré- 
senter l'université de Genève à cette solennité, je suis heureux 
d'en donner ici un court aperçu et de présenter à l'université de 
de Bàle mes sincères félicitations pour la manière à la fois sérieuse, 
digne et simple dont elle a commémoré l'anniversaire deux fois 
centenaire de la naissance à Bàle de Léonard Euler. 

La cérémonie s'est déroulée le 29 avril avant midi dans l'église 
de St-Martin, voisine de l'université et qui sert à notre sœur des 
•bords du Rhin d'Aula pour les grandes occasions. L'église, sobre- 
ment décorée de verdure, était ornée du buste d'Euler, et la tribune, 
était entourée des drapeaux des sociétés d'étudiants bàloises. Le 
chœur était occupé par l'orchestre académique qui a inauguré la 
cérémonie par l'exécution de l'ouverture d'Iphigénie de Gluck et 
l'a clôturée par celle de la marche de l'Athalie de Mendelssohn. 
Le corps professoral, presque au complet, s'est placé derrière la 
tribune. La grande nef avait été réservée aux invités et aux étu- 
diants, et les bas-côtés de l'église étaient occupés par un nom- 
breux public, ami de l'université, qui a attentivement écouté les 
discours des divers orateurs. 

Le premier discours a été prononcé, au nom de l'université de 
Bàle, par M. le professeur Karl Vonder Mïhi.i. qui a retracé, en histo- 
rien et en mathématicien, la biographie d'Euler et donné un aperçu 
critique de son œuvre immense. Euler est né à Bàle et a été élevé 
d'abord à Riehen, paroisse de son père, le pasteur Paul Euler, qui 
avait été élève de Jacques Bernoulli. C'est lui qui a initié son fils 
aux mathématiques, mais c'est à l'université que s'est développé 
le goût prononcé de Léonard pour cette science, sous l'influence 
de Jean Bernoulli. Celui-ci discerna promptement le génie du 
jeune homme et obtint de son père qu'il put suivre ses goûts et ne 
pas poursuivre les études-de théologie. 

Bàle était alors une vraie pépinière de mathématiciens cpii. na- 
turellement, ne pouvaient tous faire leur carrière dans leur patrie. 
Nicolas et Daniel Bernoulli étaient à St-Pétersbourg et y attirè- 
rent Euler en 1727, à l'âge de vingt ans. C'est là qu'il publia ses 
premiers travaux. Il les continua de 1741 ;i 1766 à Berlin où paru- 
rent ses oeuvres les plus importantes, puis retourna à St-Péters- 
bourg oùiltermina sa carrière en 1781. Malade, borgne et ensuite 
aveugle dans cette dernière partie de sa vie, poursuivi par le mal- 
heur, il n'en dicta pas moins encore plus de 300 travaux à 
ses secrétaires. 

Euler a été avant tout un mathématicien et a fait du calcul infi- 



CHRONIQUE 223 

oitésimal l'instrument qu'il est encore aujourd'hui. Mais en outre 
il a appliqué ce calcul à tous les problèmes des sciences exactes, et 
on peut dire qu'il a abordé tous ceux de l'astronomie, de l'opti- 
que, de la mécanique, surtout et aussi ceux de l'art de l'ingénieur. 
Son travail a été immense et quoique sa vie se fut passée à l'étran- 
ger. Baie n'en est pas moins fière de lui avoir donné le jour. 

M. (). Backli \\d, directeur de l'observatoire de Poulkovo, délé- 
gué de l'Académie des sciences de St-Pétersbourg, a ensuite lu 
un discours en latin célébrant les services rendus par Euler à 
cette Académie. Puis M. le professeur Frobexius, au nom de l'Aca- 
démie des sciences de Berlin, a encore insisté, après le professeur 
Von der Muhll, sur l'œuvre immense d'Euler et sur l'originalité 
de son génie. Il a fait ressortir tout ce que les étudiants de l'épo- 
que actuelle lui doivent encore, en ce sens que les manuels d'au- 
jourd'hui, qu'il s'agisse de mathématiques pures ou appliquées, 
ne font, que reproduire pour une forte part, les méthodes, les ré- 
sultats et les applications d'Euler. 

M. le professeur Ridio de Zurich a prononcé un dernierdiscours, 
au nom des hautes écoles de la Suisse et. en remerciant l'univer- 
sité de Baie d'avoir si dignement célébré l'anniversaire d'Euler, 
il a exprimé le vœu que le plan de la publication intégrale de l'œu- 
vre complète d'Euler dont on a déjà souvent parlé, marche vers 
une prochaine réalisation. M. le "professeur John Meieh, recteurde 
l'université de Bàle, a remercié les orateurs qui de l'étranger et 
de la Suisse sont venus apporter leur tribut d'éloge au grand ma- 
thématicien bàlois et la cérémonie a été ainsi terminée. 

Disons encore qu'à propos du deuxième centenaire d'Euler, la 
Bibliothèque de l'université de Bàle avait, par les soins de M. le 
professeur Burckhardt, organisé une exposition des œuvres d'Euler. 
Cette exposition comprenait quelques manuscrits, les principaux 
ouvrages du savant bàlois et les portraits que l'on possède de lui 
à Bàle ainsi que les reproductions de ceux qui existent ailleurs. 

Enfin qu'il me soit permis de rapporter en terminant une remar- 
que que m'a faite M. Backlund : c'est qu'il existe en français 
un excellent compte rendu de l'œuvre d'Euler en fait de méca- 
nique céleste, dans la thèse de doctorat présentée en 1817 à l'Aca- 
démie de Paris par Alfred Gautier qui a été directeur de l'obser- 
vatoire de Genève de 181!) a 1839. .le transcris d'autant plus volon- 
tiers ici ce jugement, qu'il vient confirmer ce que me disait, il y a 
plus de vingt ans, Tisserand, en me parlant de ce travail de mon 
grand oncle 1 dont il s'est servi dans certains chapitres de sa Mé- 
canique céleste devenue classique, et qu'il appréciait comme un 
résumé très bien fait. Raoul Gautier Genève.) 



1 Essai historique sur le problème des trois corps, ou dissertation sur la théorie des 
mouvements de la lune et des planètes, etc., par Alfred Gai tikk. licences es lettres et docteur 
es sciences. Paris. 1817. — 283 pages in-4° 



■21\ CHRONIQUE 

Monument Abel. 

cLois du Centenaire d'Abel, le monde entier a témoigné par sa 

grandiose participation en quelle haute estime on avait ce génie 
transcendant. 

Au moment où ils se disposent à lui élever un monument digne 
de lui, ses compatriotes ont cru ne pas devoir donner à leur mani- 
festation un caractère exclusif, mais ont trouvé qu'ils rendraient 
mieux hommage au caractère international de l'œuvre d'Abel, en 
conviant les mathématiciens des autres nations à collaborer avec 
les Norvégiens. 

Le monument, qui aura 13 mètres de hauteur, est achevé en 
plâtre, et prêt à être coulé en bronze. Il est dû au ciseau de Gustav 
Yigeland, le premier des sculpteurs norvégiens. Sur un haut pié- 
destal planent deux génies de taille gigantesque sur le dos des- 
quels repose le jeune voyant, dont lés traits rendent, en une mâle 
adaptation, ceux de l'illustre Abel. dette œuvre a excité l'admira- 
tion de connaisseurs distingués, même en dehors des limites de 
la Norvège. 

Il s'agit ici de la mémoire d'un homme par lequel la Norvège a 
apporté une part contributive tout à fait unique a l'œuvre scienti- 
fique de tous les pays et de tous les âges : c'est pourquoi nous nous 
adressons en tonte confiance à l'ensemble du monde savant.» 

Kristiania. mars 11)07. 

W. C. Bbogger. Elling Holst. Fridtjof Naxsix. 
Carl Stormer. L. Svi.ow. Axel Thue. 

Les souscriptions sont reçues par M. Karl Fischer, Kirkegaden, 
6 b.. Christiania. 

Monument Lamarck 1 . 

« Les professeurs du Muséum national d'Histoire naturelle de Pa- 
ris, désireux de rendre un hommage solennel à leur illustre pré- 
décesseur, le naturaliste philosophe Lamarck, prennent l'initiative 
d'une souscription internationale afin de lui élever une statue 
dans le Jardin des Plantes. 

Ils vous demandent de prendre part à cette manifestation scien- 
tifique qui a pour but de rendre une tardive justice à l'immortel 
auteur de la Philosophie zoologique, au savant qui, en zoologie. 






1 Bien que Lamarck fui un naturaliste, son nom esl trop intimement associé à la science 
universelle pour que Y Enseignement mathématique hésite à faire connaître cette grande mani- 
festation, placée sous le haut patronage du Président de la République française, du roi de 
Portugal et du prince de Monaco. 

Dans la liste du Comité d honneur, nous relevons !'■- noms de MM. Appell, Bocoqukt nu 
la &RYK, Dakboux, Jasss"-*. Jordan, Maurice Léyy, Lamy. membres de l'Institut, et celui 
de M. C. a. Laisant, président de la Société Philomatique de Paris en 1906. 



CHU UNIQUE 2-25 

en botanique, en géologie, en météorologie, fut un précurseur 
génial, au grand penseur dont, les conceptions sont la hase des 
idées modernes sur l'évolution du monde organisé. » 

Les souscriptions 1 sont reçues par M. Joubin, professeur au 
Muséum d'Histoire naturelle, à Paris. 

Les Professeurs du Muséum national d'Histoire naturelle. 

Nominations et Distinctions. 

M. le Prince Roland Bonaparte est nommé académicien libre 
tle L'Académie des Sciences de Paris, en remplacement de M. Bis- 
choffsheim, décédé. 

M. G. Darboux, est nommé membre associé de l'Académie des 
Sciences de Belgique. 

M. L. E. Dickson est promu professeur adjoint à l'Université de 
Chicago. 

M. U. Dixi, professeur à l'Université de Pise, est nommé docteur 
honoraire de l'Université de Glasgow. 

M. I h. Furtwângler est nommé professeur titulaire de mathé- 
matiques à l'Ecole technique supérieure d'Aix-la-Chapelle. 

M. P. KoKiti: est admis à l'Université de Gôttingue en qualité de 
privat-docent. 

M. Ludwig, privat-docent à l'Ecole technique supérieure de 
Carlsruhe, est nomme professeur titulaire à la chaire de Géométrie 
descriptive de l'Ecole technique supérieure de Braunschweig. 

M. II. Maschke est promu professeur titulaire à l'Université de 
Chicago. 

M. IL Poincaré est nommé docteur honoraire de l'Université de 

( rlâSgOW. 

M. .Iules Tannery est nommé académicien libre de l'Académie 
des Sciences de Paris. 

M. E. v. Weber, privat-docent à l'Université de Munich, est 
nomme professeur extraordinaire à l'Université de Wûrzbourg. 

M. \\ ieghardt. de l'Ecole technique supérieure de Braun- 
schweig, est nommé professeur à l'Ecole technique supérieure de 
Hanovre. 

Nécrologie. 

Marcelin Berthllot. — Le 18 mars 1907 la France a perdu l'un 
de ses plus illustres savants. Marcelin Berthelot, et l'on sait qu'elle 
lui a rendu les honneurs les plus grands dont elle dispose. Ber- 



1 Le Comité a décidé d'offrir à tous les Souscripteurs d'au moins 20 francs la reproduction 
en héliogravure (format grand in-i° d'un portrait authentique et inédit de Lamarck, peint 
pour sa famille par Thé'venin, en 1801. 

A tout Souscripteur d'une somme de 2(11) francs au moins sera offerte, s'il le désire, une 
épreuve eu plâtre du buste de Lamarck par le statuaire Fagel, a qui est confiée l'exécution du 
monumen t. 



2 26 N T E S ET DOC U M E N I S 

thelot était l'un des secrétaires perpétuels fie l'Académie des 

Sciences: il avait été élu membre de l'Académie française en J'iuo 
en remplacement de M. Joseph Bertrand. 

Colonel Laussédat. — Ce même jour est décédé à Paris M. le 
colonel Laussédat, académicien libre, ancien professeur de Géo- 
désie à l'Ecole polytechnique, ancien Directeur du Conservatoire 
national des Arts et Métiers; il était né le 14 avril 1819. 

J. Rebstein. — M. .1. Rebstein, professeur à l'Ecole polytechni- 
que de Zurich, est décédé au mois de mars 1907 à l'âge de 67 ans. 
Il professait les cours se rattacbant à la théorie des assurances, 
a la méthode des moindres carrés et à la construction des cartes 
géographiques. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Programme d'un cours d'histoire des sciences. ' 

Le programme qu'on va lire a été demandé à mon frère par 
M. RaMer, directeur de l'enseignement secondaire, au moment où 
se préparait l'organisation de renseignement moderne 1802 . On 
pensait donner à l'histoire des sciences une heure et demie par se- 
maine, dans la dernière classe. Si mes souvenirs sont exacts, il a 
été imprimé dans les documents remis aux membres du Conseil 
supérieur de l'Instruction publique, mais n'a pas été publié. 

Je ne l'ai pas relu sans émotion: on peut le regarder comme une 
table des matières, très abrégée, de ce Discours sur l'histoire gé- 
nérale des sciences que mon frère avait commencé d'écrire et qui. 
s'il avait vécu, serait publié depuis deux ans. On verra avec quelle 
élévation d'esprit Paul Tannery concevait l'enseignement de cette 
histoire. Un jour viendra peut-être où l'autre histoire, l'histoire 
des faits, ne sera plus regardée que comme un cadre, d'ailleurs 
indispensable. Pour savoir comment l'esprit humain a évolué, il 
faut connaître le milieu où il a évolué : c'est cette évolution qui 
importe : l'histoire des sciences n'en retrace qu'une partie, mais 
une partie essentielle. 

11 faut bien avouer qu'aujourd'hui, comme il y a quinze ans, l'en- 
seignement de cette histoire est impossible dans nos lycées, parce 
que le personnel n'est pas prépare. Il faut, tout d'abord, organiser 
la préparation. On a jugé avec raison (pie l'histoire de l'enseigne- 



1 Extrait de la Revue du mois du lit avril 1907, avec l'autorisation de la Rédaction. — Paris, 
Librairie Le Soudier. 



N TE S ET DOCUMENT S ■_> i> 7 

ment et des doctrines pédagogiques était indispensable à ceux 
qui veulent être professeurs: elle est, aujourd'hui, admirablement 
exposer; mais l'histoire de ee qu'ils auront à enseigner est-elle 
moins nécessaire aux futurs maîtres ? Peuvent-ils continuer d'en 
ignorer les grands traits ? 

Il suffît, pour répondre, de lire les pages qui suivent. 

Jules Tanxery (Paris). 



Conseils et Directions. 

Le but <pie le professeur devra cherchera atteindre est princi- 
palement de montrer l'enchaînement rationnel qui a lié l'évolution 
de chacune des sciences, soit avec celle des autres, soit avec celle 
de la civilisation en général. 

Pour chacune des périodes indiquées dans le programme ci- 
après, il devra s'attachera définir et à bien faire comprendre l'or- 
dre d'idées, vrai ou erroné, qui dominait dans chaque science, 
ainsi cpie le caractère des transformations qu'a pu subir cet ordre 
d'idées au cours de la période. Il sera d'ailleurs inutile de s'astrein- 
dre rigoureusement à l'ordre chronologique; il est préférable, au 
contraire, de s'en tenir pour chaque époque aux traits généraux, 
sauf à remonter aux germes antérieurs des grandes idées ou dé- 
couvertes nouvelles, quand il s'agira d'en exposer l'histoire, et à 
indiquer en même temps les conséquences ultérieures de ces dé- 
couvertes sur lesquelles on ne se proposera pas de revenir à pro- 
pos d'une autre époque. 

Tout en cherchant ainsi à développer le plus possible chez les 
élèves des idées générales, il conviendra, pour soutenir leur at- 
tention, d'illustrer l'enseignement par des détails circonstanciés 
donnés dans chaque leçon sur un sujet déterminé. Le programme 
indique un certain nombre de ces sujets, mais il ne sera pas né- 
cessaire de les développer tous également ; le programme ne doit 
pas davantage être considéré comme limitatif; le professeur devra 
choisir, d'après ses convenances personnelles, pour chaque leçon, 
la question qu'il se proposera de traiter en détail, sous la condi- 
tion de la rattacher nettement à un ordre d'idées générales exposé 
dans la même leçon. 

Toute question de détails ainsi choisie devra être traitée aussi 
complètement que possible : on aura soin d'ailleurs, soit en l'ex- 
posant, soit en développant des thèmes plus généraux, d'éviter 
toute nomenclature vide, aussi bien que les indications histori- 
ques trop sommaires qui, sous une apparence de précision, ne 
laissent souvent que des notions fausses dans l'esprit des élèves. 

Au lieu d'un sujet relatif à l'histoire d'une question déterminée 
comme par exemple l'origine des chiffres modernes ou celle de 



228 NO T E S E T I) O C V M E N T s 

la machine à vapeur , le professeur pourra choisir la vie d'un sa- 
vant illustre. Dans ce cas. tout en retraçant les détails intéressants 
de sa biographie, il devra s'attacher à indiquer ses ouvrages les 
plus importants et à en donner une analyse suffisante pour provo- 
quer alors chez les élèves le désir d'arriver à les connaître plus 
complètement. 

Enfin il ne devra pas perdre de vue. en thèse générale, que 
l'étude historique des sciences ne doit pas seulement s'attacher a 
retracer les progrès de l'esprit humain dans la connaissance de 
la vérité ; quelle a aussi à en rappeler les erreurs, et que c'est pré- 
cisément la saine appréciation de ces erreurs qui seule peut bien 
faire comprendre l'importance véritable des sciences ; sans négli- 
ger l'intérêt qu'offrent les applications pratiques, il ne perdra 
pas une occasion de faire ressortir la nécessité de la science qui 
seule peut conduire à des conceptions justes, soit de l'univers, soit 
de la société humaine. 

Programme. 

Pke.mikr trimestre. 

Des connaissances pratiques qui ont servi de fondement aux théories des 
sciences pures. — Développement de ces connaissances aux divers degrés 
de la civilisation. — Niveau atteint chez les anciens peuples de l'Orient 
(Egypte, Chaldée . 

Nota. — /.es diverses sciences seront successivement considérées dans 
l'ordre suivant . arithmétique et géométrie, mécanique, astronomie, physi- 
que, chimie, histoire naturelle. 

Des conceptions irrationnelles de la nature qui ont été l'origine des pré- 
tendues sciences occultes lastrologie, magie, sorcellerie, etc.) Des notions 
positives mêlées à ces conceptions, de l'influence qu'elles ont exercée sur 
révolution des sciences. 

Apparition de la science pure chez les Grecs vers le vi e siècle avant notre 
ère : sa double tendance: abstraite: (mathématiques) ; concrète (science de 
la nature en générait. 

Mathématiques. — Pythagore et son école. — Constitution d'un enseigne- 
ment scientifique. — Classification en arithmétique, géométrie sphérique 
(astronomie), musique. — Découverte expérimentale des relations numéri- 
ques concernant la gamme. — Progrès des mathématiques au iv e siècle 
avant notre ère lacadémie). — Importance historique de la classilicalion 
pythagorienne ; le quadrivium et le trivium au moyen âge. 

Science de la nature. — Recherche d une conception rationnelle et géné- 
rale de la science. — Tentatives des premiers philosophes grecs à partir de 
Thaïes. — Résultais spéciaux : constitution de la médecine: Hippocrate et 
son école. — Résultats généraux : Aristote, son œuvre scientifique. — Adop- 
tion de principes erronés concernant la dynamique. — Système astronomi- 
que. — Doctrine des quatre éléments. — Travaux d'histoire naturelle. 

Des contradictions opposées dans l'antiquité aux dogmes d Aristote : doc- 
trine atomique. 

Période ale.randrine. (Des conquêtes d'Alexandre a l'établissement de 



.V TE S ET DO C U ME X T S 229 

l'empire romain). — Abandon, dans la Grèce proprement dite, < I * -s tendances 
véritablement scientifiques. — Les nouvelles écoles philosophiques se pro- 
poposent pour but l'établissement de règle de conduite individuelle : rôles 
du stoïcisme el de 1 épicurisme au point de vue de l'histoire des sciences. — 
Caractère classique que prend renseignement. 

La science pure protégée par les Ptolémées. — Fondation du musée 
d'Alexandrie. — Euclide : la géométrie élémentaire. — Apollonius : la géo- 
métrie des coniques. — De Futilité de l'appui donné par les gouvernements 
aux recherches purement théoriques : imprévu des applications pratiques 
qu'elles peuvent recevoir (les coniques en astronomie; autres exemples his- 
toriques). 

Archimède, ses travaux géométriques; ses découvertes en statique. 

De la mécanique chez, les anciens. — Héron d'Alexandrie. 

L'astronomie scientifique : Hipparque. 

Période gréco-romaine (jusqu'à Constantin). — Inaptitudes des romains 
pour les sciences : elles restent stationnaires. — Coordination des travaux 
antérieurs,: Ptolémée. — Progrès de ! astrologie. — Galien : la médecine el 
l'histoire naturelle. 

Période de décadence. — Origine de l'alchimie ; son caractère mystique ; 
influences gnostiques mêlées aux dogmes de la philosophie hellène. — Ten- 
dances pratiques de l'enseignement classique des mathématiques : les ingé- 
nieurs de Juslinien. — Maintien de cet enseignement sous l'empire byzantin. 



Deuxième trimestre. 

Période barbare. — Des connaissances pratiques conservées en Occident 
après la chute de l'empire romain ; arpentage ; comput ecclésiastique. — 
Réveil des ('tudes au temps de Charlemagne. — Isignifiance des résultats 
obtenus jusqu'à l'établissement de relations avec les arabes. 

La science arabe. — Développement scientifique de la civilisation arabe ; 
défaut d'originalité dans ce développement: son importance pour la trans- 
mission de la science grecque à l'Occident latin. — Mathématiques et astro- 
nomie. — Alchimie et médecine. 

Origine des chiffres modernes: leur introduction en Occident : notions sur 
les procédés de numération écrite chez les Grecs et les Romains ; le calcul 
sur l'abacus. — Gerbert. 

Moyen âge. — L'enseignement dans les universités : les sciences sont 
réduites au rang d'arts et subordonnées à la théologie, considérée comme 
la science véritable. — Triomphe des doctrines d'Arislote relatives à la 
conception de la nature. Traductions d ouvrages scientifiques faites sur 
l'arabe, sur le grec. 

Renaissance. — Retour définitif aux sources grecques et réveil des ten- 
dances vers la science pure. — Progrès de l'enseignement mathématique : 
Tartaglia, Cardan. — Premières oppositions aux doctrines d'Aristote. — 
Hypothèse de Copernic renouvelée d'Aristarque de Samos. — Les éléments 
des corps d'après les alchimistes : Paracelse. 

XVII e siècle (première moitié). — Vièle : Invention de l'algèbre moderne. 
— Napier : les logarithmes. 

Lutte définitive contre l'enseignement scolastique. — Bacon : glorification 



231 1 N OTES ET 1) O C V M E N I s 

des sciences : Appel à l'expérience. — Galilée : découverte des principes 

fondamentaux de la dynamique : les lunettes astronomiques. — Kepler : ses 
lois ; comment elles ont l'ait triompher l'hypothèse de Copernic el ont 
conduit à la découverte de la gravitation universelle. — Gilbert : le magné- 
tisme. — Garvey : la circulation du sang. 

Introduction d'une nouvelle conception rationnelle et générale de la na- 
ture. — Descartes : universalité de ses travaux. — Tentatives distinctes de 
la science, antérieures ou contemporaines: Gassendi. — Triomphe de la 
physique corpusculaire. — Recherches expérimentales. — Découverte de la 
pesanteur de 1 air . Pascal : principe de 1 hydrostatique. 



Troisième trimestre. 

XVII e siècle (seconde moitié). — Fondations des académies des sciences 
et des observatoires ; leur influence sur le progrès. 

Achèvement de la découverte des principes de la dynamique : Huygens : 
Newton. — L'optique mathématique. 

.Vf f/I e siècle. — Progrès des mathématiques et de l'astronomie ; indica- 
cation de la nature des problèmes que l'on arrive à résoudre ; Clairaut et la 
comète de Halley. — L'aplatissement de la terre aux pôles : conlirmatiou 
définitive des théories de Newton. 

Abandon des hypothèses de la physique corpusculaire : les actions à dis- 
tance : les fluides. — Franklin : le paratonnerre. — Stahl et la théorie de 
phlogistique. — Lavoisier : fondation de la chimie moderne. 

Histoire naturelle. — Progrès accomplis depuis la Renaissance. — Les 
tentatives de classification : Linné : Jussieu. — BulTon — Guvier : la paléon- 
tologie et l'histoire des révolutions du globe. 

Applications de la science. — L'encyclopédie de Diderot et d Alembert. 

Tentative pour soumettre aux méthodes scientifiques l'étude des questions 
sociales. — Origine de léconomie politique : la statistique. 

XIX' siècle. — Indications sur les tendances actuelles, de plus en plus 
abstraites, des mathématiques pures. — Nouveaux résultats pratiques obte- 
nus : découverte de la planète Le Verrier. 

Applications des mathématiques à la physique. — Nouvelles hypothèses 
générales : Fresnel : l'éther. — Joule : l'équivalent mécanique de la chaleur. 

— De l'unité des forces physiques. 

Développement de la chimie. — Evolution des idées générales dans cette 
science. — Les équivalents : la doctrine atomique : la thermo-chimie. — 
I. analyse spectrale : ses applications à l'astronomie. 

Histoire naturelle et biologie. — Bichat. — Claude Bernard. — Pasteur. 

— Progrès de la médecine. — Darwin ; la doctrine de révolution. 
Applications industrielles. — Chemins de fer: télégraphe et téléphone. — 

Chimie agricole et industrielle. 

La philosophie scientifique. — Auguste Comte: sa conception des scien- 
ces : leur classification. — La sociologie. — Nouveau but proposé à la phi- 
losophie : règles de conduite de la société humaine à déterminer par l'appli- 
cation de méthodes scientifiques. 

Paui. Tanner t i Paris 



.Y O T E S K I DO CU M E X TS 231 



FRANCE 



Circulaire, 

adressée par M. le Vice-Recteur de l'Académie de Paris à MM. les Inspec- 
teurs d'Académie, Proviseurs, Principaux et Professeurs de Mathématiques 

et de Physique du ressort. 

l'a ris, le 1 er octobre 1906. 

Les rapports présentés au Conseil académique, en sa session d été, sur 
1 enseigement des sciences mathématiques el des sciences physiques, con- 
tiennent des constatations et des observations qn il me paraît utile de porter 
à la connaissance des professeurs. 



Mathématiques. 

Dans les classes littéraires, cet enseignement est faible, très faible même. 
Celle faiblesse est-elle imputable au petit nombre d'heures dont les profes- 
seurs de mathématiques disposent .' Un certain dédain des élèves n y est-il 
pas, comme autrefois, pour quelque chose ? Dans ce cas. ce serait aux pro- 
fesseurs a réagir. Leur est-il impossible de faire entendre, par un choix 
judicieux d'exemples et d'applications, de quelle utilité est, dans la vie de 
chaque jour, une certaine connaissance des éléments des mathématiques, 
même pour ceux dont l'activité n'aura pas besoin de la science comme 
instrument ? Leur est-il impossible également, surtout en philosophie, de 
faire voir à leurs élèves, par un enseignement clair, bien dépouillé, réduit 
à l'essentiel, de quel prix sont ces éléments pour cette culture plus complète 
des esprits, à laquelle visent les programmes de 1902 ? Dans ces classes, 
qui n'aboutissent pas à des concours, je ne saurais trop recommander aux 
professeurs de s'attacher plus à 1 esprit qu à la lettre des programmes, de 
se dire qu'ils auront rempli leur lâche si, de leur enseignement, leurs élèves 
emportent un certain nombre de notions positives, bien assises, nettement 
comprises et adhérentes à leurs esprits. 

Dans les classes scientifiques, tout autres sont les résultais. Les change- 
ments de points de vue et de méthodes, inaugurés avec les nouveaux pro- 
grammes, commencent à faire sentir leurs effets, qui sont d'heureux effets. 

En Spéciales, au témoignage de M. llnspecteur d'Académie rapporteur, 
la situation est bonne. D'une manière générale, non seulement le rôle de 
1 analyse s'y est accru en vue des applications pratiques, mais 1 esprit de la 
géométrie analytique s'y est transformé ; plus rare s est faite l'intervention 
des formules générales, plus fréquent l'appel à l'initiative des élèves. Certes 
les grandes théories restent un des honneurs de l'esprit humain, et la joie 
de ceux qui ont la passion du savoir. Mais pour ceux, et ce sont les plus 
nombreux, qui ont besoin de développer avant tout leur capacité de pouvoir, 
qui seront appelés à résoudre au jour le jour, au mieux d'intérêts positifs, 
les problèmes de l'action, quelle préparation vaut le mieux : celle qui aborde 
autant que possible chaque question en elle-même, ou celle qui fait dépendre 



■i:,l NOTE S ET I) OC V M E N T S 

la solution (I un problème relativement facile «lune théorie trop paissante 
pour la majorité des jeunes esprits ? 

Dune façon plus particulière, quelques initiatives uni paru dignes d'être 
cotées cl signalées. Ainsi, dans un lycée de Paris, un professeur a renoncé 
à la division traditionnelle des cours en Algèbre et Géométrie analytique, 
et a incorporé les applications géométriques au cours d'Analyse. Dans un 
autre lycée, 1 enseignement de la Géométrie dans 1 espace est illustré par 
des modèles en plâtre et en fil. C'était le vœu de la Commission inter- 
ministérielle qui a préparé les programmes «le Spéciales, qu'il en fût par- 
tout ainsi. Cette pratique, dont 1 expérience a prouvé la valeur, ne saurait 
être trop recommandée. 

L ancienne classe d'Elémentaires supérieures a dé transformée l'an der- 
aier en Spéciales préparatoires. Les résultats u oui pas répondu à notre 
attente. Trop délèves, qui eussenl fait volontiers un an d'Elémentaires 
supérieures, se sont imaginés qu ils avaient intérêt à entrer d emblée dans 
\\\\v classe préparant à 1 examen, et les effectifs de la classe nouvelle ont 
été sensiblement inférieurs à ceux de la classe quelle remplaçait. Il y a là 
nue erreur contre laquelle il faut réagir : les professeurs, en maintenant 
rigoureusement à cette classe le caractère qu'elle doit avoir, et qu'ont nette- 
ment défini les instructions de l'an dernier ; les administrateurs, en démon- 
trant aux élèves et à leurs familles qu un an passé en Spéciales prépara- 
toires, à s'initier, en toute liberté, aux méthodes, aux questions générales, 
est pour tous la meilleure préparation à la classe de Spéciales proprement 
dite, à 1 esprit et aux procédés de la science, et pour beaucoup le seul 
moyen d'éviter la surcharge, le désarroi et la chute. 

Les classes de Mathématiques, anciennes Elémentaires, sont généralement 
bonnes. On y fait moins de Géométrie que par le passé, et plus d Algèbre. 
.Mais on a rompu la barrière qui autrefois y limitait l'algèbre aux équations 
du second degré. Les bons élèves sont devenus capables de traiter les pro- 
blèmes de physique conduisant à des équations du 3 e degré. Ce sont là des 
résultats satisfaisants. Mais il faut constater qu'un très grand nombre des 
élèves de cette classe, malgré leur diplôme de bachelier, n apportent pas 
un bagage suffisant de connaissances. Il faut revenir sur beaucoup trop de 
questions, reprendre presque entièrement la trigonométrie, alors qu'une 
revision devrait suffire, s'assurer que des élèves auxquels on va enseigner 
la dynamique connaissent suffisamment la cinématique. C'est aux professeurs 
des classes antérieures. Première et Seconde, qu'il appartient de réagir contre 
cet état de choses. Je compte sur leur dévouement à leurs élèves, et sur 
leur entente des intérêts de renseignement public. 

Dans les divisions de Première et de Seconde, les effectifs sont nombreux. 
Presque partout on se plaint qu'ils le soient trop. Nombre d'élèves se trom- 
pent sur leurs goûts, sur leurs aptitudes au sortir du 1 er cycle, et s enga- 
gent à la légère dans la voie scientifique, sans se douter qu ils entrent dans 
une impasse, et qu'au bout les attendent des échecs irréparables. C'est un 
courant contre lequel il est, je le sais, difficile de lutter, dans une société où 
grandit chaque jour I importance de 1 industrie. Toutefois, c est notre rôle, 
c est notre devoir, à I instant décisif des options, d'éclairer, autant que faire 
se peut, les familles sur les aptitudes de leurs enfants, et sur les chances 
de succès qui les attendent dans telle voie ou dans telle autre. 

Dans 1 ensemble, les divisions D semblent moins bonnes que les divisions. 
C. L habitude de réfléchir et de raisonner y est moins solide : on y donne 



X O TE S ET DOCV M E N T s r.\:\ 

trop à Lamémoire. Je le signale aux professeurs de ces divisions, persuadé 
(|u ils s'appliqueront à provoquer chez leurs élèves un effort personnel et 
soutenu de réflexion. 

Je noie enfln, en ce qui concerne ces classes, que des exercices d'arpen- 
lage ont été (ails avec succès dans divers lycées el collèges des départe- 
ments. La pratique est de celles qui méritent <l être généralisées. 

J'arrive aux classes du premier cycle. La lettre el l'esprit des programmes 
cl des instructions de 1905 n y sont |>as encore asses généralement observés. 
.h- prie MM. les professeurs de se reporter à ces documents, de s'en bien 
pénétrer et de redoubler d ingéniosité pi. m- les appliquer. Ce qu'on leur 
demande, ce qu'eux-mêmes avaient demandé, en lies grand nombre, est fort 
simple. De même que le premier contact de l'enfant avec les choses de 
I arithmétique se fait par 1 expérience, par le mécanisme des opérations et 
la résolution des problèmes faciles, non par le dogmatisme, la logique pure 
ei la démonstration de vérités abstraites, ou a pensé que ce même enfant, 
encore qu il fût déjà un peu plus mûr, ne pouvait s intéresser aux choses de 
la géométrie, (pie s'il les voyait sortir et se dégager peu à peu de l'étude 
des formes usuelles et de la considération des mouvements familiers. En 
provoquant ce changement de méthode, nos professeurs étaient d accord 
avec d'éminenls géomètres. Des 1765, dans la préface de ses Eléments de Géo- 
métrie, Clairaut demande que l'on n impose pas aux débutants la fatigue el 
I ennui .lune rigueur inutile. Et en 1S'i6, Jacobi écrivait : « La rigueur des 
démonstrations géométriques esl une invention «les Grecs, qui t'ait le plus 
grand honneur à 1 intelligence humaine; mais elle n esl nue nourriture con- 
venable el saine que pour les jeunes gens dont I esprit a déjà une certaine 
maturité alors seulement, la géométrie logique est, comme la grammaire, 
une véritable éducation de I intelligence. » 

Il s'agil dune de faire intervenir l'expérience dans renseignement de la 
géométrie; de ne pas jeter, de prime saut. Tentant dans le monde des 
.distraits. Certes on ne doit pas s'interdire de le soulever- un peu, mais à 
condition qu'il puisse toujours se remettre sur pied. 

C est aux professeurs à discerner suivant les questions traitées, suivant 
la force relative de leurs élèves, dans quels cas l'expérience seule suffit, 
dans quels autres il faut faire appel au raisonnement. Il n'est pas d'enseigne- 
ment plus difficile, qui exige des professeurs plus d'attention, plus d'initia- 
tive, plus d invention, et ceux qui le dédaigneraient, comme inférieur, n'en 
comprendraient ni l'utilité, ni la portée. 

Je le répète, il y faut beaucoup d'invention, et une invention qui s'adapte 
aux circonstances. Aussi les prescriptions détaillées sont-elles moins de 
mise là que partout ailleurs. Toutefois, à titre d'indication et d'exemple, 
voici comment s'explique M. l'Inspecteur d'Académie rapporteur: « Les in- 
structions recommandent de taire un appel constant, pour l'enseignement de 
début de la géométrie, à la notion fie mouvement, et, en particulier de lier 
le parallélisme à la notion expérimentale de translation, l'étude des droites 
el plans perpendiculaires à celle de rotation. Voici pour ma part comment 
je comprends les choses. Prenons par exemple la théorie des parallèles qui 
est celle dont on a le plus discuté. Je trouve excellent d'introduire celle 
notion par le glissement d'une équerre le long d'unie règle, de la rendre 
ainsi familière aux élèves, de leur eu donner le sens et la possession intime : 
mais je ne crois pas qu'il convienne de fonder sur l'idée de translation la 
définition des parallèles que l'on doit apprendre aux élèves. Plus lard, en 

L'Enseignement in.illi.'in.. 9 e année : 1907. Mi 



234 NOT K S ET DOi '(' M /.' .V T S 

effet, quand ils feront de la géométrie logique, ils fonderont l'étude de la 
translation sur la définition euclidienne de la parallèle, et il me semble très 
imprudent de mettre flans un jeune cerveau, sous la forme lapidaire d'une 
définition, une idée qu'il ne pourra conserver plus tard ». 

Sciences physiques. 

A peu près partout, cet enseignement est dans un état satisfaisant. Il '-si 
en progrès constant. Les exercices pratiques commencent à porter leurs 
fruits, et ces fruits récompensent le zèle des maîtres. L'esprit physique et 
le sens de la réalité se développent chez les élèves. Un professeur de physi- 
que en Spéciales en témoignait récemment. Ses élèves, disait-il. commencent 
à comprendre la relation qui doit exister entre la précision d'une mesure et 
le résultat numérique qui la traduit, entre une formule algébrique et la réa- 
lité : et il ajoutait qu'à cet égard il était moins avancé qu'eux lorsqu il pas- 
sait le concours d'agrégation, et que de bonne foi il donnait la mesure d'un 
indice de réfraction avec i décimales, a-lors que 2 tout au plus pouvaient 
être exactes. Ce fait encore en témoigne également. Dans tel lycée, il est 
arrivé plusieurs fois que des élèves de Mathématiques ont indiqué à leurs 
professeurs d heureuses modifications à tel détail pratique d un dispositif 
adopté. 

L'effort du personnel a été considérable: il a été fructueux. Il ne reste 
plus cà et là. dans des collèges, que quelques réfractaires qui ne peuvent 
se résoudre à changer leurs habitudes el à troubler la quiétude de leurs 
dernières années de service. 

Presque partout les installations matérielles ont été améliorées et mises 
en accord avec les nécessités nouvelles de 1 enseignement . Là où elles sont 
encore insuffisantes, MM. les proviseurs et principaux redoubleront .1 efforts 
pour y remédier. 

Le Conseil académique a entendu avec grand intérêt les observations de 
M. llnspecleur d'Académie rapporteur sur les compositions. Sans doute on 
ne saurait juger sur elles seules renseignement d un professeur. Mais elles 
sont un indice qui n'est pas à négliger. Elles montrent si les applications 
numériques sont l'objet des préoccupations des professeurs, si les problèmes 
sont judicieusement choisis, s ils sont en rapport avec la réalité des faits 
et non pas seulement avec la vraisemblance. Or plus dune fois l'examen des 
compositions de la dernière année scolaire a révélé dans I énoncé des 
questions de l'imprécision, de l'invraisemblance, parfois même de l'incor- 
rection, de sorte que la solution, logiquement correcte, aboutissait à des 
irréalités, à des impossibilités. En physique, c est déplorable. Car il importe 
avant tout de donner à l'élève le sentiment net et inébranlable qu'il est là 
dans le domaine des faits, el non dans celui des abstractions et de 1 imagi- 
nation. 

On a noté aussi la façon défectueuse dont sont posées certaines questions 
de cours. Tels professeurs n'ont pas encore pu se déshabituer d'un 1 angatje 
inharmonique avec les méthodes fondamentales de renseignement. On de- 
mande encore trop souvent aux élèves d énoncer d abord une loi, puis de la 
vérifier, alors qu elle n'est pas la conséquence d'une autre loi. C'est d établir 
la loi qu'il devait s agir dans ce cas, et lénoncé n'en devait venir sous la 
plume de l'élève que comme conclusion des expériences rapportées. 



N T E S ET DOCUMENT S 235 

Par contre, el le procédé a paru Tort bon, on a constaté que, dans certains 
lycées, le professeur demande quelquefois aux (lèves, comme questions de 
cours, de relater une manipulation qu'ils ont faite, sur un sujet de mesure 
déterminé ; — inversement de tirer d'une question de cours un sujet de 
manipulation qu ils réaliseront ensuite. Ce sont là d'excellentes choses, bien 
dans 1 esprit de l'enseignement expérimental de la physique, et qui ont cet 
effet de provoquer l'initiative des élèves. 

De ces constatations se dégagent d'eux-mêmes les conseils suivants: 

Dans les classes préparatoires aux écoles et aux baccalauréats scientifiques, 
les compositions doivent être naturellement une préparation immédiate aux 
épreuves correspondantes des concours el des examens. Par suite, en dehors 
dune question de cours, s il y a lieu, elles doivent toujours comprendre des 
problèmes du genre el de la force de ceux qui seront donnés aux élèves en 
fin <1 année. 

Les questions de cours ne doivent pas d'ailleurs être bornées, en général, 
à la simple reproduction de tel ou tel point du programme. Il y a mieux à 
faire. Il convient, par le choix et 1 énoncé des questions, d'habituer peu à peu 
les élèves depuis la classe de Première jusqu'à celle de Spéciales, à com- 
poser un sujet au sens propre du terme. Ainsi comprise, la composition de 
.sciences physiques concourt à l'éducation générale. 

Il y a mieux à faire eu un autre sens encore. Un sujet tiré purement et 
simplement du programme, el donné à reproduire sous la forme même où 
il a été enseigné, n'est le plus souvent qu'une prime à la mémoire. On pour- 
rait s'assurer que le cours a élé compris el non pas simplement retenu, en 
proposant aussi souvent que possible des questions de cours elles-mêmes, 
sous la forme d'exercices numériques. Par là l'élevé ferait la preuve qu il 
sait se servir de ce qu'il a appris : et n'est-ce pas là une des lins essentielles 
de tout enseignement ? 

Quant aux problèmes, il ne suffit pas. en général, qu ils soient de simples 
applications numériques de formules de cours. Ils doivent exiger une ana- 
lyse préalable, et pour qu'elle soit possible, être énoncés en ternies complets 
et parfaitement clairs. Il ne suffit pas qu'ils renferment toutes les données 
nécessaires à la solution. Il est indispensable que ces données soient bien 
choisies, c est-à-dire qu'elles soient conformes tout à la fois à la précision 
des mesures et à la réalité des faits connus. 

Dans les divisions littéraires et dans les classes du 1 er cycle, où Ion ne 
peut donner de problèmes proprement dits, qui exigeraient une faculté 
d'analyse étraugère aux élèves de cette catégorie et de cet âge, les applica- 
tions numériques restent importantes. 

Enfin, il importe que les compositions ne soient jamais d'une longueur 
démesurée, et que toujours, et très exactement, elles soient proportionnées 
à 1 âge des élèves, et au lemps dont ils disposent. L. Liard. 



236 .X <) 1 E S E T 1) O C UM h N T S 

Cours universitaires. 

Semestre d'été 1907. 

(Suite). 

ANGLETERRE 

Oxford; Université. Lecture List for Easter and Trinity tains. iCourse 
begins 29 April). — W. Essor : Comparison of analytic and synthetic me- 
thods in the theory of copies, 2; Informai instruction in geometry, 1. — 
E. B. Elliott : Theory of functions, 3. — A. E. H. Love : Waves and sound, 
o. — A. L. DrxoN : Calculns of variations; I. — H. T. Gerrans : Line geo- 
metry, 2. — A. E. Jolliffe : Invariants and covariants of conics, 1. — P. J. 
Kirkby : Higher plane eurves. 3. — J. W. Klsseel : Rigid dyuamics, 2. — 
E. H. Haïes: Electrostatics, 1. — R. F. McNeille : Algebra, 2. — ■ C. E. 
Haselfoot : Séries and conlinued fractions, 2. — A. L. Pedder : Spherical 
trigonometry, 1. — C. H. Sampson : Solid geometry, 2. — C. H. Thompson : 
Differential (([nations. 2. 

AUTRICHE-HONGRIE 

Agram ; Université. — Varicak : Calcul intégral, 3 ; Calcul des variations, 
3 ; Séminaire. 2. — Segen : Géométrie synthétique des sections coniques. 2 ; 
Géométrie descriptive, méthodes de projection, 2. — Ma.tcex : Géométrie 
synthétique des surfaces et des courbes du 3 e ordre. 3 ; Géométrie analyti- 
que des courbes planes, i. — Bohnicf.k : Equations algébriques, 4 ; Intro- 
duction à la théorie des nombres. 2. 

Graz : Universitàt. — Da.ntscher : Analyt. n. projekt. Géométrie der 
Ebene iFortsetzung) 5-. Uebungen im malhematischen Seminare 2. — 
Streissler : Angewandte konstruktive Géométrie, 2. — Wassmuth : Mechanik 
niclit starrer Kôrper lElastizitatstheorie. Hydrodynamik und Akustikl. 5. 
Lebungen im mathem.-physik. Seminar, 3. — Hillebrand : Praktische 
Astronomie. 3, Spharische Astronomie, II. Teil, 2 

Innsbruck ; Universitàt. — Gmeiner : Doppelintegrale, 3 ; Algebra. 2; 
Uebungen im matbem Seminare, 2. — Zindler : Ueber Differentialgleichun- 
gen, 6 ; Mathem. Seminar, 1. — Menger : Elemente der projektiven Géo- 
métrie, 2. — v. Oppoezer : Die Méthode der kleinsten Qnadrate, 1 : Die 
Dioptrik des Fernrohres, 1 : lebungen in der Messuug der Polhohe. 1. 

Prague; Deutsche Universitàt. — Pick : Differential- und Ingegralrech- 
111111^, 3 : Grimdbegriffe der Analysis, 2 : Seminar. 2. — Gki nwald : Analyt. 
Géométrie, II. 5. — Weinekt: Théorie des Aequatoreals und seiner Mikro- 
meter, '■'> : Uebungen im astronom. Beobachtcii. 2: Théorie der Sonnenfinsler- 
nisse und verwandten Erscheinungen, 1. — Oppenheim : Wahrscheinlich- 
keils- und Austrleichsrechnuug nebst Anwendung, 2. — Lippich : 1 heorie 
«les Potentials nebst Anwendungen, 3; Elementare Mechanik, 2 : Seminar. 2. 

Vienne; Universitàt. — v. Escherich : Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3. 
Bestimmte Intégrale und Variationsrecliuung, 5 : Proseminar ; Seminar. — 



BIBLIOGRAPHIE 237 

Mertf.ns : Diff.- und Integralrechnung, 5; Uebg. hierzu.g. Uebgn. i m math. 
Seminar, 2; Uebg. im math. Proseminar, g. — Wirtinger : Elliptische 
Funklionen, 5 ; Mathem. Statistik, 3 ; Mathem'. Seminar; Mathemat. Pro- 
seminar. — Konx: Synthetische Géométrie, 4 ; Uebg. ; DifFerenfialgeometrie 
I., 2. — Tauber : Versicherungsmathematik, \ ; Invaliditâtsversicherung, 2. 
— Bi.asciike : Einfùhrung in die mathemat. Statistik. II. Teil, 3. — Pli mei.y : 
Funktionentheorie, 3. — Haun : Théorie der Funktioneu einer reellen Ver- 
inderlichen, 3. — Hanni : Unendliche Doppelreiben und deren Verwendung 
in der Funktionentheorie, 2. — Weiss : Praktische Astronomie, 4. — Hep- 
perger : Astrophysik, .'> : Ueber Doppelsterne, 2. — Schram : Ueber die Zeit- 
rechnung der Inder, 1. — Herz : Die Elemente der darstellenden Géométrie 
und deren Anwendung auf das Kartenzeichnen, i. — I'key : Die Schwerever- 
teilung auf der Erde, I. 



BIBLIOGRAPHIE 



H. Andoyer. — Cours d'Astronomie. Première partie: Astronomie théori- 
que. — 1 vol. in-8. autographié 221 p. ; 9 fr. ; Librairie ilermann. Paris. 
M. Andoyer a réuni dans ce volume les notions fondamentales d'Astrono- 
mie théorique qu'il présente habituellement à ses étudiants de la Sorbonne. 
Tous ceux qui abordent l'étude de l'Astronomie trouveront dans son ouvrage 
un exposé à la lois clair, éléganl et concis qui ne fera qu augmenter leur intérêt 
pour l'Astronomie. Us ne regretteront qu'une chose: c'est que le volume 
ne soi 1 pas imprimé. 

Voici la lisle des matières traitées dans ce volume: Trigonométrie sphé- 
ri'que. — La Terre. — Coordonnées astronomiques ; Temps. — Changement 
de coordonnées. — Mouvement diurne. — Réfraction astronomique. — Paral- 
laxe. — Aberration. — Notion de Mécanique céleste. — Précession et nida- 
tion. — Positions apparentes des astres. — Mouvement du soleil. Temps. 
— Mouvement géocentrique des planètes. — Mouvement de la lune et des 
satellites. — Eclipses. 

J. Boussinesq. — Théorie analytique de la chaleur mise en harmonie avec 
la thermodynamique et avec la théorie mécanique de la lumière. Tome II : 
Refroidissement et échauffement par rayonnement ; conductibilité des 
tiges, lames et masses cristallines ; courants de convection ; théorie mé- 
canique de la lumière. — Un vol. gr. in-8°, XXXII, 625 p. : Gauthier- 
Villars, Paris. 1903. 

L'analyse, bien incomplète, du premier volume de 1 ouvrage de M. Bous- 
sinesq a occupé quelques pages du numéro de juillet 1903 de V Enseigne ment. 
Si nous voulions à présent donner une faible idée de la beauté du second 
volume et résumer seulement les questions nouvelles et importantes traitées 
par l'illustre auteur, il nous faudrait un espace bien plus grand encore ; car 
ce volume ne contient pas seulement l'élude des problèmes particuliers de 



238 BIBLIOGRAPHIE 

la théorie de la chaleur, mais aussi un exposé à peu près complet <l une 
théorie mécanique de la lumière, entièrement originale et propre à l'auteur. 
Nous avons donc deux traités de Physique mathématique où l'auteur déve- 
loppe, en grande partie, des théories qui lui appartiennent et qui s'éloignent 
des théories déjà reçues. Elles mériteraient par conséquent une longue et 
minutieuse analyse, incompatible avec les notices, nécessairement courtes, 
que doit donner cette revue d Enseignement. Aussi nous bornerons nous a faire 
connaître seulement les points essentiels de cette œuvre magistrale. 

Nous avons déjà dit que dans le premier volume M. Boussinesq à déduites 
les équations fondamentales de la théorie, et, sauf les applications à 1 armille, 
au refroidissement de la sphère, il n'a traité que des problèmes généraux. 

Le nouveau volume débute par des problèmes particuliers. 

Il y a une différence entre les deux modes de refroidissement ou d'échauf- 
fement des corps par contact ou par rayonnement. En effet, si les deux problè- 
mes sont régis par une même équation indéfinie, qu il s'agit d un état calorifi- 
que variable avec le temps ou d un état permanent; les conditions à la surface 
sont au contraire très différentes. L'auteur examine avant tout des cas où 
Ion peut réduire le problème du rayonnement à celui plus facile du contact, 
et il fait l'application de ces considérations générales à cinq problèmes par- 
ticuliers. iLeçons XXI à XXVI.) Le premier est celui du refroidissement par 
rayonnement d'un mur d'épaisseur indéfinie. L'auteur à l'aide d'une élégante 
application de 1 intégrale de Fourier démontre la formule qu avait donné 
Fourier et il en fait une intéressante application, toujours suivant Fourier, 
au refroidissement du globe. Les trois autres problèmes sont : celui de la 
dissipation de la chaleur en tous sens : celui de réchauffement, par rayon- 
nement, et relui de l 'échauffement permanent mais inégal, par le rayonne- 
ment de sources extérieures constantes (problème de Poissoni pour le cas 
d'un mur. Aient enfin le problème de réchauffement permanent d'une sphère 
par rayonnement : ou le réduit aisément au problème intérieur de Dirichlet 
lorsqu'on connaît sur la surface une relation linéaire entre les valeurs de la 
fonction et ceux de la dérivée normale. L'auteur en déduit en particulier la 
solution du second problème de Dirichlet sans la détermination préalable 
de la seconde fonction de Green. 

Après la solution et la discussion savante de ces problèmes, où, comme 
toujours, fauteur « ne fait intervenir l'analyse que dans la mesure où elle 
« semble nécessaire pour fixer 1 intuition et arriver aux résultats numé- 
« riques », on revient encore à la théorie générale; c'est-à-dire à l'échaulfe- 
menl d'un corps homogène non isotrope, ou d'une plaque de faible épaisseur 
à faces parallèles ou d'une barre mince cylindrique, par une source calo- 
rifique de débit donné et n occupant qu'une région très petite à l'intérieur 
du corps. Les expériences classiques de Senarmont sur la conductibilité des 
cristaux ont inspiré à la moitié du dernier siècle les recherches de Duhamel 
sur les corps à coulexture symétrique. En 1867 l'auteur dans sa thèse de doc- 
torat considéra le cas général; son analyse simplifiée fait l'objet des nouvelles 
leçons. En laissant de côté le cas d'un corps massif pourvu de sources calo- 
rifiques arbitrairement distribuées dans son intérieur, l'auteur cherche 
l'équation indéfinie régissant les températures moyennes le long d'une petite 
droite de la plaque, taillée suivant une orientation quelconque à l'intérieur 
d'un corps homogène. Celte équation, qui est aussi trouvée pour le cas d'une 
barre, contient les grandeurs des deux conductibilités principales ; et l'au- 
teur donne un moyen simple pour leur détermination, car il prouve que l'ellipse 



BIBLIOGRAPHIE 239 

figurative des conductibilités principales de la plaque esl l'intersection d'un 
ellipsoïde fixe avec le feuillet moyen «le la plaque. 

Par une simple transformation homographiqsue le problème de réchauffe- 
ment, dans 1rs trois ras, est réduit au même problème pour un corps iso- 
trope cl l'intégration est faite dans quelques cas particuliers. Celui d'un état 
permanent est surtout intéressant; car l'équation indéfinie du problème, aux 
dérivées ordinaires, est du second ordre à coefficients constants dans les cas 
d'un corps massif ou d'une barre et, par conséquent, immédiatement inté- 
grable. Dans le cas dune plaque l'intégration se fait par la fonction J de 
Bessel ; mais la détermination du rapport des deux constantes, afin que la 
solution soil finie à l'origine, est un problème assez difficile qui s'est pré- 
senté à Stokes dans ses recherches sur la résistance dé l'air au mouvement 
d un pendule. M. Boussinesq donne une remarquable simplification de la 
démonstration de Stokes. 

Dans les trois dernières leçons l'auteur considère les phénomènes où 
coexistent des mouvements visibles de déformation ou de vibration et le mou- 
vement calorifique. Plus particulièrement, 1 auteur cherche avant tout l'équa- 
tion indéfinie de la température pour un fluide en mouvement et à l'étal élas- 
tique, en employant les principes de la thermodynamique; c'est l'équation 
déjà trouvée par Fourier et. sous sa tonne définitive et simplifiée, par Pois- 
son. Pour ce qui regarde un milieu élastique déformé ou vibrant l'auteur 
démontre que l'équation indéfinie des températures est très sensiblement la 
même que si ses particules restaient immobiles dans leurs situations primi- 
tives mi moyennes d'équilibre. Enfin, les problèmes plus difficiles de la con~ 
vection calorifique, c est-à-dire des phénomènes produits autour d'un corps 
chaud immergé dans un fluide par des couches fluides avoisinantes, sont 
abordés dans deux cas extrêmes ; car la question en général est presque tou- 
jours rebelle à l'intégration. Le premier esl celui des courants de conveclion 
au sein d une masse fluide en repos; bien que les intégrations ne semblent 
pas possibles, certaines lois de proportionnai il e ou de similitude (pie l'auteur 
déduit des équations différentielles, donnent raison des lois de Dulong et Petit 
sur le pouvoir refroidissant des gaz. Le second cas, un peu plus simple, est 
celui où un corps chaud a sa chaleur emportée d'une manière permanente 
par un courant fluide rectiligne el uniforme indéfini en tous sens au sein 
duquel il esl immergé. L'intégration est possible dans le cas où le corps a 
la forme d'un mince plateau limité d'un côté par un bord, indéfini suivant 
les autres sens el parallèles au courant. L'extension des mêmes lois appro- 
chées au ras de tout corps a courbures modelées, montre un pouvoir re- 
froidissant en raison directe de la racine carrée de la vitesse générale du 
courant. Les résultats théoriques ont été confirmés par l'expérience. 

Après avoir ainsi achevé la théorie analytique de la chaleur, deux mé- 
moires assez longs et déjà annoncés par l'auteur, occupent la plus grande 
partie du volume. 

Nous avons dit ailleurs que dans la quatrième leçon M. Boussinesq a consi- 
déré- la résistance que les molécules des corps, regardées comme fixes, op- 
posent aux vibrations de l'éther anime par une série d'ondes; de là la néces- 
sité de considérer, en général, la résistance opposée aux petits mouvements 
d un fluide indéfini par un solide immergé dans ce fluide. C est l'objet de la 
première note. 

lui 1786 les expériences de Du Bual [Principes d'Hydraulique, tome II) 
avaient montré que la masse d'un corps en mouvement dans un milieu résis- 



240 BIBLIOGRAPHIE 

tant est plus grande que cille ;'i l'état de repos; c'est-à-dire que le corps re- 
tient une partie du fluide adhérent à la manière d'une poupe et d une proue 
fluides. Les travaux de Bessel [Astron. Nachrich. 1828i. de Baily [Phil. 
Tra/is. 1832) conûrmèreal ceux de Du Bual : Poisson [Mém. de l'Acad. des 
Sciences, I. XI), Green démontrèrent théoriquement quelques-uns des résul- 
tais de Du Buai. 

La théorie entière fui approfondie par Stokes qui a écrit un long et clas- 
sique mémoire {Mal hem. and physic. Papers, Vol. 3). M. Boussinesq a repris. 
de nouveau toute l'analyse et il a encore obtenu quelques résultats nouveaux 
par une voie simple et nouvelle. 

Quelques considérations élémentaires d hydrodynamique permettent avant 
tout d'obtenir les équations indéfinies et à la surface pour la pression i\\\ 
fluide, sans frottements, et l'expression générale de l'impulsion exercée sur 
le solide immergé par le fluide ambiant. Cette impulsion a un potentiel de- 
second degré par rapport aux accélérations relatives; on a donc à considérer 
seulement six coefficients de résistance [terne tensorielle suivant l'expression 
de M. Yoigl), et il en résulte un système d'axes principaux pour tout solide 
immergé. Le calcul de ces coefficients peuf se faire dans quelques cas parti- 
culiers; par exemple si le corps est une sphère, un cylindre de longueur 
indéfinie animé de translations connues normaux à son axe : un ellipsoïde et 
en particulier un disque ou une aiguille. Ces recherches occupent les deux 
premières parties du mémoire. 

Les deux autres niellent en compte les frottements intérieurs du fluide en 
partant des équations de Xavier. Le système d'équations indéfinies et à la 
surface auquel arrive I auteur n est pas de ceux dont on peut démontrer, en 
général. Punivocilé de la solution. M. Boussinesq par un artifice, dont il a 
fait plusieurs applications dans le second mémoire, prouve cette univocité eu 
faisant des hypothèses très générales. L'application à la sphère, la seule <>ii 
1 intégration soit possible, dans le cas d'un mouvement pendulaire fait trou- 
ver une formule de Stokes. L'auteur enfin envisage la résistance du cylindre 
circulaire dans les deux cas d'une vitesse constante et d'un mouvement pen- 
dulaire. On trouve, dans ce dernier cas. que la résistance se compose de 
deux parties dont l'une est proportionnelle à la vitesse, l'autre à l'accéléra- 
tion du fluide. 

La deuxième note, qui est divisée en neuf parties, occupe à elle seule plus 
que la moitié du volume; elle développe la théorie des ondes lumineuses 
contenue en germe dans les troisième et quatrième leçons. C'est un véritable 
traité sur la théorie mécanique de la lumière ; malheureusement nous sommes 
forcés d'en dire peu de choses. • 

Tous ceux qui connaissent les belles leçons de A'erdet sur l'optique phy- 
sique (tome V et VI de ses Œuvres — voir aussi la traduction allemande de 
Exner) auront une idée bien claire du développement historique des nom- 
breuses théories formulées pour les divers chapitres de l'optique, ayant 
pour base le principe des ondulations, et des difficultés que 1 on y rencon- 
tre encore. Kïrchhofl", par sa découverte de la formule analytique du principe 
de Huygens. a réussi à exposer d'une manière originale el uniforme la par- 
tie générale de L'optique. Les difficultés, bien graves, interviennent lors- 
qu'on a a considérer les mouvements de l'éther dans un milieu ou isotrope 
ou birif ringent. Il suffit île se rappeler les hypothèses de Hebnholtz pour 
l'explication de la dispersion anomale; la recherche encore imparfaite des 
conditions à la surface dans la théorie delà réflexion ei de la réfraction ; clc. 



BIBLIOGRA P II I F. i\\ 

Les idées de Boussinesq sur- celle partie de la Physique mathématique 
dalent île 1867 : bien qu'elles aient élé acceptées par de Saint-Venant et par 
plusieurs savants, surtout en Allemagne, elles u oui pas eu la diffusion qu'elles 
méritaient. L'auteur est revenu Lien tard sur ces idées ; leur développement, 
mis en harmonie avec ces dernières découvertes, est l'objet de celte seconde 
note. 

L'idée maîtresse de l'auteur est l'identité réelle de l'éther des corps à 
l'éther du vide et l'accroissement apparent de sa densité parla résistance des 
molécules des corps. Les lois trouvées dans la première note assurent alors 
que les résistances totales, suivant les axes, opposées par la molécule à l'éther 
sont des fonctions linéaires des composantes de l'accélération avec six coeffi- 
cients, comme pour un fluide. Des formules relatives à nue molécule on 
trouve simplement, par voie de sommation, les trois composantes de la ré- 
sistance totale opposée par la matière pondérable au mouvement de l'unité 
de volume de l'éther; alors la théorie classique de l'élasticité permet d'écrire 
aussitôt les trois équations approchées aux dérivées partielles régissant le 
mouvement vibratoire lumineux. Ces trois équations expriment «pie si Ç, ij, Ç 
sont les trois com posa n les du déplacement . la dilatation cubique, 

etc. sont des fonctions linéaires, avec six coefficients distincts, des dérivées 
secondes de £, ij, Ç, par rapport an temps. Ces équations, que nous nomme- 
rons équations fondamentales, sont la base de loute la théorie mécanique. 

Pour vérifier si elles suffisent à l'explication des faits, l'auteur cherche 
avant tout de fixer les idées sur la constitution d'un pinceau de lumière dans 
un milieu quelconque, en éludiaut, dans toute étendue restreinte, la propa- 
gation par ondes planes dans le cas des vibrations polarisées réel il ignement . 
Voici les résultats de l'analyse de l'auteur, en s'arrêlanl à une première ap- 
proximation I Les vibrations ne sont pas transversales (comprises dans les 
plans des ondes). '1 La relation entre la direction des ondes et leur vitesse 
de propagation esl la même que dans la théorie de Fresnel. 3 L'orientation 
de la vibration de Boussinesq et de celle de Fresnel (rigoureuse ni trans- 
versale soûl dans un même plan mené suivant la normale à l'onde. '». La 
surface «fonde esl la même que dans la théorie de Fresnel. 5. La direction 
des vibrations est normale au rayon. 

Dans une seconde approximation, l'auteur lient compte de la lente varia- 
tion des déplacements aux divers points d'une même onde, en augmentant 
les déplacements de petites fonctions. Alors, d'une manière toute différente 
que celle suivie par Kirchhoff. on peut réussir à la définition d'un rayon lu- 
mineux ; on peut prouver en effet que le sens suivant lequel le mouvement 
de l'onde plane se propage sans variation sensible esl le sens même du 
rayon aboutissant au point de contact de celte onde avec l'enveloppe de 
toutes celles qui seraient parties en même temps qu'elle de l'origine, mais 
dans d'autres directions. De manière que, suivant l'auteur. « l'hypothèse des 
vibrai ions rectilignes inévitable et féconde à une première approximation 
doit être laissée de côté à une approximation plus haute». Cetle théorie de 
M. Boussinesq est très profonde ; mais elle lui fait défaut, il faut le recon- 
naître, loute l'élégance de la théorie de Kirchhoff {Mathem. Opti/, — 12, 13 
Vprles] : mais cela esl toujours inévitable lorsqu'on pousse au loin les ap- 
proximations. 



242 BIBLIOGRAPHIE 

Après avoir reconnu que ses équations paraissent propres à représenter 

la propagation de la lumière dans un corps homogène, 1 auteur vent voir si 
elles réussiront aussi bien à exprimer ce qui se passe à la surface de sépa- 
ration de deux corps homogènes distincts. C est, comme on le voit, le pro- 
blème .de la réflexion ou de la réfraction 3 me partie). Il est bien connu que 
toute la difficulté de la théorie consiste dans la recherche des conditions à la 
surface séparative. L'hypothèse, commune aux autres problèmes de l'élasti- 
cité, de l'égalité des pressions supporters par les deux faces de la couche 
de transition n'est plus vraie. L'auteur se rapproche ici aux idées de Caucliy, 
et il démontre que sur la surface de séparation la rotation moyenne des par- 
ticules icoudition de Caucliy) et leur déplacement tangentiel (condition «le 
Fresnel) sont les mêmes par la grandeur et la direction, dans deux milieux 
contigus, en tous les points de leur surface limite. Ces quatre conditions 
définies, ne sont au fond qu'une simplification des équations indéfinies des 
mouvements vibratoires de l'éther, considérées à l'intérieur des couches de 
transition. Ces conditions et les équations indéfinies fondamentales suffisent 
pour trouver les lois de Fresnel pour la réflexion et réfraction vitreuse ; pour 
expliquer, en suivant M. Potier, les particularités qu elle présente aux envi- 
rons de l'angle de polarisation ; pour la réflexion cristalline, métallique, etc. 
L'auteur applique sa théorie à 1 explication simple de l'entraînement des 
ondes, et à la généralisation de quelques-unes des propriétés précédentes 
aux milieux non symétriques. 

Avant achevé l'étude des phénomènes lumineux dans une première approxi- 
mation, l'auteur passe à étudier des particularités plus délicates, et en pre- 
mière ligne il considère le phénomène de la dispersion. Sa théorie, on le 
sait, a été acceptée et en partie modifiée par Sellmeier et par Helmholtz. 

L'ensemble des molécules pondérables exerce «les actions, à des distances 
relativement grandes, sur l'unité de niasse d'une particule d'éther. Ces ac- 
tions admettent un potentiel de second degré par rapport aux composantes 
de déplacement. Alors, dans le cas d'une lumière simple ou d'un mouvement 
pendulaire, rien ne sera changé aux lois du mouvement ; mais les divers 
coefficients spécifiques exprimant les propriétés d'un même corps varieront 
un peu et, en général, inégalement avec la période ou la longueur d'onde. 
L étude de la dispersiou dans les corps en repos ou eu mouvement, au 
moyen des équations fondamentales, conduit tout île suite à la formule de 
Cauchy. La participation sensible de la matière pondérable au mouvement 
est ensuite la base de l'explication de la dispersion anomale, surtout au 
voisinage des raies d'absorption. La résistance spéciale de certaines molé- 
cules donne l'explication de la polarisation rotatoire, etc. .Mais nous ne pou- 
vons pas nous arrêter à toutes les particularités de cet immense ouvrage ; 
nous n insistons guère sur les septième et huitième parties qui traitent de la 
propagation d'un pinceau de lumière dans un milieu hétérogène, du principe 
de Fermât, de la double réfraction elliptique, de la polarisation rotatoire 
magnétique, etc. 

La transmission des mouvements non pendulaires dans les cas les plus 
simples de non homogénéité de leurs équations différentielles est l'objet 
de la neuvième et dernière partie de ce long traité. Les déplacements, dans 
le cas de propagation de mouvement dans l'éther d'un corps homogène et 
isotrope-symétrique, absorbant ou dispersif des longues radiations, dans 
1 hypothèse que la dilatation cubique soit nulle, satisfont à trois équations 
de même forme qu'on peut réduire à deux formes seulement, exprimant 



BIBLIOGRAPHIE 243 

que Aa de la fonction inconnue est une fonction linéaire de la même fonc- 
tion et de la dérivée seconde par rapport au temps ; ou bien une fonction 
linéaire de sa dérivée première et seconde. Initialement on donne la valeur 
de la fonction et de sa dérivée en tout point du corps. L'auteur fait une 
élude approfondie de ces équations, dont il démontre lunivocilé de la so- 
lution par une méthode simple et originale : et il en tire les conséquences 
les plus intéressantes ; par exemple la propagation uniforme du front de 
1 onde, le calcul (Hugoniot) de la vitesse de propagation, etc. 

Le mémoire contient encore une dixième partie où l'auteur a réuni une 
foule de compléments sur divers points de la théorie qu'il a exposée. 

.M. Boussinesq dans la préface au volume dont nous avons cherché de 
faire ressortir l'importance el l'originalité, observe, très justement, que 
«les questions y sont présentées autant que possible d'une manière concrète, 
à la fois géométrique el physique ». C'est cela précisément, comme nous 
avons déjà écrit, un des traits les plus caractéristiques de cette œuvre pro- 
fonde, qui est digne du pays qui a vu naître les œuvres de Fourier et de 
Poisson. R. Marcolongo (Messine). 

E. C/ii.ii;. -- Vorlesungen liber Differential- u. Integralrechnung. II, 

mil 87 Fig. ; zweile, sorgfaltig durchsehene Auflage. — 1 vol. relié, in-8° 

532 p. ; 12 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

La première édition des Leçons de Calcul différentiel et intégral a eu un 
succès qui ne peut surprendre ceux qui connaissent le talent d'exposition de 
l'auteur et le soin qu'il apporte à ses ouvrages. 

Elles constituent un excellent cours accompagné de nombreux exemples 
et problèmes dans lesquels il est tenu compte des besoins des mathémati- 
ques appliquées à la mécanique et à la physique. 

Rappelons que le tome II comprend les hases du calcul intégral, les pro- 
priétés et les applications des intégrales indéfinies, des intégrales définies, 
des équations différentielles et du calcul des variations. 

E. Desportes. — Eléments de Géométrie descriptive, nouvelle édition 
entièrement refondue, conforme aux programmes officiels du 27 juillet 1905; 
classe de première C et D, et de mathématiques A, B. — 1 vol. gr. in-8°, 
332 p. ; \ fr. ; Arin. Colin, Paris. 

On sait que les nouveaux programmes français sont caractérisés par 
l'importance justement rendue à la Géométrie calée ; il est prescrit de com- 
mencer 1 élude de la Géométrie descriptive par celle des projections cotées. 
L auteur a adopté celte marche, et il consacre d'abord un premier chapitre 
à la Géométrie cotée en ayant constamment recours au calcul numérique. 

Un cours élémentaire de Géométrie descriptive doit nécessairement se 
rattacher directement à la Géométrie de 1 espace. L'auteur en tient compte 
le plus possible en donnant pour chaque problème élémentaire, une mé- 
thode générale de solution fondée sur la conservation directe des figures de 
l'espace. C'est là un principe qu'on ne saurait assez inculquer aux élèves 
afin de les habituer à voir et à chercher dans l'espace. 

Pour donner une idée de l'étendue des matières traitées à ceux qui ne 
connaissent pas les programmes français, nous ajouterons que l'ouvrage 
comprend l'ensemble des éléments de Géométrie descriptive concernant la 
droite, le plan, les prismes et les pyramides, les sections planes et les 
développements des polyèdres et des surlaces courbes, la sphère et les pro- 
blèmes concernant les ombres. 



24 \ BIBLIOGRAPHIE 

A. Guillemin. — Tableaux logarithmiques A et B équivalant à des tables 
de logarithmes à (5 et à 9 décimales, avec notice explicative donnant la 
théorie et le mode d'emploi îles tableaux. — 1 vol. in-8. i fr. Félix Alcan, 
éditeur, Paris. 

Le premier intérêt, intérêt matériel mais incontestable, qu'offre ce tra- 
vail, est la faible dimension et la clarté précise des tableaux dans lesquels, 
grâce à une ingénieuse disposition, il a t'ait rentrer tous les éléments de 
calcul des tables de 6 et de 9 décimales, éléments qui. jusqu'à présent, tai- 
saient l'objet d'études volumineuses et compliquées. 

Le second point important de ce petit livre est que son emploi n'entraîne 
pas aux longues opérations de calcul nécessitées par les tables ordinaires ; 
l'on n'a plus besoin, pour compléter les éléments de logarithmes destinés à 
être additionnés, de se livrer à des multiplications sur leurs différences 
tabulaires. Les interpolations de nouveaux termes entre deux consécutifs de 
tables se réduisent à des additions. 

Plus de clarté, moius de travail matériel, moins de causes d'erreurs, tels 
sont les avantages que présentent ces nouveaux tableaux logarithmiques qui 
seront sans doute bien accueilli de tous ceux qui ont à s'occuper de calculs 
logarithmiques. 

.1. Hf.mpel. — Schattenkonstruktionen fur den Gebrauch an Baugewerk- 
schulen, Gewerbeschulen, sowie zum Selbstunterricht. Mit 51 Textfiguren 
und 20 Tal'eln praktischer Beispiele in Lichtdruck. — 1 vol. cart. in-8°, 
[Y-60 p. ; 5 Mk. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Lorsqu un élève passe pour la première lois de la Géométrie descriptive 
pure aux applications techniques, il éprouve toujours quelque peine à 
dessiner correctement les objets qu'il veut représenter. Habitué à utiliser 
des plans de projections bien définis, une ligne de terre donnée, des plans 
et des droites dont les traces sont connues, il est dérouté par l'absence de 
ces éléments ou par leur connaissance incomplète. 

Cette difficulté n'est pas bien grande lorsqu'il s'agit de dessin de machines 
ou de construction civile, mais elle est très sérieuse dans le dessin d'archi- 
tecture. Dans ce cas il est important, en effet, de se rendre compte de l'effet 
esthétique des objets représentés, ce qui nécessite le tracé des ombres ; or 
ce tracé est souvent compliqué et exige des dessinateurs une élude attentive. 

L'auteur du présent ouvrage, professeur à la c Baugevverkschule » de 
Hambourg a eu l'occasion de voir combien la difficulté était sérieuse : il 
nous y rend attentif dans sa préface comme suit : 

n La plupart des problèmes sur les intersections, présentés dans les 
manuels de géométrie descriptive, doivent être considérés comme des exer- 
cices préparatoires pour les constructions compliquées d'ombres. Mal- 
heureusement la plupart des élèves ne s'en rendent pas compte. Du reste 
pour trouver les méthodes convenant à une construction exacte, il est île 
toute nécessité d'arriver à se représenter clairement les objets dans 1 espace. 
Si l'élève ne fait qu'appliquer mécaniquement des procédés connus, il ne 
sera pas capable d'obtenir la solution la plus convenable (c est-à-dire la plus 
simple et la plus juste) pour son épure 

Le sentiment instinctif el sur, résultant de la claire représentation de 
l'espace conduira plus rapidement au bul que toute règle mathématique 
appliquée machinalement. » 



BIBLIOGRAPHIE 245 

L'ouvrage comprend vingl planches el un texte explicatif précédé d'un 
chapitre d'introduction résumant quelques propriétés essentielles de la 
théorie «les projections. 

Ces planches sont toutes consacrées à «les applications ; mais celles-ci 
sont groupées d'une façon graduée. On passe ainsi en revue l'étude des 
ombres des corps suivants : 

Corps prismatiques (Contreforts, corniches, escalier, cheminées) ; cylindri- 
ques (Base, rosaces, moulures, clochetons, arcade) ; pyramidaux (clochers, 
obélisque) ; coniques (clochers, toits de tourelles, piliers) ; sphériques (mo- 
tifs ornementaux divers); de révolution (colonnettes. chapiteau, pendentifs, 
moulures). Les dernières planches sont réservées à des éludes de perspec- 
tive avec ombres, ainsi qu'à des exemples où les rayons lumineux ne sont 
pas inclinés à 45°. 

Dans toutes les épures l'auteur a adopté un système de hachures en deux 
intensités, distinguant seulement l'ombre propre de l'ombre portée, cette 
dernière étanl naturellement la plus foncée L'effet produit est très satisfai- 
sant el donne bien l'illusion du relief Les figures et les planches sont très 
claires et leur exécution irréprochable. 

Paul Ad. Mercier (Genève). 

Lk.nst Mach. — Space and Geometry in the lighl of physiological, psycho- 
logical and physical inquiry, from Germai) by Th. M' Cormack. — 1 vol. 
de 148 p.; The open Court publishing Company; Chicago. 

Les trois essais qui composent ce volume ont paru dans The Monisl en 
avril 1901, juillet 1902 et octobre 1903 et ont été, en grande partie, incor- 
porés dans un ouvrage récemment publié en allemand par l'auteur sous le 
titre : Erkentniss und Irrthum: Skizzen zur Psychologie der Forschung. 

Leur objet consiste dans une application à la Géométrie de la théorie 
subjectiviste (ou idéaliste) de la Connaissance; mais, tandis que cette théorie 
sous la forme purement intellectualiste, qu'elle affecte généralement, échappe 
assez facilement à la critique positive par son absence totale de significa- 
tion, c'est dans la physiologie humaine que M. Mach o'hésite pas à chercher 
la raison d'être des conceptions géométriques. 

On commence par étudier un « espace physiologique, distinct de l'espace 
géométrique » (c'est le titre <lu premier article), et qui comprend bien d'au- 
tres « espaces», tels qu'un espace visuel, un espace tactile, etc., s'accordanl 
tous plus ou moins défectueusement entr eux el avec 1' «espace géométri- 
que » (on ne serait pas fâché de connaître, dans ces conditions, la nature des 
éléments constitutifs de ce dernier espace). L'auteur omet d'ailleurs d'éluci- 
der ce qu'il entend par « espace ». 

Les corps sont des « complexes de sensations» (en quoi se distinguent- ils 
alors des apparences produites par l'hallucination ?); quant aux trois dimen- 
sions, elles sont dues à l'existence, chez les vertébrés, de trois directions 
- cardinales». La subjectivité de la Connaissance fait l'objet des affirma- 
lions les plus hardies : « sans sensations de chaleur, pas de théorie de la 
chaleur » (l'existence des machines à vapeur conditionnée par la sensibilité 
de la peau humaine!); «sans sensations d'espace, pas de géométrie » (comme 
si les qualités locales des corps correspondaient à des sensations spéciales); 
< le caractère de notre activité est déterminé en accord avec la place des 
corps o lit est dit pourtant par ailleurs que cette place n'est qu'une a moda- 



246 BIBLIOGRA PHIE 

lilé de l'activité du sujet », alors ?). Tout cela esl hors d-j bou sens et ne 
résiste pas à la plus superficielle confrontation avec un fait déterminé. 

L'ouvrage contient aussi un exposé de la théorie générale des parallèles 
et se termine par un sommaire réunissant les résultats que l'on a voulu 
faire ressortir, mais qui. ainsi résumés, ne nous ont pas paru plus clairs. 

G. Combebiac (Bourges). 

H. Mandakt. — Cours de Géométrie analytique à deux dimensions (section 
conique). — 1 vol. in-8°, 574 p.: prix: 1U fr. ; Wesniœl-Charlier, Namur. 

Cet ouvrage contient les matières que Ion trouve habituellement dans les 
traités classiques de Géométrie analytique. Il n y a donc pas lieu d'en pré- 
senter une analyse détaillée. Voici les grandes divisions de l'Ouvrage : 

I Du point, de la droite et du cercle (p. I à 124). — II Lignes du deu- 
xième degré fp. 125-2711. — III Théorie générale des coniques (p. 272-413). 
— IV Coordonnées trilinéaires homogènes (p. 4 14-57 j 

Quant à 1 exposé lui-même, il est très bien ordonné et il se recommande 
par sa clarté. Nous attirons tout particulièrement l'attention des professeurs 
sur la manière simple dont l'auteur introduit et utilise les invariants. 

H. .Mandakt. — Cours de Trigonométrie rectiligne et sphérique à l'usage de 
l'enseignement moyen. — 1 vol. in-8°, 194 p.: \Vesma?l-Charlier. Namur. 

Ces mêmes qualités de clarté se retrouvent dans ce Cours de Trigono- 
métrie que l'auteur a cherché à présenter d une manière aussi simple que 
possible. D'importantes simplifications se rencontrent dans 1 étude des 
fonctions trigonométriques réduite à peu près uniquement à celle des sinus 
et de cosinus. La méthode suivie par I auteur est personnelle: elle mérite 
d être examinée et discutée par ceux qui enseignent cette branche. 

E. IL Niewenglowski. — Les Mathématiques et la Médecine. — 1 fasc. 
in-8°. 70 p. ; 2 fr. ; Libraire Desforges. Paris 

L'auteur s est demandé dans quelle mesure ou peut appliquer aujourd hui 
les mathématiques aux sciences biologiques. Cette application ne peut être 
rationnelle et utile que si l'on parvient à éclaircir uue question et si 1 ou 
obtient uue formule dont on peut effectivement calculer des valeurs numéri- 
ques. L auteur donne d'intéressants exemples de lapplication de la mécanique 
et des théories de l'élasticité à la physiologie, ainsi que des exemples qui 
montrent le parti que l'on peut tirer des analogies mathématiques. 

Dans l'état actuel de la science, dit l'auteur, l'application directe des mathé- 
matiques aux phénomènes biologiques repose souvent sur de grandes illu- 
sions ils dépendent d'un trop grand nombre de variables et les données indis- 
pensables à la mise en équation sont trop peu connues. Mais il estime que 
les progrès des sciences médicales étant intimement liés aux progrès des 
applications des mathématiques aux sciences biologiques, il serait désirable 
de renforcer la préparation mathématique des étudiants en médecine. 

F. PiETZKER. — Lehrgang der Elementar-Mathematik. /. Unterstufe. — 

1 vol. iu-8°, relié'. )!ls p., .'i M. 20; Teubner, Leipzig. 

Le premier volume de cet ouvrage est destiné aux élèves des classes in- 
férieures et moyennes des gymnases prussiens. L'auteur, en nous le présen- 
tant, a voulu tenir compte, autant que le permettent les programmes officiels. 



BIBLIOGRAPHIE 247 

du vit courant qui se produit on Allemagne en faveur (rime réforme de l'en- 
seignement îles mathématiques élémentaires ; eouranl i|iii a nnlaninienl trouvé 
un sérieux appui auprès de la « Soeiété allemande dis Naturalistes et des 
.Médecins », dont les conclusions d'une commission spéciale, nommée à cet 
effet, oui éle approuvées dans son récent congrès de Méran. La méthode 
d enseignement, selon ces conclusions, ne doit pas contribuer à i »oler les 
mathématiques des sciences expérimentales, mais au contraire elle doit, en 
connexion intime avec ces dernières, leur emprunter tout ce qui peut faciliter 
la compréhension naturelle et instinctive de l'enfant . ; il faut aulanl que pos- 
sible laisser de côté dans l'enseignement élémentaire ce qui semble « truc», 
aux yeux des élèves. 11 est alors certain que les progrès seront plus marqués 
el que les mathématiques rempliront dans la culture du jeune homme le rôle 
important qu'on est en droit d'attendre de cette science. 

Lue sorte de liaison entre ces différents domaines est précisément fournie 
par la «notion de fonction», c'est pourquoi L'auteur ne manque pas, déjà 
dans ce premier livre, toutes les fois que le sujet s'y prête, de familiariser 
l'élève avec cette importante notion. Dans la partie du livre consacrée à la 
Géométrie. 1 auteur s'est également inspiré des mêmes principes ; c'est ainsi 
qu il n a pas cru devoir conserver la définition euclidienne du parallélisme 
de deux droites ; pour lui. deux droites sont dites parallèles quand elles ont 
même direction. L'ordre habituel des matières est aussi modifié; .M. Pietzker 
traite, par exemple, des logarithmes immédiatement après les puissances el 
avant de passer à la résolution des équations. Ce livre intéressant par plus d'un 
côté ne peut manquer d'être très apprécié des maîtres chargés de renseigne- 
ment des mathématiques élémentaires. Ajoutons qu'un appendice comporte 
encore les premières notions de trigonométrie, de la théorie des projections 
et delà représentation graphique De nombreux exercices accompagnent les 
différentes matières traitées, sauf en ce qui concerne l'algèbre, I auteur nous 
renvoyant pour cette partie à sa nouvelle édition des exercices de Bardey, 
faite en collaboration avec M. Presler. G. Bertrand (Genève). 

Ed. Schulze et F. Pahl. — Mathematische Aufgaben. — Ausgabe fin- Gym- 
nasieu. Il Teil. Aufgaben fur die Oberstufe (Obersekunda und Prima). 1 vol. 
in-8°, VIII, 284 p , 3 M. 40; Dûrr, Leipzig. 

Nous avons déjà annoncé la Première Partie de cet ouvrage dans le pré- 
cèdent tome (1906, p. 326). La Deuxième Partie, parue depuis, est franche- 
ment conforme aux idées de réforme de renseignement mathématique et ne 
craint pas d'exposer des exercices sur la représentation graphique des fonc- 
tions, (p. 106-119, 90 problèmes) el d'introduire la notion de quotient diffé- 
rentiel. Des applications des Mathématiques à la Physique, l'Astronomie cl 
d autres sciences y sont exposées clairement par un choix de nombreux 
problèmes. 

Ainsi, à la Physique seulement, sont consacrés 214 problèmes, à la 
connaissance mathématique de la terre et du ciel 25, à la Navigation 12, a 
l'Arpentage 12, à l'Astronomie 12, sans compter que plusieurs numéraux 
contiennent chaque fois 6 à 7 exemples particuliers. Quelques chapitres 
(sur les progressions arithmétiques d'ordre supérieur, les séries infinies, 
les équations du 3 me degré et autres) dépassent le champ du gymnase, il 
serait regrellable cependant de les laisser de côté. 

On ne peut que louer le fait que les angles ne sont donnés qu'aux dixiè- 
mes de minutes près. De nombreuses notes au bas des pages facilitent 



248 11 I II LIO G II APHIE 

à 1 élève I exécution du calcul par des renvois à ce qui ;i été appris précé- 
demment ou aux chapitres de Physique donl il esl question (p. 87, 129, 162- 

L67) ; elles présentent parfois également d'intéressantes remarques histori- 
ques. L impression du livre, faite sur bon papier, esl claire et facile à lire. 

Le volume est en outre pourvu d'une très bonne reliure. 

Ernsl Km i i i: | Vienne). 

H. A. Steris and \Y. II. Topham. — Practical Mathematics. — I vol. cari. 
in-16, 376 p. : '* s. 6 d. ; George Bell and Sons. London. 

Dans cet ouvrage les ailleurs ont réunis les principales méthodes gra- 
phiques et expérimentales qui interviennent dans les applications courantes 
des mathématiques. Ils s'adressent aux élèves des écoles techniques élémen- 
taires el des écoles militaires. 

Après avoir examiné successivement les méthodes et les instruments des- 
tinés aux mesures de longueurs, d angles, de surfaces, de volumes et de 
poids spécifiques, ils exposent brièvement les procédés graphiques concer- 
nant les vecteurs et quelques applications en statique graphique et en 
mécanique. Puis viennent les notions de force, vitesse, accélération, travail 
il énergie et toute une série d'intéressantes applications très variées. 

I n grand nombre d exercices numériques viennent accompagner 1rs prin- 
cipaux paragraphes. Nous recommandons cel ouvrage à tous ceux qui ensei- 
gnent les mathématiques appliquées. 

M. Stuyvaekt. — Les nombres positifs : Exposé des théories modernes de 

I Arithmétique élémentaire. — 1 vol. in-8°, 133 p. : 3 fr. Van (ioelhem. 
Gand. 

Cet ouvrage s'adresse particulièrement aux classes supérieures de la sec- 
tion scientifique d une école moyenne ; c'esl une revision bien coordonnéeet 
approfondie de l'Arithmétique élémentaire. L'auteur a senti une lacune entre 
1 enseignement moyen plus ou moins intuitif el le cours universitaire sur la 
théorie des nombres. 

Partant de la notion de nombre entier cardinal (collection d'objets) 1 au- 
teur en déduit, par une voie purement logique, les théorèmes relatifs aux 
quatre opérations, en admettant toutefois comme postulat l'invariance du 
nombre ou (ce qui revient au même) la propriété commutative de l'addition. 

Le I er chapitre renferme en outre les théories élémentaires de la divisi- 
bilité, du plus grand commun diviseur, dû inoindre multiple, des nombres 
premiers avec les théorèmes de Fermai et de Wilson ; il se termine par une 
théorie générale des caractères de divisibilité d'un nombre écrit dans un 
système à base quelconque. 

La première extension de la notion de nombre naturel devrait être logi- 
quement le nombre négatif. Le titre du volume indique que M. Sluyvaert 
n'eu parle pas ; il est d'usage, en Belgique et en France, de n'étudier les 
nombres négatifs que dans le cours d'Algèbre. Cependant, dans une répéti- 
tion systématique des éléments, il serait bon d'insister sur le principe de 
permanence, comme le font par exemple les auteurs de l'Encyclopédie des 
sciences mathématiques. 

Les chapitres II et III sont consacrés aux nombres fractionnaires et in- 
commensurables. 

L'égalité de 2 fractions ■ — et — r ,sl définie par l'égalité ad = bc ; pour 
h d l * 



BIBLIOGRAPHIE 249 

justifier celle convention 1 auteur montre 1° qu'elle contient comme cas par- 
ticulier l'égalité des nombres entiers ; 2° que deux fractions égales à une 
troisième sont égales entre elles. Les fractions décimales sont considérées 
comme des cas particuliers des fractions ordinaires et la conversion des 
fractions est exposée sans recourir à la notion de limite. 

Quant aux nombres incommensurables, la théorie est basée sur l'idée de 
coupure, de M. Dedekind ; quelques théorèmes sur les limites onl trouvé 
leur place dans le même chapitre qui se termine par des notions sur les 
erreurs et*les opérations abrégées. 

Enfin dans un dernier chapitre sur « La mesure des grandeurs», l'auteur 
établit une correspondance entre les nombres et les rapports des gran- 
deurs ; il montre en particulier dans quel cas cette correspondance réalise 
la proportionnalité. 

L. Kollros (Chaux-de-Fonds). 

H. Vo(;t. — Eléments de mathématiques supérieures à l'usage des physi- 
ciens, chimistes et ingénieurs et des élèves des Facultés des sciences. 
't e édition, très augmentée et entièrement refondue. — I vol. gr. in-8°, 
710 p.. 12 fr. : Vuibert el Nony, Paris. 

Ces Eléments de mathématiques supérieures s'adressent aux jeunes gens 
qui désirent compléter leurs éludes de mathématiques élémentaires afin de 
pouvoir suivre les cours d Analyse, de mécanique, de physique, cfélectro- 
technique, de chimie physique, etc. Dès leur première édition, en mars 1901. ils 
ont rencontré un accueil très favorable auprès des professeurs et des étudiants, 
car il manquait, pour les lecteurs de langue française, un ouvrage com- 
prenant sous une forme condensée les notions fondamentales d'Algèbre, de 
Géométrie analytique el d'Analyse. L'auteur a su faire un excellent choix de 
ce qui est indispensable aux étudiants en sciences. La clarté et la concision 
de son exposé, dégagé de dislinctious trop subtiles, ont beaucoup contribué 
au succès de cet ouvrage dont les trois premières éditions ont élé enlevées 
en moins de six ans. 

Dans une nouvelle édition il serait désirable d augmenter encore le nombre 
des applications aux sciences les plus diverses, afin que l'éludiant voit de 
bonne heure comment les mathématiques interviennent dans les sciences 
appliquées. H. F. 



L'Enseignement mathém.. e année: 1907 



BULLETIN B I B L I G R A PHI U E 



1 . Sommaires des principaux périodiques : 

Acta Mathematica. dirigé par Mittag-Lepfler, T. XXX. Beijer, Stockholm. 
Faso. 3 et 4. — M. Lerch : Essais sur le calcul du nombre des classes de 
formes quadratiques binaires aux coefficients entiers. — J. Richard : Lettre 
à Monsieur le rédacteur de la Revue générale des Sciences. — T. J. 
Bromwich : On the roots of the characteristic équation of a linear substi- 
tution. — Levi Civita : Sur la résolution qualitative du problème restreint 
des trois corps. — Kômg : Sur les fondements de la théorie des ensembles 
et le problème du continu. — Faton : Séries trigonométriques et séries 
de Taylor. 

Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse. Deuxième 
série, T. VIII, 1906. E. Privât, Toulouse. Gauthier-Villars, Paris. 

Fasc. 1 à 4. — E. Remoundos : Sur les zéros d'une classe de fonctions 
transcendantes. — E. Hussox : Recherches des intégrales algébriques dans 
le mouvement d'un solide pesant autour d'un point fixe. — Bouasse et Ber- 
thiek : Déformation d'un cylindre de section rectangulaire par enroulement 
et déroulement dune hypothèse simple. — E. Golrsat : Sur les familles de 
surfaces à trajectoires orlhogouales planes. — Le Yavasselr : Les sous- 
groupes du groupe linéaire homogène à quatre variables ; sous-groupes à un 
et à deux paramètres. — Ch. Ricquier : Sur quelques principes généraux 
relatifs à la théorie des fonctions d'un nombre quelconque de variables. — 
E. Golrsat : Recherches sur \i\ théorie des caractéristiques. 

Annales de la Société scientifique de Bruxelles. — 31»" année 1906-1907. 

Louvrain. 1907. 

I e fascicule. — De Salvert : Sur l'attraction du parallélépipède ellipsoïdal 
ichap. II|. 

Annali di Matematica. — Directeurs : L. Biancht, O. Dim. G. Jung, C. 

Segre. — Série III. T. XIII Rebeschini di Turati e C, Milan. 

S. Lattes : Sur les équations fonctionnelles qui définissent une courbe ou 
une surface invariante par une transformation. — G. Togsoli : Sulle forme 
differenziali a variabili alcune dipendenti altre iudipendeuti. — G. Pavanini : 
Sopra una nuova categoria di soluzioni periodiche nel problema dei trecorpi. 



BULLETIN BI B LIO G A> A P H I Q UE 251 

— P. Calapso : lu problema sui sistemi di linee fra loro cohiugate e sulle 
relative trasformazionî di Laplace. — Luther, Pfahler, Eisenhart : Trans- 
formations of Minimal surfaces. — Walter B. Ford : Sur les équations 
linéaires aux différences finies. — Niels Nielsen : Sur la multiplication des 
séries t rigonomél riques. 

Annals of Mathematics, published under iheAuspicèsof Harvard University. 

Second Séries, vol. VIII, 1906-1907. Cambridge, Mass. E. U. 

N° 1 (Octobre, 1906). — Huntington : The Fundamental Laws of Addition 
and Multiplication in Elementary Algebra. — Porter : On a criterion of 
Pringsheim's for Expansibility in Taylor's Séries. - Carmich.îîi. : Multiply 
Perfect Numbers of Three Différent Primes. 

N° 2 (Janvier, 1907). — Moore : Cercles orthogonal to a Given sphère. — 
P. Saurel : On Functional Déterminants. — E. B. Wilson : Involutary 
Transformations in Projective Group and ils subgroups. — Brenke : On the 
Convergence and differentiation of Trigonométrie Séries. — A. Hvrwitz: 
Note on the Définition of an Abelian Group by Indépendant Postulate 

Archiv der Mathematik und Physik. herausgegeben von E. Lampe, W. 

Meyer, E. Jaii.nkk. 17. Band. B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin. 

>"os i ,.| 9. — G. Berkhan : Zur projektivischen Behandlung der Dreiecks- 
geometrie. — Edm. Landal : Ûber einige Ungleichheitsbeziehungen in der 
Théorie drr analytischen Funktionen. — M. Krause : Zur Théorie des Inte- 
grallogarithmus. — M. Lerch : Bemerknngen ùber eine Formel ans der 
Théorie der unvollstandigen Gammafunktion und des Integrallogarithmus. 

— E. Eckiiardt : Analvtisch-geometrische Ableitung der Realitatsbedingun- 
gen fur die Wurzeln der Gleichungen vierten Grades. — P. Kokott : Das 
Abrollen von Kurven bei geradliniger Bewegung eines Punktes. — Gomes 
Teixeira : Sur deux manières de construire les spiriques de Perseus. — 
St. Jolles : Eine einfache synthetische Ableitung der Grundeigenschaften 
eines Biischels polarer Felder. — G. A. Mn.i kr : The groups in which every 
subgroup of composite order is invariant. — Eugen Meyer: Uber Bùschel 
kubischer Raumkurven. — K. Petr : Ûber die Anzahl der Darstellungen ei- 
ii.i- Zahl als Summe von zehn und zwôlf Quadraten. - Ernst Steixitz : Ûber 
die Eulerschen Polyederrelationen. — Rezensionen. 

Bibliotheca mathematica. Zeitschr. f. Geschichte der mathem. Wissenchaf- 
ten, herausgegeben von G. Enestrôm. 3. Folge, Band 7, Teubner, Leipzig. 
N os 1 et 2. — G. Enestrôm : Die Geschichte der Mathematik als Bestand- 
teil der Geschichte der Wissenchaften. — H. Vogt : Haben die alleu Inder 
dèn Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale hekannt? — G. Enestrôm : 
Uber die ..Demonstratio Jordani de algorismo". — G. Enestrôm : Hat Tar- 
taglia seine Lôsung der kubischen Gleichung von Del Ferro enllehnt ? — 
H. Bosmans : Le ,,De arte magna" de Guillaume Gosselin. — Gino Loria : 
Per la preistoria délia teoria délie trasformazionî di contatto. — Ed. Landau: 
Euler und die Funktionalgleichung der Riemanschen Zetafunktion. — H. 
Suter : Ûber das Rechenbuch des Ali ben Ahmed el-Nasawî. — K. Hun- 
rath : Albrecht Dùrers annahernde Dreiteilung eines Kreisbogens. — G. 
Enestrôm : Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bernoulli. 

— W. Ahrens : Ein Beitrag zur Biographie C. G. J. Jacobis. — G. Enes- 
trôm : Cber Bearbeitung von Bandregislern zu mathemalischen Zeitschriften 
oder SammeKverken. 



252 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Bolletino di Bibliografia e Storia délie Science matematiche publicato per 
cura di Gixo Loria. Anno IX, 1906. — C. Clausen, Torino. 

R. Marcoloxgo : Su 1 teorema délia composizione délie rotazioni istantanee, 
appunti per la storia délia meccanica ne! secolo XVIII. — R. Boxola : Il 
modello <li Beltrami di superficie a curvatura costante negativa. — Loria : 
Matematica <• matematici del Giappone. — Recenzioni ed annunzi. 

Bulletin de la Société Mathématique de France. T. XXXIV. Paris. 

Pasc. 3 et i. — Hadamard : Sur le principe de Dirichlet. — de Montcheuil : 
Les anticaustiques du paraboloïde hyperbolique équilatère. — Foxtkm 
Sur l'extension à l'espace du théorème des polygones de Poncelet par des 
polyèdres de genre un. — Rudzki : Notes sur la chute des corps pesants. — 
Petrovitch : Sur certaines transcendantes entières. — Rem y : Sur quelques 
théorèmes de Géométrie plane liés à la surface de Kummer. — Saxii îlevici : 
Remarques sur certaines équations linéaires aux dérivées partielles. — Com- 
bebiac : Remarques sur la question des principes de VAnalysis situa. — 
Rémouxdos : Sur la représentation uniforme des courbes transcendantes. — 
Automne : Sur les polynômes à coefficients ~et à variable hypercomplexes. — 
Maillet: Sur les nombres transcendants dont le développement en fraction 
continue est quasi-périodique et sur les nombres de Liouville. — Combebim. : 
Sur les représentations numériques des ensembles. — Vessiot: Sur l'inter- 
prétation mécanique des transformations de contact infinitésimales. — Vos 
Koch : Remarques sur quelques séries de polynômes 

Bulletin des Sciences mathématiques, rédigé par G Darbolx, E. Picard. 
J. Taxxerv. — Tome XXX. 1906. Paris. Gauthier- Villars. 

Juin-décembre 1906. — Moxtel : Sur les séries de fonctions analytiques. 
Dolbxia : Remarques sur la théorie de la transformation des fonctions ellip- 
tiques et la réduction des intégrales abéliennes. — J. Taxxery : -Manuscrits 
et papiers inédits de Galois. — Batemax : Sur I équation de Fredholm. — 
Haag : Xote sur les surfaces (BJ algébriques. — Bulletin bibliographique. — 
Revue des publications académiques et périodiques. — Comptes rendus el 
analyses 

Bulletin of the American Mathematical Society. New-York. Vol. XIII. 

N - 1 à 3 (Octobre-décembre, 1906). — L. E. Dickson : Criteria for tlie 
Irreducibïïity of Functions in a Finite Field. — L. E. Dicksox : On the 
Theoiy of Equations in a Modulai- Field. — N. J. Llxxes : Note on the Varia- 
tion of the Definite Intégral.. — - W. A. Maxxixc. : A Xote on Transitive 
Groups. — L. P. Eiskxhart : Differential Geometry of n Dimensional Space. 
— Ernest Lebox : Theory and Construction of Tables for the Rapid Déter- 
mination of the Prime Factors of a Number. — A. R. Schweitzer : On a 
Fundamental Relation in Abstract Geometry. — D. N. Lehmer : I )n 1 1 h - 
Orderly Listing of Substitutions. — E. J. \\ 'ii.czyxski : Projeclive Differen- 
tial Geometry. — Hutchixsox : On Loci the coordinates of whose Points arc 
abelian Functions of three Parameters. — Carver : Associated Configurations 
of the Cayley-Veronese Class. 

N° i à (5 i Janvier-mai--. 1907). — G. Peiri i A new Approximate Con- 
struction for 7r. — Kellogg : Note <>n conjugate Potentials. — S. A. Mili i r : 
Group- ot Order p m containing exact h p -\- 1 abelian subgroups of Order 
pin — 1. — S. F. RlCHARDSOX : Note on Systems of lu- and Circumscribed 



S V 1.1. E T I N B IBLIO G R A PHIQV E 253 

Polygons. — Manon : Selected topics in the theory of boundary value ,,,-,.- 
blems of differential équations. — Moore: Note on Fourier's constants. — 
Miller: On the minimum number of opèratorS whose orders exceed two in 
any Huile group. — Ames : Note ou the orientation of a sécant. — Carmichjel • 
On Euler's y-function. — Moore : The décomposition of modula.- Systems 
connëcted with the doubly generalized Fermât theorem. — Kasner : Systems 
ol extremals in the calculus of variations. — Mason : A necessary condition 
for an extremum of a double intégral. — Shorter notices. —Notes. 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, in Monatsheften 
herausgegeben von A. Gutzmer. B. 15, 1906 -, B.-G. Teubner, Leipzig. 
N° s ;7 à 10. (juillet-décembre", 1906).— F. v. Dalwigk : Beitràge zur Frage 
des Unterrichts in aagewandter Mathematik au der Universitàt. — G. Frege: 
Uber die Gruodlagen der Géométrie. — M. Lerch : Bemerkung ûber Funk- 
tionen des elliptischen Zylinders. — G. Kowai.kwski : Ûber einige Formeln 
derlntegralrechnung — Félix Mùller: Verzeichais altérer mathematischer 
Werke aus der im Besitz der Jacobsonschule zu Seesen befindlichen Wert- 
heimschen Bibliothek. -- J. Thomae: Gedankenlose Denker. — Hubert 
Stiek: Technische Arbeit. — H. Burkhardt : Zu den Funktionen des ellip- 
tischen Zylinders. — Gustav Ko»»: Ûber Flâchen zweiter Ordnung, welche 
einander wechselseitig stùtzen. -- L.Studv. Ûber Nicht-Euklidische und 
Limengeometrie (V— XII). — Protokoll derStUttgarterVersammlungvom 16 
bis zum 20. Seplember 1906. - Félix Mùller : Verbesserungen und Berner- 
kungen zu den Bûchertiteln der Wertheimschen Bibliothek (Bd. 15,431-434). 

— A. Schoenfl.es: Die Beziehungen der Mengenlehre zur Géométrie und 
Funktionentheorie. — P. Stackel : Ûber Potenzreihen von mehreren Veran- 
derlichen. —T. Hayashy : On Mr. Mikami's Ëssay and Prof. Harzer's Re- 
mark.— G. Frege: Antwort auf die Ferienplauderei des Herrn Thomae. — 
J. Thomae: Erklàrung. — Mitteilungen und Nachrichten. — Literarisches. 

Mathesis, Recueil mathématique publié par P. Mansiok et J. Neuberg. Série 
3. iome VI 1906. Gand, Hoste ; Paris, Gauthier- Viflars. 
Juillet-décembre 1906. —A. Demoulin : Sur quelques transformations géo- 
métriques. — Nécrologie. — A. Aubry : Sur l'emploi de la formule de Mer- 

cator. — J. Neuberg : Sur un théorème de Chasles. — St. Mîrea : Sur un 
théorème de Sylvester. — T. Hayashi : Sur un soi-disant théorème chinois. 

— H. Bosmans: Pour une histoire de la Géométrie analytique d'après Loria. 

— E. Delahaye: Sur un triangle particulier. —G. A. Verkaart : Nouvelle 
méthode pour la résolution des équations complètes du 4 e degré. 

Jahrbuch ùber die Fortschritte der Mathematik. Herausgegeben von Em. 
Lampe. Band :^5. Jahrgang 1904. — G. Reimer, Berlin. 1907. 

Hett 3. — Mechanik. — Mathem. Physik. — Geodasie, Astronomie, Météo- 
rologie. 

Monatshefte f. Mathematik u. Physik, herausgegeben von G. v. Escherich, 
F. Mertens u. W. Wirtinger. XVIII. Jahrg. 1907. Eisenstein, Wien! 
Hefte lu. 2. — Jager : Der Physiker Botzmann. Landau : Ûber die Kon- 
vergenz einiger Klassen von unendlichen Reihen am Rande des Konvergenz- 
gébietes. — Freuh : Ûber Grenzwerte von Doppelintegralen, die den 
bedingt konvergenten, einfachen Integralen ariaîog sind. — Oppenheimer : 



■2b4 BUL I. E T I N B I H I. I <) (, Il A P HIQUE 

Uber die einet ebenen Kurve dritter Ordnung am- und einbeschriebenen 
Vielecke. — Pktr : Uber die Ponceletschen Polygone. — Wieleitner : Uber 
zwei Familien von rationalen Kubiken. — Meyer, W. Franz : Uber Gebilde, 
die ans Tetraedern und Flàchen zweiler Klasse zusammengesetzf sind. — 
Wirtixgkr : Zum Hadamardsehen Determinantensatz. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par C.-A. Laisaxt, C.Bourlet 
ei R. Bricard. 4° série. Gauthier-Villars, Paris. 

T. VI. octobre-décembre, 1906. — R. Bricard : Sur la Géométrie de 
direction dans l'espace.. — H. Laurent : Sur un théorème de Weierstrasse. 
Agrégation des sciences mathématiques ; solution de la question de mécanique 
rationnelle (De Sparre). — Boureet : Théorie des parallèles basée sur la trans- 
lation rectiligne. — Fabry : Sur la série de ïaylor et ses points singuliers. — 
Fontené : Sur [le cercle pédal. — Bouvaist : Sur le théorème de Feuerbach. 

— Fontené : Volume d'un tétraèdre en fonction des arêtes, démonstration 
géométrique. — Suchar : Recherche de la loi que doit suivre une force 
centrale, sachant que la trajectoire est une conique, quelles que soient les 
conditions initiales. — Parrod : Aggrégation des sciences mathématiques 
(Concours de 1906). — Correspondance. — Solution de questions proposées. 

T. VII. Janvier-mars. 1907. — d Ocagne : Sur la rectification approchée des 
arcs de cercle. — Ki:mï : Sur deux surfaces du quatrième ordre à l'octuple 
gauche complet. — Fontené : Sur le système articulé de Harl. — Bricard : 
Sur un système articulé. — L. Autonne : Sur un certain domaine holoïde. — 
Remouxdos : Sur les rapports anharmoniques généralisés. — R. Bridard : 
L'œuvre d Amédée Mannheim. — A. de Saint-Germain : Sur la solution dune 
difficulté qui se présente dans l'étude de l'équilibre du treuil. — J. Haag : 
Etude du tore rapporté aux cercles d'Yvon Villarceau. — U. Ïabakoff : 
Quasi-développées des surfaces du second ordre. — Certificats de calculs 
différentiel et intégral, de Géométrie supérieure, de mécanique appliquée. — 
Questions. 

Periodico di Matematica per l'Insegnamento secundarip : Diretto dal Prof. 
G. Lazzeri. Série III, vol. IV, Raffaelo Giusti, Livorno. 

Fasc. IV et V (janvier-avril, 1907). Marcolongo : Davide Besso l Biograliai. 

— Bottari : Soluzioni intere in progressione aritmetica appartenenti a 

r n 
equazioni indeterminate del tipo 2 x v = ± r+i . _ Alasia : Sugli automorfismi 

v=i 
di certi gruppi di operazioni. — Bini : Sopra alcune congruenze. — Repetto: 
Le geodetiche del toro (Contirtua). — Loria : Le trasformazioni pedali ed 
antipedali nel piano e nello spazio. — Comessatti : Di uua generazione del 
complesso tetraedrale. — Orlando : Sopra un 710I0 invariante délie forme 
binarie <li grado pari". 

Supplémento al Periodico di Matematica. fasc. III à VI. 1907. 

Pitagora il. C). Giornale di matematica per gli aluni délie scuole secondarie, 
publicato per cura di Gaet. Fazzari. — I3 e année, q° 1-7. octobre. 1906 — 
avril. 1907 ; Palermo. 

Proceedings of the London Mathematical Society. Série 1. vol. ï. fasc. 5-7. 
Sheppard : Onilw Accuracy of interpolation by Gnite différences. — C.-F. 

Russell: On the Geometrical interprétation ol ApolarBinarj Forms. — E.-.I. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 255 

Rol'tii : On the motion of a swarm of particles whose centre ot' gravity 
describes au Elliptic Orbit of small eccentricity round the Sun. — E. Cun- 
ningham : On linear differential équations of Rank L'nily. — F. Morley : Ou 
two cubic curves in triangular relation. — J. Rogers : Supplementary note 
ou the représentation of certain asymptotic séries as convergent continued 
fractions. — Filon : On the expansion of polynomials in séries of functions. 
— Forsyth : Partial differential équations ; some criticisms and soine sug- 
gestions. — Bateman : On the inversion of a déduite intégral. — Index of 
Proceedings. — Obituary Notice of Charles Jasper Joly. — Obituary Notice 
of Robert Rawson. 

Revue du Mois, dirigée par M. Borel. 2e année 1907. Librairie Le Soudier, 
Paris. 

10 janvier. G. Appell ; Faut-il supprimer le baccalauréat? 

10 niais. — H. Poincaré : Le hasard. — R. de Montessus : A propos du 
hasard. 

10 avril. — P. Tannery: Programme d'un cours d'histoire des sciences. 
(y. VEnseign. math, du 15 mai, 1907.) 

Revue générale des Sciences pures et appliquées dirigée par L. Olivu r. 

I8™e année, 1907 : Arm. Colin, Paris. 

N° 2 (30 janvier). — R. Bourgeois : L'état actuel de la Géodésie. 

N° 4 (28 février). — Léop. de Saussure : L'Astronomie chinoise dans l'an- 
tiquité. 

N° 6 (30 mars). — G. Milhaud : Descartes et la loi des sinus. 

Revue semestrielle des publications mathématiques, dirigée par H. de 
Yries, P. -H. Schoute, D.-E. Korteweg, J.-C. Kluyver, W. Kapteyn. T. XV. 
l re partie : avril-octobre 1906. Delsman en Nolthenius, Amsterdam, 1907. 

Zeitschrift fur das Realschulwesen, herausgegeben von Em. Czuber, Ad. 

Bechtel und Moi-. Gloser. — XXXII Jahrg. 1907 : All'r. Hôlder, Wien. 

N° 1. — H. Hartl : Ein Funktionenzeiger. — A. Pleskot : Geometrischer 
Beweis eines algebraischen Satzes. 

N° 2. — F. Schiffner : Ein einfacher Beweis des Lehrsatzes vom Quadrate 
der Hohe eines rechtwihkligen Dreieckes. — J. Wanka : Schattenversuche. 

N° 3. — A. Achitsch : Eine bei der Lichtreflexion auftretende Minimum- 
eigenschaft. — P. v. Schjewex : Ueber rationale Dreiecke. 

N° 4. — R. Fischer : Eine Analogie der Pythagoreischen Zahlen. — P. 
Ernst : Die einfachsle Behandlung des Spieker'scheu Kreises. 

Zeitschrift fur mathematischen u. naturw. Unterricht, herausgegeben von 
D'-|H. Schotten. — 37. Jahrgang. Hefte 5 bis 8. 1906: B.-G. Teubner, 
Leipzig. 

H. Pfaff : Geometrische Oerter als Uebungsstoff fur die Prima. — A. 
Tafelmacher : Ueber eiuen geometrischen Orl und eine neue Art von Drei- 
eckskoordinaten. — Reformvorschlâge fur den mathematischen und natur- 
wissenschaftlichen Unterricht. Entworfen von derUnterrichtskommission der 
Gesellschaft deutscher Naturforscher und Aerzte. Zweiter Teil. Vorschlâge 
ùberreicht der 78. Naturforscher- Yersammlung in Stuttgart 1906. — Paul 
Epstein : Die dualistische Ergànzung des PotenzbegrifTs in der Géométrie 
des Kreises. — Verhandlungen beim Gôttinger Ferienkurs (Ostern 1906) 



256 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

ùber die Reforno des matliematischen Unterrichts an tien hôheren Schulen. 
Berichl von J. Schrôder in Hanxburg. — Literarische Berichte. — Piidago- 
^ische Zeitung, etc. 



2. Livres nouveaux : 

Chwolson. — Traité de Physique. Trad. Ed. Davaux. T. I. ; fasc. II. L'étal 

gazeux des eorps, 1 vol. 6 fr. — fasc. III. L état liquide et létat solide 
' des corps. 1 vol. 310 p., 12 fr. : Herniann. Paris. 
P. Duhf.m. — Les origines de la statique. T. II. 1 vol. in-8°, 364 p. 10 fr. ; 

Herniann, Paris. 

P. Duhem. — Etude sur Léonard de Vinci. Ceux qu'il a lus et ceux qui L'oni 

lu. Première série. — 1 vol. in-8°. 355 p.. 12 fr. ; Herniann, Paris. 

Ch. Fabre. — Traité pratique de photographie stéréoscopique. — 1 vol. 

in-8°, 207 p., fig. 132 ; 6 fr. : Gauthier-Villars, Paris. 
W. Felgextr.egfk. — Théorie, Konstruktion und Gebrauch der feineren 

Hebelwage. — 1 vol. cart. in-8°, 310 p.. ; 8 M. ; B.-G. Teubner, Leipzig. 
A. Galle. — Geodàsie. — 1 vol. cart. 28» p. ; 8 M. ; (Sammlung Schubert) ; 

G.-J. Goeschen, Leipzig. 
O. Hesse. — Vorlesungen aus der analytischen Géométrie der geraden 

Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene. — 4. Anfl. revidiert und 
ergànzt von J. Gundflfingfr. — 1 vol. cart. 251 p. : 6 M. : B.-G. Teubner, 
Leipzig. 

Edw. M. Huntington. — La Kontinuo Elementa teorio starigita sur la ideo 
de ordo kun aldono pri transfinitaj nombroj. Tradnkita de la angla lingvo 
de R. Bricard. — I vol. in-16, 125 p. : 2 fr. 75 : Gauthier-Villars. Paris. 

Auc. Tafelmacher. — Elementos de Aljebra superior para el uso del Curso 
militar. — 1 vol. in-8". 103 p. : Santiago du Cliili. 



LE ROLE DES FONCTIONS MULTIFORMES 
EN DYNAMIQUE 



t. — Introduction. Lorsqu'un point matériel est sollicité 
par une force, dont les composantes X et Y sontdes fonctions 
des coordonnées x et y du point, il y a lieu à distinguer deux 
cas fondamentaux, 1° — la force ne dépend ffue de la position 
du point matériel, 2° — la force peut avoir plusieurs valeurs à 
la même position du point matériel, parce qu'elle est donnée 
par des fonctions multiformes des coordonnées x et y. Nous 
nous proposons d'examiner ici le rôle que jouent les fonc- 
tions multiformes en Mécanique rationnelle. L'existence de 
théorèmes importants découverts par les mathématiciens 
dans L'hypothèse restrictive que la force ne dépend que de la 
position du mobile justifie bien notre recherche et rend ce 
sujet extrêmement intéressant : je me borne à citer ici les 
théorèmes de Bertrand, Halphen, de MM. Darboux et Koe- 
nigs; ils se rattachent aux célèbres problèmes de Bertrand 
sur les lois des forces donnant lieu à des trajectoires ayant 
une propriété donnée, quelles que soient les conditions ini- 
tiales. 

Parmi les résultats contenus dans ce travail, celui auquel 
j'attribue la plus grande importance consiste dans le théo- 
rème suivant : 

« Une force centrale quelconque est toujours uniforme sur 
« la trajectoire décrite par le mobile, quelles que soient les 
« conditions initiales; il n'y a d'exception que pour les points 
« de la trajectoire présentant des singularités géométriques 
« comme les points multiples. Ainsi, la force centrale (inten- 
« site, sens) ne dépend que de la position du mobile, pourvu 
« que cette position ne soit pas un point multiple de la courbe 
« trajectoire. » 

L'Enseignement mathém., '.* année : 1907. 18 



•258 G. REMOUNDOS 

Li:S FORCES MULTIFORMES PAR RAPPORT AL TEMPS. 

2. — Supposons qu'un point matériel soit sollicité par une 
force, dont les composantes X et Y sont données par des 
fonctions multiformes des coordonnées x et y . 

X = a(x,y) , Y == yix,y) , 

et considérons une trajectoire du mobile correspondant à des 
conditions initiales déterminées. Lorsque le mouvement est 
périodique, le mobile passant plusieurs fois par le même point 
de la trajectoire, la force est, en général, multiforme sur la 
trajectoire, puisqu'elle peut prendre dans une certaine posi- 
tion une détermination différente de la précédente, grâce 
au principe bien connu de la permutation des branches d'une 
fonction multiforme. La force considérée F deviendra uni- 
forme (c'est-à-dire aura une valeur) sur la trajectoire, si aux 
coordonnées X et Y on adjoint une troisième variable méca- 
nique, le temps t ; il est en effet clair que la force F aura en 
chaque point de la trajectoire une valeur unique et bien 
déterminée, pourvu que l'on se donne le temps au bout 
duquel le mobile se trouve à chaque position. Nous suppo- 
sons, bien entendu, que la trajectoire ne passe pas par des 
points critiques * des fonctions a (x, y) et <p (;r, y) qui donnent 
les composantes X et Y de la force; nous appelons points 
critiques d'une fonction multiforme des coordonnées x et y, les 
points où plusieurs déterminations de la fonction coïnci- 
dent. Ainsi la notion de continuité combinée avec le principe 
bien connu de la permutation des diverses branches d'une 
fonction multiforme e-ffectuée par un mouvement continu 
du point M (.r, y) revenant à la position de départ, nous per- 
met d'énoncer le théorème suivant : 

« Une force multiforme, fonction multiforme des coordon- 
« nées x et y, peut sur chaque trajectoire du mobile être 
« exprimée par une fonction uniforme de trois variables : les 
coordonnées x et y du mobile et le temps t. » 



1 En général, points singuliers (discontinuités, coïncidence de branches) des fonctions 
(Jfx.y) et <f{xy). 



DES FONCTIONS MULTIFORMES 259 

On peut donc écrire pour toute trajectoire du mobile : 

F = H(x,y,t) (1) 

H .r, y, t) désignant une fonction uniforme des variables 
.r, y et /, qui peut varier, bien entendu, avec la trajectoire, 
lorsque les conditions initiales changent. 

Il en est de même des composantes X et Y de la force F. 

La détermination de cette fonction H (x, y, t), lorsque la 
force est donnée par une fonction multiforme/*^, y) est un 
problème mécanique, puisque l'équation nous donnerait, en 
général, le temps / comme fonction des coordonnées x et y ; 
elle pourrait donc nous déterminer l'instant t, auquel le 
point mobile {x, y) se trouve dans une position donnée. Mais 
l'étude des variations qu'éprouve la force F, lorsque le 
mobile revient à la position initiale après avoir décrit un 
certain chemin continu, est un problème d'analyse qui se 
ramène à l'étude des singularités multiformes et surtout des 
points critiques (points de ramifications) ; pour nous ça sera 
ici un principe pour une étude de quelques quantités méca- 
niques multiformes, c'est-à-dire ayant plusieurs valeurs à 
chaque position du mobile. 

Si les composantes X et Y sont données par des fonctions 
uniformes des x et y, il est clair que tous les éléments de la 
force (intensité, direction, sens) ne dépendent que de la posi- 
tion du mobile; il ne dépendent pas du tout du temps et du 
chemin suivi par le mobile pour arriver à chaque position; 
c'est le cas qui a été supposé dans les problèmes que nous 
avons mentionnés dans l'Introduction de ce travail '. Le cas 
général est celui où, les composantes X et Y étant données 
par des fonctions multiformes des x et y, la force ne dépend 
pas seulement de la position du mobile; sur une trajectoire 
donnée elle dépend aussi du temps d'une façon indépendante 
de la position du mobile de sorte qu'elle peut changer de 
valeur, lorsque le mobile revient à une certaine position 
après quelque temps. 



1 Dans un travail publié récemment dans le Journal de Crelle (1906. Het't 2) M. Stephanos 
indique une voie par laquelle un théorème de Bertrand est affranchi de la restriction que 
comporte ce cas. 



260 G. RÉ MOIN IX) S 

On se rend aisément compte du rôle remarquable que les 
fonctions multiformes doivent jouer en Mécanique, si Ton 
se rappelle que la permutation des branches se fait par un 
mouvement continu du point M (.r, y), qui ramène ce point à 
la position de départ: le mouvement exige, en effet, du temps 
et suppose l'existence d'une cause, que l'on appelle force en 
Mécanique. Le rôle spécial des fonctions multiformes en Mé- 
canique tient à la nature des choses et nous pouvons dire 
qu'elles se rattachent à la Mécanique d'une façon intrinsèque 
et non seulement parla nécessité des applications. 

3. — Si le point [x, y) part d'une position initiale [xo yo 
les accroissements de temps les plus intéressants pour nous 
seront ceux, pour lesquels le point mobile M r. y revient 
à la position initiale. Nous appellerons période un tel ac- 
croissement du temps t ; d'une façon plus claire, nous 
appellerons période tout intervalle de temps qui s'écoule 
entre deux passages du mobile par la même position de la 
trajectoire et nous remarquerons que la période ainsi définie 
est, en général, une quantité variable. Les autres accroisse- 
ments du temps /, qui entraînent le changement de la posi- 
tion du mobile, nous intéressent peu ici, parce que le but 
principal de ce travail consiste en l'étude des variations des 
forces et, en général, de quantités multiformes, qui ne sont 
causées que par les changements du temps et non par la posi- 
tion du mobile. 

Avant d'aborder l'étude des problèmes mécaniques, nous 
devons remarquer que les fonctions multiformes utilisées 
dans nos théories seront particulièrement intéressantes si 
elles sont harmoniques par rapport aux coordonnées x et y 
ou bien analytiques en;=: x + i y, grâce aux progrès spé- 
ciaux accomplis dans la théorie des singularités de ces fonc- 
tions et de la permutation de leurs branches. 

Les Invariants. 

4. — Nous allons supposer que les composantes X et Y de 
la force agissant sur un point matériel M (.v,y) soient données, 
par des fonctions multiformes des x et y, soit : 

X = a (x, y) , Y = y [x . y . 



DES FONCTIONS MULTIFORMES 2G1 

Nous appellerons invariant absolu toute quantité méca- 
nique concernant le mouvement d'un point mobile sollicita 
par la force et ayant la propriété d'être une fonction uni- 
forme des coordonnées x et y sur tout le plan. 

L'importance des invariants absolus consiste en ce que ces 
quantités ne dépendent que de la position du mobile pour 
toutes les trajectoires possibles, c'est-à-dire quelles que 
soient les conditions initiales; d'une façon plus claire, à 
<haque position du mobile ces quantités n'ont qu'une valeur 
unique ne dépendant ni des conditions initiales ni du temps 
mis par le mobile pour y arriver. Le caractère d'invariance, 
<(iie nous considérons pour ces quantités se rapporte non 
seulement aux accroissements du temps, mais encore aux 
changements des conditions initiales, c'est-à-dire de la 
courbe suivie par le mobile pour arriver à une certaine posi- 
tion. Nous ne pouvons pas citer dans ce travail des exemples 
d'invariants absolus valables d'une façon générale, mais nous 
allons envisager aussi une autre espèce d'invariants, dont 
nous présenterons des exemples remarquables. 

Une quantité mécanique Q sera appelée invariant relatif 
à une trajectoire du mobile, lorsqu'elle ne dépend que de la 
position du mobile sur cette trajectoire et nullementdu temps 
mis par le mobile pour arriver à chaque point de la trajec- 
toire; si le mouvement est périodique, toutes les fois que le 
mobile passe par un point de la trajectoire, cette quantité Q 
prend toujours la même valeur: si nous considérons deux ins- 
tants / et / + A t avec l'hypothèse que la différence A / soit 
égale à une ou plusieurs périodes, la valeur de-Q à l'instant / 
est égale à sa valeur à l'instant / + A /. Donc le caractère d'in- 
variance que nous avons en vue ici, se rapporte seulement aux 
accroissements du temps égaux à une ou plusieurs périodes. 

5. La force F n'est jamais un invariant général, puisque 
notre hypothèse fondamentale consiste en ce que les compo- 
santes X et Y ne sont pas toutes les deux fonctions uni- 
formes des coordonnées x et y du mobile ; d'une façon plus 
précise, les trois éléments de la force F : intensité, direction 
et sens ne peuvent être tous les trois des invariants géné- 
raux, conformément à notre hypothèse 



262 G. RÉMOUNDOS 

Si, par exemple, nous avons : 

X = \ / x r + f 2 et Y = [/ïx~y . 

l'intensité de la force sera égale à : 

l/X* + Y» = \/\x + y\ l = x + y . 

Elle est donc uniforme par rapport aux coordonnées x et y 
et, par conséquent, c'est un invariant général, mais il n'en 
est pas de mémo de l'angle formé par la direction de la force 
avec l'axe des x. 

Mais il est bien possible que tous les éléments de la force 
soient des invariants relatifs par rapport à une trajectoire, 
pourvu que cette trajectoire remplisse certaines conditions 
par rapport aux singularités des fonctions a[x, y) et «pf.r.y 
donnant les composantes X et Y de la force. L'étude de ce 
rapport entre les trajectoires d'invariance pour la force et les 
singularités des fonctions o- (.r, y) et y(x, y) s'offre plus avanta- 
geuse dans le cas, où la fonction A (z) = X + i\ est analy- 
tique en z == x -+- iy, les fonctions X=o- (a;, y) et Y = © f.r, // 
étant harmoniques conjuguées ; pour bien nous en rendre 
compte, remarquons que tous les éléments de la force seront 
des invariants relatifs à toute trajectoire, qui ne renferme 
aucun point singulier de la fonction analytique A (z) ; si A z 
n'admet qu'un point critique z = a, tel que : 

A(z) = [/z — « Bl=l • 

où B (z) désigne une fonction holomorphe dans le voisinage 
du point z = a la force sera un invariant relatif à toute tra- 
jectoire qui ne renferme pas le point z = x ; ces exemples 
nous donnent une idée des services que peut rendre à notre 
problème mécanique la théorie de la permutation des bran- 
ches d'une fonction analytique, lorsque le point d'affixe 
z = x + iy tourne autour d'un ou plusieurs points singuliers 
(critiques) de cette fonction. 

Si nous désignons par a. x, y) la fonction donnant l'inten- 
sité de la force, elle sera un invariant relatif à toute trajec- 
toire qui ne renferme à son intérieur aucun point singulier 
des dérivées premières. 



DES FONCTIONS MULTIFORMES 263 

En d'autres termes, nous supposons qu'à l'intérieur de 
cette trajectoire les dérivées partielles ■ — . — soient conti- 
nues, finies et bien déterminées 1 . 



Exemples d'invariants : Forces quelconques. 

6. Après les considérations générales du chapitre précé- 
dent, nous allons signaler d'abord quelques exemples d'in- 
variants relatifs à une trajectoire et valables pour une force 
quelconque. La recherche des invariants, que nous tenons à 
citer ici, s'appuie sur le principe suivant. Une quantité méca- 
nique Q sera certainement un invariant relatif à une trajec- 
toire T, si la quantité Q est égale à un élément géométrique 
de la courbe de la trajectoire qui a naturellement une valeur 
unique et bien déterminée en chaque point de la courbe. Il en 
est de même des quantités Q qui peuvent être exprimées en 
fonction uniforme de plusieurs éléments géométriques de la tra- 
jectoire. Nous admettons que ces éléments géométriques peu- 
vent avoir plusieurs valeurs en quelques points singuliers 
de la trajectoire, mais nous excluons toujours toute singula- 
rité de la trajectoire qui entraînerait des singularités pour la 
quantité Q, considérée comme fonction des coordonnées x et 
y sur la trajectoire ; cela tient à ce que la notion des inva- 
riants suppose pour eux une succession de valeurs continue 
et bien déterminée le long de la trajectoire relative. 

Si nous appelons F„ et F t les composantes normale et tan- 
gentielle d'une force agissant sur un point matériel M (r, y), 
nous avons les formules classiques 

b ,, •—. m — . ht = m — , 
p dt 

Y désignant la vitesse et p le rayon de courbure de la trajec- 
toire. 

Si la masse m esl constante ou fonction uniforme des coor- 



1 C'est une conséquence immédiate d'un théorème classique de la théorie des intégrales 
curvilignes prises 1p long d'une courbe fermée. 



264 G. RÉ MO CN 1)0 S 

données x et ?/, ces formules nous donnent les invariants 
suivants : 



Y 2 


el 


1 dX 

V t Ht 


parce que nous avons : 






V 2 _ p 




i ,i\ 


F„ /;/ 


el 


Yt 777 



Si la masse m est une fonction quelconque des coordonnées 

x et y. nous n avons que 1 invariant -=— , qui est égal 

au rayon de courbure de la trajectoire. Ce sont là des inva- 
riants relatifs et toute trajectoire correspondante a des con- 
ditions initiales quelconques ; nous faisons exception des tra- 
jectoires passant par des points singuliers des quantités 
considérées l . 

Forces centrales. 

7. Nous allons maintenant présenter un autre invariant 
beaucoup plus intéressant que les précédents et concernant 
seulement les forces centrales ; son importance consiste en 
ce qu'il s'exprime par la force elle-même qui est donnée 
comme une fonction des coordonnées x et y du mobile, con- 
trairement aux invariants signalés au paragraphe précédent, 
qui sont exprimés par des composantes de la force suivant 
la normale et la tangente de la trajectoire. C'est, en effet, un 
inconvénient d'avoir les invariants exprimés par des compo- 
santes de la force qui exigent une certaine connaissance 
d'une trajectoire, généralement inconnue ; cela tient à ce 
que nous nous proposons comme but principal des applica- 
tions des invariants à la recherche géométrique des trajec- 
toires, lorsque la force est donnée comme fonction des coor- 
données x et y. 

Le mathématicien Resal a communiqué autrefois à L'Aca- 
démie des sciences de Paris Comptes rendus, tome XC ; 
page 769 un théorème intéressant sur une loi relative à une 
force centrale. Ce théorème est le suivant : 



1 Ces points singuliers sont les points d'une trajectoire possédant plusieurs rayons i 
luire points multiples à tangentes distinctes ou non). 



DES FONCTIONS MULTIFORMES 265 

« La force centrale produisant le mouvement d'un point est 

« proportionnelle a la quantité: — , V désignant la vitesse 

« (/// mobile, v sa distance au centre des forces, p le rayon de 
« courbure de la trajectoire. » 

Nous arrivons très aisément à ce théorème par une compa- 
raison des formules donnant l'intensité d'une force centrale 
cl la vitesse du mobile en coordonnées polaires, avec la 
formule bien connue qui donne le rayon de courbure d'une 
trajectoire plane en coordonnées polaires, en prenant comme 
pôle le centre fixe de la force. Nous savons, en effet, que le 
rayon p de courbure d'une courbe plane est donné par la for- 
mule : 



du* 

M 1 



cl- Il 

u + dï 



M] 



/• et 9 désignant les coordonnées polaires, quel que soit le 
point pris comme pôle. 

En prenant comme pôle le centre de la force centrale, 
nous avons les formules classiques suivantes, qui donnent 
l'intensité de la force et la vitesse du mobile aussi en coor- 
données polaires, savoir : 

,3, * = V (*+g) . ,.- = -,„K^[„ + 0] , 

où V désigne la vitesse du mobile, F l'intensité de la force, 
et K la constante des aires. Nous n'avons qu'à éliminer les 
quantités 

., , du 2 d'-u 

entre les formules (2) et (3) pour obtenir la formule suivante : 

, m V s />/ Y 3 . /■ 

ill p = — — - — -. on p = 

K «F p K V 

qui est la conséquence des égalités : 



dti 2 \ " V s / . d 2 u\ Vu 



" + dF* = k» • "V + dWi- -^ 



266 G. H EMOI S DOS 

La formule (4 qui nous conduit immédiatement au théo- 
rème de Resal énoncé plus haut, peut s'écrire aussi de la 
façon suivante : 

_ Ko V 8 

" = T 

mr r 

et nous permet de conclure que la quantité mécanique Y 3 F 
est un invariant relatif à toute trajectoire dit mobile, quelles 
que soient les conditions initiales, si la masse m est supposée 
constante ou bien une fonction uniforme des coordonnées x 
et y du mobile; cela tient à ce que les quantités géométri- 
ques p et Y n'ont qu'une valeur bien déterminée à chaque 
point de la trajectoire, tandis que K est une constante. 

8. Nous allons maintenant simplifier beaucoup cet invariant 
Y 3 F en appliquant la formule classique suivante : 

(6) P V = K . 

qui exprime le théorème des aires, P désignant la distance du 
centre de la force à la tangente de la trajectoire en chaque 
point et K la constante des aires ; cette formule nous permet 
de conclure que la vitesse Y est aussi un invariant relatif à 
la trajectoire, puisque la quantité géométrique P n'a qu'une 
valeur unique à chaque point de la trajectoire, sauf quelques 
points singuliers de la courbe. 

Nous en concluons que, lorsque le mouvement est pério- 
dique, il n'est jamais rétrograde, et, en général, le mobile 
revient à un point de la trajectoire toujours avec la même 
vitesse. 

Mais l'invariant le plus important pour le but que nous 
poursuivons, est celui que nous déduisons par la combinai- 
son des deux invariants précédents, c'est l'intensité F de la 
force ; il n'y a qu'a éliminer la vitesse Y entre les égalités 5 
et 6) pour avoir la formule suivante : 

.71 Frz-mK»^ 

qui nous donne l'intensité F de la force en fonction rationnelle 
de quantités, qui n'ont qu'une valeur unique et bien déter- 



DES FONCTIONS MULTIFORMES 267 

minée à chaque point de la trajectoire. Si nous excluons donc 
les trajectoires ayant des points singuliers à plusieurs rayons 
de courbure ou tangentes, pour toutes les autres nous aurons 
pour l'intensité F une succession de valeurs continue et bien 
déterminée et le théorème suivant : 

THÉORÈME. « L'intensité d'une force centrale est un inva- 
« riant relatif à toute trajectoire du mobile n'ayant aucun 
« point singulier à plusieurs rayons de courbure 1 ou bien 
« plusieurs tangentes. » 

L'existence de points de la trajectoire, où la force F devient 
infinie ne gène pas ; il suffit que l'intensité de la force y soit 
toujours infinie. 

L'importance de ce théorème consiste en ce que j'ai en vue 
des problèmes où la force est donnée comme fonction des 
coordonnées x et y et, par conséquent, la connaissance de 
cet invariant nous donne des renseignements quelquefois 
précieux sur la trajectoire inconnue. Ainsi, si l'intensité de 
la force n'est pas un invariant par rapport à une trajectoire, 
cette trajectoire, doit avoir des points singuliers à plusieurs 
rayons de courbure ou tangentes. Les points de la trajectoire, 
où l'intensité de la force prend plusieurs valeurs pendant le 
mouvement supposé périodique, coïncident avec les points sin- 
guliers à plusieurs rayons de courbure ou tangentes. Des 
tels points singuliers sont, par exemple, les points multiples 
à tangentes distinctes ou non. La même formule (7) montre 
que le sens de la force est aussi un invariant relatif à la tra- 
jectoire, puisque le signe du second membre de (7) ne change 
pas d'après nos hypothèses. 

Applications. 

9. — Pour comprendre l'intérêt de la théorie exposée dans 
les chapitres précédents, nous citerons quelques applica- 
tions se rapportant aux problèmes où la force est donnée 
par une fonction multiforme des r et y et nous nous propo- 



1 La formule (7) montre, en effet, c[ue la force F ne saurait avoir plusieurs valeurs qu'aux 
points singuliers de la trajectoire, ou il en est ainsi du rayon p ou de la quantité P. Nous ne 
parlons pas de la direction de la force, parce que elle reste évidemment invariable. 



268 G. RÉMOUNDOS 

serons d'étudier les diverses trajectoires tracées par un mobile 
sollicité par cette force. Supposons que Ton ait : 

F = m .to [x , y) 1 

m désigne la niasse), F désignant l'intensité de la force, et 
que la fonction o r, y admette un point singulier x = (i 
et y = b tel que, lorsque le point M .r y) part d'une position 
initiale et y revient après avoir tourné autour du point M, 
la fonction change de valeur; dans cette hypothèse, la 
courbe ainsi suivie par le point M X y ne saurait jamais 
être une trajectoire dix mobile sollicité par la force F; c'est 
une conséquence immédiate de notre théorème du para- 
graphe précédent. 

Prenons l'exemple suivant : 

b = re . 

Lorsque le point M (/■, g), partant d'une position quelconque 
M (/", 6), y revient après avoir décrit une courbe quelconque 
renfermant le pôle (origine des coordonnées), la fonction re'j 
ne reprend pas la même valeur et se multiplie par e- n ; pour 
cette raison, grâce à notre théorème, aucune trajectoire d'un 
mobile sollicité par la force F = re% ne saurait renfermer le 
pôle (origine des coordonnées). 

D'une façon plus générale, si l'intensité de la force F est 
donnée par une fonction P (/•, b) n'ayant pas par rapport à 
la variable la période 27:, alors l'équation : 

P(r,6 + 2tt| = P-(r,«) 

ne sera pas satisfaite identiquement. Cela posé, l'application 
de notre théorème nous permet de conclure que les trajec- 
toires d'un point matériel sollicité par cette force ne sau- 
raient jamais renfermer le pôle (/• = 0). 11 n'y a que les tra- 
jectoires ayant des points singuliers à plusieurs rayons de 
courbure 2 que nous devons exclure dans cette conclusion ; 
nous devons même remarquer qu'en ces points singuliers 



1 La fonction to [x,y\ détermine; non seulement l'intensité mais encore le sons de la tore. 
centrale. 

2 On bien à plusieurs tangentes. 



DES FONCTIONS MULTIFORMES 269 

les trajectoires exceptionnelles doivent, en général, avoir une 
infinité de rayons de courbure ou de tangentes parce que la 
l'onction P (/■, e) quand elle n'est pas périodique en 0, admet 
une infinité de déterminations. Il en résulte que, dans le 
cas général, les trajectoires exceptionnelles présentant des 
singularités très compliquées doivent être considérées comme 
très rares. Elles doivent présenter des points multiples où se 
croisent une infinité de branches ; à chaque branche corres- 
pond une valeur du rayon de courbure p et à chaque tan- 
gente correspond une valeur de la quantité P ; aussi, à deux 
valeurs différentes de p correspondent deux tangentes diffé- 
rentes et à deux valeurs différentes de p correspondent, en 
général, deux branches différentes. Si le point multiple est à 
tangentes distinctes, il devient critique pour l'intensité F de 
la force à cause de la multiplicité du rayon p et de la dis- 
tance P simultanément; dans le cas contraire, ce n'est que le 
rayon de courbure p qui a plusieurs valeurs, en général, et 
rend le point critique pour l'intensité de la force F. 

10. Les applications de notre théorème deviennent particu- 
lièrement intéressantes dans le cas où nous ne pouvons pas 
effectuer l'intégration de l'équation différentielle. 

/ d 2 il 

(8 F = — «K'b' lu + -jj- 

\ d') 

et déterminer les trajectoires du mobile, lorsque la force F 
est donnée comme fonction des coordonnées polaires /• et 0. 
Si nous tenons compte d'un théorème classique cité plus 
haut, nous remarquons que ce sont les points singuliers des 
dérivées partielles, 

iïw ow , . iïP bP 

— , — on bien - - , — . 
.i.*- by ùp b0 

qui nous intéressent au point de vue des invariants de ce 
travail, puisque ce ne sont que ces points qui entraînent la 
permutation des diverses branches des fonctions w (#, y) et 
P (/-, 0) lorsqu'on tourne autour d'eux. Nous savons, en 
effet, que l'intégrale 



./' 



— dx + — dy 



270 G. RÉ MOU X DO S 

le long d'une courbe fermée est nulle, si à l'intérieur de la 

courbe les dérivées — et — sont continues, finies et bien dé- 

i>x dé- 
terminées. 

Dans l'exemple examiné plus haut où 

F =z re 

le pôle, qui ne doit pas être renfermé par les trajectoires, 

ôF 
est, en effet, un point singulier de la dérivée -7 = re* 1 , dont 

les déterminations coïncident en ce point. 

Nous ne voulons pas nous étendre davantage, dans ce tra- 
vail, sur les applications de notre invariant à la théorie des 
forces centrales, nous nous bornerons seulement à examiner 
le cas, où la force F est donnée par une fonction f (z) ana- 
lytique en z = x -\- i y. 

Si nous posons : 

f(z) = R(x, y) + i*(x,y) , 

la seule trajectoire possible est celle qui est définie par l'équa- 
tion 4>(.r, y) = 0. 

Il est vrai que nous pouvons immédiatement constater par 
l'équation différentielle 8) si cette courbe est effectivement 
une trajectoire, mais il est quelque fois possible d'éviter 
cette preuve par l'application de notre invariant. Pour nous 
en rendre bien compte, laissons toute généralité, et prenons 
un exemple particulier, soit : 

F z= — i log- z — b — i log r , 

/• et b désignant les coordonnées polaires, et remarquons que 
la seule trajectoire possible est une circonférence de cercle 
ayant son centre au pôle (/• = 0) et son rayon égal à l'unité. 
L'application de notre théorie nous permet de voir immédia- 
tement que cette courbe n'est pas du tout une trajectoire 
effective, parce que cette courbe ne passant par aucun point 
singulier (n'ayant aucune singularité géométrique) renferme 
un seul point critique transcendant de la fonction analytique 
— l 'log c, le point 3=0; lorsque le point mobile tourne 



I) E S F ON Ct IONS Ml' I. T IF OR ME S 271 

une fois autour de l'origine des coordonnées, la l'onction 
— i log z augmente de 2n et, par conséquent, la force ne se- 
rait pas un invariant par rapport à la trajectoire n'ayant au- 
cune singularité géométrique. Il est donc impossible qu'un 
mobile soit sollicité par une force centrale, dont l'intensité est 
donnée par la fonction — i log z. 

On pourrait aussi se poser la question suivante : Est-il 
possible que les composantes X et Y d'une force centrale 
soient données par des fonctions harmoniques conjuguées 
de façon que X + i-Y soit une fonction analytique en 
z = x -f iy ? 

Supposons qu'il en soit ainsi et appliquons l'égalité — - 

qui caractérise les forces centrales ayant comme centre l'ori- 
gine des coordonnées. 
Nous aurons : 

X + iX = X + i l X = X (l + i Z) = - [x + iy) = - z , 
•»' \ x ) x • x 

X + iX X 

et • = - . 

z x 

Si donc X + t'Y est une fonction analytique de 2, il en 
sera de même du premier et du second membre de cette éo-a- 
lité, ce qui n'est possible que dans le cas où la fonction 

réelle -est une constante G. On doit donc avoir : 
X = G.r et Y = Cv , 

c'est-à-dire chacune des composantes X et Y doit être pro- 
portionnelle à la coordonnée correspondante et l'on aura 

F = /X» + Y s = Gr . 

C'est là un cas où tous les éléments de la force ne dépen- 
dent que de la position du mobile et dans lequel la théorie 
des invariants n'a pas à intervenir. 

C'est la raison pour laquelle le cas, où X + i Y est une 
fonction analytique de z ■= x -f iy, n'intéresse pas les forces 
centrales au point de vue de nos invariants. 



272 M.-B. PORTER 

11 n'est pas douteux qu'il y ait encore beaucoup de choses 
à faire dans l'étude du rôle que les fondions multiformes 
jouent dans la Dynamique ; c'est là un domaine où des théo- 
ries importantes de l'analyse moderne trouvent des applica- 
tions intéressantes. 

Georges Rémoundos Athènes . 



CHANGEMENT DE VARIABLE 
DANS UNE INTÉGRALE MULTIPLE 



Les démonstrations ordinaires pour l'opération bien con- 
nue du changement de variable dans une intégrale multiple 
sont non seulement artificielles, mais aussi difficiles à com- 
prendre pour des étudiants qui n'ont pas une grande expé- 
rience des démonstrations de ce genre. 

La démonstration de M. Goursat pour 2 variables, donnée 
dans son Cours d'Analyse n'est pas artificielle et est sufli- 
samment simple, mais elle emploie la formule de Green. 

Dans l'édition de 1893 du Cours d'Analyse de M. Jordan. 
§ 148 T. 1, il y a un aperçu d'une démonstration ingénieuse 
que Ton rend facilement parfaitement rigoureuse et qui peut 
être appliquée au cas d'un nombre quelconque de variables. 

L'énoncé rigoureux de cette démonstration est : 

Etant donné l'intégrale // f{x,y)da . 

A 

Admettons que 

X = X (u, v 



Y = Y(«,,) ' (1) 



sont des fonctions, continues de (k,p) dans toute une région 
A (limites comprises; et, telles qu'à chaque point u,v] de A 
corresponde un point et un seul .r. y de A. 



c n. t N /; i: m i: x t /) E i '. / r ia n i. /•; 



273 



De plus X M , X„, Y„ , Y„ sont des fonctions continues de 
(u. v) clans tout l'espace A, et le déterminant 



Jiu.v) = 



Vu XV 
YV YV 



est de signe invariable dans tout l'espace A, ou s'évanouit 
tout au plus en un_point fixe de contenu (signification de 
Cantor) zéro dans A. 

Puisque la région A peut être subdivisée en petites régions 

dune manière arbitraire, pourvu que toutes les dimensions 

de ces régions tendent vers zéro, nous pouvons diviser A 

en triangles de tvpe A t dont les sommets sont les points 

X1Y1) (XssYa) (XsYs). 

A ce triangle correspond, dans la région A, un triangle 
Ai dont les sommets sont //, , c, , u 2 , c 2 ; // s , c s . 

Si les lettres des sommets de A, sont bien ordonnées, 
nous avons 

L I Xi — Xi Xi — X :! 



aire A ( - =r 



^ i 



Y 3 — Y: 



et par le premier théorème de la moyenne 



aire A; 



X'uSiu + XV Air X'i/Aiu -+- XV A2*' 
Y'mAim -f- Y'vAi i' Y'«A2// -(- YVAim 



OU 



Ai « = «i 



As '/ = «2 



us , etc. 



et où X„, X M ; Y„ , Y„... sont aussi voisins que nous le vou- 
lons de X„(«ici ; Y„ //i n etc.; pour Ai//, A2 // ... assez 
petits. 

Nous avons alors, à cause de la continuité de X'„, Y„... , 



aire A; = — 



Ai u A2 u 

Air A2C 



J|Ml 



1 + 



où e tend uniformément vers zéro lorsque Ai// , A2 // , Ai e , 
A2 v , tendent vers zéro. 

(2) nous montre que puisque J(// , v) est de signe invariable 
lorsque nous circulons sur le contour du triangle A; clans le 
sens positif, nous circulerons toujours sur le contour de Âl 



L'Enseignement mathém.. 9« année ; 1907. 



274 V. BOBYNIN 

dans le sens positif si J est positif dans A et nous circulerons 
toujours sur le contour de A, dans le sens négatif si J est 
négatif dans A. 

Ainsi les triangles A t couvrent la région A sans en sortir, 
si les triangles A t couvrent la région A sans en sortir. (2) 
montre que en appliquant le principe de substitution des in- 
fïniments petits, nous avons 

fjf\x.y\ da = f±f[\\u , v) , Y (« . v)] | 3 J da 

A A 

quand da est l'élément d'aire de A. 

Dans le cas de trois variables notre élément de volume 
serait naturellement le tétraèdre. 

M. B. Porter (Austin, Texas). 

iTraduclion de M lle R. Masson, (Senèye). 



CAS PARTICULIERS D'EMPLOI DISSIMULE 

DE LA 

MÉTHODE EXPÉRIMENTALE 

DANS LES TEMPS LES PLUS RÉCENTS 



I. — Dans la science moderne, outre les résultats indiqués 
précédemment l et obtenus par le développement de la mé- 
thode des essais et de sa forme particulière, il existe aussi 
des théories qui se servent directement de ces deux mé- 
thodes. Si cet emploi paraît actuellement un peu obscur, 
cela ne tient qu'à la forme de l'exposition ordinairement en 
usage dans les manuels et non à la nature du problème. 
Parmi ces théories-là, dans l'arithmétique élémentaire et 
dans l'algèbre supérieure on peut indiquer La division des 
nombres entiers, l'extraction des racines, et la détermination 
des valeurs numériques des racines d'une équation. 



V. L'Ens. Math.. 8« année, |>. ITT-lôo. lmm. 7« année, p. 343—7.3*;. 1965. 



METHODE EXPERIMENTALE 275 

2. — La division des nombres entiers, considérée comme 
une action dérivée de l'action de soustraire, se présenta 
d'abord à l'humanité sous la forme de la question : de com- 
bien de parties égales au plus petit des deux nombres donnés 
se compose le plus grand ? Le chemin le plus court, indiqué 
par la question même, consiste en soustractions successives 
du diviseur jusqu'au moment où l'on obtient dans le reste 
un nombre égal à zéro, ou un nombre plus petit que le divi- 
seur. Pour peu que le quotient soit grand, le procédé est 
1res long et on a cherché à l'abréger le plus possible. Le 
moyen le plus simple fut donné par l'idée qu'il était possible 
de remplacer plusieurs ou bien toutes les soustractions par 
une seule, c'est-à-dire par la soustraction du dividende du 
produit du diviseur par le nombre de toutes les soustrac- 
tions dans le premier cas et par le quotient dans le second 
cas. Sous l'influence de cette idée la question de la division 
apparut sous une nouvelle forme : trouver un nombre qui, 
multiplié par le diviseur, donne un nombre ou bien égal au 
dividende ou n'en différant que par un nombre plus petit que 
le diviseur. A cette forme de la question on a déjà appliqué 
autrefois la méthode des essais. Considérons par exemple 
les trois cas suivants de division : 32,647 : 324; 33,758 : 324; 
78,547 : 324. La détermination des limites entre lesquelles 
doivent se trouver les essais, nous donne 100 et 1000. Si 
pour l'essai initial on prend la limite inférieure et qu'on le 
vérifie ensuite par les conditions de la question, on trouve 
qu'il convient dans le premier cas et ne réussit pas dans les 
deux autres. On a : 



32647 


33758 


78547 


32400 


32400 


32400 


247 


1358 


46147 




1296 


32400 




62 


Î3747 
12960 

787 
324 

463 
324 
139 



11 faut noter que la différence trouvée par la vérification 



276 v. nom NI N 

dans le second cas est plus petite que le produit de l'essai 
par le diviseur et plus grande dans le troisième cas. Pour 
que dans le troisième cas cette différence soit encore plus 
petite que le produit mentionné, on soustrait de la différence 
trouvée le produit de l'essai par le diviseur autant de fois 
que possible, c'est-à-dire pas moins d'une fois et pas plus de 
neuf ibis. Ce nombre étant déterminé soit directement par 
soustraction soit parles essais, on voit immédiatement qu'il 
représente les unités de l'ordre supérieur du quotient cher- 
ché. Ainsi s'applique la méthode de la formation ou de h* 
composition graduelle de l'inconnu suivant les conditions de 
la question, le procédé consistant en la détermination suc- 
cessive des nombres des unités des différents ordres du 
quotient cherché. Dans le troisième des cas considérés le 
nombre des soustractions successives ou, ce qui revient au 
même, le nombre des centaines dans le quotient cherché 
égale 2. Or ce résultat étant acquis, la différence est aussi 
bien que dans le second cas plus grande que le diviseur et la 
question se pose : par quel nombre faut-il multiplier le divi- 
seur pour que le produit obtenu soit ou bien égal à cette dif- 
férence ou bien qu'il n'en diffère que par un nombre plus 
petit que le diviseur. Les limites inférieure et supérieure 
des essais ayant pour but de déterminer ce nombre sont 10 
et 100. Après avoir commencé de nouveau les essais par la 
limite inférieure 10 et constaté l'échec par vérification, on 
recommence le chemin déjà fait auparavant et l'on trouve au 
quotient 40 et comme reste 787. Mais ce reste étant plus 
petit que le soustrahende 3240 est encore plus grand que le 
diviseur. En le traitant de la même façon et en limitant les 
essais pour les nombres 1-10, on trouve 2 pour le nombre 
des unités du quotient et 139 comme reste. Ici la division 
s'achève, car ce nombre est plus petit que le diviseur. En ce 
qui concerne le quotient tout entier, en réunissant ses parties 
trouvées, 200, 40 et 2, on le trouve égal à 242. Enfin dans le 
deuxième cas de division considéré, que nous avons laisse 
provisoirement de côté, le même procédé nous amène à 4 
comme la dernière partie du quotient et au reste 62 plus 
petit que le diviseur. Le quotient complet fourni par la réu- 



M E T II D E E X P E R I M E N T. i 1.1. -l'I 

nion de ses parties trouvées 100 et 4, est donc dans le second 
cas 104. 

En schématisant ce procédé exposé de la division des 
nombres entiers, on peut dire que : pour déterminer le 
nombre des unités du plus liant des ordres qui forment le 
quotient, il faut le nombre des unités du même ordre dans le 
dividende a diviser par le diviseur; de même pour la déter- 
mination des nombres des unités des ordres suivants du 
quotient, il faut diviser par le diviseur les nombres des unités 
du même ordre dans les restes correspondants. On voit que 
ce schéma n'est autre chose qu'un bref exposé de la règle, 
citée dans les manuels élémentaires d'arithmétique. 

Ces règles si simples et compréhensibles delà division des 
nombres entiers ont été entièrement perdues au cours des 
siècles pour la science scolaire et les auteurs des traités 
d'arithmétique ont employé des procédés tout à fait artificiels, 
fondés sur la considération de cas particuliers. Ces procédés 
ont tellement compliqué le sujet et rendu si difficile sa com- 
préhension, que le chapitre de la division dans l'arithmé- 
tique des nombres entiers est devenue le plus difficile poul- 
ies commençants. J.-A. Serret clans son traité d'arithmé- 
tique, qui est l'un des meilleurs manuels existants, considère 
préalablement en quatre pages pour déduire la règle de divi- 
sion des nombres entiers dans le cas général, « détermination 
du nombre de chiffres du quotient», « cas particulier où le 
quotient n'a qu'un chiffre», « principe sur lequel repose la 
division lorsque le quotient a plusieurs chiffres». En outre 
dans ce même manuel l'exposition « du cas général de la 
division » occupe trois pages et plus loin le « cas particulier 
où le diviseur est terminé par des zéros » presque une 
page. 

3. — Les pythagoriciens apprirent aux anciens Grecs à 
connaître les nombres carrés } dont on se sert dans l'extrac- 
tion de la racine carrée, par la méthode des essais, déjà con- 
nue dans ses traits généraux. Puis on établit le tableau des 
nombres carrés fournissant avec une approximation d'une 
unité la racine carrée du chaque nombre entier donné. En ce 
qui concerne la partie fractionnaire de la racine carrée, 



278 



V. Il O II Y NI N 



Théon d'Alexandrie, le mathématicien grec du 4 ine siècle 
après J.-C, dans son commentaire du premier livre à' Aima- 
geste de Ptolémée et de même que Ptolémée utilisait pour la 
détermination de cette partie la méthode des rectangles ou 
du gnomon. L'emploi fréquent de cette méthode chez les 
mathématiciens du J6 n,e siècle et des siècles voisins permet 
d'affirmer avec certitude que cette méthode était employée 
avec la méthode des essais aussi pour la détermination de la 
partie entière de la racine. Voici sous quelles formes 
devait se présenter dans ce cas le procédé de l'extrac- 
tion de la racine carrée d'un nombre entier. Soit à dé- 
terminer 1/8476 . Le nombre donné se trouvant entre 
1000 et 10000, les limites des essais seront 10 et 100. 
En prenant comme essai initial le nombre 90, nous le trou- 
verons entièrement satisfaisant, car la soustraction du carre 
de ce nombre du nombre donné, donne un nombre plus 
petit que le minuende. Or la bande bab qu'on ajoute au 



Tl 





b 


a 


8100 


b 

! 



90 
Fig. 1. 



1/8ï;« 

8100 
376 
360 



VI 



carré 90 2 = 8100 se compose d'un carré a et de deux rectan- 
gles b et b, ayant comme côtés inégaux le côté 90 et le côté 
inconnu du carré a. C'est pour la détermination de ce dernier 
qu'il faut faire un essai. Mais si, d'accord avec la méthode 
de la formation ou de la composition graduelles de l'inconnue, 
selon les conditions de la question, on lient compte d\\ fait 
que la détermination du nombre des dizaines de la racine 
étant déjà faite, le côté du carré a doit représenter le nombre 
de ses unités, — alors il faudra prendre pour les limites des 
essais, qui servent à la détermination de ce côté les nom- 
bres 1 et 10. Si l'on fait l'essai 1 la somme des aires des 
rectangles b et b, 180, et de celle du carré a 1 sera 181, ce qui 
ne suffit pas pour faire disparaître aussi complètement que 



.)/ Il TIIOD i: E X P Ê H I M E N T. 1 1. E 



279 



possible de la différence 376. trouvée par la soustraction du 
carré 8100, ou, en d'autres termes, pour trouverdans le reste 
un nombre plus petit que le soustrahende. Or, comme 
l'essai suivant avec le nombre 2 est satisfaisant, le côté cher- 
ché du carré a, c'est-à-dire le nombre des unités sera 2. 
Eu faisant l'essai 1, ce même nombre peut être trouvé direc- 
tement par la détermination du rapport de la différence 376 
à la somme des aires des rectangles b et b, ceux-ci consti- 
tuant la plus grande partie de la portion complémentaire, 
c'est-à-dire par la division de la différence 376, par la somme 
mentionnée. En le vérifiant ensuite par les conditions de la 
question, on verra si le quotient trouvé est en effet le cote 
cherché du carré ou bien s'il doit être diminué. Dans le cas 
actuel, le quotient 2 est le nombre cherché des unités de la 
racine. La racine carrée cherchée sera donc 92. 

Examinons maintenant un exemple plus compliqué. Suppo- 
sons qu'il faille déterminer {/ 743526 . Les limites des 
essais sont données par les nombres 100 et 1000 dont les 
carrés sont 10000 et 1000000. 



m 






d 




e 




b 


c 


d 












b 


1 



\/ 74,3526 
64Ô0ÔÔ 



L03526 
96000 



16000 

6~ 



800 



60 Z 1 



7526 
:i600 
:Î926 

:ri40 

"T86 
4 



1720 



En procédant comme dans l'exemple précédent on trouve 
le nombre des centaines (800) de la racine cherchée. Pour 
déterminer les nombres des ordres des dizaines et des unités 
prenons respectivement deux bandes b c b et d e d, dans les- 
quels le côté du carré c représentera le nombre des dizaines 
et celui du carré e le nombre des unités. Les essais de déter- 
mination des côtés de ces carrés seront compris respective- 
ment entre les limites 10 et 100 et entre 1 et 10. En détermi- 
nant ensuite le côté du carré c par les moyens indiqués déjà 



280 V. B'OBYNIN 

clans l'exemple précédent, c'est-à-dire soit par les essais. 
soit par la détermination directe du nombre cherché, eu 
divisant la différence 103526 trouvée précédemment par la 
somme des rectangles b et b obtenus par Fessai 10, c'est-à- 
dire par le nombre 16,000, nous trouverons pour le côté 
cherché du carré c le nombre 60. Par les mêmes procédés 
pour le côté du carré e dans le gnomon d e d, ayant pour un 
des côtés de ses rectangles le nombre 860, nous trouverons 
le nombre 2. En réunissant les parties trouvées de la racine 
cherchée 800, 60 et 2) on trouve cette racine égale à 862. Les 
restes de l'extraction de la racine carrée dans les deux exem- 
ples (12 et 482) sont figurés par les gnomons m n m. 

Des considérations précédentes sur l'extraction de la racine 
carrée, il résulte la règle suivante : 

Ayant déterminé le nombre des unités de l'ordre supérieur, 
les nombres des unités des ordres suivants s'obtiennent par- 
la division du reste trouvé : par le double du nombre, qui 
représente dans la bande correspondante le plus grand côté 
de ses rectangles et en vérifiant ensuite par les conditions de 
la question le quotient trouvé regardé comme le nombre pos- 
sible des unités de l'ordre considéré. 

En remplaçant la méthode géométrique par le procédé 
algébrique, et en renonçant à la méthode des essais et à sa 
forme particulière, on a non seulement privé le procédé de 
l'extraction de la racine carrée, non seulement de sa clarté 
primitive, mais on a compliqué l'exposé. La considération du 
schéma et la déduction de la règle facilitent grandement la 
première étude de l'extraction de la racine carrée, tandis 
(pie pour les commençants elle devient un objet d'étude des 
plus difficiles et vite oublié lorsqu'on se borne à la méthode 
algébrique. 

Dans son manuel d'algèbre élémentaire, le professeur 
Davydoff expose cette règle de la façon suivante: «on divise 
en tranches le nombre donné et l'on détermine le nombre 
dont le carré se rapproche le plus de la première tranche. Ce 
nombre représente le premier chiffre v\n quotient. Avant 
soustrait son carré de la première tranche et ajouté la tranche 
suivante, on obtient le soi-disant premier reste ; en séparant 



METHODE EXPERIMENTALE 281 

dans ce reste le dernier chiffre, nous divisons les autres par 
le double du premier chiffre de la racine; le quotient est le 
second chiffre de la racine ; on Le place à la droite du divi- 
seur, on multiplie le diviseur avec le chiffre ajouté par le 
second chiffre de la racine et Ton soustrait le produit du 
premier reste ; mais si le produit est plus grand que le 
reste, on diminue dune unité le second chiffre de la racine. 
Au reste trouvé on ajoute la tranche suivante et Ton trouve 
de cette manière le soi-disant second reste, en le traitant 
comme le premier on trouve le chiffre suivant de la racine 
et ainsi de suite. Si le dernier reste est zéro, le nombre 
Uouve est la racine exacte du nombre donné; dans le cas 
contraire le nombre donné n'a pas de racine exacte ». A la 
démonstration et à l'exposition de cette règle sont consacrées 
neuf pages et la démonstration elle-même se base sur les faits 
suivants : la détermination préalable du nombre des chiffres 
de la racine ; l'extraction de la racine carrée d'un nombre 
^ 10 et < 100; enfin l'extraction de la racine dans le cas 
d'un nombre quelconque. En ce qui concerne l'exposé donné 
de la règle, outre ses défauts essentiels — longueur et man- 
que de clarté — il contient dans les lignes par nous souli- 
gnées des affirmations inexactes au point de vue général et 
que contredit l'exposé dont elles sont suivies. 

Dans le traité de J.-A. Serret l'exposé de la règle consi- 
dérée occupant toute une page est encore plus long, mais en 
revanche on a su éviter une affirmation inexacte signalée 
dans l'exposé du professeur Davydoff, et, ce qui est surtout 
remarquable, c'est grâce au fait que l'on s'est adressé direc- 
tement à la vraie nature de l'objet, c'est-à-dire à la méthode 
des essais. En effet, dans le passage correspondant, Serret 
s'exprime ainsi «... on obtient ainsi un premier reste à la 
droite duquel on abaisse la deuxième tranche. On sépare le 
dernier chiffre du nombre ainsi formé, et l'on divise la partie 
à gauche par le double du premier chiffre de la racine. » 

« Le quotient entier de cette division est égal ou supérieur 
au deuxième chiffre de la racine. Pour essayer ce chiffre, on 
l'écrit à la droite du double du premier chiffre de la racine, 
et l'on multiplie le résultat par le chiffre essayé. On reIran- 



282 V. BOBYNIN 

che le produit du nombre formé par le premier reste suivi de 
la deuxième tranche : si la soustraction peut se faire, le 
chiffre essayé est exact ; sinon, on essaye de la même manière 
le chiffre inférieur d'une unité, et ainsi de suite jusqu'à ce 
qu'on ait trouvé le chiffre exact. » 

4. — La voie, suivie pour la démonstration de la règle de 
l 'extraction d'une racine carrée, a conduit à la règle de l'ex- 
traction de la racine cubique d'un nombre entier. 

En cherchant un procédé analogue à la méthode des rectan- 
gles on a été amené à envisager le cube. On décompose un 
cube de côté a + b en parties qui sont les termes du déve- 
loppement de [a -\- b) 3 . 

5. — Le procédé qui sert à la détermination de la valeur 
numérique d'une racine d'une équation d'un degré quelcon- 
que, connu sous le nom de méthode de Newton a été trouvé 
d'abord par Viète qui l'a exposé dans son ouvrage De nume- 
rosa potestatum purariun atque adfectarum ad exegesin 
resolutione. » 

Dans la science moderne on le déduit de la façon suivante, 
soit : f(x) = Q une équation à résoudre et soit a le nombre 
des unités de l'ordre supérieur de la racine cherchée trouvé 
par une voie quelconque. En désignant par p la partie com- 
plémentaire on trouve 

f(a. 10... 00 + />> = fui . 10. ..00) + [)(' \<i . 10. ..00) + 

+ T I } '~f" { "- 10 •■-■00) + = Q ■ 

En négligeant dans cette expression tous les termes 
d'ordre supérieur a partir du terme '/a /" <V*.10...00) P et en 
divisant Q — f fr/.10...00) par /' (C.10...00), on trouve le 
nombre b pour les unités de l'ordre supérieur dans la partie 
complémentaire. Si l'on remplace maintenant dans la même 
équation p par b. 10... 00 + q, où q représentera de nouveau 
la partie complémentaire de la racine cherchée cette équa- 
tion s'écrira 

f{a. 10... 00 -f- l> . 10... (i 4- r/i = f{a 10... 00 + h . 10. ..0) -f 

+ qf'[a. 10. ..00 -f- A. in. .u, -f _ q*f (a . 10...00 + fc.lQ... 0) -j- = Q 



METHODE EXPÉRIMENTALE 283 

d'où il résulte le nombre c des unités de Tordre supé- 
rieur dans la partie complémentaire; en négligeant les 
termes d'ordres supérieurs on aura le quotient 

Q — /•(<*. 10.. .00 -j- &.10...Q) 
/•'i«. io. ..oo -f b. io ... oi etc ' 

6. — Yiète examine le cas des équations du deuxième 
degré dans son ouvrage ad Logisticen speciosam notae 
priores et posteriores ; il est parvenu à sa méthode par l'ex- 
tension de la méthode des rectangles à l'expression 

lA + Bi 2 + D|A + B| . 

Cette extension s'obtenait par l'augmentation du carré 
construit sur le coté A + B par le rectangle construit sur le 
même côté et ayant pour l'autre côté D. Pour déterminer à 
l'aide de cette extension le nombre des unités des différents 
ordres, qui forment la racine d'une des équations considé- 
rées par Viète 

x' 1 + :.r = 60750 . 

on peut procéder de la façon suivante : La valeur approchée de 
la racine carrée du nombre 60750 est 246, donc le nombre des 
unités de l'ordre des centaines dans la racine de l'équation 
considérée ne peut surpasser 2, la racine elle-même étant 
plus petite que 246. 

60750 
41400 

"" 4070 



19350 
17880 



1470 
l'.70 



487 



En prenant le nombre 2 pour un essai, on le trouve satis- 
faisant, car la vérification par les conditions de la question 
nous donne pour la différence du nombre 60750 et du 

binôme 

200 2 + 7.200 = 41400 

un nombre plus petit que le soustrahende. Cette différence, 
c'est-à-dire le nombre 19350, représente comme c'est facile à 
voir la portion a d b e c f. On trouve facilement que les 



284 V. BOBYNIN 

essais de la détermination de nombre doivent être compris 
entre les limites 10-100. On prend pour l'essai initial la 
limite inférieure; on le vérifie par les conditions de la ques- 
tion, c'est-à-dire on soustrait du nombre 19350 le nombre 
2.200.10 + 100 + 70 — 4170, fourni par l'essai. On voit que 
1 évanouissement du premier nombre n'est aussi complet 
qu'il pouvait être ou, en d'autres termes, on n'obtient pas 
dans le reste 15180 v\\\ nombre plus petit ([ne le soustra- 
hende. En passant aux essais suivants 20, 30, 40, on trouve 
que l'évanouissement aussi complet que possible du nombre 
19350 se réalise seulement par l'essai 40, cet essai donnant 
pour reste de la soustraction 19350 — (2.200.40 -f 1600 + 280) 
le nombre 1470 plus petit que le soustrahende 17880. Gomme 
dans le cas de l'extraction de la racine carrée, le processus 
compliqué de la considération des quatre essais consécutifs 
peut être remplacé par la détermination directe du plus grand 
essai de tous les essais possibles par la division du nombre 
19350 par la somme des trois rectangles qu'on obtient au 
moyen de l'essai 10, c'est-à-dire par le nombre 4070 soit 
i * > 7 . 1 . Le quotien 4 provenant de cette division est le plus 
grand essai possible servant à déterminer le nombre des 
dizaines de la racine. En effet, d'après ce qui précède cet 
essai vérifié par les conditions de la question est précisément 
ce nombre. Après avoir déterminé les côtés du carré b dans 
le gnomon a b c, soit le nombre des dizaines de la racine, 
on passe à la détermination du nombre des unités ou en 
d'autres termes à la détermination du côté du carré e dans 
la portion cl e f. Les essais correspondants seront donc com- 
pris entre les limites 1-10. En suivant la même marche que 
dans le cas précédent on trouve le nombre cherché soit par 
les essais subséquents, soit par la division du dernier reste 
1470, considéré comme représentant toute la bande de fou sa 
plus grande partie, par la somme des trois rectangles du 
gnomon, obtenu au moyen de l'essai 1, c'est-à-dire par le 
nombre 2.240 -}- 7 = 487. Le quotient trouvé 3, après la 
vérification par les conditions de la question, en effet se 
trouve être égale au nombre cherché et le nombre 243. 
obtenu parla réunion des côtés des trois carrés 200 + 40 +3, 



m i: ru o i) i: i: xi> /■: n i m e n ta i. e 285 

est la racine cherchée exacte de Téqualion, donnée du 
deuxième degré. 

En schématisant le processus exposé, on peut dire qu'après 
avoir déterminé par les essais le chiffre de Tordre supérieur 
de la racine (la limite supérieure de cet essai est indiquée 
par la racine carrée du terme connu de l'équation) les chif- 
fres suivants se déterminent par la division de chacun des 
restes par la somme des aires des trois rectangles, apparte- 
nant au gnomon correspondant et calculés au moyen de 
l'essai unité de l'ordre considéré, et ensuite par la vérifica- 
tion par les conditions de la question du quotient obtenu, 
envisagé comme le nombre possible des unités de Tordre 
considéré. Gomme c'est facile à voir dans toutes ces divi- 
sions, le diviseur est la dérivé de la fonction /"(.r), dont l'ex- 
pression est la partie gauche de l'équation et dans laquelle a 
est remplacé par sa partie trouvée accompagnée d'un certain 
nombre de zéros, représentant les ordres de la partie encore 
inconnue de la racine. 

7. — Un procédé analogue pour calculer la racine d'une 
équation du troisième degré a été trouvé par Yiète. soit par 
la même voie, comme dans le cas d'une équation du deuxième 
degré, c'est-à-dire par une méthode analogue à la méthode 
des rectangles, soit algébriquement par un moyen, dont il se 
sert dans les cas des équations des 4 me , 5 me , 6"' e degrés. Ce 
moyen consiste d'abord à remplacer x dans l'équation consi- 
dérée par la somme 

•'! + -*2 + X\ + ... 

où .a, .r-2, .la,... sont les nombres des unités des ordres 
consécutifs de la racine ; ensuite on ordonne les termes, 
obtenus après la substitution, cette opération étant conciliée 
avec les besoins de Télucidation de la règle cherchée. Mais 
il n'y a pas de raison pour entrer dans les détails de ce pro- 
cédé, car il ne se trouve pas en rapports directs avec la 
méthode des essais. Les mathématiciens de nos jours sont 
loin de la compréhension et de la connaissance des méthodes 
employées par Viète; on peut en juger : 1) par les paroles 
de Moritz Gantor ', relatives au passage correspondant 



Moritz Gantois, Vorlesungen ilber Geschichte der Mathêmatik, II. S. 588. 



286 a. a rnn y 

dans la résolution dune équation du deuxième degré citée 
plus haut, qu'en divisant 19350 par 407 on obtient .r,= 40, et 2) 
par le compte rendu de Maximilien Marie sur l'ouvrage de 
Viète, consacré au sujet considéré, qu'il envisage comme 
« un essai infrueteux de résolution des équations de tous les 
degrés à coefficients numériques l . » 

i Traduction de M. V. FitKiimÏRicKsz. Ixt-neve.i 

Y. Bgbyjun Moscou). 



LE LEMME FONDAMENTAL DE LA THEORIE 
DES NOMBRES 



Avant-Propos. — Historiquement, la théorie des nom- 
bres tire son origine des spéculations des Anciens sur les 
identités géométriques ou algébriques, les proportions, les 
progressions, les combinaisons, les nombres polygones, li- 
gures, parfaits, les carrés magiques, les problèmes indéter- 
minés et surtout les triangles rectangles en nombres entiers; 
mais la voie la plus naturelle qui y conduit est sans contre- 
dit, l'idée de congruence, énoncée explicitement, pour la 
première fois par Gauss. Plus immédiatement, on peut éta- 
blir cette théorie en partant, par exemple, de l'analyse indé- 
terminée, du théorème de Fermât, de la théorie des résidus, 
de la loi de réciprocité, de la formule de Moivre, ou encore 
d'un théorème démontré par Euler, page 75 du tome Mil 
des Novi Comm. Petr 2 . 

Ce dernier moyen parait le plus propre à pénétrer rapide- 
ment dans le sujet, car il en fait comprendre d'un seul coup 



1 Maximilien Makik. Histoire des Sciences mathématiques et physiques, III, p. 61. 

2 « Si per uumeruiii nuemcunque « termini progressions arithmetiese ciijuscimque, cujus 
differentia sit numéros ad n primns, dividantur. inter residua occurrent omnes nunieri divi- 
sore n minores ». 



THÉORIE DES NOMBRES 287 

l'esprit et la méthode ; (Tailleurs il y est employé à chaque 
instant, 

Pour ces deux raisons, il semble que ce serait chose utile 
qu'une monographie de ce théorème et de ses nombreuses 
conséquences, presque toutes origines directes des diverses 
divisions de la théorie des nombres. Tel est le programme 
du présent article, le second de ceux que nous avons an- 
noncés, page 25 l . 

1. — La relation que présentent deux entiers a. A, ne dif- 
férant que d'un multiple de b, s'écrit a = A (mod b) et 
s'énonce a congru à A, suivant le module b. 

Si on a : 

a = \ , a' = A' . a" = A'", ... (mod. b) 

on aura aussi : 

aa' ... = AA' ... . ka = /.A . ka + la' + ... = /A -f /A' -f- ... , 

a" = A" (mod-. b) 

De plus, si le nombre /.' divise a et A et qu'en outre il 

soit premier avec b, 

a — A 

-7 = 7. (mod. b) 

1. — Les entiers a et b étant premiers entre eux, si on di- 
vise par b les (b — 1) premiers multiples de a, les restes se- 
ront, dans un certain ordre les (b — 1) premiers entiers. (Eu- 
ler, 1759). Aucun reste n'est nul, et il ne peut y en avoir deux 
qui soient égaux, car, autrement on aurait, par exemple, 

an = r et fia = r d'où (a — |3) a = (mod. /;) 

ce qui est impossible, puisque a est premier avec b et que, 
a — (S étant < b, l'expression (a — (S) a ne peut représenter 
un multiple de b. 

Cor. I. Si a et b sont premiers entre eux, on peut toujours 
trouver, au-dessous de b, un nombre x qui satisfasse à la 
congruence ax = c (mod. b), ou, si l'on veut, à la relation 
ax — by = c. 



1 Diins le premier article, prière de rectifier ainsi le commencement du n° 3, page 2ii 
3. — Posons f< 2 = /•, il viendra f"^ == r" =• 1 : on a donc, etc. 



288 A. AUBRY 

Si a et b ne sont pas premiers entre eux et que soit leur 
p. g. c. d., t- et t- seront premiers entre eux et on pourra 

écrire a.v — by = c'i. 

On remarquera que si x satisfait à la congruence a.v = c 
(mod. b), tous les nombres congrus à .r, c'est-à-dire compris 
dans la formule l,b + .r, y satisferont également, et il n'y 
aura (pie ceux-là. 

Cor. II. Si (kb + a) Ib + ,r) = mb + c, .r a toujours uni- 
valeur unique < b. Ainsi tout nombre qui, multiplié par 
8 -{- 5 1 , donne un produit 8 + 7, e *t de la forme 8 + 3* 
puisque 3.5 =8 + 7. 

Si a et y.a sont tous deux = 1 mod. b), il en est de même 
de «. 

6o/\ ///. Supposons b impair: les restes de la division par 

b des nombres <7, 2a, 3a, ... — ^— a sont tous différents et de 

plus la somme de deux restes quelconques ne peut être 
égale à b. (Gauss). 

Cor. IV. Soit a l'un des nombres L, a, a.', a", ... b — 1, 
lesquels sont intérieurs à b et premiers avec lui : la division 
des nombres a, a a., aa\ ...a b — I par />, donnera coin nie 
restes les mêmes nombres 1, a, a', ... Gauss): 

Cor. V. Nombres associés. Appelons associés relativement 
à b, deux nombres dont le produit est = I mod. b): un nom- 
bre quelconque, premier avec b. a son associé Euler 1772 . 

En particulier, si b est un nombre premier/?, tout entier 
inférieur à p a son associé. En outre les nombres 1 et p — 1 
sont les seuls à être leurs propres associés, car, de .r 2 = 1 2 , 
on tire r + 1) {x — 1) = 0. 

On verra de même : 1° que 2 et ^— w— sont associés, de 

même que ?—~ — el p — 2 : 2" que les compléments à /; de 

deux associés sont eux-mêmes associés. 

Cor. VI. Si n divise a 2 ± kb 2 , a et b étant premiers entre 
eux, il divise aussi un certain nombre de la forme ,r ± /r. 



1 Nous entendons par là un multiple <\e 8 augmente de 5. 

2 Quand le module esl le nombre premier indéterminé/', on se dispense d'écrire la mention 

: un id. p . 



THEORIE DES NOMBRES 289 

Euler 1748). Démonstration de Lagrange (1769). On peul 
écrire a = b.r mod. /?), d'où 



a 2 ± /,lr = lr.>' J ± kb* = Ir I.» 2 ± / •] . 



IIIUKI. // I 



En particulier, si le nombre premier p divise a 2 ± kb\ 
il divise ;iussi ,r 2 ± h '. 

C'o/'. 17/. Les nombres a et & étant premiers entre eux, 
lout diviseur de cr -\- hb 2 est de la l'orme L//- + MÔx -f N.*" 2 
et on a en outre 4LN — M 2 = 4/r (Lauranoe 177."» 2 . 

Soit /. un diviseur de <7 2 -f /< <^ 2 ; on peut écrire a == />r + //.r. 
ce <|iii donne 

«-' + /■//' = |»' 2 + k) Ir + 2^ra6*' + bV . 

ce qui montre que // divise c 2 + /. , puisque // et b sont pre- 
miers entre eux. 

Remarques. Formes réduites. On donnera ainsi qu'il suit 
une forme plus précise au diviseur. Si, en valeur absolue, 
M > L ou > N, la formule Lb z -f- M&c + N.r 2 peut se chan- 
ger en L7/ 2 + M'b'x' -f- N'a/ 8 , avec les relations 

iL'N' — M' 2 = ',/■ e \ M' < N, L' ^ L , N' ^ N . 

Faisons en effet b = b' — m.c\ x = x' ; la transformée 
s'obtiendra en j>osant : 

1/ = L , M' = M — 2Lin . .V = L;« s — Mm -f- N . 
d'où 

l«l iL'N' — M' 2 = iLN — .M- . 

Or on peut prendre //? tel que, en valeur absolue, on ait 
M' < L' = L < M et de là, à cause de (a), L'N' > L.\ ou 
Y > N. 

Si M' > N' on opérera de même et on obtiendra une autre 
transformée du diviseur, laquelle donnera 4L" N" — M" 2 
= 4Â-, N" = N' , .M" < M' . L" > L' ; et ainsi de suite. 



1 On dil souvent que/) divise Aj" 3 -\- Bx -)- C, pour signaler qu'il existe un entier x, qui rend 
la valeur de l'expression Ax 3 -f- Bx -(- C divisible par p. 

2 Le théorème de Lagrange est plus général : il traite l'expression An 2 -(- Bab -f- *^ a > au 
lieu «le u À + M 3 : mais il suffit de considérer cette dernière, car la précédente s'y ramené im- 
médiatement, puisqu'on peut l'écrire ainsi 

(2Aa + Bf>l 2 + (4AC — B 2 ,* 2 
VA" 

L'Enseignement niathém.. 9 e année : 1907. 2(1 



290 A. A II: Il Y 

Puisque les nombres M, M', M", ... décroissent de plus en 
plus, que L, L', ... et N, N\ ... ne croissent pas, on arrivera 
à une expression de la forme suivante 

IV -f '!>>-. + R=* . 

pour le diviseur de a 2 -\- kb 2 . Dans cette expression, appelée 
par Gauss, la forme réduite 1 , y et z sont premiers entre eux, 
(I, ^ p, $ ^ p x et de plus 

(|3i 'iPR — *- = \k . 

Si /. > 0, 4PPi est positif et comme P ^ <I> , Pi ^ <I>, on aura : 

4PR ^ '.*'-' . d'où * ^ 2 l/^ • 

Si A < 0, on aura : 



4,2 _ ',pr > o , d'où * 



-v* 



<p est pair d'après (/S) ; on prendra O d'après les limites in- 
diquées et pour P et R, les facteurs de — -. — - , en rejetant 

ceux qui seraient < <I> . 

Le nombre des diviseurs est visiblement fini. 

Diviseurs quadratiques. — 1° soit /.• — 1 ; on aura 

<I> ^ 2 i/ï ; donc <J> = et d'après (/3), PR = 1, d'où P = 1, 

R = 1. Ainsi les diviseurs de a 2 -j- b 2 sont de la forme v 2 + z 2 
(Fermât). 

2° Soit k = 2; il viendra $ ^ 2 Jl , d'où $ == , PR = 2 , 

PR = 1 , R = 2. Ainsi les diviseurs de a 2 -f- 2b 2 sont de la 
même forme (Eiiler). 

3° Soit k = 3 ; il viendra <P ^ 2 ; <P peut prendre les valeurs 
ou 2. La première donne PR = 3, d'où P = 1, R = 3. La 
seconde, PR = 4, d'où P = R = 2. Ainsi les diviseurs im- 
pairs de a 2 + 3b 2 sont de la même forme (Euler). 



1 (jîiuss y arrive par certaines transformations qui en rendent l'étude théorique plus acces- 
sible, mais il suffit pour notre objet de montrer l'existence de la forme réduite. 



THEORIE DES NO M mt Es 2 \*\ 

4° Soit enfin k = -— 2 ; on aura <I> ^ 2t A ; donc <I> == 
PR = 2, P=l, R = 2; ou bien P = 2, R = l. 

Les diviseurs sont ainsi de Tune des formes y 2 — 2; 2 ou 
-.'/" — 2 2 , lesquelles n'en font qu'une, car on a 

f — 2z* = 2 [y — Z ) a — [y - 2s)* . 

Ainsi les diviseurs de a 2 — 2b 2 sont de la même forme (Eu- 
1er). 

Legendre a donné la table des diviseurs quadratiques 
jusqu'à k = ± 103. Pour s'exercer, on pourra vérifier que 
les fadeurs de a 2 + \3b 2 sont de l'une des formes 

y + 13=» , 2y 2 + 2yz + 1-J . 

Diviseurs linéaires. Reportons nous aux quatre applica- 
tions qui précédent et considérons seulement les diviseurs 
impairs. 

1° y et z étant premiers entre eux et y 2 + ~ 2 un diviseur 
impair, on a, par exemple, y pair et z impair. Il suit de là 
que les diviseurs impairs de a 2 + b 2 sont de la forme 4 -f 1 
Fermât). 

2° y 2 -f- 2r. 2 ne peut représenter un impair que si y est im- 
pair. Selon que z sera pair ou impair, on aura y 2 + 2c 2 = 8 
+ 1 ou 8 + 3 : telles sont les formes des diviseurs de 
a % + 2b 2 Fermât). 

3° L'un des nombres y, z est pair, l'autre impair : autre- 
ment if + 3; 2 serait pair. D'ailleurs y ne peut être un mul- 
tiple de 3 car y 2 -f 3z 2 le serait aussi. Supposons y pair, il 
sera de la forme 6 ± 2, z sera impair et on aura y 2 + 3z 2 = 
6 + 1. Soit y impair, ce qui demande qu'il soit de la forme 
6± Uz sera pair et on aura y 2 + 3z 2 = 6 + 1. Cette der- 
nière forme est donc celle des diviseurs premiers impairs de 
a 7 + "3b 2 (Fermât). 

4 ft On verra de même que tout diviseur impair de a 2 — 2ù 2 
est de l'une des formes 8 + 1,8—1 (Fermât). 

Diviseurs numériques. Les formules des diviseurs servent 
principalement dans la recherche des diviseurs des grands 
nombres. On en saisira l'usage par l'exemple simple suivant. 



292 -/• Al' un Y 

On a 10273 = LOI 2 + 2.6 8 = 89 2 + 3.28 a . Les diviseurs de 
ce nombre appartiennent ainsi aux formes 8 + 1.8+'!. 
6+1. La seule forme à essayer est clone 24 + 1 ; or les seuls 
nombres premiers de cette forme inférieurs à 1/10273 sont 
73 et 97 : la division par ces deux nombres ne réussissant 
pas, le nombre 10273 est donc premier. 

Formes quadratiques. C'est ici le lieu de donner une idée 
de la théorie des formes quadratiques, c'est-à-dire des ex- 
pressions de la forme a.r' 2 + Ibxy + ci/', qu'on représente 
par la notation (a.à,c). Cette théorie tire son origine des 
beaux théorèmes dûs à Fermât et démontrés par Euler. qui 
en a compris l'importance et dégagé les principes. Lagrange 
l'a définitivement fondée par sa considération des formes ré- 
duites; Legendre l'a ensuite perfectionnée à divers égards ; 
mais c'est surtout Gauss qui, la reprenant systématiquement, 
en a fait le chapitre le plus vaste et le plus fécond de la 
théorie des nombres. 

Le but de Gauss était primitivement la représentation des 
nombres par des formes, mais l'intérêt propre de ces ex- 
pressions les lui a fait étudier en elles-mêmes et il a été suivi 
:lans cette voie par les plus éminents arithméticiens. 

Nous nous contenterons d'indiquer ici quelques notions 
très élémentaires de cette théorie, dans le but de familiariser 
avec la terminologie de Gauss, laquelle a souvent effrayé les 
débutants par le grand nombre des idées et des expressions 
nouvelles qu'elle a introduites dans la science des nombres. 

1" Dans la forme a, b.c = a.r 2 + 2bxy + ci/', substituons 
les valeurs 

.<■ — a.r' -f- $>•' . v — 'ji' -f- <? > ' ; 

il viendra une autre expression de la forme 

irt'. 1/ . c'\ = rt'.r' 2 -j- 21/. r' r' + <'r' 2 . 

On dit que la première forme renferme la seconde, et la 
substitution se figure par la notation (.'.) • De même dans la 
seconde forme, effectuons une substitution (,■>,) , il viendra 
une troisième forme renfermée dans la deuxième. Or la pre- 



THEORIE DES NO MUR ES 293 

mière forme peut donner la troisième à l'aide (rime certaine 
substitution f ,,,„) déterminée par les formules 

i 1 1 '/." — «a' -\- fiy' . |3" z=z <yjS' -|- po' , y" = yv! -\- Sy' . 

S" = y$' + W . 

et liée aux deux autres par la relation 

(2) la-T — /3yi (a'<T — |3''/) = «"^" — P"'/"- 

2". Si dans la deuxième forme, les nombres x et y' sont 
entiers, les nombres x et y de la première le seront égale- 
ment si Ton a a§ — (5y = ± 1 ; et, dans ce cas, les deux 
Cormes sont dites équivalentes 1 , proprement dans le cas du 
signe + et improprement dans le cas du signe — . L'équi- 
valence de ces deux formes se note ainsi (#, b, c) cr> (a'b'c . 

La quantité ac — b' 2 s'appelle d'après Gauss, le détermi- 
nant de la forme («, b. c). Les déterminants de deux formes 
équivalentes sont égaux ; la réciproque n'est pas vraie en 
général. 

.3°. Les lettres x, y. x\ y' ... représentant des entiers qui 
peuvent être quelconques, on peut supprimer les accents 
dans une l'orme considérée isolément, et ainsi on peut dire 
que, si deux formes sont équivalentes, tout nombre repré- 
sentable par Tune l'est également par l'autre. 

4°. Si on a aà — (3y = 1, la substitution y °) est très re- 
marquable; elle est dite modulaire et les formes qui s'en 
déduisent sont dites de même classe. Si ad — /3y = — 1, 

effectuer la substitution y $) puis la substitution ( ) re- 

vient à effectuer la substitution unique (* \) , qui est mo- 
dulaire. 



1 Telles son! les formes (a, b, c) , (c,b,a), tc. — b. ai. (à, — b. c), qui sont respectivement 
les formes identique, associée, complémentaire et opposée à la forme [a, b, c). Elles s'en dedui- 

sent par le moyen des substitutions (J f) . (',' ') , (° ~ *) et ( Q ™ ,) . 

Dedekind a appelé par analogie nombre* équivalents ceux qui sont compris dans la formule 
j . quand fj.fi — Ôv = ± 1. Ils jouent un rôle important dans la résolution des nui- 

yx + fi 

gruences <lu second dejrré. 



29'i -/. AUBRTt 

.">". Deux formes réduites, qui ont un même déterminant 
positif, ne peuvent être de même classe que si elles sont 
identiques. De là le moyen de reconnaître si deux formes de 
même déterminant positif sont de même classe. 

Si les nombres a , b, c n'ont aucun diviseur commun, et 
qu'on pose ac — b 2 = D, les valeurs déterminées par la re- 
lation t 2 -f Du 2 = 1 donneront toutes les substitutions 

( , '." ) qui changent la forme a, b, ç) en elle-même. 

V nu t -\- bu/ ' ° 

On tire de là le moyen de trouver les substitutions modu- 
laires qui lient deux formes à déterminants positifs et de la 
même classe. 

Les théorèmes analogues dans le cas d'un déterminant né- 
gatif sont beaucoup moins simples. 

6°. Les problèmes généraux résolus par Gauss et ses con- 
tinuateurs visent surtout la détermination et le dénombre- 
ment des classes des formes de même déterminant, ainsi 
que différents modes de les grouper. 

Cor. VIII. Si n =. au 2 + 2bu.v + ce 2 , /z et v étant premiers 
entre eux, on peut déterminer un nombre dont le carré di- 
visé par 11, donne pour reste b 2 — ac 1 (Gauss. Posons en 
effe! uc — vij = 1, il viendra 

loi \x(b\i -\- cv) + rtujL -f- bv)]* = n \uy -f- 2bxr + ''- l ' 2] + ''" — '"' • 

Cor. IX. Lue expression de la forme A.r" -f- ... -f- M = 
s'appelle une congruence du n c degré et les valeurs de .r qui 
y satisfont et sont inférieures à p en sont les racines; les 
autres nombres plus petits que/? en sont les non-racines. 

n désignant un nombre inférieur à p. la congruence 

Y x) = A.r" -f B.r" -1 -f ... + L.r -f- M = ne saurait avoir 
plus de // racines Lagrange, 1 7GS. Soit en ellet a une racine 
de Y (x) = ; on a : 

F (a) = , d'où A far» — n") -\- B i.i-«-< — a"- 1 ) -f- ... + I. [x — a) = 0. 

Le premier membre est divisible par x — a. quantité non 
multiple de p. De là, une transformée, de la forme A.r" -1 -f- 
... + L = 0. Si le nombre b, plus petit que p est une autre 



1 Le nombre t* — <n >s\ cl i I résidu de n. 



THÉORIE DES NOMBRES 295 

racine, on aura de même A x"~~ y — b"~ y ) -f- ...=(), d'où, en 
divisant par x — b, Ax"~ a -f- ... = 0. laquelle ne peut avoir 
qu'une solution. 

Certaines eongruenees ont toutes leurs racines ; certaines, 
au contraire, n'en ont aucune, comme la suivante, x 2 — 2.r 
+ 4 = 0(mod. 5). 

On suppose que les coefficients de F (x) ne sont pas tous 
des multiples de p : autrement on aurait F (x) = 0, quel que 
soit x. Une telle congruence est dite identique. Réciproque- 
ment, si on a F .r) = quel que .voit.r, les coefficients sont 
tous des multiples de p. 

Remarques. L° Euler avait esquissé, en 1754, une démons- 
tration de ce théorème, qu'on peut présenter ainsi : Si les 
// + L) premiers entiers étaient racines de F (x) = 0, les va- 
leurs correspondantes de F (x) et leurs différences premières, 
secondes, ... seraient = 0. Or la différence n e est égale à Au ! 
quantité incongrue à p. La supposition est donc fausse, et 
la congruence a des non-racines f= // + i- 

2° Si le premier membre F (x) peut se décomposer en 
deux facteurs entiers f (x) , © (x) de degrés k et n — k et 
que la congruence F (x) = ait n racines, les eongruenees 
f{x) = 0, m(x) = en ont respectivement /.• et // — k (La- 
grange. En effet chacune ne peut en avoir davantage et elles 
ne peuvent en avoir moins, car toutes les racines doivent se 
retrouver dans la congruence f (x) © (x) = 0. 

Euler avait auparavant démontré cette proposition, dans 
un cas particulier. 

Cor. X. Critérium d' Euler. 1" Soit a 2 = /'. on aura égale- 
ment (p — a) 2 = r : la congruence oc 2 = r n'a que les deux 
racines a et — a ', car on peut l'écrire x -\- r (x — /) = 0. 

Les p — 3 entiers inférieurs à p et différents de a et de 

— a se partagent en ' ,, groupes de deux nombres dont 
le produit est = /'. (>omme a (p — a) = — a 2 = — /\ on a, 
en multipliant, ces — „ — groupes et posant // = 'lm + I, 

i», ( p — 1 i ! = — /■"' . 

1 Pour abrt'gei - , on r-erit souvent — a au lieu tic p — a. 



296 -/ A Uli II) 

2° Puisque dans certains cas, la congruence x* = z a deux 
racines, il y a, au-dessous de p. des valeurs o, de z, qui ne 
permettent pas de satisfaire à cette congruence 1 . On peut 

donc former, avec les p — 1 premiers entiers, ? 9 groupes 

de deux nombres dont le produit est = p, et par suite on 
peut écrire : 

(5) \p — li ! = p"> . 

3° La valeur z = l permet visiblement île satisfaire à la 
congruence .r' 2 = r- : on n'a qu'à faire x = z = 1. Donc 
puisque le nombre /•'" est congru à une constante, on peut 
écrire 

;•'» = \m = 1 . ei de là »•" — — /'" = — 1 . 

Ainsi, selon que la valeur de z permet ou ne permet pas 
de satisfaire à la congruence .r' 2 = z, on a : 

z m = ± 1 . 

Cette démonstration est due à Lejeune-Dirichlet. 
Cor. XI. Représentons par s^n la somme des n 0i puissan- 
ces des k premiers entiers, on a, pour // < p — • l , 

(6) s [ n = . i<;;mss et Libri.l 

Démonstration de Poinsot 1845). Ecrivons ax=b, d'où 
[ax) n = b" : il s'ensuit que, pour a = 1, 2, .'5. ... p — 1, les 
restes de [ax) n seront, dans un certain ordre, les mêmes que 
ceux de a". On a donc, en comparant les deux séries de ré- 
sultats et additionnant. 

<•*•"- M«,_i tJ ,= • 

Prenons pour x une des non-racines de .r" — 1=0. il 
viendra la relation annoncée. 

Autre démonstration. L'expression (x + 1" — x" est la 
somme des n termes 

[x + 11»— l. [X + I I»—- X . \X + li»- :1 r- r»-' . 



1 Les valeurs de ; -un t appelées résidus ou non-résidus de /'. selon qu'oïl 
on ii.in la réalisation de la congruence .r- = -.. 



THÉORIE DES NOMBRES 207 

et par suite, elle comprend visiblement n fois le terme x"~\ 
plus des termes en x"--, x"— :f . ... On a doue : 

U + I)" — .r" = n.rn-\ _|_ A.r"-2 + H.r»-'> + . . . hx + I 

A, B, ... désignant des coefficients indépendants de x. Chan- 
geanl successivement x en 1, 2, 3, ... a — 1 et additionnant, 
il viendra : 



a" = us 



,_, . „_, + A.^_, ;i _ 2 + . . . _|_ !-•<'„_,_ , + a ; 



de sorte que si .?„_,. „_ 2 , s«_i iW _ 3 , ... sont des multiples de » 
et que // ne le soit pas, .?«_,,„_, le sera également. 

< )r .v„_, ,, est un multiple de a ; il en est donc de même de 
.v«_i.._. , puis de s ffl _i 53 , etc. 

Cor. XII. Lemme de Gauss. Divisons par/; les p -^ = m 

premiers multiples de a ; les restes seront, dans un certain 
ordre et avec des signes divers, les nombres ± 1, ± 2, ± 3, 
... ± m. Posons en conséquence : 



a = 'i . 2a — r, , ... ma = r m 



on aura, en multipliant, // désignant le nombre des restes 

,„ ! a"> = r, r a ... r m = (— l)n m ! • 



négatifs. 



(t ou 

(7) «/n = j — h» 



Application. Soit « = 2. Les restes ne sont autres que les 
produits eux-mêmes 2, 4, 6, ... 2m— p — I. Les produits 

plus petits que - p donnent des restes positifs. Orle nombre 
des produits 2, 4, 6, ... p — 1, inférieurs à -^ /? est pair, si 

p = 8 + 1 ou 8 + 3 ; et il est impair si p .== 8 -f- 5 ou 8 + 7. 
Mais le nombre total /?2 des produits est pair pour 8 + I ou 
8 + 5, et impair pour/; = 8 + 3 ou 8 + 7. Le nombre n des 
restes plus grand que - p, est donc pair ou impair selon que 
p = 8 d= \ ou p = 8 ± 3. 



298 A. AVBRY 

En résumé, on a : 

(8) 2"' = |— Il H . 

Cor. XIII. Théorème d'Euler. Les nombres a et b étant 
premiers entre eux, on a : 

(9) r/ v,/ " = I (mod. I» 

tp b désigne, d'après Gauss, le nombre des entiers inférieurs 
a b et premiers avec lui, 1, a, «', a", ... b — 1. 

Démonstration de Gauss. Appelons II le produit laa' a "... 
ib — 1), il viendra, en se rappelant le Cor. IV. 

na?W = H . ou 11 [a* 1 * 1 - 1| = (mod. b\ 

d'où la relation (9). 

Remarques. 1°. Si b est un nombre premier p, comme 
&(p) — /j — I, la formule (9 devient 



(10) 



,/'-' 



et constitue le théorème de Fermât. 

2" Démonstration de Poinsot. Joignons de a en a les £ 
sommets d'un polygone ; 6 étant premier avec a, on retom- 
bera sur le point de départ. Autrement celui auquel on abou- 
tit pourrait être considéré comme le point de départ d'un 
certain polygone fermé. Si on suppose que, dans cette cons- 
truction, on ne passe que par n sommets, le nombre total 
des sommets rencontrés en répétant cette construction pour 
chacun des b sommets, serait ainsi na. nombre divisible par 
b puisqu'on parcourt une ou plusieurs fois le polygone, // 
est donc multiple de b et ne peut être que b. 

Ayant joint les b sommets de a en a, à partir d'un sommet 
déterminé, on aura un second polygone de b côtés qu'on 
traitera de même, ce qui en donnera un troisième ; et ainsi 
de suite, jusqu'à ce qu'on retrouve le premier polygone. On 
aura ainsi // polygones différant entre eux et qui seront tout 
ou partie des polvgones étoiles possibles, lesquels sont au 
nombre de a //, d'après ce qui a été dit plus haut. Dans ce 
second cas, // sera un diviseur de m (b) ; en effet prenons un 
des œ [b polvgones qui ne se trouvent pas dans la série des 



THÉORIE DES NOMBRES 299 

n polygones différents qu'on vient de définir; on pourra de 
même en tirer n l polygones différant entre eux et différents 
des premiers ; car les constructions dérivant de la même loi, 
si un polygone de la première série était identique à un de la 
seconde, par exemple, les deux séries seraient forcément 
identiques. Ainsi les polygones non compris dans le premier 
groupe se partagent également en groupes de //. 

Mais le procédé revient à prendre les sommets de a en «, 
de «7 2 en <? 2 , de a 3 en r/ 3 , ... de a n en a" ; or dans ce dernier 
cas, les sommets sont pris de 1 en 1 : on a donc 

a» = 1 (mod. b) 

d'où 9) en élevant à la puissance entière f — . 

n 
Cor. XIV. Théorème de Wilson. On a : 

l 11 ' [p — 1)! = — 1 

Démonstration de GaUss. Associons deux à deux les nom- 
bres 2, A, ...p — 2; il viendra en multipliant ces ~ (p — ,T 
groupes, 

<'-' 2.3 •■• \[> — -1) = ! , 

d'où (11) en multipliant par/» — I. 

Remarques. 1°. Ce beau théorème parait avoir été entrevu 
par Leibniz ; Waring [Med. alg. 1770) en fait honneur à Jean 
Wilson. La première démonstration en a été donnée par 
Lagrange en 1771 : il considère l'égalité 

(*) !•*• + I I (■*■ + 2) ... \.r -\- p — Il = x p ~* + k.r>'-'- 

+ Si?- 3 + ... + K* + L 

el compare les deux résultats obtenus, 1° en changeant dans 
[ot)x en x + 1,2° en multipliant («) par x + p. Il tire de là 
les relations 

1 A = , B = , ... K = , L + 1 = ii . 

11:51 (/ , - 1 > L ='S,P + S-l,P-t A + S-2,i»-2 B + -- = 

\ ] + A + K + ... + K . 

'''•I (* + 1( (x +2) ... \.r +p — 1) _ . r P~ l -f I = . 

1 L.; nombre n des polygones différents obtenus est indépendant en effet de lapositiondes 
b points: il doit être le même, cpuel que soit le polygone dont on part. 



300 ./. AUBRY 

Si x est nul ou congru à p, la relation 14 donne le théo- 
rème de Wilson. Dans les autres cas, il conduit au théorème 
de Fermât. 

2°. Le théorème de Wilson fournit un moyen de recon- 
naître si un nombre donné est premier; en effet si p était 
multiple de <7, par exemple, a diviserait ip — 1 ! et par 
suite ne pourrait diviser p — L) \ -f- l. Malheureusement ce 
moyen est impraticable à cause des immenses calculs que 
nécessiterait cette recherche, même dans le cas de nombres 
peu considérables. 

3°. Généralisation de Gauss. Le produit des a> [b] nombres 
plus petits que b et premiers avec lui, est de lune des deux 
formes ± l mod. b ). Poinsot a donné, de ce théorème les 
trois démonstrations que voici : 

Si a est l'un des nombres a, a', a", ... b — 1, l'un des 
nombres ax, ay\ ... est de la forme 1 mod. b). Soit aa. = 1 
(mod. b) et supposons d'abord a = a, il viendra a b — a) = 
— 1 (mod. b) ; le produit des couples de la forme a b — a) 
sera donc ± i (mod. b , selon que leur nombre sera pair ou 
impair. Ce nombre n'est d'ailleurs antre chose que celui des 
racines de la côngruence .r 2 = 1 mod. b). 

Soit maintenant a différent de y. Les produits analogues à 
aa. seront tous de la forme 1 mod. b et aucun des nombres 
considérés tout à l'heure ne se retrouvera parmi ces derniers, 
puisqu'il chaque nombre a donnant a 2 = 1 mod. b), ne cor- 
respond qu'un nombre a' = b — a. donnant aa' = — l 
mod. b), et qu'à chaque nombre a, différent de son associé 
a. ne correspond qu'un seul nombre y. tel que a* = 1 
mod. b). 

Multipliant tous ces couples, on obtient le théorème. 

Gauss distingue les cas où il faut le sio-ne 4- ou le signe — , 
mais nous nous en tiendrons là. 

Antre démonstration . Posons y.y.'y." ... b — 1 = II : les 
nombres 

n ii n 



sont tous différents et premiers avec b. Les restes de leur 



THEORIE J)/:s NOMBRES :50I 

division par b seront les nombres a, x\ ... ; de là, en multi- 
pliant, la eongrtienee 

n «(6)-l ^ n ( (1 , () . n <i(6] _ nS jm(((j 6) 

Autre démonstration. Joignons, de a en a, les sommets 
d'un polygone P, de b côtés, et, de x en ,r, ceux du deu- 
xième polygone P' ainsi obtenu, x elant choisi tel que le 
troisième polygone coïncide avec le premier P. On a ainsi 
pris les sommets de a.r en a.r, ce cpii produit le même résul- 
tat cpie si on les avait pris de 1 en 1. Ainsi si a est premier 
avec b, il y aura toujours un nombre x tel que olx = 1 
mod. b\ l . 

Si x = a, et qu'on prenne les sommets de P' de b — a en 
b -- x, on retombera sur le polygone P renversé; donc 
a b — a) revient à — 1 ou bien a(b — a) = — i (mod. b). 

Ainsi, dans tous les cas, les nombres 1, a, a', ... b — I 
peuvent s'associer de manière que leur produit soit de la 
forme ± 1 (mod. b) : on peut donc écrire 

Il = ± 1 (mod. b). 

selon que le nombre des produits de la forme — 1 (mod. è), 
est pair ou impair 2 . 

Exercices. 



1. La somme des quotients provenant de la division par b 
is nombres a. 
b — 1). (Gauss). 



des nombres «, 2<y, 3#, ... (b — 1) a, est égale à ■=■ (a — 1) 



1 De la, une solution graphique de la congruence ot.r — b// = 1. (l'oinsoti. 

3 Si b est un nombre premier/), la démonstration se simplifie ainsi, d'après Cayley. 

D'après ce qui a été dit, Cor. XIII, 2°. premier alinéa, b points disposés régulièrement sur 

• \b\ -+- 1 
une circonférence sont les sommets de ' polygones réguliers de b cotés : d'où, si q 

est premier et égal a p. - i p — 1) polygones. 

Or le nombre total des polygones, tant réguliers qu'irréguliers, est évidemment la moitié 
du nombre des permutations de p — 1 objets, puisque ces polygones se reproduisent deux à 
deux. D'un autre côté, si nous faisons tourner autour de son centre, et successivement des 
27T \Tt fiTT' 2 ( p — 1) 71 

angles — - . — , — , ... , un polvgone irrégulier oueleonque, nous obtiendrons 

p p p ' p > V 3* » I 

p — 1 autres polygones irréguliers : le nombre des polygones irréguliers possibles est donc 
un multiple de p. De là. la relation 

■- [p — \)\ — - (p— l) = u . 



302 -/. M'RRY 

2. Si .r = a, y = /5 est une solution de ax — Inj = 1 ; 
x = fa, y = c{3 en est une de <7.r — /;# == c. 

3. Trouver x tel que .r = a (mod. «) et .r = /3 anod. 6). 

On cherche £A = 1 (mod. a) et «B = 1 (mod. b), ce qui 
donne 

.r = A/>a + B</p (mod. ab) 

4. Soit «• celui des b — 1 premiers entiers positifs qui rend 
c — ag multiple de b, l'équation ax +• py = C a un nombre 
de solution représenté par la formule de Paoli, 



(^0 + ' 



5. La solution de <7.r — by — c est donnée par la formule 
de Libri, 

(2c — «I Ajr 



— I 1 



+ 






2 ^A = 1 . ul- 

S1 " — 



6. Soit u le plus grand commun diviseur des nombres 
donnés a, /S, y, ... On peut toujours déterminer les nombres 
A, B, C, ... de manière qu'on ait 

— -\- — -\- ... z= u ((jauss). 

« P 

7. Résoudre les équations 

x'y" — x" y' = a , x" y — xy" = a' , xy' — x'y = a". (Gauss) 

8. Soit à résoudre les équations 

X = ay -f- a = bz -f- 6 = en- + y = ... 

<7, 6, c, ... étant premiers deux à deux. On pose F = abc ... 
et on calcule a\ b\ c' , ... de manière qu'on ait 



d'où 



P P 

— «' = 1 imod. «) . -r- b = 1 (mod. />) 
a b 



.'au. b' B , 



tiieo ni i: ni: s nombres :jo:{ 

i> 
Le problème est ramené au calcul des associés de — , ... 

(Voir exercices n os 10, 11 et 22 . 

9. Régula cœci. Partager A en n parties telles que a fois la 
première, b fois la deuxième, ... fassent ensemble une somme 
B. 

Supposons que a est le plus petit des nombres «,o,c,... 
On a : 

\h — a) \ + (c — a) z -j- ... = B — ak . 

équation de la forme <xy + (îz -\- ... = C. qu'on résout en 
remarquant qu'il y a au moins deux coefficients, oc et [S par- 
exemple, qui sont premiers entre eux, ce qui permet de poser 

<*«' -j- pfi' = 1 . d'où *■ == a'|C — ya — ...) + P- ■ 
y z= |3' (C — y« — . ..) + a p- • • • 

À, |u, ... désignant des quantités indéterminées. 

10. Divisons a par £, b par le reste, ce reste par le second 
reste, et ainsi de suite, de sorte qu'on ait 

a = lit -|_ c , (i — j3<- -(- cl , r ryd-)- i' , ... 

a, /S, ... sont entiers et /;, c, ... diminuent jusqu'à ce qu'on 
parvienne a m = u.n + 1- 
Formons les expressions 

[«| = a = A 

[a, 0] =|3A-M = B , 

[«,]3, 7 ]=yB+ l=C 



on aura 



a\ |/3, ... l\ — [a, ... 1\ |/3. ... t*| = ± 1 



De là le moyen de résoudre a.v — by = ± l 1 . 

11. Soient /'i , /' 2 , /' 3 , ... et ^ , </ 2 , </ 3 , ... les restes et les quo- 
tients obtenus successivement en divisant p par#, /'i , /•> , /•», ... 
Les restes sont tous différents de zéro et décroissent jusqu'à 
/„ = 1. On a : 

"<h f h ■•■ <y„_i = — {— V 



1 Les théories que contiennent les exercices 2, '■), 8. 9 et 10 étaienl connues des Indiens. 
comme on le voit chez Brahmcgupta el Bhaskara. Mais c'est seulement Bachct qui a com- 
mence à les exposer avec méthode el en détail. 



304 ./. A LUI! Y 



De là, la solution de ax = ± 1. (Binet). 

12. a et b étant premiers entre eux, le produit 



ça _ i x b _ i 



est divisible par r- (dauss . 

1 ,i — î 

13. Si on peut écrire a 2 = r et b~ = — /•, on a : .r 2 = — 1 
Euler). En effet posons ax = b, il viendra a 2 x 2 = b 2 = — <r . 
(iauss . 

14. Soient a 2 = /•, b 2 = rs, on peut écrire x 2 = s Eulef . 
En effet posons ax = b, il viendra rs = b 2 = a 2 x 2 = rx 2 . 
(Gauss . 

15. Soit af = <z* = /", g* et A étant premiers entre eux. on 
peut écrire r~ = r/. En effet posons g\r — Inj = 1, il viendra 

r x = a? x = a h »+ l = «r" . (Legendré). 

l(i. Aucun nombre non déeomposable en deux carrés en- 
tier ne Test pas non plus en deux carrés fractionnaires Fer- 
mat). 

17. L'égalité ax 2 — y 2 = 1 ne peut avoir lieu si a n'est pas 
la somme de deux carrés. Brahmeguptai. 

18. Les diviseurs du nombre a 2 — ?>b 2 sont de l'une des 
formes quadratiques ± .r 2 =f 3y 2 , ou de l'une des formes li- 
néaires 12 ± 1. Lagrange . 

li). Les nombres a 4 + 1 et a* — a 2 + 1 sont respective- 
ment des deux formes linéaires 8 + I et 12 -f- 1. En effet 
on peut les écrire 

(«» _ |,2 _|_ | el (a 2 — li* + a 2 = ut 2 + II 2 — :;«-'. (Serrel). 

20. Si l'un des coefficients A, B, est multiple de p. la eon- 
gruence Ax" -f- B.r;" -1 -\- ... + M = ne saurait avoir // 
racines. 

Il en est de même si M = 0. 

Si elle a // racines, a, b, ... on peut l'écrire A(.r — a 
x — b ... = et l'on a : 

A'(a + h -f ...) -f B == , ab ... =± M . 



THEORIE DES NOMBRES 305 

21. Du Cor. XI. déduire la relation 



s p _i ;/ ,_, = \p — ii : 



ainsi que le Cor. IX. 

22. Posons <-/• '= kb + L, on aura 

d'où une solution de c/.r — by == c (Poinsot*. Ainsi l'associé 
de <y relativement à b est 

<}< (6] — I 
» = a 

23. Trouver .r tel que x =« (mod. «' et = ,3 mod. 6). On a : 

.r = /i*' al a + a?'*) |3 (mod. ab). 

Ainsi les nombres à la Cois des deux formes 3 + l et 4 — 1 
sont de la forme 12 + 7: ceux des formes 3 — 1 et 4 + I. 
de la forme 12 + 5 : ceux des formes 3 ± 1 et 4 ± 1, de la 
forme 12 riz 1. 

24. Changeons successivement x et y en I. «, a', ... h — I 
dans la relation a =xy (mod. b et multiplions, il viendra 

«* " = — n- (mod. b) d'où n 1 = 1 (mod, // J i 

2.">. Démontrer les relations 

( p — II i» — -ii ... »J ■ 

-* t — £ — -^ =i — le» . (Lebeseue 

'P + I 



<n — li ! [p — a) ! = | — II" . (Lagrange 

A. Aubry Reaugency, Loiret 



L'Enseignement mathém., 9« année; 190" 



ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

DES MATHEMATICIENS 



LES RESULTATS 1 — IX- 



Question 21. 



Quels conseils* en résumé, donneriez-vous : a a un jeune 
homme poursuivant ses éludes mathématiques? 

h A un jeune mathématicien* ayant achevé ses études or- 
dinaires, et désireux de poursuivre une carrière scientifique ? 

Plus de la moitié de nos collaborateurs ont répondu à ces 
deux questions. Nous reproduisons leurs réponses presqu' 
in extenso (sauf celles qui sont à peu prés identiques:, afin 
de laisser parler le plus possible nos correspondants. 

Nos lecteurs seront à même de juger et de comparer les 
conseils si nombreux et si utiles destinés à l'étudiant et au 
jeune mathématicien. 

Rép. I (France i . — a) de ne lire que des livres bien faits, de 
chercher de bons professeurs et de bien s'assimiler leurs leçons. 
— b) de ne lire que des chefs-d œuvres, en premier lieu ceux de 
Gauss dont la perfection est presque inimitable au point de vue 
de l'invention et de l'exposition, et dont, pour ma part, j'ai tiré le 
plus grand profit. Xe jamais s'attaquer à des questions de pure 
fantaisie quelque séduisantes qu'elles paraissent; fuir sans cesse 
les méthodes artificielles, quelle que soit leur rapidité voir plutôt 
la manière de Gauss et de Chasles . ('.h. Méray. 

Rép. III Angleterre . — ai Mettre beaucoup d'attention au côté 
pratique et utile du sujet. — b\ Ne pas laisser son goût pour les 
recherches porter atteinte à l'accomplissement des devoirs pro- 
fessionnels qui lui procurent le moyen de vivre. Il tomberait dans 
la misère et personne ne lui en saurait gré. Bryax. 



1 Voir l'Eus, math., 7 année, n° 5, p. 387-395; n° 6. p. T,:\-'r,H, l;io.">. — 8 e année, n l. 
p. 13-Î8; n« X p. 217-225; iv i. p. 293-310; n" .>. p. 383-385, 1906. — 9« année, n- i, p. 193- 
I3.">. n° :>.. p. 204-217, 1907. 

- C'est par erreur que I - résultats publiés dans le précédent numéro portent le chiffre VII- 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 307 

Rép. VII (Allemagne). — Le jeune homme doit se proposer an 
but bien déterminé. M. Canton. 

Rép. VIII (Angleterre). — ai II faut chercher les applications à 
la vie pratique et faire un bon choix de matériel. — b) Si vous 
étudiez l'histoire des sciences mathématiques vous resterez sans 
faire de progrès. Il ne s'agit pas d'accumuler des connaissances. 
Le crible vaut mieux que la brouette. ( — ) 

Rép. IX France . — Travaillez si ça vous plaît, et ce qui vous 
plaît, sans atteindre la fatigue, la santé étant le bien le plus pré- 
cieux. On ne doit au travail que l'accomplissement de son devoir 
professionnel. Le reste est une satisfaction que je vous engage à 
prendre suivant vos goûts pour embellir votre existence. (....) 

Rép. XI Russie). — ai Acquérir des connaissances dans les 
branches les plus diverses des mathématiques, poursuivre quelque 
problème par ses propres forces. — b) S'attacher à quelque sujet, 
s'approprier les différentes méthodes et ne pas perdre de vue les 
progrès de la science. N. Delaunoy. 

Rép. XIV Angleterre . — S'attacher à l'étude des auteurs clas- 
siques. ... 

Rép. XVI (Belgique . — b) Tacher de voyager et de visiter les 
universités étrangères. Se mettre complètement au courant d'une 
partie au moins de la science, et la plus élevée possible. — Ne pas 
se presser de publier. Stuyvaebt. 

Rép. XXI Autriche . — Je ne puis que répéter le conseil donné 
à propos de la question II : Ayez du génie, le reste importe peu. 

L. Boi/rz.MANx. 

Rép. XXIII (France). — a) Suivez pas à pas votre enseignement ; 
ne vous découragez jamais; ne soyez jamais assez satisfait qu'après 
compréhension bien complète; exercez-vous sans cesse aux appli- 
cations; ne laissez jamais couper le fil conducteur qui vous con- 
duit d'un bout à l'autre d'une année scolaire. Attachez-vous à 
exposer clairement, soit de vive voix soit par écrit, ce que vous 
croyez bien savoir. La patience et la suite dans le travail sont les 
conditions maîtresses de la réussite. 

bi Xe persévérez dans la voie mathématique que si vous êtes sûr 
d'en avoir le goût. Suivez vos inspirations. Commencez par re- 
faire personnellement la revision de vos connaissances acquises. 
Lisez ce qui vous semblera utile, de préférence les maîtres incon- 
testés; et tout cela fait, allez de l'avant. Faisant. 

Rép. XXIX (Hollande). — a) Développer par soi-même ce que 
l'on a étudié, b) S'attacher à une branche spéciale. 

Jax de Vries. 

Rép. XXXI Allemagne). — al 11 doit savoir calculer avec faci- 
lité. — b) Il doit professer; « docendo dissimus » est le meilleur 
conseil à donner à un jeune savant. Arthur von Oettixgen. 

Rép XXXIII (France). — A un jeune homme non encore licencié 



3u8 E y q v Ê t i: s un i. a m è tu o i> e i> e ira va il 

je dirai : choisissez une bonne Faculté; comparez le coins aux 
livres! — A un licencié voulant poursuivre je dirai : Lisez dans 
toutes les directions pendant 1 ou 2 ans. — Si vous êtes à Paris 
allez en Sorbonne et au Collège de France. — « Et l'idéal, me 
disait M. Em. Picard, est de ne pas prendre de notes, et de rédi- 
ger le cours en rentrant chez soi ». 

S'étant un peu orienté, tacher d'obtenir les conseils et les en- 
couragements d'un savant compétent en la matière, à qui Ton 
rend compte, après quelques mois, des résultats obtenus. 

R. d'Adhémar. 

Rép. XXX\ I Suisse . — b\ Passer à la pratique de L'enseigne- 
ment, à un degré quelconque. Le seul but doit être de bien en- 
seigner. S'il y réussit, il a rendu un grand service aux mathéma- 
tiques. Si plus tard il se trouve conduit aune carrière plus élevée, 
les années consacrées à l'enseignement plus élémentaire ne pour- 
ront lui être que très utiles. BeybL. 

Rép. XXXVII France}. — a) 11 doit diriger ses études dans le 
sens qui l'intéresse le plus. — b) Etudier des mémoires originaux 
et les approfondir. Il est souvent très bon, après avoir étudié un 
mémoire, de l'abandonner et de le reprendre longtemps après. 

Fabby. 

Rép. XXXIX Grèce). — a) Ne pas trop lire, mais lire attentive- 
ment. Xe jamais aller plus loin sans avoir bien compris ce qui 
précède. Réfléchir au cours d'une promenade. — b) choisir selon 
ses goûts, une direction dans les branches mathématiques et s'as- 
similer ce qui a été fait dans ce domaine. Communiquer, si c'est 
possible, ses recherches à d'autres mathématiciens; on est ainsi 
amené à mieux formuler ce que l'on a trouvé. Publier, car cela 
excite le travail personnel. \. Hatzidakis. 

Rép. XLI Ecosse . — a) Lire Euler. Lagrange, Gauss, Jacob! , 
dans l'original. — b) Prendre un sujet spécial, le plus à son goût 
et qui ne soit pas complètement épuisé. 

Rép. XL1II France . — a) Suivant l'adage : « primum vivere, 
deinde philosophare », se faire d'abord une position : mais, si 
1 on veut faire de la science, chercher à la choisir en conséquence. 

b) Les études achevées et la licence mathématique passée, s'ac- 
commoder à la position. Pour les études mathématiques, acquérir 
d'abord une forte instruction théorique pure, et s'orienter soit 
vers les mathématiques pures soit vers les mathématiques appli- 
quées. 

Lu ingénieur mathématicien doit, d'après moi, chercher it faire 
des applications dans le domaine de l'ingénieur, quitte à ne pas 
négliger les mathématiques pures, s'il le peut. Mais il doit d'abord 
faire une thèse de doctorat mathématique sur un sujet de mathé- 
matiques pures {a fortiori le dirai-je d'un professeur . Voir aussi 
questions II, 12, l.î . Ed. Maillet. 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL :;i)9 

Rép. XLIY Italie . — 21 b) Se consacrera des recherches scien- 
tifiques, car on a besoin crime grande culture et par conséquent 
dune forte préparation. Marletjta. 

Rép. XL VI] Suisse . — a) Etendre le plus possible ses con- 
naissances dans différentes directions. — b) Poursuivre en même 
temps l'étude d'une branche spéciale. Les nouveaux traités sont 
importants pour le spécialiste; 1rs lire attentivement. Guhleh. 

Rép. L Etats-Unis). — a) Embrassez un champ de mathéma- 
tiques aussi vaste que possible sous la meilleure direction que 
vous pourrez trouver; examinez en même temps des applications 
en vue des mathématiques ; elles vous fourniront souvent d'uti- 
le^ éclaircissements. 

lu Lire les maîtres, travailler sous la direction île maîtres, et re- 
chercher leur société. (Voir aussi la question I I . Davis. 

Rép. LIV Etats-Unis . — a) Ne pas spécialiser trop tôt. S'as- 
treindre a lire l'anglais, le français, l'allemand et l'italien. - 
è) Etudier la branche que l'on préfère en se plaçant sous la direc- 
tion d'une personne compétente. Cooliduk. 

Rép. LV Etats-Unis . — .le déconseillerais ;i tout le monde de 
devenir un mathématicien; quelqu'un né avec de réelles disposi- 
tions pour les mathématiques poursuivra probablement l'étude 
des mathématiques envers et contre tout. Par contre il doit être 
donne toutes les facilites possibles a quelqu'un faisant preuve 
d'un grand talent mathématique. En Amérique en tout cas beau- 
coup de jeunes gens sont aidés et |encouragés partie nombreuses 
bourses et des conférences attrayantes, à poursuivre les études 
mathématiques dans les universités. 

Leur carrière subséquente pendant 10 ou 15 ans ou même pen- 
dant toute leur vie, s'ils continuent les mathématiques, consistera 
en 3 a 5 heures ou plus par jour d'instruction en classe, sans 
encouragement dans les recherches mathématiques, saufle plaisir 
qu'ils en retirent et la bonne opinion de leurs collègues mathé- 
maticiens. Le découragement doit venir avant et non après le 
choix d'une carrière mathématique. 

Il devrait y avoir de bonne heure une sélection, et qu'en outre 
cela vaille la peine d'en être l'objet. Au point de vue des recher- 
ches mathématiques en Amérique, un grand progrès résultera 
directement et indirectement de la nouvelle institution Carnegie 
dé Washington. L.-E. Dickson. 

Rép. LV1I Etats-Unis . — tu Se vouer tout entier à l'étude et 
de la manière la plus étendue et la plus féconde. Tenir compte 
des branches collatérales qui sont utiles. 

b/ Aller où l'on aura la meilleure instruction et où l'on trou- 
vera les meilleures bibliothèques et les instruments nécessaires. 
S'attaquer aux problèmes diîliciles et apprendre à les résoudre 
complètement. K.-P. Thompson. 



310 ENQUÊTÉ SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

Rép. LX Suisse). — ai Partager si possible son temps entre 
une université allemande et une université française. La plupart 
des Américains ont le tort de choisir uniquement les universités 
allemandes. Emch. 

Rép. LXII Etats-Unis . — Travailler longuement un sujet car 
cela a autant de valeur, si ce n'est plus, que l'inspiration. 

Tallmax. 

Rép. LXV1 Etats-Unis . — Xe pas se contenter d'à peu près. 
Xe pas entreprendre de recherche dans aucun domaine sans que 
le sujet ne vous intéresse particulièrement. Snyder. 

Rép. LXVIU Etats-Unis . — ai Choisir an champ promettant 
d'être fécond et travailler. 

b) Même conseil que dans a) sauf que maintenant une plus 
grande concentration est possible. (Ioxa.vi. 

Rép. LX1X Italie,. — 21 A un jeune homme entreprenant les 
études mathématiques, je recommanderais de se rendre un compte 
exact de ses forces intellectuelles. S il se sent vraiment porté 
vers la science des nombres, s'il voit qu'il peut réussir à laisser 
une empreinte de lui par des travaux originaux, qu'il étudie avec 
ardeur. Autrement, qu'il change de voie et il pourra dans une 
autre carrière jouir de conditions économiques meilleures et il 
évitera bien des heures de découragement. Un mathématicien 
ignorant ne sera jamais heureux, tout d'abord parce qu'il pourra 
difficilement, en Italie du moins, gagner de quoi vivre à son 
aise et puis parce qu'il ne sera jamais assez ignorant pour ne pas 
avoir conscience de sa propre ignorance. 

Rép. LXX Etats-Unis . — a) Xe faites pas des mathématiques 
le but de votre vie, à moins que vous n'en soyez épris et que 
vous vous contentiez de rester pauvre dans les biens de ce monde. 
— b) Intéressez-vous à l'humanité à côté de vos études mathé- 
matiques; eiforcez-vous de devenir, non seulement un homme 
de science, mais aussi un homme de société. J.-W. Young. 

Rép. LXX1 Etats-Unis . — a) Etudier sous une bonne direction 
et s'assimiler quelques ouvrages fondamentaux qui donnent un 
aperçu de tout le domaine des mathématiques. 

b) Choisir un point particulier et s'y attacher jusqu'il ce qu'il 
arrive à un résultat. Alors il pourra passer à d'autres sujets. 

J.-V. COLLINS. 

Rép. EXXII Etats-Unis . — ai Son but devrait être d'acquérir 
une connaissance aussi étendue que possible des divers champs 
de mathématiques et de leurs méthodes caractéristiques. 

b) La réponse à cette question, comme à beaucoup d'autres, 
dépend dans une si grande mesure de L'individu qu'il est dilli- 
eile de dire quelque chose de général. Les uns ont besoin de se 
mettre sous l'influence de maîtres inspirateurs, d'autres de suivre 
leurs penchants naturels. Kellogg. 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL :ill 

Rép. LXXVIII Italie . — 21 a) Aller étudier dans l'université où 
enseignent les professeurs qui communiquent la science offi- 
cielle locale du pays, et cela pour ne pas éprouver des désillu- 
sions dans sa carrière en se voyant négligé, tandis que d'autres 
notoirement inférieurs lui seront préférés. Bien des mathémati- 
ciens se perdent et n'étudient plus parce qu'ils sont négligés et se 
heurtent à l'indifférence. — 

Rép. LXXIX Norvège . — Etudiez les grands maîtres. 

A. -S. Guldberg. 

Rép. LXXX (Norvège). — Travaillez sérieusement. Publiez peu. 

Alf. GULDBERG. 

Rép. LXXX1I (Suisse). — ai Voici quelques conseils que nous 
adressons à nos étudiants dans les « Directions générales con- 
cernant le plan des études mathématiques » : « Le développe- 
ment de l'esprit mathématique ne peut se faire d'une façon ra- 
tionnelle que si l'étudiant fait preuve de volonté, de persévé- 
rance et d'initiative dans le travail. L'acquisition des connais- 
sances mathématiques exige un elfort constant. Une fréquenta- 
tion régulière, non seulement des cours, mais aussi des leçons 
d'exercices est indispensable. Les notes prises au cours seront 
aussi brèves que possible; elles devront toujours être revues 
et développées à la maison, le jour même si possible. Pour 
ceux des étudiants qui font des mathématiques, leur principal 
objet d'étude, ces notes devront souvent être complétées a 
laide des traités classiques. Dans tous les cas. il s'agit, non 
pas d'accumuler des notes et de se livrer à un simple travail 
de rédaction au point de vue du soin et de l'ordre dans le 
texte, mais avant tout d'un travail d'assimilation. C'est à ce 
moment-là que l'étudiant se rendra compte s'il a compris 
l'enchaînement des idées et la méthode employée dans la 
démonstration... Les cours universitaires ne fournissent pas un 
exposé dogmatique de la branche traitée; ils doivent être envi- 
sagés comme un simple guide et comme un stimulant pour 
l'étude personnelle ». 

En résumé : Ne faites rien à moitié, et surtout, ne faites des 
mathématiques que si vous vous sentez fortement attiré vers elles. 

IL Fehr. 

Ilej). LXWIY Suisse). — Ktudiez les bons ouvrages mathéma- 
tiques tels que ceux d'Euler, Lagrange, Cauchy, 

Ci. ( )ltramare. 



Il nous paraît superflu de commenter longuement ces excel- 
lents conseils. Nos jeunes lecteurs y trouveront de nombreux 
encouragements en vue d'une bonne orientation de leurs 



312 M É I. . I N G E S E T CD R 11 E S l> <) NT) ANC E 

études et de leur méthode de travail. Puissent-ils s'en ins- 
pirer et les mettre en pratique. 

Parmi les aînés beaucoup regretteront peut-être d'avoir été 
trop livrés à eux-mêmes autrefois sans guide, sans direction 
aucune voir les rép. LXIX et LXXVIII), et ils envieront 
peut-être un peu ceux qui bénéficient aujourd'hui d'une or- 
ganisation toujours meilleure des études et qui arrivent ainsi 
à trouver de bonne heure leur véritable maître. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



A propos des polynômes dérivés. 

Nous avons eu l'occasion de signaler récemment à M. Ed. Col- 
lignon une note sur les polynômes dérivés, note assez étrange que 
l'Académie des sciences de Toulouse a publiée dans ses mémoires 

F. T. 10"" série. VI. L906, 177-182 . 
M. Collighon a profite de l'occasion pour nous communiquer 
quelques remarques intéressantes sur le sujet auquel a trait la 
note en question. On ne les trouve guère dans les ouvrages, et il 
nous parait utile de les signaler. Les deux premières reposent 
d'ailleurs directement sur la notion de dérivée. 

i" — La surface .s- du cercle de rayon /■ est nr- ; sa dérivée par 
rapport au rayon est 1tii\ longueur de la circonférence. 

2° — De même, le volume ç de la sphère de rayon r est — n /'. 

la dérivée par rapport au rayon est 4tt/-, surface de la sphère. 

3" — Soit P un polynôme entier en .i \ du degré m ; P' son po- 
lynôme dérivé, qui sera du degré m — 1. Soit a une racine de 
P = 0. le polynôme P sera divisible par x — a. et l'on aura 



en désignanl par Q un polynôme entier du degré /// — i en .r. 
Prenons les polynômes dérives des deux membres de cette équa- 
tion. Il viendra 

[x — a)P'— P _ 



m i: i. . t ,\ g /•: s i: r co i: /.* /■; s p o .x dan ce :; i :; 

polynôme entier en x du degré ni — 2. Donc 

1" p 



est toujours un polynôme entier Q', et par suite, si P est divisible 
par [x — a) 9 , P' l'est par x — a ; ou bien si a est racine double de 
P = 0, a est racine simple de la dérivée P' = 0. 

Donc, il est aise de déduire la théorie des racines égales. 

4° - Lorsqu'une l'onction V de x et y est telle que les dérivées 
par rapport à x, ou par rapport a y sont les mêmes, V est une 
fonction de la somme x -f y. En eli'et. il est alors indifférent de 
faire porter l'augmentation // sur ./ , sur //, ou sur x -f- //, pour 
former le rapport 

' " ' + h) + .)') — f l-r + - r) _ Jjx + i v -f Ai) — f \.r + n _ 
h —fi "" - 

/"{l.r + )■] -f «) — /' (.r + ri 



dont la limite sera la dérivée cherchée. 

Considérons, donc, une fonction entière homogène de .r et y 



V = .r'" + A../"-' y + A,,'" V -H A:,/-V + . . . + A ,-y'" A 

et cherchons à quelles conditions doivent satisfaire les coefficients 

A.,, A a A,« . pour que V soit une fonction de x -f- y . .Nous 

avons l'identité entre les dérivées partielles 

V x== mx" l ~ X + (/«— |iAi.r'" _ -y+ im-2iA 2 ,/"" :i , 2 

+ I/M — -il As.»' 1 S + ... . + A V 

«i — I- 

Y^A,.*-"'" 1 + 2À 3 .r" t - 2 r -f SAsa^r" f ... + (m - 1 1 A,„ a/" -2 . 

< )n aura donc 

_ m \ m — h 



Ai = m 
2A 2 = (»i — h Ai ,„ („, _ |, ( m 



2As = (m — 2) Aï 2 . .'{ 



. , m \ m — 1 1 . I 
»iA = A . A = — I 

m m — 1 • m — » •> ... — ' 



314 



.1/ E I. A Y G E S E T CO H Ii E S P O N I) A N (' E 



et il vient le développement du binôme ./■ + // "' . avec la loi des 
coefficients. 

R. Guimaraès Elvas, Portugal . 

N. I). L. R. — A propos des paragraphes I" et 2". on peut obser- 
ver que les contours dont le périmètre est la dérivée de L'aire ont 
déjà été étudiés. Voir /. M. 1<S9S, Question 1201 et dans le même 
volume les réponses de MM. Buhl. Barbarin. Novus, Tauquem- 
bergue, Brocard, Vacca. En résumé la solution du problème est 
fort simple. Soit un contour dont l'aire A et le périmètre I' sont 
fonctions d'un périmètre a. L'homogénéité exige que Ton ait 
A = /y/'-. P = /ta. k et h étant de simples coefficients. 

Posons a = —, . On aura A = -y-r . i = ~rr • ~r = "■ 

ïk 1/ '11; du 



Pour l'unification de la notation vectorielle. 

Sous ce titre MM. Burali-Forti Turin et Marcolongo Mes- 
sine publient une première note destinée à attirer l'attention des 
mathématiciens sur la nécessite d'adopter une notation uniforme 
pour le Calcul vectoriel. Le rôle fécond cpie joue ce calcul dans 
les mathématiques appliquées l'a fait adopter comme instrumenl 
auxiliaire par un bon nombre de mathématiciens et de physiciens. 
Son extension serait encore plus rapide si l'on ne se trouvait pas 
en présence de plusieurs notations et dénominations. Aon seu- 
lement les symboles varient d'un auteur à l'autre suivant qu'ils se 
rattachent aux théories de llamilton ou de Grassmann, mais les 
dénominations ne sont pas les mêmes. 11 est donc tout à fait dé- 
sirable d'arriver à une entente entre les principaux auteurs des 
divers pays en vue de L'adoption de dénominations et de nota- 
tions uniformes et nous encourageons vivement l'initiative de 
MM. Burali-Forti et Marcolongo. Nous pensons avec eux que c'est 
la lune des taches des congrès internationaux des mathémati- 
ciens. Ils comptent du reste soulever la question au prochain Con- 
grès de Rome: les Notes qu'ils se proposent de donner dans les 
Rendîconti del Circolo matematico di Palermo sont destinées a 
préparer la discussion. Aux documents qu'ils auront réunis vien- 
dront sans doute se joindre ceux de la commission allemande 
dont il est question dans le JahresbcrivJit der Deutschen Mathe- 
matiker Vereinhgung 1 . 11. Fini;. 



1 Pranti., Ucln-r eine cinheitUche Bezeichnungsweisc der Vcktorrechiutng i/n techniseken //• 
physikalischen Vtrterrichtj t. 13, p. 36-i40, l'.Kl'i. — Voit dans le même volume. j>. 217-jJs. 
Mkiimki-:. Vergleich zwischen der Vektorinalysis arnerikanischer Richtung und derjenigen der 
ilalienischer Richtung. 



CHRONIQUE 



L'Ecole polytechnique de Paris. 
Ce qu'on y apprend. Opinion d'un ancien X'. 

Le Malin a publié récemment sous la signature de M. Gustave 
Téry, un article qui produit une assez grosse émotion dans une 
partie du public français, delà se comprend ; il y a tant de famil- 
les, tant de mères surtout, qui destinent, dès le berceau, leurs 
(ils à la grande école ! 

D'autre part, à l'autorité de M. Gustave Téry, professeur de l'Uni- 
versité, vient s'ajouter celle de M. André Pelletan, dont M. Téry 
traduit l'opinion ; or. M. Pelletan, ingénieur des mines, est 
ancien élève de l'Ecole polytechnique et sous-directeur de l'Ecole 
supérieure des mines. 

La traduction, est-elle bien iidèle ? Malgré la compétence de 
M. Téry, nous pouvons en douter, connaissant la haute pondéra- 
tion d'esprit de M. Pelletan, qui ne se hasarderait certainement 
pas à produire des affirmations sans en avoir en main les preuves. 

D'après le titre de l'article, « on n'apprend rien » à l'Ecole Poly- 
technique. D'après l'article lui-même, on n'y apprend pas ce qu'on 
y devrait apprendre, ce qui est fort différent. 

Comme il arrive fréquemment, il y a là un certain nombre de 
considérations justes, mêlées à une exagération et à des erreurs 
qui viennent les gâter. 

I/Eeole Polytechnique a pour but de fournir aux divers services 
publics les techniciens qui lui sont nécessaires. Elle y arrive : 
l" en se recrutant par un concours difficile, dont on n'a jamais 
songé à suspecter l'impartialité; 2° en distribuant un enseigne- 
ment dont l'objet est de préparer les élèves à suivre les cours des 
écoles d'application ; .'>" en les envoyant, à leur sortie, dans ces 
écoles d'application, où ils restent, tantôt deux années, tantôt 
trois, suivant les carrières.' 

C'est dans ces dernières écoles seulement qu'ils doivent acquérir 
les connaissances spéciales à leur future profession. S'étonner de 
ce qu'un élève de l'Ecole Polytechnique ne soit pas capable d'être 
ingénieur, est aussi raisonnable que s'étonner de ce qu'un enfant, 
à sa sortie de l'école primaire, ne soit pas forgeron, tailleur ou 
charpentier. 

Créée par la Convention, à une époque où la diffusion des con- 



1 Extrait d'un article du journal Messidor, n" du r. mai 1905 



316 CHRONIQUE 

naissances scientifiques n'existait guère, l'Ecole Polytechnique a 
rendu d'incontestables services, et joui d'une popularité qui dure 
encore. 

Cela ne veut pas dire qu'elle ait été exempte de reproches. Il y 
en a deux, graves entre tous, qu'on peut lui adresser, et dont elle 
doit aujourd'hui faire son meâ culpâ. 

Le premier, c'est que, démocratique dans ses origines, elle a 
créé une véritable aristocratie, à la faveur des monopoles profes- 
sionnels. 

[/autre malheur de l'Ecole Polytechnique, plus grave encore 
peut-être, c'est de s être laissé militariser à outrance. Sous pré- 
texte que l'artillerie et le génie exigent quelques connaissances 
scientifiques, on a recruté, a l'Ecole, la grosse majorité des otli- 
ciers de ces deux armes; on a essayé de lui attribuer le caractère 
d'une école militaire, abus que par sa nature même, c'est une 
école mixte. On l'a fait passer sous la direction du ministère de 
la Guerre, ce qui est un contre-sens. De la sorte, suivant le mot 
d'un académicien aussi spirituel que superficiel, cité par M. Téry 
avec complaisance, on est arrivé à cette définition : « Une école 
où l'on entre pour être ingénieur, et d'où l'on sort officier d'ar- 
tillerie ». 

Cela peut paraître drôle ; il est difficile cependant de supposer 
que les canons se fabriquent d'eux-mêmes, et, à ce point de vue. 
les officiers d'artillerie sont assurément des ingénieurs. Il est non 
moins paradoxal de prétendre que tout ingénieur n'a pas besoin 
d'une assez solide instruction scientifique. Mais ce qui est le 
comble de l'absurdité, dans l'organisation actuelle, c'est la con- 
fusion, dans une carrière, d'attributions fout à fait différentes. 

^ oici un jeune homme qui sort de l'Kcole Polytechnique dans 
l'artillerie; en quittant l'Ecole d'application de Fontainebleau, il 
entre comme lieutenant dans un régiment, le cerveau meublé de 
notions scientifiques assez étendues. Là, il s'occupera de faire 
panser des chevaux, d'apprendre la théorie, de faire des manœu- 
vres à pied et à cheval, toutes choses pour lesquelles les sciences 
sont assez inutiles. 11 les oublie et en prend le souvenir en dégoût. 
Après huit ou dix années de cette existence, notre officier, devenu 
capitaine, sera fréquemment envoyé dans une fonderie de canons 
ou une manufacture d'armes ; alors ses connaissances scientifiques 
seraient utiles, mais il les a oubliées. 

La vérité, c'est que l'armée a besoin d'hommes techniques, d'in- 
génieurs, mais qu'à aucun prix on ne déviait confondre leurs 
fonctions avec celles des officiers de troupe. A ces derniers, une 
bonne instruction moyenne générale peut être utile; mais il est 
aussi peu raisonnable d'exiger d'eux la connaissance des hautes 
mathématiques, qu'il le serait de demander à un professeur d'équi- 
tation de savoir jouer du piano. 



C H HO NIQUE 317 

La séparation des officiers de troupe et des techniciens s'im- 
pose, aussi bien dans l'artillerie ou le génie que dans les autres 
armes. 

Pour le recrutement de ce personnel celui des techniciens 
aussi bien que pour celui des ponts-et-cbaussées, des mines, des 
manufactures de l'Etat. l'Ecole Polytechnique peut rendre encore 
les plus grands et les meilleurs services. 

Mais il faudra pour cela, du même coup, décider que plus un 
seul officier de troupe n'en sortira dorénavant, dans n'importe 
quelle arme. 11 faut aussi la soustraire à la néfaste administration 
de la guerre, et la placer sous l'autorité du ministère de l'intérieur 
d'où elle relevait jadis, ou mieux, du ministère du travail, si on 
veut faire de ce dernier une institution sérieuse et viable. 

Dans ces conditions, il suffira en moyenne d'un effectif de 100 
à 120 élèves par promotion pour fournir à tous les besoins tech- 
niques du pays, en ce qui touche les administrations publiques. 
Les diverses écoles d'application ouvriraient leurs portes aux 
('lèves sortant de l'Ecole Polytechnique, pour une part, et en 
outre, par voie de concours séparés, à des jeunes gens satisfai- 
sant à des conditions déterminées et qui auraient acquis leurs 
connaissances en suivant une autre voie. 

Telles sont les bases essentielles d'une réforme bien désirable, 
et <pie nous ne pouvons qu'esquisser ici ; ne serait-il pas intéres- 
sant d'y ajouter un abaissement de la limite d'âge d'entrée, pour 
éviter aux candidats les inconvénients d'une prolongation déme- 
surée dans les classes de mathématiques spéciales ? ("est à exa- 
miner, une fois qu'on sera d'accord sur les principes. Il pourrait 
être bon, également, de reviser les programmes intérieurs de ren- 
seignement, sans toutefois oublier jamais (pie ce dernier a pour 
but de préparer aux écoles d'application et non pas de faire im- 
médiatement des ingénieurs. 

Ce qui est certain, c'est (pie dans cette école on travaille beau- 
coup, et on apprend beaucoup. Cela ne veut pas dire qu'on ne 
puisse, par un travail égal, obtenir de meilleurs résultats encore ; 
tout est perfectible en ce monde. 

Il y a, il faut le reconnaître, un autre moyen de résoudre les 
questions très graves cpie nous venons d'indiquer; cest de sup- 
primer l'Ecole Polytechnique. Ce remède est celui dn monsieur 
qui, ayant un bobo à la jambe, se la fait couper. 

Mais, pour tout esprit impartial et sérieux, ce serait là une di- 
minution considérable pour notre pays, un coup funeste porté à 
sa grandeur scientifique et à son organisation intellectuelle. Ce 
serait aussi, et il ne faut se lasser de le dire, une mesure antidé- 
mocratique au plus haut degré. Malgré tout, par le mécanisme même 
de ses concours d'admission, l'Ecole Polytechnique n'a cessé de 
se recruter, et se recrute encore plus que jamais, en énorme majo- 



318 CHRONIQUE 

rite, parmi les modestes, les humbles; chaque année, nous y 
voyons entrer des (ils de petits employés, d'agriculteurs, d'ou- 
vriers, qui parviennent, à force de travail, ;t se créer ainsi une 
carrière. 

Qu'on ne leur permette pas d'en profiter pour reformer une 
sorte d'aristocratie, une caste prrviligiée, on aura raison. Mais 
fermer à l'élite des enfants du peuple cette porte qni leur est en- 
core ouverte, ce serait, pour des républicains, tirer sur leurs 
troupes et tourner le dos au progrès. 

Un Ancien X. 

Note de la Rédaction. — L'article dont on vient de lire un ex- 
trait répond comme on le sait à un autre, publié précédemment 
dans le Matin, et que nous regrettons, faute de place, de ne pou- 
voir donner. Le titre: « On n'apprend rien à Polytechnique » est 
assez significatif pour en faire deviner l'esprit. A cette thèse s'en 
ajoutait, ou plutôt semblait s'en ajouter une autre non moins pa- 
radoxale, à savoir que les connaissances scientifiques sont inutiles 
à un ingénieur. 

Nous sommes entièrement d'accord avec l'auteur de l'article de 
Messidor, mais, allant un peu plus loin, nous considérons qu'il 
faut attacher la plus haute importance à la transformation de l'en- 
seignement intérieur de l'Ecole Polytechnique. Les modifications 
qu'on étudie en ce moment même nous semblent extrêmement 
dangereuses d'après le peu que nous en connaissons. Le mo- 
ment venu, nous nous réservons d'y revenir et de les discuter 
à fond, s'il y a lieu. 



Association allemande pour l'avancement de l'enseignement des 
sciences mathématiques et naturelles, Dresde. 1907. 

La réunion annuelle a eu lieu, cette année, à Dresde, du 20 au 
24 mai, sous la présidence de M. le Prof. Pietzkeh, président de 
l'Association et de M. le Prof. Witïing, président du comité lo- 
cal. Nous nous bornerons à signaler ici les communications et 
discussions concernant les mathématiques. 

L'une des assemblées générales a été consacrée à la question 
très importante de la formation des maîtres de l'enseignement 
scientifique. Elle comprenait une conférence de M. le Professeur 
Kiiausk Dresde; et des rapports de MM. Reixh.viîdt Freiberg et 
Lôwenhardt Halle . Dans un exposé très substantiel M. Krause 
passe en revue les différentes phases par lesquelles a passé l'en- 
seignement mathématique à l'Ecole technique supérieure de Dresde 
où le nombre des étudiants en mathématiques atteint actuellement 
le chiffre de 7!>. 



G II RONIQI JE 319 

Les rapports de MM. Keixhardt et Lowexiiahdt insistent, entre 
antres, sur les exercices pratiques dans les différentes branches 
scientifiques et sur les travaux dans le séminaire de mathémati- 
ques; ils formulent le voeu que les maîtres puissent obtenir des 
congés et des subsides leur permettant de compléter leurs étu- 
des. ' 

M. Reixhardt a développé les thèses suivantes: 

1 . La durée des études jusqu'aux examens d'Etat doit être de 
quatre ans. 

2. I. 'étude des mathématiques pures doit comprendre l'Analyse 
et la Géométrie y compris la Géométrie descriptive ; il est recom- 
mandé de c'occuper aussi de mathématiques appliquées. 

3. Dans les cours il y a lieu d'accorder une place convenable 
aux indications historiques et bibliographiques. 

4. 11 y a lieu de faire en sorte que, dans les universités, les études 
ne soient pas retardées inutilement par les cours de physique ex- 
périmentale. 

5. Les exercices pratiques de Physique doivent être pris dès le 
premier semesj re. 

(i. Des cours appropriés de Philosophie et de Pédagogie sont 
nécessaires. 

Dans une autre assemblée générale M. Félix Mïli.eis Fridenaui 
a fait une intéressante conférence sur Léonard Euler, et, dans la 
séance de la section physico-mathématique, on a entendu les 
communications de M. Bruckner (Bautzen) sur la théorie des po- 
lyèdres et de MM. Scuorer Metz et Dressler Dresde sur l'em- 
ploi de modèles mobiles dans l'enseignement. 



II me Centenaire de Léonard Euler. 

1. Nous avons rendu compte des séances cominémoratives con- 
sacrées à la mémoire d'Euler par l'Université de Bàle et par la so- 
ciété mathématique de Berlin. A ces séances viendra s'en ajouter 
une autre qui sera organisée par l'Association des mathématiciens 
allemands à l'occasion de sa réunion annuelle qui se tiendra à 
Dresde du 15 au 21 septembre prochain. Le comité d'organisation 
s'est assuré toute une série de communications sur le rôle d'Eu- 
ler dans les divers domaines des mathématiques pures et appli- 
quées. Bornons-nous, pour le moment, à donner les noms des con- 
férenciers inscrits : MM. A . v. Brill discours d'ouverture), St.ic- 



1 On nu saurait trop appuyer ce vœu dont la réalisation permettrait de maintenir l'ensei- 
aemont à la hauteur du» exigences de la science et dé sis application, fliéd.i 



320 CHRONIQUE 

kel, F. Mi'ij.i:ii. L. Schlesincjer, A. Pringsheim, k. Heun, E. Timer- 
ding, E. Brauer, \Y. Haut, E. Hoppe-, M. ('.ans. K. S. Archenhold. 

11. — Le 2 e centenaire d'Euler devail nécessairement donner 
lien non seulement a des séances mais aussi à des publications 
ri articles. En voici une première liste : 

1. \Y. Ahrens, Hamburger Nachrichten Abepdausgobe), 13 
avril, « Leonhard Euler u. Friederich der Grosse » ; « Leonhard 
Eulers Werke, Beilage zur . 1 llgemeinen Zeitung, .'> mai. — 2. Frank- 
furter Zeitung, 15 avril. (î. Lakdsberg. — 3. Die Tâgliche Runds- 
chau, 13 avril 1907. — 4. Die Neue '/Jucher Zeitung, lô avril. — 
~). Die physikalische Zeitschrift n" <s, 15 avril, K. Hoppe). — 6. Die 
Basler Nachrichten, 1 mai. — 7. Dos Berner Tagblatt, article 
de J, H. ('.rai tiré a part en une brochure de 24 p. in 10". — 
S. Jahresbericht der deutschen Mathematiker Vereinigung, n os 3-4, 
F. MiiLLER : « Bibliographisch-Historisches zur Erinnerung an 
Léonard Kuler >■. — 9. Abhandlungen der NaturforsChenden 
Gesellschaft zu Gôrliiz, n° 2. 1907. \Y. Lorey : Léonard Euler tiré 
à part en une brochure de 20 p. in-.S". Teubrïer, Leipzig . — 10. 
Bibliotheca mathematica 17/ n" 4. G. Exestrom : Ueber Bildnisse 
von Leonhard Euler. — 11. S. Schulz-Euler : Leonhard Kuler. ein 
Lebensbild zu seinem 200Geburtstage nach Quellen und Famili- 
enpapieren 37 p. in-16 ; Verlag von Schulz, Frankfurt a. M. . 
D'après cet auteur la date de naissance d'Euler serait, non pas le 
I."», mais le 4 avril 1707. 

Ce n'est là qu'une première liste. A ces publications viendront 
se joindre les discours prononces par MM. \ ai. extix et Kxeser 
devant la Société mathématique de Berlin. Suivant les renseigne- 
ments que nous avons obtenus de M. le Prof. Jahnke, ces confé- 
rences seront publiées dans les Abhandlungen zur Geschichte des 
mathematischen Wissenschaficn Teubner, Leipzig ; le même vo- 
lume contiendra trois suppléments importants de M. Kneser sur 
les progrès que la théorie des variations doit au génie d'Euler, 
en outre un article bibliographique de M. F. Muller et enfin une 
partie de la correspondance entre Euler d'un côté, Jean Bernoulli 
et d'Alembert de l'autre ; cette correspondance, qui se rapporte 
aux logarithmes des nombres négatifs, a été traduite par M. L. 
Lampe. 

II. K. 

Nominations et Distinctions. 

M.W.Bjerkness, de l'Université de Stockholm, est nomme pro- 
fesseur de Mécanique et de Physique mathématique à l'Université 
de Christiania. 

M. Dalrleskv de Sterneck, de l'Université de Gzernowitz, esl 
nommé professeur ordinaire à l'Université de Graz. 



.v o t i: s i: r noce M /■: N r s 321 

M. Kutta, privàt-docent, esl nommé professeur extraordinaire 
• le mathématiques appliquées à l'Ecole technique supérieure de 
Munich. 

M. G. Lauricella, à Catania, a obtenu la médaille d'or de ma- 
thémathiques de la Société italienne des Sciences. 

M. Rudolf Weber, privat-docent a l'Université de Heidelberg, 
«•st uonimé professeur extraordinaire à l'Université de Rostock. 

M. E. B. Wn.sox, de la Yale University, est nommé professeur 
à L'Institut technologique de Massachusetts. 

MM. C. Arzela, de l'Université de Bologne, et G. Castelxi iovo, 
de l'Université de Home, ont obtenu le prix royal pour les mathé- 
matiques (10,000 fr.) de l'Accademia dei Lincei. 

MM. Cvstelmovo et Volterra, professeurs à l'Université de 
Rome, ont été nommés membres honoraires de la « London ma- 
thematical Society ». 

Nécrologie. 

M. F. Aschieri, professeur de Pavie, est décédé le 14 avril 1007 
à l'âge de 60 ans. 

M. A. Fuhrmann, est décédé à Dresde à l'âge de 07 ans. 

M. K. Ritter von Oppolzer, professeur d'astronomie à l'Univer- 
sité d'Insbruck, est décédé le 15 juin à l'âge de M ans. 

M. F. Siacci, j)rofesseur de mécanique rationnelle à l'Université 
de iXaples, colonel dans la réserve, bien connu par ses travaux 
fondamentaux dans la balistique, -est décédé le 80 mai, à l'âge de 
OS ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 
Semestre d'hiver 1907-1908. 

ANGLETERRE 

Oxford. University. — Lecture List for Michaelmas Tenu, J 907 (Coursé 
begins l't Oct. — Esson : Analytic geornetry of plane curves, 2; Synlhetic 
geometry of plane curves, t. — Elliot : Séquences and séries. 2; Elemen- 
laty theory of Numbers, 1. — Love : Magnetism and Electricity : the Ma- 
thematical theory, 3. — Turner : Elementary maOïematiral astronomy, 2. — 
Plummer : Practical work. — Pedukr : Problems in pure malheinatics, 1. — 
Sampsok : Solid geometry (continuée"), 2. — Campbell : Differential equa- 

L'Enseignement mathém., 9" année: 1907. 22 



322 N O I i: S E T I) (XL M II N T S 

lions, 2. — Thompson : Integra] calculus, 2. — IIayi s : Aualytical statics, 2. 

— Dixon : Hydrostalics, 1. — Gerkaks : Tridimensional rigid dynamics. 2. 

— Haselfoot : Theory of équations, 1. — Kirkby : Projeclivé geometry 
[elementary), 2. — Joi.lifie : Aualytical geometry, 2. — Russell . Differen- 
tial calculus, 2. — M 1 ' Xem.e : Curve tracing. 1. 



ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Cours annoncés pour l'année universitaire 1907-190H 

Cornell University : Ithaca, New-York, — Prof. l>. A. Wait : Advanced 
ànalytic geometry, 3. — Prof. •) . M. Mahon : Theory of potential and 
sphcrical harmonies. 3. — Prof. J. H. Tanner : Theory of équations, 2 : 
Teacher's course in algebra, 2. — Prof. J. I. Hutchiksok : Automorphic 
functions. 3. — Prof. V. Snydek : Algebraic eurves, 3. — Prof. VV. B. Fin: : 
Advanced calculus, 3; Theory of functions of a rcal variable, 2. — Dr. F. 
R. Suakpe : Theory of électrons, 3. — Dr. W. B. Carver : Projeclivé geo- 
metry. 3. — Dr. A. Ranlm : Differënlial équations. 2. — Dr. D. C. Gilles- 
pie : Linear diiferential équations, 3. — Dr. C. F. Craig : Theory of proba- 
bilités and insurance, 2. — The Olivier mathematical club will met weekly. 

Columbia University. New-York. — Prof. F. X. Cole : Theory ofgroups, 
:i ; Theory of invariants. 3. — Prof. James Maclaï : Application of the cal- 
culus to the theory of surfaces and curves in space, 3 ; Theory of functions 
ofa complex variable, 3. — Prof. C. J. Ketsek : Modem théories in geome- 
try. 3 ; General theory of assemblages. 3. — Prof. H. B. Mitchell : Vector 
analysis, 2 ; Diiferential équations, 2. — Prof. Edward Kasner : Diflerential 
équations and continuous groups, 3; General introduction to higher mathe- 
matics, 3. — Dr. G. H. Ling : Modem higher algebra. 3. — Prof. M. I. 
Pupin : Theory of the potential function, 2 ; Hydrokinelics, 2; Partial dilfe- 
lial équations of physics, 2; Spécial problems, 2. — Prof. A. P. Wills : 
Mechanics, 2: Theory of elasticity, 2: Electricily and magnelism, electro- 
magnetic theory of light, 2; Thermodynamics, 2. 

Johns Hopkins University: Baltimore. — Prof. F. Morley : Vector analy- 
sis, 2; Higher geometry, 2 ; Seminar, 1 ; Classic authors, 1. — Dr. A. 
Cohen : Diiferential équations. 2; Elementary theory of functions, 2 : Intro- 
duction to diflerential équations and vector analysis. 2. — Dr. A. B. Cobi.i: : 
Cremona transformations, 2 ifirsl half year) ; Theory of statistics, 2 (second 
h a lf year). 

Yale University: New-Haven (Conn.j. — Prof. J. Pierpont : Introduction 
to the theory of functions. 2 : Projective geometry, 2; Elasticity and hydro- 
mechanics, 2: Elliptic functions, 2. — Prof. P. F. Smith: Higher geometry, 
2; Géométrie analysis. 1. — Prof. E. W. Browk : Mechanics, 2; Celestial 
mechanics. 2. — Prof. H. E. Hawkes : Algebra and ànalytic geometry, 2: 
Teachers'course in geometry. 2 ; Advanced algebra, 2. — Prof. M. Masok : 
Diflerential équations. 2 ; Intégral équations, 1 ; Conformai mapping and 
Riemann Surfaces, 1. — Prof. E. B. Wilson : Molecular properties of mal- 
ter, 2; Gravitation and Electrostatics, 1. — Dr. W. A. Granville : Difle- 
rential geometry, 2. — Dr. L. E. Hewes : Diflerential équations, 1 : Géo- 
métrie transformations of the plane and of space, 2; Graphical and numeri- 
cal computation, 1 — Dr. VV. R. Losglei : Diflerential geometry. 2. 



NO TE S i; T I) () C VME N Ts 323 

ITALIE » 

Année universitaire 1907-190*. 

Bologna : Vniversità. — Arzela : Integrali di Lebesgue ; funzioni armoni- 
che, principiodi Dirichlet, série di Fourier, 3. — Donati : Campi eleltro- 
magnetici, dinamica degli eletlroni, 3. — Pincherle ; Funzioni analitiche, 
funzioni algebriche e loro integrali, 3. 

Catania; Università. — Lauricella : Teoria del calore; Teoria délia pro- 
pagazione «I.Ile onde. 4 l / 8 . — Pennacchietti : Complemenli di cinematiea e 
di stereodinamica, \ ' 2 . — I'ieki : Principi di geometria proiettiva iperspa- 
ziale, .'!. — Severim : Gruppi continui di trasformazioni puntuali, trasfor- 
nia/ioni di contatto, 1 l h. 

Genova : Vniversità. - Fubini : Galcolo délie varia zioni ; 11 priucipio di 
Diiiclilei-Hienianii e i teoremi di esistenza, 3. — Lokia : Rappresentazione 
piana di superficie algebriche; Trasformazioni razionali nel piano e nello 
^|)a/.lo, 3. — Fedone : Funzioni sferiche, di Lamé ed affini, applicazione alla 
risoluzione <li problemi di eleltrostalica e di magnetostatica, 3. 

Messina ; Università. — Bagnera : La teoria délie funzioni thêta a più ar- 
gomenti e i relativi gruppi di caratteristiche, 3. — Marcqlongo : Teoria dei 
fehoraeni eleltrici ed ottici nei corpi in movimento, 3. — Martinetïi : Geo- 
metria proiettiva degli iperspazi, 3. — Ori.akdo : Integrali defmiti cou ap- 
plicazioni alla.fisica matematica, 3 ; Elementi di teoria dei uumeri, 2. — 
Vivanti : Calcolo délie variazioni, 3. 

Napoli ; l niversità. — Amoueo : Storia délie scienze niatematiche nei se- 
toli XVII. XVIII et nella prima meta del secolo XIX. 3. — Capelli : Gruppi 
e loro applicazioni analitiche, 4 l /g. — Del Pezzo : Funzioni analitiche e loro 
rappresentazione sulle superficie riemanniane cou spéciale trattazione délie 
funzioni automorte, i '/a. — Montesano : Iperspazi; Trasformazioni bira- 
zionali dello spazio, '» l / 2 . — Pinto : Diffrazione, doppia rifrazione, polani/- 
zazione, 4 1 2. 

Padova Università. — D'Arcais : Généralité sulle equazioni differenziali 
e a derivate parziali ; Funzioni uniformi di variabile complessa. 4 y». — Fa- 

varo : Storia délie Matematiche in Italia nei secoli XVI e XVII, 3. Gaz- 

zamoa : Teoria dei uumeri, 3. — Levi-Civita : Le equazioni differenziali 
délia meccanica ; Trasformazioni di contatto con applicazioni dinamiche ed 
ottiche, 4 l fs. — Ricci : Teoria del potenziale, eletlrostatica, magnetismo, '1. 
— Severi : Teoria délie funzioni algebriche di una e di due variabili (seconda 
parte). 3. — Veronese : Geometria iperspaziale, 4 i ji. 

Palermo ; Università. — Gerbaldi : Geometria differenziale, 4 1 /o. — Glc- 

cia : Teoria générale délie curve e délie superficie algebriche 4 '/à. To- 

rki.li : Teoria matematica dell'elaslicità, 4 l /2. — Venturi : Teoria délia ro- 
tozione dti corpi, applicazione alla terra, precessione, mitazione, moti del 

polo, 'j 1 fz, 



1 Pour les universités italiennes, les cours généraux (tels que ceux d'Algèbre, Géométrie 
analytique, Géométrie descriptive, Calcul infinitésimal. Mécanique rationnelle, etc.) ne figurentr- 
pas dans cette liste. Nous devons ce tableau à l'obligeance de M. Levi-Civita. iRci/.i. 



324 .Y () T I. s E I DO C D M E N T N 

Pavia : Università. — Almansi : L'equazione di Laplace e le suc applica- 
zioni uei vari campi délia fisica matematica, '•$. — Bkrzoi.ari : Funzioni alge- 
briche e loro applicazioni geometriche. 3. — Pascal : Teoria délie trasfor- 
raazioni di contatto, e applicazioni, 3. 

Pisa . Università. — Bertini : Geometria iperspazîâle ; geometria sopra 
una curva algebrica : applicazioni varie, 3. — Bianchi : Geometria infinitési- 
male délie curve e délie superficie cou particolare sviluppo délia teoria délie 
Irasformazioni délie superficie applicabili sulle quadriche generali, 4 l / 2 - — 
Dini : Funzioni armoniche e funzioni di variabile complessa : Sviluppi in 
série de Fourier e in série integrali di equazioni lineari de! second ordine, '«. 
— Maggi : Teoria dellequilibrio e del movimento dei corpi elastici e sua 
iipplicazione ail ollica, \ l /$. — Pîzzetti : Teoria générale délie perturba- 
zioni planetarie e argomenti connessi, 3. 

Roma ; Università. — Bisconcixi : Teoria matematica dcU'elaslieila e ap- 
plicazioni lecniehe, 3. — Castelnuovo : Geometria sopra una superficie alge- 
brica, 3. — Cerruti : Calcolo délie va riazioni, applicazioni varie alla geome- 
tria ed alla mecanica, )!. — Volterra : Elettromagnetismo, » 1 /i : Problema 
dei Ire corpi, .5: 

Torino ; Università. — Boggio : Applicazioni alla fisica matematica délie 
equazioni integrali di Fredliolm, \\. — D'Ovidio : Teoria délie forme alge- 
briche, 3. — Morera : Teoria délie forze newtoniane ; Equilibrio délie 
masse fluide ruotanti, .'!. — Si.gri: : Capitoli diversi di geometria délia retta, 
.'{. — Somigliaîs'A : Propagazione del calore e teoria dei gas, '■(. 



Circulaire 



adressée par M. le Vice-Recteur de l'Académie de Paris ii Mines les direc- 
trices et professeurs de mathématiques des lycées et collèges de jeunes 
filles du ressort 

Paris, le 31 janvier 1907. 

L'expérience a montré que l'emploi prématuré de la logique pure dans 
l'enseignement de la géométrie ne donne pas. pour la grande masse des 
élèves, de bons résultats. Les débutantes ne comprennent rien à cette 
ligueur extrême qui s'exerce sur des sujets dont elles ont l'intuition immé- 
diate, on les aveugle en voulant les éclairer, on court risque de leur fermer, 
dès l'entrée, la route que l'on voudrait leur faire parcourir. 

La meilleure manière d'initier un enfant à une science est, d'une pari, île 
faire état de ce qu il sait déjà, de rattacher à ses idées naïves les idées plus 
précises que l'on veut lui donner, et d'autre part, de l'amener 1res vite, en 
le guidant, à résoudre des questions de nature à l'intéresser. C'est la 
méthode que Ion suit dans l'enseignement de l'arithmétique où un minimum 
de théorie, lié le plus souvent à des notions déjà familières à l'enfant, sac- 
compagne au début de beaucoup d'exercices et de problèmes variés. L'en- 
fant accepte volontiers les courtes explications que l'on est bien obligé de 
lui donner, parce qu'elles cadrent avec les habitudes de sa pensée, et aussi 
parce qu on lui fournit immédiatemnl l'occasion de les mettre lui-même en 



N T E S E T DOCU M E N T S : ; 25 

œuvre et de tirer ainsi, ce qui est une joie, quelque chose de son propre 
fonds. 

Le premier enseignement <le la géométrie réussira comme celui de l'arilli- 
métique, s il esl donné dans le même esprit. Les professeurs des lycées de 
garçons, ceux du moins qui enseignent dans les classes de début, ont déjà 
été invites par une circulaire en date du 27 juillet 1905 1 , à faire appela 

1 (Voir L'Eus. Math., nov. 1905. Rèd.). 
l'expérience dans l'exposé des faits géométriques, à admettre sans discus- 
sion tout ce qui semble évident aux enfants, tout ce qu'une construction 
suffit à légitimer; c'est ainsi que l'élève se rend un compte très exact des 
cas d égalités des triangles en construisant lui-même sur des données nu- 
mériques, des triangles dont certains éléments, côtés et angles, ont des 
valeurs déterminées. 

La même circulaire recommande l'emploi systématique de la notion du 
mouvement ; démonstration par retournement, par rotation, toutes les fois 
que cela est possible : glissement d'une équerre le long d'une règle, pour 
préparer la définition euclidienne des parallèles, etc. — Il apparaît assez 
que le dessin est appelé à jouer un rôle important dans l'enseignement delà 
géométrie ainsi conçu, les élèves doivent exécuter très exactement les cons- 
tructions, tracer par points des lieux géométriques, contrôler, parla mesure 
directe, I exactitude des théorèmes métriques. 

Si une telle façon de faire a pu être recommandée à juste litre dans les 
lycées de garçons, il n'est pas douteux qu'elle s'impose davantage encore 
dans les lycées de jeunes filles. Le fait qu'un grand nombre d'élèves de ces 
lycées, après avoir suivi le cours obligatoire de géométrie en 3e année. 
désertent le cours en ie année, dès qu'il devient facultatif; témoigne claire- 
ment du peu d'intérêt qu'elles ont trouvé à cet enseignement. En consé- 
quence les professeurs chargés du cours de géométrie devront à l'avenir se 
préoccuper beaucoup moins d'exposer à leurs élèves fies théories logiques 
que de leur donner le sens pratique et la connaissance utile des choses de 
la géométrie. On considérera que le but poursuivi esl atteint si les élèves 
sont en état de parler correctement à propos des ligures, d'effectuer des 
constructions exactes, de faire au besoin quelques démonstrations de théo- 
rèmes non évidents, comme par exemple le théorème de l'angle inscrit. 
Ainsi préparées, les élèves qui suivront le cours de 4 e année pourront être 
exercées aux démonstrations logiques avec plus de chances de succès. 

Comme, malgré tout, une minorité tout au moins abandonnera le cours 
de géométrie après la :j" année, il esl très désirable que des notions de 
géométrie dans l'espace soit données en 3 e année; elles pourront être bor- 
nées à une compréhension exacte et purement expérimentale des faits de 
parallélisme et de perpendicularité pour les droites et les plans, à l'énoncé 
des règles pour la mesure des volumes, des prismes et des pyramides. 

L. LlAKD. 

Circulaire du Conseil scolaire de la Basse-Autriche 

du 10 mai 1907. (2.2862J. 

aux directeurs des Gymnases et des Ecoles réales. 

• En ces derniers temps il a été proposé, à plusieurs reprises, de trans- 
former l'enseignement mathématique aux écoles secondaires supérieures. Ces 
propositions tendent à développer l'intuition dé l'espace et à introduire la 



326 BIBLIOGRAPHIE 

notion <le fonction el les premières notions de calcul différentiel et intégral : 
elles demandent des exercices et problèmes empruntés à d'autres domaines 
scientifiques et à la vie pratique ; de plus on demande qu'il soit tenu 
compte des liens entre les mathématiques el d'autres branches notamment 
la physique el la géométrie descriptive. 

Suivant décret du 2'A avril 1907, (z. * 7 4 8 * . le Ministre des Cultes el de 
l'Instruction autorise des essais dans certaines écoles moyennes, afin de per- 
mettre létude de la réalisation pratique de ces propositions. 

Le Conseil scolaire a les pleins pouvoirs pour confier ces essais, provi- 
soirement pendant l'année 1907/08, à ceux des professeurs qui se sont 
occupés de ces questions et qui possèdent les qualités pédagogiques néces- 
saires. Bien qu'ils aient toute la liberté quant au programme et à son exten- 
sion, ils ne devront pas s'écarter des buis des divers enseignements el ne 
surcharger en aucun cas les élèves ». 

Comme on le voit, les autorités scolaires autrichiennes comprennent qu il 
y a lieu de réformer les programmes suivant les vœux qui ont été exprimés 
dans de nombreuses assemblées, dans celles des naturalistes et médecins 
allemands comme dans les réunions de professeurs de mathématiques. On 
sait qu'en France ces réformes ont été introduites depuis plusieurs années. 



BIBLIOGRAPHIE 



(t. Arnoux. — Arithmétique graphique. — Introduction à l'étude desfonc- 
tions arithmétiques. (Essais de Psychologie et de Métaphysique positif 
ves.) — 1 vol. gr. in-H. XX-225 p. : 7 fr. 50 : Gauthier- Villars, Paris. 

M. Arnoux est un visuel, a Si j'ai une question à étudier — dit-il dans la 
préface de son volume — je me demande si la méthode graphique ne pour- 
rail m'en donner la solution... En tout et pour tout, c'est mon seul et unique 
moyen de comprendre et de travailler. » C'est la méthode graphique qui lui 
a permis, il y a quelques années, de résoudre el de généraliser le fameux 
problème des carrés magiques el diaboliques, et c'est à l'aide de la même 
méthode qu'il a réussi à établir dans son dernier ouvrage les principales 
propriétés des congruences. 

L emploi de la représentation graphique dans des recherches arithméti- 
ques n'est pas nouveau. Je me bornerai à rappeler les beaux travaux de M. 
F. Klein sur les formes quadratiques et les recherches de M. Minkowski. 
Plus récemment, M. Laisant a donné des applications curieuses des procé- 
dés graphiques dans son petit volume « Initiation mathématique. « 

M. Arnoux s en sert d'une manière systématique. Voici en quoi consiste 
sa méthode 

Pour représenter les faits arithmétiques, M. Arnoux a recours à des as- 
semblages de cases qu'il appelle espaces arithmétiques. Supposons, pour 
lixer les idées, qu on ait à étudier une fonction explicite ou implicite de deux 



BIBLIOGRAPHIE :!i>; 

variables a il S. Os variables ne prennent, par hypothèse, que «les valeurs 
entières, et lorsqu on a fait choix d'un module m, le nombre des valeurs 
différentes de chacune de ces variables est égal à m. Prenons du papier 
quadrillé et considérons un carré composé de nr cases. A chaque couple de 
valeurs «, p, on fera correspondre une case déterminée du carré, de même 
qu'en géométrie analytique tout couple de valeurs des coordonnées déter- 
mine nu point du plan. Dans chaque case on inscrira la valeur correspon- 
dante de la fonction, In certain nombre de cases pourront contenir "2, 3... 
nombres différents, — de même qu'on pourra avoir des cases blanches ; ce 
cas se présentera chaque fois que les valeurs correspondantes de la fonction 
n'appartiendront pas au domaine de rationalité choisi. 

M. Arnoux explique comment on peut procéder dans le cas où le nombre 
des variables est égal ou supérieur à trois. 11 suffit alors de considérer une 
collection de ni, nr... carrés de m 2 cases, rangés dans un ordre déterminé. 

Mais revenons à noire carré de m" 1 cases. Les valeurs de la fonction étant 
inscrites dans les cases correspondantes du carré, l'examen attentif du ta- 
bleau pourra nous révéler certaines particularités dans la distribution de 
ces valeurs qui sont la traduction graphique de propriétés arithmétiques de 
la fonction. En donnant au module des valeurs différentes, on éliminera les 
propriétés particulières et la comparaison des tableaux pourra nous mettre 
sur la voie de quelque loi générale. On voit que la méthode de M. Arnoux 
est, comme il le dit fort bien lui-même, la méthode expérimentale dans 
toute sa pureté, Comme moyen de découvertes, (die peul rendre des services 
réels. Dans bien des cas. elle fournit en même temps que des propriétés 
nouvelles, les éléments tféces-saires à leur démonstration. Certes il y a des 
exceptions, el elles ne sont pas rares, mais le bon côté de la méthode de 
M. Arnoux est qu «die nous donne toujours des points d'appui, et son utilité 
est incontestable. 

Les deux premiers chapitres du livre de M. Arnoux sont consacrés à 
l'élude, à l'aide de la méthode graphique, des opérations élémentaires (mod. 
///) : multiplication, division, etc. On est conduit, par l'examen des tableaux, 
aux propriétés fondamentales des nombres entiers et des congruences bi- 
nômes. 

Nous passons ensuite à l'étude (mod p) des fonctions rationnelles entières 
à coefficients entiers, f (x), le module p étant un nombre premier. Les poly- 
nômes f |x) peuvent être supposés primaires. On a alors le théorème fonda- 
ineulal suivant qui domine toute la théorie des congruences : une fonction 
entière primaire ne peut être décomposée en fonctions irréductibles pri- 
maires que d'une seule manière. 

Pour établir ce théorème, M. Arnoux se sert de ligures qu'il appelle es- 
paces décomposants. L'idée fondamentale reste la même. Une fonction f (x) 
est délinie par ses coefficients. On pourra la représenter en écrivant la suite 
de ces coefficients dans leur ordre. Par exemple le polynôme ,x s -j- 3 x -\- 5 
s'écrira 1035. Ces coefficients jouent le rôle de coordonnées. A toute fonction 
flxi de degré /( correspond une case déterminée. On inscrira dans celte case 
les facteurs irréductibles de f (x). Mais comment trouver ces facteurs '.' 

Au lieu de décomposer les fonctions f (x) (mod. p), M. Arnoux remonte à 
ces fonctions en partant des fonctions irréductibles de degrés inférieurs à n, 
qu'il combine entre elles de toutes les manières possibles. A chacun des 
produits ainsi obtenus correspond une case déterminée. On aura qu'à ins- 
crire dans cette case les facteurs dont on s'est servi. Dans les cas particu- 



328 /;//;/. i o<, n a pu 1 1: 

liers considérés par M. Arnoux, tous les produits sonl différents (mod. p). 
Le nombre des produits différents est donc égal à celui des combinaisons. 
M;iis celte propriété est-elle générale ? Le supposer c est se servir im- 
plicitement du théorème fondamental qu'il s agit de prouver. La propriété 
est loin d'être évidente ; dans les domaines algébriques, la décomposition 
peut u'être pas univoque et deux produits « |3 et y3 peuvent être égaux entre 
eux, sans que le facteur indécomposable a soit égal à aucun des facteurs 
indécomposables y et o. La démonstration de M. Arnoux aurait donc besoin 
d'être complétée. 

Nous abordons, dans le chapitre suivant. 1 étude des congruences tcéné- 
rales. M. Arnoux se sert très adroitement des imaginaires de Galois dont il 
esquisse la théorie en appuyant toujours sur les considérations concrètes. 
Ses tables de puissances des imaginaires méritent une attention spéciale. 

Après ces généralités, nous passons à l'étude des congruences du pre- 
mier, du second et du troisième degré 1 . Ici. les tables de M. Arnoux jouent 
un rôle particulièrement important. Elles lui permettent de retrouver la plu- 
part des propriétés caractéristiques de ces congruences. 

En résumé, ce qui fait avant tout l'originalité du livre de M Arnoux. 
c'est sa méthode. Malgré son extrême simplicité elle a permis à M. Arnoux 
de retrouver les principes essentiels de la théorie des nombres. J'engagerais 
beaucoup le lecteur à faire l'application de cette méthode à l'étude de pro- 
blèmes qui n'ont pas été traités par M. Arnoux. 

M. Arnoux nous apprend dans la préface que son livre est dû à une col- 
laboration. Comme nom d'auteur il devrait porter à côté du sien, celui de 
M. C. A. Laisant. C est en effet M. Laisant qui l'a rédigé. On y retrouve la 
précision, la clarté et cet art de simplifier les questions les plus ardues que 
possède à un si haut degré l'auteur de la « Théorie des équrpollences » el 
de 1 ii Initiation mathématique. » 

I). Mikimanofk (Genève). 

W. M. Baser. — Algebraic Geometry. A new treatise on analytical conic 

sections. — 1 vol. in-17, 325 23 pp., 6 d.. George Bell and Sons, London. 

Comme 1 auteur le fait remarquer dans sa Préface, ce traité est conforme 
aux idées nouvelles concernant l'enseignement mathématique. Il est appelé 
à rendre de grands services à tous ceux qui désirent s'initier d'une façon 
complète et pratique à la Géométrie analytique élémentaire. L'auteur, s adres- 
sant à des débutants, n'aborde les sections coniques proprement dites qu après 
une étude détaillée de la droite et du cercle. Après cela il passe aux courbes 
du second degré dans Tordre suivant : Parabole, Ellipse. Hyperbole. Il est 
à remarquer que cet ordre diffère de celui généralement adopté. 

I n des avantages incontestables de ce livre réside dans l'abondance el la 
variété des exemples ; aucune théorie n'esl traitée sans application. Or. il 
n esl point besoin d une longue expérience dans l'enseignemenl mathématique 
pour se rendre compte de 1 utilité des exemples en pareil cas. Rien n esl plus 
apte à rendre claire une théorie plus ou moins abstraite qu'une application 
appropriée, et cela esl surtout vrai lorsqu'on s adresse à de jeunes intelli- 
gences, auxquelles du reste ce livre esl destiné. En outre des exemples Irai- 
lé-. I élève trouvera à la fin de chaque chapitre de nombreux problèmes non 



1 Nous publierons dans iin'prochniri n» mie note de M. MmmancHl'sur les coDgrucnci 
3«n dearé se rattachant an livre do M. Arnoux. iRéd. . 



BIBLIQGRA PHIE 329 

résolus lies solutions sonl données à la fin du volume) cl, «le temps en lemps", 
des questions de révision. 

(tu notera enfin I emploi fréquent du papier quadrillé et l'abondance des 
Ggitres. aillant de poinls qui contribueront au succès de ce petit traité. 

.I.-P. Dumtjr (Genève). 

IL Bouasse. — Cours de physique conforme aux programmes des Certifi- 
cats et de l'Agrégation de physique. Fascicule I. — Mécanique physique. 
— I vol. gr. iu-8" de 236 p. . 6 f'r. 50 ; Ch. Delàgrave, Paris. 
Dans cette Revue et à celte place consacrée d'ordinaire à l'analyse d'ou- 
vrages mathématiques, il est impossible de passer sous silence le cours de 
physique dont M. Bouasse commence la publication. Quoiqu'il soit, comme 
l'auteur l'indique, surtout destiné aux physiciens, 1 usage des mathémati- 
ques y est si constant-, si clair, si varié à propos de problèmes dont l'élé- 
gance ei l'importance se valent, qu'il intéressera à coup sûr bien des mathé- 
maticiens. On sait d'ailleurs combien ces derniers, lorsqu'ils font, de la 
physique mathématique, sont portés à ne pas juger très équitablemenl du 
sens physique de leurs formules, rapprochant souvent des points analogues 
au point de vue purement analytique, mais que le physicien hésiterait à 
rapprocher dans le domaine expérimental. 

L'œuvre de M. Bonasse semble très heureusement tenir le milieu entre 
nu traité de Physique mathématique el Un traité de Physique foui court. 
Le premier fascicule traite de la Mécanique physique. 

Les premières lignes séduisent tout de suite en montrant à quelle école 
philosophique appartient l'auteur. Pas de digressions plus ou moins vides 
sur I idée de force. C'est le travail qui sert de base à loutes les autres 
notions. Des variations de longueur, rie volume, de coordonnées quelconques, 
la db, de... entraînent un travail élémentaire 

dT = Ad a + Bdb + Cdc +.... 

et ce sont les coefficients A, B, C qui s'appellent conventionnellemenl forces, 

pressions, etc.. De telles idées ne seront jamais trop rappelées ni trop 
mises en évidence à la base de la Mécanique et de la Physique. Les princi- 
pes généraux d'e la statique sont éclairés immédiatement par 1 ('Inde de sys- 
tèmes simples (balance, suspension bifilaire, etc.). Nous passons ensuite 
aux fondements delà dynamique el au fonctionnement des machines à un 
de.gré de liberté (pendules simple, composé, à retournement). Le choc des 
corps, les frottements, les résistances de milieu, sonl passées en revue sans 
aucune peine alors que tout cela sein Lierai i énorme à l'étudiant physicien 
qui tenterait de se familiariser avec ces notions dans un traité de Mécanique 
où elles formeraient autant de chapitres distincts. 

Le chapitre II consacré à l'hydrostatique contient notamment 1 équilibre 
des corps (lottants el la formule barométrique : il est suivi d'une très intéres- 
sante élude de la capillarité |Ch. llll dans laquelle il faut signaler siirloul 
les paragraphes avant trait à la formation des gouttes, et à la détermination 
de la surface d un liquide dans le voisinage d'une paroi. La section de celte 
surface par un plan perpendiculaire à la paroi esl une certaine courbe élas- 
tique définie par une équation différentielle du second ordre facilement 
intégrable. Combien de lels exemples pourraient être utilement cités dans 
les cours de Mathématiques générales et combti n l'élève s'y intéresserait 



330 BIBLIOGRAPHIE 

plus qu'à des calculs fantaisistes dont il se demande si La nécessité appa- 
raîtra jamais au cours de Physique. 

L'écoulement des fluides |Ch. IV). la règle de Torricelli, le théorème de 
Bernoulli, sont accompagnés de résultais expérimentaux très précis, notam- 
ment de l'étude stroboscopique des veines verticales libres. Après la résis- 
tance des fluides au mouvement des solides immergés nous abordons (Cb. V 
la question de la transmission d'un ébranlement. La question capitale du 
rôle des équations aux dérivées partielles eu Physique apparaît. M. Bonasse 
a grandement raison d'insister sur ce point si difficultueux en général mais 
qu il est possible d'éclairer en s'en tenant tout d'abord a des solutions satis- 
faisant à des conditions aux limites choisies simplement. Les solutions conte- 
nant des fonctions arbitraires sont présentées tout d'abord. C est la marche 
qui semblera la plus naturelle d'autant plus que. quelques pages plus loin, 
les développements t rigonométriques sont étudiés. On comprendra alors 
sans peine, et physiquement pour ainsi dire, que ces développements puis- 
sent représenter des fonctions arbitraires puisqu ils doivent rendre aux 
limites les mêmes services que les fonctions arbitraires que la première 
méthode permet d'introduire directement. El d'ailleurs les préliminaires une 
fois posés on arrive avec une très grande simplicité a étudier la propaga- 
tion d'une onde unique, sa réflexion, la transmission adiabatique du son et 
le principe d'Huygbens sur la propagation d'un ébranlement entretenu par- 
tons les points d'une surface d onde. 

L'hydrodynamique 1CI1. VI i. déjà abordée à vrai dire dans les questions 
précédentes, est reprise plus généralement avec la notion du potentiel des 
vitesses qui existe ou n'existe pas suivant que le mouvement est irrotationnel 
ou non. Cela conduit à la considération des mouvements tourbiUonnaires 
envisagés soit au sein d un liquide, soit au sein d'un gaz. mouvements qui 
offrent des apparences physiques si curieuses surtout dans les cas où l'on 
peut mettre en évidence l'existence de surlaces ou de lignes de tourbillon. 

Le reste de l'ouvrage est consacré à la déformation des solides. En cette 
matière les travaux personnels de I auteur sont suffisamment connus pour 
qu'on puisse les voir transparaître sous une exposition de forme extrême- 
ment originale. L'idée d'hystérésis facile à interpréter géométriquement 
sépare immédiatement la déformation parfaitement élastique de la déforma- 
tion ordinaire. Les propriétés de certaines substances comme le caoutchouc, 
substances qui obéissent pour de grandes déformations à des lois sinoi. 
semblables du moins comparables à celles qui régissent les déformations 
très petites d'autres corps beaucoup moins élastiques tels que les métaux, 
sont rapprochées immédiatement îles propriétés de la déformation parfaite- 
ment élastique. Je signale aussi comme une bien intéressante expérience 
d'acoustique la mesure du module d'Young fondée sur l'étude des vibra- 
tions sonores d'une tige. Dans l'étude de la torsion hélicoïdale d'un cylindre 
on voit nettement 1 influence de l'hypothèse préliminaire, facile à vérifier, 
de la conservation des sections droites. 

Le chapitre VIII est consacré aux éléments de la théorie de l'élasticité 
pour les corps isotropes. C'est d'abord une partie toute théorique, inévita- 
ble parce qu'elle est indispensable, et c est, comme on peut s'y attendre. la 
partie qui semblera la plus difficile au lecteur dont la science mathématique 
e>t restreinte : cependant, dans la question si délicate de l'équilibre élas- 
tique, M. Bouassé peut rapidement présenter des résultats expérimentaux 
et étudier par exemple l'équilibre d'un tube cylindriqueou d'une enveloppe 



KIBLIOGRA PH1E 331 

sphcrique. Alors revienl là belle question des ondes considérée celte lois 
<1 n us un solide isotrope. Les équations générales de la déformation qui pa- 
raissent si compliquées en général vont cependant donner des résultats 
simples, élégants el d'une importance capitale si l'on réfléchit notamment à 
ce que les solides transmettent des ondes transversales qui en optique sont 
celles transmises par l'éther. 

Après l'étude du frottement appliqué entre antres choses aux questions de 
freinage (Ch. IX) nous passons à l'équilibre el au mouvement vibratoire des 
cordes. Dans l'équilibre la tension de la chaînette est envisagée dans le cas 
très réel des chaînettes tonnées par les fils télégraphiques suspendus, 
dans le mouvement nous retrouvons pour les vibrations des cordes et des 
membranes les considérations relatives aux équations aux dérivées partiel- 
les el aux séries Irigonométriques déjà rencontrées à propos des ondes. Il 
est encore bien remarquable que la superposition des harmoniques soit une 
interprétation physique toute naturelle du développement en série Irigono- 
mél rique. 

Le dernier chapitre est consacré à la résonnance et à la vibration des 
verges si bien que ce premier volume contient en somme l'acoustique. Il est 
beau d'avoir été jusque là dans une partie consacrée par son titre à la Mé- 
canique physique. 

Les volumes suivants auront trait à la Thermodynamique, à l'Electricité, 
à l'Optique. Heureusement préparés par celui que nous venons de parcou- 
rir ils nous apporteront sans doute bien d'autres surprises intéressantes et 
nouvelles. 

A. Buhl (Montpellier). 

F. Kb.nkk. — Leitfaden der technisch wichtigen Kurven. — I vol. in-8", 

car*. VIII, 197 p., 93 fig. ; 4 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

M. Ebner a réuni en un exposé systématique les propriétés d'un certain 
nombre de courbes que l'on rencontre fréquemment eu mécanique. 11 fait 
imr étude très complète et bien ordonnée de la trajectoire décrite par le 
sommet C d'un triangle ABC, les points A et B étant astreints à glisser sur 
ileux axes rectangulaires, sur une droite el une circonférence ou sur deux 
circonférences. La discussion donne lieu à d'intéressants exemples dont les 
applications pratiques sont mises en évidence. 

Dans les deux derniers chapitres sont examinés les paraboles el les hyper- 
boles d'ordre supérieur [y=ax n ), et les courbes dites cycliques. 

Il y a là non seulement des applications utiles à l'élude de la trajectoire 
d'un point d'une bielle, mais les professeurs y trouveront aussi d'intéressants 
exercices de géométrie analytique donnant lieu à des discussions d une 
interprétation facile. 

Alfxander Gleichin. — Vorlesungen iiber photographische Optik. — 

1 vol. in-8", 230 p., 63 fig. ; 9 Mk ; Gôschen, Leipzig. 

M. Gleichen, qui en 1902 a publié un traité d'optique géométrique très 
intéressant, expose dans ces « leçons » la théorie des systèmes photogra- 
phiques. Toute celte théorie se déduit des principes connus de l'optique 
géométrique (propagation recliligne de la lumière, lois de réflexion et ré- 
fraction, etc.). Le lecteur sera peut-être un peu surpris que la diffraction, 
tellement importante pour les instruments optiques en général, ne joue au- 
cun rôle dans la théorie des objectifs photographiques. La raison eu est. 



:V.',-2 BIBLIOGRAPHIE 

qu'on opère en photographie presque toujours avec des faisceaux d'ouver- 
ture relativement grande. Cependant, si le problème au point de vue physi- 
que s'en trouve simplifié, il en résulte une plus grande complexité au point 
de vue géométrique. Mais la plus grande difficulté réside évidemment dans 
la grandeur du champ. De là, un grand nombre de corrections et de condi- 
tions, dont l'auteur expose la théorie avec beaucoup de simplicité et d'élé- 
gance. Le mathématicien suivra avec intérêt ces développements, qui con- 
tiennent en maints endroits les vues personnelles d'un homme expert. 

Partant des principes élémentaires de la formation des images par des 
surfaces sphériques centrées. Fauteur n'envisage d'abord que la région p.i- 
raxiale. Il traite ensuite le problème de la délimitation des faisceaux par les 
diaphragmes, l'achromatisme, la région de Sfidel et la condition de Petzval. 
Des problèmes plus compliqués et plus généraux de la représentation d'une 
portion finie de l'espace sont abordées, en taisant intervenir la surface 
d'onde et la fonction de Hamilton. La condition générale pour la formation 
de l'image sans aberration de deux points voisins de l'axe optique est expo- 
sée d'après les vues personnelles de Fauteur. 11 en déduit la condition des 
sinus et la condition de Herschel. Le chapitre suivant traite l'astigmatisme. 
Les formules sont simplifiées par l'introduction du « système rationnel <> 
qui met en évidence certains invariants optiques. (Rayons méridionaux el 
sagittaux. « Pointe caustique » « Konia. ») Plus loin, l'auteur critique cer- 
taines inexactitudes qu'on se permet quelquefois dans la construction des 
images, en exposant une théorie du « diaphragme naturel » el de la cons- 
truction des images par « rayons fondamentaux ». Les derniers chapitres 
sont consacrés aux questions de lorlhoseopie. éclat des images, objectifs 
symétriques, constructions géométriques des faisceaux réfractés, notes his- 
toriques et exemples numériques du calcul des objectifs photographiques. 

A. Schidloe. (Genève). 

Franz Rogel. — Das Rechnen mit Vorteil. Eine gemeînfassliche durch 
zahlreiche Beispiele erlàulerte Darstellung emphfehlenswerter Vorteile 
und abkùrzender Verfahren. — 1 vol. in-8°, 38 p. M. 0,80 ; B. G. 
Teubner. Leipzig. 

Cette brochure rendra d'utiles services à tous ceux qui désirent apprendre 
à calculer rapidement et avantageusement. Elle s'adresse aux personnes qui 
sont déjà versées dans les opérations fondamentales de l'Arithmétique et de 
l'Algèbre et elle a pour but de simplifier, dans la mesure du possible, ces 
opérations el ces calculs de façon à permettre à ceux qui en prendront con- 
naissance de perdre le moins de temps possible. 

L auteur passe d'abord en revue les quatre opérations fondamentales : 
Addition. Soustraction, Multiplication, Division ; il traite spécialement les 
cas particuliers qui peuvent se présenter et indique les principaux moyens 
de preuves dont on dispose. Il faut noter également les chapitres concernant 
la multiplication complémentaire, la multiplication ordonnée, la multiplica- 
tion abrégée et enfin celle des nombres approchés. On retrouve du reste 
les mêmes chapitres dans la Division.. 

L'auteur traite en terminant des puissances (carrés el cubes) et des 
Racines (racines carrées et cubiques et racines cinquièmes). 

En «mire des moyens abrévialifs connus. Ton en trouvera dans ce petit 
livre d'autres qui le sont moins et qui jusqu'à présent n'avaient pas été ré- 
pandus. C'est donc un mérite de plus pour I auteur cl avoir fait œuvre de 



B ULL E T I N H I />' I. I <) C /,' A P 11 1 Q U E X\:i 

vulgarisation, el il est à souhaiter que ci' petit volume parvienne entre les 
mains de tous ceux que cette question intéresse. 

J.-P. Dumur, (Genèvel 

M. Simon. — Ueber die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. 
Jahrhundert. — 1 vol. in-8° cart. 278 p. ; 8 .M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 
Ce volume, qui fait partie des rapports publiés par l'Association des 

mathématiciens allemands (suppléments. Tome II, donne un aperçu du déve- 
loppement de la Géométrie élémentaire au cours du XIX M1( ' siècle. Dans le 
premier chapitre on trouve d utiles indications historiques et bibliographi- 
ques concernant la Géométrie élémentaire, sa méthodologie, ses traités el 
recueils d'exercices. L'auteur examine ensuite, dans les chapitres suivants, 
des questions particulières, telles «pie la théorie des parallèles, la circon- 
férence, la mesure des aires, etc... les relations métriques dans l'espace, la 
Trigonométrie. 

Le iexte proprement dit est clair el très condense'' ; chaque paragraphe 
est accompagné de renseignements bibliographiques très nombreux. En les 
examinant on ne peut qu'admirer le soin que l'auteur a apporté- à celte im- 
portante étude bibliographique que nous signalons à tous ceux qui 
enseignent la Géométrie élémentaire. Elle a sa place bien marquée dans 
toutes les bibliothèques d Ecoles normales, de Gymnases et de Lycées. 

(laston Tarry. — Tablettes des cotes relatives à la base 20580 des facteurs 

premiers d'un nombre inférieur à X et non divisible par 2, 3, 5 ou 7. — 

Grand in-8 (28 X 19| ; 1 fr. 25 : Gauthier- Vijlars, Paris. 

L'Auteur se propose de construire de nouvelles Tables pour la décompo- 
sition des nombres en leurs Facteurs premiers, pour les douze premiers 
millions, en les réduisant au moindre volume. 

Pour atteindre ce but, il a imaginé un nouveau procédé, qui présente 
1 avantage de substituer aux divisions successives du nombre considéré, par 
les différents nombres premiers p. des additions mentales de nombres infé- 
rieurs à la moitié de p. Ainsi, la multiplication apportée est équivalente à 
celle introduite par les logarithmes dans le calcul des divisions. 

Comme exemple d'application delà nouvelle méthode, il fait paraître sous 
le nom de « Tablette des cotes... » une Table des facteurs premiers des 
nombres de l à 100489. 

Suivant I accueil qui sera fait à celte publication, il verra s'il doit pour- 
suivre ou abandonner son projet. 

Dans une note publiée dans le Bull, de la suc. philomatique de Paris. 
1907, M. Tarry donne la théorie des tablettes des cotes pour la recherche 
des facteurs premiers d'un nombre inférieur à N = :îl7 2 z=i 100i89 et non 
divisible par 2, 3, 5 ou 7. 

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

1 . Sommaires des principaux périodiques : 

American Journal of Mathematics, edited by Fr. Morley. Vol. XXIX. 

1907 : The Johns-Hopkins Press, Baltimore. 

N os 1 el 2 (janvier-avril 1907). — G. -A. Miller : The groups wich contain 
less than Fifleen opération of Order Tvvo. — Lennes : Concerning the Im- 
proper Débilite Intégral. — ■ Akers : On the augmence of axes in a Bundle of 



334 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

linear Line complexeo. — H. Sisam : On septie serolls Having a rectilinear 
Directrice. — Stidy : Beitrage zur Nicht- Euklidischcn Géométrie. — 
Eisenhardt : Certain Triply Orthogonal Systems of surfaces. 

Annaes Scientificos da Academia Polytechnica do Porto, publieados sob a 
Direeeao île F. Gomes Teixeira. — Vol: I. Impreno da Universidade, 
Coinbra. 

Vol. I. N os •> el i . — .1. Neuberg : Sur quelques complexes de droites. — 
Lazzeri : Aggrupamenti prosppetivi di ordinè // e specie p -\- 1. — Hatom 
de la Goupillière : Centre de gravité du temps de parcours. 

Vol. II, X" 1. — Xiels Nielsen : Sur les séries de fonctions sphériques. 
Atti délia Reale Accademia dei Lincei. CCCIII Rendiconti. Vol. XV. Juillet- 
décembre 1906, Rome. 

P. Burgatti : Sull'estensione del metodo d'inlegrazione di Riemann 
aU'equationi lineari d'ordine n con due Variabili indipendenti. M. de Fran- 
chis) Le superficie, più voile irregolari, di 5° ordine cou punti tri pli. -- 
Id : Le superficie irrationali di 5° ordine con infinité coniche. — F. Enriques 
Suite superficie algebriclie che ammettono una série discontinua di trasfor- 
mazioni birazionali. — H. Lebesgue : Les fonctions dérivées. — B. Levi : 
Ancora alcune osservazioni sulle fun/.ioni derivate. — E.-E. Levi : Su un 
lemma del Poincaré. — Id : Richerche sulla teoria délie funzioni automorfe. 

— G. Morera : Alcune considerazioni sulle funzioni armoniche ellissoidali. 

— U. Sbran.v : Le superficie di Serret negli spazi a curvatura costante. — 

F. Severi : Una proprietà délie forme algebriche prive di punti mullipli. — 
E. Al.maxsi : Sulle equazioni dell'elasticilà. — Id : Sopra una classe parli- 
colare di deformazioni a spostamenli polidromi dei solidi cilindrici. — 

G. Lauricf.li.a : Sul problema derivalo di Dirichlet, sul problema del l'elet- 
trostatica e sulla iulegrazione délie equazioni dell elettricità. 

Bollettino di matematica, giomale scientifico-didattico per l'incremento 

degli Studi Matematici nelle scuole Medie, diretto dal Doit. Alberti Co.nti, 

con la cooperazione del Doit. Umberto Scarpis Anno. VI, 1907; Bologna. 

N" 6 l à \ | janvier-avril 1907 1. — Vaxxini : Sulle approssimazioni numeri- 
che. — Galvani : Sulla risoluzione dei problemi geometrici col metodo 
délie equipollenze. — Carollo : Sulla divisibilité dei numeri. — Gbbzzi 
Sulla divisibilité dei numeri. — Doria : Importanza del calcolo délie espres- 
siou aritmetiebe. — Piccole note. — lie\ista bibliografica. 
Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences de 

Paris. — 1907. 1" semestre, T. CXLIV. — Gauthier- Villars. Paris. 

7 janvier. — Schoenfi.ies : Sur un théorème de Heine el un théorème de 
Borel. — Lecornu : Sur les turbines h axes flexibles. 

l'i janvier. — E. Ré.moundos : Sur les points critiques d'une classe de 
fonctions. — Merezyng : Sur le mouvement des liquides à grande vitesse 
par conduite très large. — Boggio : Sur les potentiels d'un volume attirant 
dont la densité satisfait à l'équation de Laplace. 

21 janvier. — Fréchet : Sur L'approximation des fonctions par des suites 
trigouométriques limitées. — Jacob : Sur la résistance et l'équibre élastique 
des tubes frottés. — Tsoncalas et Vi.ahavas : Sur les hélices de propulsion. 
— Ferber : Sur les hélices propulsives. 

28 janvier. — E. Waelsch : Sur les fonctions sphériques et leurs mulli- 
pèdes. — M. n Ocag.ne : Sur la représentation par points alignés de l'équa- 
tion d'ordre nomographique 3 la plus générale. — P. Duhem. : Sur la pro- 
pagation des quasi ondes de choc. — G. Koenigs : Sur la courbure des cour- 



/; U 1. 1. E TIN II I BL I O G R APHIQ U E 335 

bes enveloppes dans le mo'uveroenl le plus général d'un corps solide dans 
1 espace. 

i février. — Z. Geouze : Quadrature des surlaces courbes. — Tsoncalas 
cl Vlahavas : Elude comparative des hélicoptères el des aéroplanes. 

1 1 février. — Lebesgug : Sur le problème de Dirichlet. — Bairk : Sur la 
uon-applicabilité de deux continus à n et à n -\- p dimensions. 

18 février. — 1*. Boutrou.x : Sur la croissance des intégrales des équa- 
tions différentielles du premier ordre. — E. Maillet : Sur les fonctions 
<|uasi entières et quasi méromorphes. — Koenigs : Construction du rayon 
de courbure des courbes enveloppes dans le mouvement le plus général 
d'un corps solide. 

'.!."> février. — L. Rémi : Sur certaines surfaces liées aux tondions abé- 
liennes de genre trois. — Jouquet : Remarque sur les ondes de clioc. — 
CrussAR] : Sur quelques propriétés de l'onde explosive 

4 mars. — N. Nielsen : Sur les formules d'addition des fonctions sphé- 
riques. 

16 mars. — Koenigs : Sur les déformations élastiques cpii laissent inva- 
riables les longueurs d'une triple infinité de lignes droites. 

18 mars. — F. Ries/. : Sur les systèmes orthogonaux. île fondions. — 
T. Lalesco. — Sur les solutions périodiques des équations différentielles 
linéaires. — Lebesgue : Sur le problème de Dirichlet. — Barré : Sur les 
hélices considérées comme génératrices d'une surface. — Hilleret : Sur la 
méthode des isopérimètres. 

'1') mars. — Lecorntj : Sur uni' généralisation du mouvement de Poinsol. 

2 avril. — Buhl : Sur une extension de la méthode de sommation de 
M. Borel. 

8 avril. — Fug- Barré: La surlace engendrée par une Indice circulaire. 
— - Steki.ofi : Sur un problème d analyse intimement lié avec le problème 
de refroidissement d'une barre hétérogène. — F. Riesz : Sur les systèmes 
orthogonaux de tondions et l'équation de Fredholen. 

22 avril. — Gambier : Sur les équations différentielles du second ordre el 
du premier degré dont 1 intégrale générale est à points critiques (ixes. — 
Popovici : Sur les équations aux intégrales réciproques. 

29 avril. — G. Humbert : Sur les représentations d'un entier par une 
somme de dix ou de douze carrés, — Goldziher : Sur la nature analytique 
des solutions de certaines équations aux dérivées partielles du second 
ordre. Krygowski : Sur le développement des fonctions hyperelliptiques en 
séries trigonométriques. — Barré : Sur les surfaces engendrées par une 
hélice circulaire. — M. d'Ocagxe : Sur la représentation de l'équation d'or- 
dre nomographique 3 la plus générale par un nomogramme conique. — 
Jacob : Intégramètre à lame coupante. 

6 mai. — Bertrand Gambier : Sur les équations différentielles du second 
ordre el du premier degré dont 1 intégrale générale est à points critiques 
(ixes. — Ch. Michel : Sur certaines congruences de droites. 

13 mai. — E. Picard : Sur une équation fonctionnelle se présentant dans 
la théorie de certaines équations aux dérivées partielles. — Ernest Fischer : 
Sur la convergence en moyenne. — S. Bernstein : Méthode générale pour la 
résolution du problème de Dirichlet. — En. Maillet : Sur les fractions 
continues arithmétique et les nombres transcendants. — M. d'Ocagne : Sur 
la représentation des équations d'ordre nomographique 4 à o et à 4 varia- 
bles. — Canovetti : Sur la résistance rie l'air au mouvement des corps. 



336 11 VLLETl N B I l: I. I O (, II A P II I Q I E 

2. Livres nouveaux : 

R. d'Adhémar. — Les équations aux dérivées partielles à caractéristiques 

réelles. — I vol. in-8 a écu, 86 i>. ; cartonné. {Collection Scientia) : prix : 

2 fr. : Gauthier-Villars, Paris. 
P. Crantz. — Arithmetik u. Algebra. — Zum Selbstunterrichl. I. — t vol. 

in-8 c écu, 128 p. : cart. (Collection Jus Natur- u. Geisteswelt) : I Mk 25 : 

B. G. Teubner, Leipzig. 
Gaet. Fazzari. — Brève Storia délia Matematica. Dai imipi antichè al 

medio pvo. — 1 vol. in-16, 268 p. : \ L. ; R. Sandron, Palerme. 
C. Hawkins. — Elementary Trigonometry. (Dent's Séries of m a the ma tic al 

and scientific Text Book for Schools). — I vol. in-16, cart. 310 p. ; '■ 6 

iwith auswers) : Dent cV C°, London. 
F. Klein u. R. Schimmack. — Der mathematischen Unterricht an hoheren 

Schulen. Teil. 1. Von der Organisation des mathem. Unterrichs. — 1 vol. 

cart. in-8°. 236 |>. ; B. -G. Teubner, Leipzig. 
C. A. L.usam-. — La Mathématique, Philosophie, Enseignement. 2""- édi- 
tion, revue et corrigée. — I vol in-X" cart. 2i:> p. ; ~> fr. . Gauthier- Yillars, 

Paris. 
Wilh. Lorey. — Leonhard Euler. - 1 broch. in-8°, 2ii p. ; B.G., Teubner, 

Leipzig. 

Loria. — Vorlesungenùber darstellende Géométrie Deutsch von Fr. Schiitie. 

I : Die Darstellungsmethoden. — 1 vol. in-8°, relié; 219 p. . <; M. 80 : 

B. G. Teubner. Leipzig. 
II. Millkk. — Vierstellige Logarithmen-Tafeln fur die Hand der Schûler 

zusamraengestellt. — 1 fasc, cart., K p. ; 20 pi'.; B.-G. Teubner. Leipzig 
II. Mlilik u. .M. Ki t.m.wsky. — Aufgabensammlung. A.usgabe B. II.. 2 

Auflage. — 1 vol. cart., 304 p. - prix; : li Mk : R.-G. Teubner, Leipzig, 
II. Mlller. — Einfùhrung in die Differential- u. Integralrechnung zum 

Gebrauch an hoheren Schulen. — 1 vol. rarl. in-8°, 38 p. : I .M. 20 : B. fi. 

Teubner. Leipzig. 
O. Richter. — Dreistellige logarithmische u. trigonometrische Tafeln. — 

1 broch. in-16. H) p., U M. 20; R. <i. Teubner, Leipzig. 

Gaston Tarry. — Tablettes des cotes relatives à la base 20580 des fac- 
teurs premiers d'un nombre inférieur à X et non divisible par 2.3. 5 ou 

7. — Gr. in-8" (28 X 19| ; prix I fr: 25; Gauthier-Villars. Paris. 
P. Treutlein. — Mathematische Aufgaben ans dèn Reifeprûfungen der 
badischen Miltelschulen, X Teil : Aufgaben. — 1 vol. iu-8" relié. 158 p. ; 

2 M. 80 ; B. G. Teubner Leipzig. 

K (i. Voir. — Die Elemente der neueren Géométrie. I nier besonderer 
Beriicksichtung des geomelrischeii Bewegungsprinzips. Fur die oberen 
Klassen hoherer Leliranslalten u. zum Selbst udiuni béarbeilet. Mit 93 
zum grossen Teil zweifarbigen Figuren im Text. 1 vol. cart. in-8° 77 ]>. : 
2 M. 20 ; B. G. Teubner. Leipzig. 

H. Weher u. .1. Weli.stein. — Encyklopàdie der Elementar-Mathematik. 
Fin Handbuch fur Lehrer u. Studierende. III : Angewandte Mathematik. 
— I vol. gr. in-8°. relié. 666 p. ; 14 ; M. ; B. G. Teubner. Leipzig. 



ERRATUM 

N° de mai. p. 201. ligne 13. supprimer le nom de M. <■. Combebiac 



SUR LA DISCUSSION ET LA RÉSOLUTION 
DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES DU PREMIER DEGRÉ 



1. — Cette théorie est capitale dans toute l'Analyse mathé- 
matique, et cependant son exposition n'a jamais eu une lim- 
pidité suffisante pour ne laisser aucune obscurité dans l'es- 
prit des élèves. C'est ainsi que dès le Baccalauréat, le 
cas de deux inconnues, le seul exigé, est presque toujours 
évité par les candidats quand il est laissé à leur choix parmi 
trois sujets de composition, et que, pendant les 38 années de 
ma carrière d'examinateur, je n'en ai pour ainsi dire pas ren- 
contré un seul qui ait pu me faire sur cette question des ré- 
ponses ne soulevant aucune objection. 

Ce manque de netteté tient d'abord à la nature synthétique 
presqu'à l'excès, des moyens employés. On commence, en 
effet, par construire des expressions spéciales, les détermi- 
nant, au gré de règles ne laissant apercevoir avec la question, 
aucun rapport même éloigné, et on poursuit à l'aventure, par 
des passes de prestidigitation exécutées sur ce matériel dont 
rien, en dehors de la réussite, ne vient expliquer la néces- 
sité et l'exacte adaptation. D'autre part, et c'est en bonne 
partie une conséquence de ces vues artificielles, on s'obstine 
à prendre pour thème du sujet, un système où le nombre 
des équations est égal à celui des inconnues (comme si 
l'égalité de ces deux nombres était une donnée imposée par 
quelque fatalité), et dont la nature n'a pas été précisée au- 
trement ; c'est à peu près comme si l'on voulait faire la théorie 
de l'équation du deuxième degré, sans distinger le cas oîi le 
coefficient de jc 2 est nul, de celui où il ne l'est pas. Une telle 
marche conduit à des formules de résolution exigeant une 
discussion dont les incidents sont très variés, dont il est 

L'Enseignement mathém., 9 e annùe ; 1907. 2'.i 



338 CH. MERA Y 

quasi-impossible de renfermer les résultats dans un seul 
énoncé bref et précis. 

Mais l'obscurité disparait, dès que Ton consent à raison- 
ner sur les systèmes réduits ; j'y vais revenir l , en simplifiant 
toute la question dans une mesure et sous une lumière qui 
me paraissent ne laisser plus rien à désirer. 

2. — Etant donné un système quelconque d'équations si- 
multanées du premier degré, dans chacune desquelles tous 
les termes ont été reportés au premier membre, on marque 
les rôles relatifs joués dans la question par les coefficients, 
en les écrivant en abaque, c'est-à-dire en inscrivant leurs 
notations dans les cases d'un quadrillage rectangulaire, dis- 
posées par files horizontales ou lignes, et simultanément par 
files verticales ou colonnes, cela de manière que les coeffi- 
cients des diverses inconnues .r, y, z,... et le terme indé- 
pendant d'elles dans chaque équation, soient toujours placés 
sur une même ligne, et que, dans les diverses équations du 
système, ceux de chaque même inconnue, les termes indépen- 
dants aussi, le soient toujours sur une même colonne. 

S il existe quelque groupe de solutions x' , y', z' 

chaque équation montrera que son terme indépendant est la 
somme des produits des coefficients de x, y, z,... par les 
mêmes quantités — x' , — y'. — z'..., ce que nous exprime- 
rons en disant que, dans l'abaque du système, la colonne 
des termes indépendants est composée homolinéairement de 
celles des coefficients de x, y, z,... au moyen des multiplica- 
teurs — x' , — y', — z' afférents à ces dernières co- 
lonnes. 

Si, d'autre part, quelque ligne de l'abaque est pareille- 
ment composée de ses autres lignes, le premier membre de 
l'équation correspondante est une fonction linéaire et homo- 
gène de ceux des autres équations, homolinéaire dirons-nous 
pour abréger ; il s'annule ainsi en même temps qu'eux tous si- 
multanément, cette équation est satisfaite par tout groupe 
de solutions appartenant aux autres équations seulement; 



1 V. mon Exposition nouvelle de la théorie des forints linéaires et des déterminants. — 1884 
Gant hier- Villars. 



EQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 339 

on peut donc la supprimer en réduisant au système de ces 
dernières seulement, tout le proposé dont le sort est le 
même. 

Ces premières observations font pressentir le rôle domi- 
minant joué dans la question par cette notion de composition 
dune file, de nom, ou sens, quelconque, relativement à ses 
homonymes, ou parallèles; nous commencerons donc par 
développer tout ce qui s'y rattache immédiatement. 

3. — Nous écrirons l'abaque 

1«\ , b t , c, g t , /(, , 
«2 • l>2 ■ Cj g» , lli , 

(M \ «S • l>S • ' - 3 . •■• , &S , >h I 

«m . Dm. Cm #m. I> a- 

notation montrant d'elle-même ce que nous entendrons par 

les lignes 1, 2,3 M, par les colonnes a, b, c..., g, h, et nous 

nommerons: ses éléments, toutes les quantités ai, bi , a ..., 

gt . h\ , ai , ... , ... , a yi , b M , e? M g M , // M , indistinctement, qui 

le composent, sa hauteur, le nombre M de ses lignes, sa lar- 
geur, le nombre de ses colonnes que nous représenterons par 
N, ce qui donne MN pour le nombre total des éléments. Des 
éléments en nombre quelconque sont enfilés s'ils appartien- 
nent à quelque même file, enlignés ou encolonnés suivant le 
cas. 

D'après cela, si la colonne a est composée (homolinéaire- 
ment) des autres (2), c'est qu'il existe entre ai , as, as, ... , a u 
et tous leurs enlignés dans les autres colonnes, les relations 
uniformes 



«M= j3Aji+ 7'M+ ••• + x o'M+ ^M. 



où /3, y, ... , -/., •/? sont les multiplicateurs afférents aux colon- 



340 CH MÉRAY 

nés dont la première est composée. La composition de la li- 
gne i au moyen des autres s'exprimerait par 

«i = ). 2 a 2 -)- \a z -f- > 4 «4 + ... + hithi . 

/;, — l S /^ 2 + > 3 fr 8 + Xl^ 4 + ... -f- > M ''M , 

(3) / 



h, — ï t h, + >,A, + ^A, + ... + W'm . 



les multiplicateurs afférents à ces dernières lignes étant ici 

4. — Nous faciliterons beaucoup le langage en disant que, 
pour certaines valeurs des éléments, l'abaque est vanescent 
ou invanescent, par ses files d'un sens donné, selon que quel- 
qu'une de ces files est composée de ses parallèles, (2), (3), ou 
qu'aucune d'elles ne l'est. 

Il est utile de noter les observations suivantes. 

I. La vanescence de l'abaque, comme son invanescence, 
est indépendante des ordres dans lesquels ses lignes et co- 
lonnes peuvent être écrites. Car une modification dans ces 
dispositions ne fait que changer l'ordre de succession des 
équations dans le système (2) ou (3), et celui des termes du 
second membre dans chaque équation. 

II. Par ses files du sens donné, l'abaque est toujours va- 
nescent : 

1° Quand une de ces files contient des éléments tous nuls 
Car s'il s'agit des colonnes par exemple et de la première, 
les relations (2) auront lieu en y prenant 

2° Quand l'abaque partiel laissé par l'ablation de quel- 
ques-unes de ces files est lui-même vanescent de la manière 
indiquée. Car si l'on a par exemple 

flj = > 2 </ 2 + ) 3 rtg , 

b t = > 2 bi 4" ^s l'z • 
hi = > a 1h + > 3 h z , 



ÉQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 341 

on rendra les relations (3) exactes en y prenant 

/ 4 := A5 =n . . . ^r Aji ^ . 

3° Quand les éléments sont tous nuls dans quelques files 
de l'autre sens, si l'abaque partiel laissé par V enlèvement de 
ces dernières est vanescenl de la manière considérée. Car s'il 
en est ainsi pour les lignes montrant les indices 1, 2. et si 
les M — 2 dernières relations (2) ont lieu, les 2 premières 
ont lieu d'elles-mêmes, toutes forcément ainsi, puisque 

di ■=. b t := Ci = ... = /*i r= , 

et 

III. La vanescence de l'abaque par les files d'un sens, en- 
traine celle de l'abaque partiel qu'y laisse la suppression de 
files quelconques de l'autre sens. 

5. — La question qui nous occupe ramène à chaque ins- 
tant, des polynômes entiers par rapport aux MN éléments 
de l'abaque, regardés comme autant de variables indépen- 
dantes, qui, non nuls identiquement, le deviennent chaque 
fois que ces variables prennent des valeurs pour lesquelles 
F abaque est vanescent par ses files d'un sens donné, (4), qui 
présentent en outre le caractère particulier d'être homoli- 
néaire par rapport aux éléments de chacune de ces files, 
considérés isolément. Nous les nommerons des covanescents 
de l'abaque, pour ses files du sens indiqué. 

Nous commencerons par étudier leur structure, en suppo- 
sant qu'il s'agit des lignes pour fixer les idées, en représen- 
tant par L un polynôme indéterminé parmi ceux qui ont la 
forme précisée ci-dessus relativement aux éléments des li- 
gnes, puis en cherchant les conditions nécessaires et sufïi- 
santes pour qu'il soit un covanescent pour les lignes. 

I. Soit 

(4) L = A 1 a 1 + B 1 b 1 + ... + G lgl + H 1 h 1 

V ordination de ce polynôme par rapport aux éléments de 
la ligne 1 de l'abaque, par exemple, où 

(5) Ax, B, G,. H, 



342 CH . M ÉRAY 

sont indépendants des éléments de cette ligne, 

(6) rt t , b lt ... , g t , lh ■ 

Si M = 1, les quantités (5) se réduisent à des constantes. 

Si M > 1, il faut que Ai, so// indépendant des éléments de 
la colonne aussi de ai, covanescent en outre (pour les lignes) 
de l'abaque partiel \a\\ laissé dans (1) par la suppression de 
ces deux files non parallèles contenant ai ; et de même pour 
Bi',..., Gi, Hi, relativement aux colonnes de bi, ... , gi, Ai, et 
aux abaques partiels \bi j , ... , jgïj , j/*i j . 

i" Quand M == 1 , les éléments (6) sont les seuls compo- 
sant l'abaque, et les quantités (5), qui n'en dépendent pas, 
sont ainsi des constantes. 

2° Quand M ;> 1, ces polynômes 5; sont, comme L, homo- 
linéaires par rapport aux éléments d'une autre ligne quel- 
conque î, 



(7) a L . b., ... , g., h t , 

et, pour Ai, on a ainsi 

< 8 > A l = \a a i + \b h i + ■•'■ + \ g 8i + A .,* h ■ 

où Ai, a , ... , Xi t h ne dépendent d'aucun des éléments des li- 
gnes (6), (7). 

En attribuant maintenant la valeur commune à tous les 
éléments de ces deux lignes, autres que «i, « £ , l'une au 
moins de celles-ci devient composée de l'autre 3) quels que 
soient «i, « t , ce qui rend l'abaque vanescent (par les lignes , 
donne en conséquence L = 0. Car, si a\ est nul aussi, ou 
bien az, tous les éléments d'une même ligne s'évanouissent 
(4, II, 1°). Sinon, «i = («i : ai) ai par exemple, et la ligne 
d'indice 1 est composée de celle d'indice i, le multiplicateur 
de celle-ci étant «i : a t . Or ces attributions numériques ré- 
duisent Ai à Ai ja ai (8), L par suite à Ai, a «irt; (4) ; d'où 
Ai, a ai ai = 0, quels que soient «i, «,-, ceci exigeant Ai, a == 0. 

L'indice i étant arbitraire, on voit que Ai est bien indé- 
pendant de tout élément de la colonne des a. 



EQUATIONS LINEAIRES SIMULTANEES 343 

3° Quand l'abaque partiel \ai L à M — 1 lignes et N — 1 co- 
lonnes, savoir 

(9) ' *" 



'>M. Cm. • •• • §Mi «M • 

devient vanescent, le suivant à M — l lignes et N colonnes, 

, l> 2 , Cj. , ... , gf. , // 2 . 

, b t , h, , 

, bu, cm • ■ • • , bu- 

le devient aussi (4, II, 3°), et encore, quel que soit m, cet 
autre 

ci, , , , 

, /> s , t'j , ... , g a , h, , 

, /> 8 A 3 , (/£ 2°) 



, &m-i cm, ••• , gx, hu, 
auquel le proposé (1) se réduit, pour 

Or ces attributions numériques réalisées dans (4) réduisent 
L à Ai ai, puisque Ai est indépendant, tant de ces 2 (M — 1) 
éléments, que de ai (2°). Quel que soit ai, on a donc 

A t a-i = , d où Ai = , 

ceci montrant que Ai est un covanescent de l'abaque j ai j 
figuré en (9). 

4° Pour les autres polynômes du groupe (5), les raisonne- 
ments sont les mêmes, sauf des notations différentes. 

II. Désormais, nous supposerons > 1, la hauteur M de 
l'abaque, ainsi que sa largeur N, et nous dirons défilés, des 
éléments en nombre quelconque, dont deux ne sont jamais 
enfilés 3). Tels sont: ai, 62, ou ^2, 61, ou ai, 62, C3, ou 61, #2, 



3'»'t CH. MÉRA Y 

C3, ou ai, bz es. di, etc., ou..., groupes dans chacun desquels 
deux éléments quelconques ne sont, ni enlignés, ni enco- 
lounés. 

Dans le développement général en termes élémentaires 
dissemblables) du polynôme L ordonné par rapport à la 
totalité des éléments de l'abaque, il faut que tout terme de 
coefficient q=^0, soit le produit de q par M élément défilés. 

Car si un tel terme contenait deux facteurs variables en- 
lignés, le polvnome L ne serait pas linéaire par rapport aux 
éléments de la ligne de ces facteurs (supr.i. S'il contenait 
deux facteurs variables encolonnés, l'ordination de L par 
rapport aux éléments de la ligne de l'un d'eux, e t , donnerait à 
e t un coefficient non indépendant de tous les éléments de la 
colonne des e (I). S'il contenait moins de M facteurs de ce 
genre, le même polynôme ne serait pas homogène par rap- 
port aux éléments de quelque même ligne supr.) 

En d'autres mots, il faut que les notations des M éléments 
facteurs d'un tel terme, montrent les M indices différents 1, 
2, 3, ..., M, affectant M lettres différentes aussi. 

III. — On forme les arrangées de y objets différents, de 
nature quelconque, en les concevant simultanément (avec ou 
sans figuration par l'écriture dans tous les ordres de succes- 
sion réalisables. Deux arrangées sont identiques, quand cha- 
cun des v objets est au même rang dans l'une et dans l'autre, 
différentes quand il n'en est pas ainsi. On sait que le nombre 
des arrangées différentes est 1. 2. 3 — v. 

l'ne permutation de ces objets dans une arrangée est un 
déplacement simultané de tout ou partie seulement d'entre 
eux, qui la change en un autre identique parfois, à la ri- 
gueur). Elle prend le nom spécial de transposition de deux 
objets, dans le cas très remarquable, où, v étant > 1, elle 
consiste à déranger deux objets seulement, pour remettre 
chacun d'eux à la place que l'autre occupait. 

La transposition de deux files parallèles de l'abaque (1) est 
leur transposition définie à l'instant, moyennant conception 
préalable de l'abaque comme une arrangée de toutes les files 
de ce sens, considérées chacune comme un seul objet. Cela 
posé : 



ÉQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 345 

II faut que la transposition de deux lignes quelconques, 
i, j, dans la notation du polynôme L, change son signe 
sans modifier sa valeur, c'est-à-dire plus proprement, qu'elle 
équiv aille a sa multiplication par — 1, changeant ainsi 
L en — L. 

1° L'ordination de L par rapport aux éléments de ces deux 
lignes, considérés indistinctement, ne donne que des ter- 
mes de la forme 

où les éléments ordonnateurs mis en évidence sont notés 
par deux lettres différentes, comme leurs indices, le coeffi- 
cient Q ne dépendant que des éléments de l'abaque, étran- 
gers, tant aux colonnes de lettres e, f qu'aux lignes consi- 
dérées, d'indices è, j. Car si l'un de ces deux éléments 
manquait, L ne serait pas homogène par rapport à tous ceux 
de sa ligne; si leurs lettres étaient identiques, le développe- 
ment général de L contiendrait des termes =A dont les 
facteurs e t , ej seraient encolonnés (II) ; si le polynôme Q dé- 
pendait de quelque élément appartenant à une des quatre 
files exclues, un fait analogue impossible se présenterait 
d'une manière ou de l'autre. Cette ordination donne donc 

no» l = ipVv + p 'Vv + W a i c j + Q VV + •■• 
+ < T V< y - + Th tgj ) , 

le nombre total des termes étant N(N — 1), les coefficients 
tels que Q, ayant été représentés par 

(11) P', P", Q' T" , 

et les deux termes dont les éléments ordonnateurs appartien- 
nent à chaque paire de colonnes, ayant été toujours groupés 
entre parenthèses pour plus de clarté. 

2° En donnant ensuite les noms a, (3, y, ..., je, vj, à N quan- 
tités absolument indéterminées, puis faisant 

«. = aj =>* , b t = bj = j5 , .... , g t = gj = y. , A. = kj = « , 



346 CH. MERA Y 

et représentant par A ce que L devient ainsi, il vient, 
d'après le développement précédent, 

A = |P' + P") a/3 + |Q' + Q"l «7 + - + (T' + T"i x* , 

parce que les polynômes 11) sont tous indépendants des 
éléments des lignes dont les indices sont i, y, et tous les 
termes du second nombre sont dissemblables. Mais, en même 
temps, l'abaque est devenu vanescent, parce que, les deux 
lignes considérées ayant été rendues identiques, lune d'elles 
prise à volonté est composée de l'autre au moyen du multi- 
plicateur 1. On a donc par définition A = 0, quelles que 
soient a , j3 , ... , x, »; ceci entraine 

P' — — P" = P , Q' = — Q" — Q T' = — T" = T . 

où P, Q, ..., T représentent les valeurs communes des deux 
membres de chaque égalité, donne par suite au développe- 
ment 10 , la forme 

L = P | a t bj - b t aj\ + Q I a. c. - c. a y ) + . .. + T (g. hj - fe. gj) . 

3° Or la transposition des lignes considérées modifie cette 
expression, de la même manière que celle des indices /, / 
seulement, change donc L en 



P{ajh . _ y,., _,_ Q(a . c . _ ç.a.) + ... + T(gjhi _ hjgi) 
— _ V(a t b. — b^j) — Q [a t Cj — c.aj) — ... — T(g.hj — h igj ) 
= — L 



IV. Quand M = 1, le polynôme L est toujours un co— 
vanescent de V abaque considéré. 

Quand M > 1, il suffit pour quil en soit ainsi, que L 
soit changé en — L par la transposition de deux lignes 
quelconques. 

1° Si M-= 1, l'abaque ne peut devenir vanescent que par 
l'attribution de la valeur commune à tous les éléments de 
sa ligne unique. Or cette attribution annule L puisqu'il est 
homolinéaire par rapport à tous ces éléments. 

2° Si M > 1, L s'évanouit: 

y- — Quand les éléments de quelque même ligne de l'abaque 



EQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES ;}',7 

prennent tous la valeurO, puisqu'il est linéaire et homogène 
par rapport à eux. 

(S. — Quand deux lignes sont identiques; car en nommant 
'L ce en quoi L est changé par la transposition de ces deux 
lignes, L'hypothèse donne 



outre 



L = L 



en fait, à cause de l'identité de ces lignes, et ces deux rela- 
tions entraînent bien L = 0. 

y.— Quand quelque ligne, la première pour fixer les idées 
est composée des autres. Car on a, pour les éléments de cette 
ligne, des expressions telles que les seconds membres de (3), 
expressions dont la substitution dans L, homolinéaire parrap- 
port à ces éléments, donne 

L = > 2 . L 2 + ) 8 . L 3 + ... + V , Lm . 

ou L2, L3 , ... , L M représentent respectivement ce que de- 
vient L par la substitution à sa première ligne, de celles 
d'indices 2,3, ... , M successivement. Or, ayant par ce qui 
précède L2 = L 3 = . . . = L M = f/3), on a aussi L == 0. 

Comme l'abaque est vanescent dans le premier des trois 
cas ci dessus («), dans le dernier {y) [renfermant le second 
/9 ], et ne peut l'être dans aucun autre, le polynôme L en est 
bien un covanescent. 

V. Quand M > N, l'abaque ne possède aucun covanescent. 
Car, s'il en existait un, son ordination par rapport à tous 
les éléments de l'abaque contiendrait quelque terme de la 
forme qa u bpc y ... gji^ le coefficient constant q étant ^ 0, et 
les M lettres étant toutes différentes, ainsi que les indices 
(II). Or ceci est impossible pour les lettres, puisque leur 
nombre N est supposé < M. 

[Si la détermination L = identiquement, n'avait été 
exclue (supr.) comme dénuée d'intérêt, on pourrait dire ici 
que cette détermination est le seul covanescent de l'abaque 
(Cf. H, inf.)}. 

En conséquence, nous supposerons désormais M < N. 



848 (H. MÉRAY 

VI. Avec les colonnes de l'abaque I . associées de toutes 
les manières possibles en groupes de M chacun, formons 
les abaques partiels 

(12) |a'|, |a"), j a'"} .... : 

dans le développement général du polynôme L supposé co- 
vanescent de l'abaque proposé, nommons 

(13) 1' , 1" . 1'" . ... , 

la somme des termes dont les notations impliquent exclu- 
sivement les lettres des M colonnes de ja'j (11), puis sem- 
blablement, celles des termes analogues relativement à j a" }, 
| a'" L... successivement. Les polynômes (13) sont des covanes- 
cents des abaques 12 respectivement, du proposé aussi, et 
la somme de tous, 

(14) 1' -h 1" -h 1'" -h --- , 

reproduit L. 

Inversement, si (13) sont des covanescents quelconques des 
abaques (12 , leur somme 14 en est un du proposé. 

1" Le groupe 1' par exemple, est un covanescent de ja'j , 
parce que les attributions, aux éléments des colonnes de ja'j , 
de valeurs le rendant vanescent, à ceux des autres colonnes 
de(l), de la valeur commune 0, rendent ce dernier vanescent, 
(4, II, 3°), annulent ainsi L, en même temps que la seconde 
réduit ce polynôme à 1'. 

2° Le même groupe est un covanescent de (1), parce que 
la vanescence de cet abaque entraine celle de ja'j en particu- 
lier 4, III), annule par suite son covanescent 1'. 

3° La somme (14) est égale à L, parce que tout terme de ce 
polvnome, a été placé dans une des parties de cette somme 
et dans une seule. 

4° Si les polynômes (13) sont des covanescents des abaques 
partiels (12), la nullité de tous, celle de leur somme (14) par 
suite, sont assurées par la vanescence de l'abaque 1 , entraî- 
nant celle de chacun des abaques (12) (4, III . Donc cette 
somme est un covanescent du proposé. 

6. Ce théorème avant ramené la construction des covanes- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 349 

cents de l'abaque (1), à M lignes et N (^ M) colonnes, à la 
recherche de ceux des abaques partiels (12), dans chacun 
desquels les lignes et les colonnes sont en nombre tous deux 
= M, il nous reste à nous occuper de ces derniers, que nous 
dirons carrés et d'ordre M. Nous raisonnerons sur le type 

/ ffi , b t , c t , ... , e t , fi , 

\ -a» , b t , c» , ... , e t , f t , 

(15) j 

\ «m. bu, c M , •■• , ^'m, fu , 

noté au moyen de M lettres, a, b, c,..., e, f, dont nous re- 
présentons par 1 un covanescent hypothétique, pour ses li- 
gnes, toujours. 

I. L'ordre M étant supposé > 1, et une colonne de l'aba- 
que carré (15) ayant été choisie arbitrairement, ainsi qu'un 
élément dans celle-ci, ai pour fixer les idées, tout covanes- 
cent 1 de cet abaque est de la forme. 



* 16 > l = a \Ka - «2*2,0 — -• — "m 1 



M*M, a 



où ont été représentés : par l Ua quelque covanescent de l'aba- 
que partiel, encore carré mais cl ordre M — 1, 



b t . <- 2 , .. 


• . fs . fi , 


b s . . . 


. . , n :, 



(171 



/>.m . cm . • • • , e M , /m , 

que laisse dans le proposé la suppression simultanée de la 
ligne et de la colonne de ai, par 1 2 ,« , l 3 , a , ••-, l M ,a, ce que 
devient l 1>a quand on y substitue b u c t , ... , ei, /î, à ses 
éléments figurant dans les lignes 2, 3, ..., M de l'abaque 
(17), enlevées tour à tour. 

Réciproquement, si l i>a est un covanescent de l'abaque 
partiel (17), cette formule donne pour 1 un covanescent du 
proposé (1). 

1° Le polynôme 1 est homolinéaire, par rapport aux élé- 
ments 



350 CH. MER A Y 

(18) a t , a t ; at «M 

de la colonne considérée. 

Dans la formule 4 , l'élément a x n'entrant ni dans Ai, ni 
dans aucune partie du second membre autre que Ai«i, le 
terme en ai de l'ordination de L par rapport à cet élément 
seulement est précisément Ai«i, et ceux de provenances 

analogues relativement à r/2 a u sont, de même. A2«2 

A M « M , empruntés aussi aux ordinations successives de L 
par rapport aux éléments des lignes 2, 3, — M. 

L'application de ces observations à l'ordination de 1 par 
rapport aux 18 conduit donc à 

• 19 ; 1 = Aif/j + A 2 «, -f- ... + A m «m + A , 

et on remarquera : que Ai, Aa A M , Ao sont, comme 1, 

des polynômes tous homolinéaires par rapport aux éléments 
d'une ligne quelconque de l'abaque 15 : que le dernier Ao 
ne dépend que de ceux de l'abaque partiel 

l>i . fi , ••• , e t . /; . 

, l'2 , c s . ... , e 8 , / 2 . 

bu ■ cm . ... , ?m , /m 

restant de 15) après suppression de la colonne considérée 
L8 : que tout autre A» ne dépend que des éléments laissés 
dans celui-ci 20 par la suppression de sa ligne i (5, I). 

Si maintenant on rend l'abaque 20 vanescent par les 
lignes, avec attribution simultanée de la valeur aux 
quantités i!8 . on rend vanescent aussi l'abaque considéré 
L5 4. II 3" . ce qui annule 1. et on réduit à Ao le second 
membre de 19). Il en résulte que Ao prend alors la valeur 0, 
ceci montrant que ce polvnome est un covanescent de l'aba- 
que partiel (20 pour ses lignes, puisque nous avons remar- 
qué tout à l'heure qu'il est homolinéaire par rapport aux 
éléments de chacune de ses files de ce sens. 

Mais le même abaque n'a aucun covanescent de ce sens 
qui ne soit nul identiquement, parce que ses colonnes et li- 



EQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 351 

gnes sont en nombre M — 1 < M (5, V). D'où Ao = iden- 
tiquement, puis 



(21] 



1 = Ai«, -f- A a o t + ... + A m «m (19), 



ce que nous voulions prouver. 
2° On a 

(22) A, = h, a , A 2 = — la.a , A 3 = - h,a A M = - 1 M ,« . 

La première de ces formules résulte de ce que, dans l'or- 
dination (4), Ai est un covanescent de l'abaque partiel (9) se 
réduisant ici à (17). 

Pour établir la seconde, transposons dans (21) les lignes 
1 , 2, ce qui donne 



'1 = 'Aiff 2 -(- 'A 2( 7j + 'A 8 r/ 3 + 'A 4 rt 4 4- ... 4- 'A 



M «M 



en représentant par 1, 'Ai, ... ce que 1, Ai,... sont devenus, 
et ajoutons les deux relations membre à membre. A cause 
del + '1=0 (5, III), il vient ainsi 

== (A, 4- 'A,) a, 4- (A. + 'A,) a, + (A, 4- 'A,) *,+ ... 

4- (Am + 'AmI m , 
puis 

( 23 ) A, 4- 'A, = ', A s 4- 'A, = , ... 

parce que l'identité précédente a lieu quels que soient les 
éléments (18). 

Gomme Ai ne dépend que des éléments des M — 1 derniè- 
res lignes de l'abaque partiel (20), la transposition exécutée 
a pour effet d'y remplacer seulement £*, c 2 , ..., e a , fi par 6i, 
ci,... ei, /,. On en conclut 'A, =: l 2<a à cause de la première 
des formules (22), déjà établie, puis A 2 = — 'Ai = — \ 2>a à 
cause de la seconde identité (23), c'est-à-dire la seconde des 
mêmes formules ; et les transpositions de la même ligne 1 
avec celles d'indices 3, 4, ..., M successivement, conduisent 
semblableinent à toutes les autres. 

3° La combinaison de ce qui précède (1°), (2°) montre que 
1 ne peut avoir que la forme donnée par la formule (16). 

4° Si l 1)fl désigne maintenant un covanescent quelconque 



352 CH. MER A Y 

de l'abaque (17), lo.« , h.a , ••• , ln.a rempliront visiblement la 
même fonction pour les abaques partiels! «2 j , jtfaj, — , |«| M dé- 
rivés de celui-ci \ai\ par la substitution de la ligne 61, ci, ..., 

fi, /î, à ses lignes d'indices 2, 3 , M successivement; et 

ces M polynômes, celui 1 que fournit la formule (16) par suite, 
sont homolinéaires par rapport aux éléments de toute ligne 
de l'abaque total considéré (15), comme on l'apercevra facile- 
ment. 

Ensuite, représentons généralement par (i, j , la transpo- 
sition des lignes i, j de cet abaque (15) et, sur la formule (16), 
exécutons cette opération en supposant d'abord, i = 1, en 
considérant par exemple (1, 2). Si l'on note les résultats par 
les mêmes lettres accentuées, il vient ainsi 

1 = a 2%,a — «l'h.a — a 3%,a —'-— « M 'l M .a 
— — ,a l l \.a — H \a — (l * h.a - •■ — « M \U = — 1 ■ 

Car li,tt = l2,a, 'h, a — h,a ce qu'on apercevra immédiate- 
ment, et 'lz, a = — h.a 'Im.o = — hi.a, comme résultats 

de la même transposition opérée dans l3, a . .... 1 M .« cova- 
nescents des abaques | « 3 1 ,..., |« M |, qui tous contiennent les 
lignes dérivées des deux transposées par la suppression de 
leurs éléments ai, a<i (5, III). Et les mêmes moyens montre- 
ront que 1 est encore changé en — 1 par les autres transposi- 
tions analogues 1, 3), ..., J, M). 

Enfin, la transposition quelconque (i, /') où i 5^ 1,jV i, 
équivaut aux trois (1, /), (i, J), J, 1) opérées successivement, 
la première sur 1, la seconde sur '1 résultat de la première, 
la troisième sur "1 résultat de la seconde, conduisant à un 
résultat final "1. Après ces dernières, la ligne 1 est effecti- 
vement revenue à la première place, et chacune de celles 
d'indices i, J se fixe à la place de l'autre. Or, d'après ce qui 
précède, 1 = — 1, "1 = — '1 = 1, "1 = — "1 = — 1, parce 
que, chaque fois, la transposition a déplacé la première ligne 
de l'abaque laissé par la précédente, ceci montrant que la 
transposition quelconque (i, j), comme (1, 2), (1,3 , ..., (1, 
M), change 1 en — 1. 

L'expression 16) de 1 est donc un covanescent de l'abaque 



ÉQUATIONS L /NÉ AIRES S I M UL TA N É E S 353 

considéré (15) puisqu'elle remplit les deux conditions re- 
quises à cette fin (5, IV). 

II. Quel que soit son ordre M, l'abaque carré (15) possède 
une infinité de covanescents s'obtenant tous en multipliant 
un seul d'entre eux par une constante indéterminée T (^ 0). 

1° Ceci est vrai pour M = 1, car l'abaque se réduit à ai et 
Tai en est un covanescent évident, le seul possible, en outre, 
puisqu'il doit être linéaire et homogène par rapport à l'uni- 
que élément ai de sa ligne unique. 

2° Pour M > 1, le théorème subsiste s'il a lieu pour la valeur 
M — i de l'ordre. Car, dans la formule (16), li,« covanescent 
de l'abaque (17), carré aussi et d'ordre M — l seulement, est 
déterminé par hypothèse, à un facteur constant près ; 1 2 .„, 

h.a l.M.a et 1 par suite le sont donc, au même facteur 

près. 

3° Il est donc général, puisqu'il est vrai pour M = 1 (1°), 
puis de là pour M = 2, 3,..., (2°). 

III. Il est utile d'appliquer ce qui précède au calcul des 
covanescents h, k, I3, des abaques carrés d'ordres 1, 2, 3. 

1° M = 1 . 

(24) L'abaque est i a t | ; 1, = Ta t . (II, lo). 
2° M = 2 . 

(25) L abaque est \ "' ' ; 1 8 = a t . Tl> 2 — a 2 . rb t [fb. 2°), (1°) 

= r iati'i — «s fti) . 

3° M = 3 . 

i (h Ih c t ) 
L'abaque est a 2 b s c 3 

f (h l'z c» 

la = », ■ r(6,c 3 — bgc',] — a 2 . r(V« — b s c t ) — « 3 . T \b 2 c t — V 2 | (II, 2°), (2°) 
== T [«1 1 b 2 r 2 — l> 3 c 2 ) — a 2 \ b t Cg — bgCt) — a z \ l>îC t — b t c a )] . 

On apercevra facilement que le développement général de 
1 M contient le terme r ai £2 c$... f M dont les facteurs éléments 
sont notés par des lettres de rangs égaux à leurs indices. On 
dit que ces éléments appartiennent à la diagonale principale 

L'Enseignement mathém., 9 e année; 1907. 24 



35'* CH. MER A Y 

de l'abaque considéré (15)', allant de son angle supérieur 
gauche à son angle inférieur droit, et on nomme principal 
le terme en question. 

IV. Tout covanescent d'un abaque carré (15 , pour ses 
lianes, l'est aussi pour ses colonnes. Et réciproquement. 

L° Dans l'alinéa I, nous avons constaté que 1, covanescent 
pour les lignes, est homolinéaire par rapport aux éléments 
dune colonne quelconque. 

2° Pour M = 1, les deux points en question résultent immé- 
diatement de la nature de la formule (24 . 

3° Pour M = 2, la transposition des deux colonnes change 
1 en — 1. Car cette opération change le dernier membre 
de la formule (25} en 

r \i'i (h — 6i«i) = — r i«i i>2 — a»b t ) . 

4" Pour M > 2. la transposition de deux colonnes quelcon- 
ques change 1 en — 1, s'il en est ainsi pour la valeur M — i. 
de l'ordre. 

Construisons une formule telle que (16), en ordonnant 1 

par rapport aux éléments ai, a u d'une colonne autre que 

les deux en question; la transposition de celles-ci ne fait, 
par hypothèse, que multiplier par — 1, l l>a , l 2a , ••• , 1m,o, 
covanescents d'abaques dont l'ordre commun est M — 1 seu- 
lement; elle change donc 1 en — 1. 

5° Ceci a lieu pour toute valeur de M, puisque c'est vrai 
pour M = 2 (3°), 4°). 

6° Comme ainsi 1°), (5°), 1 remplit pour les colonnes. 1rs 
conditions reconnues suffisantes au n° 5. IV. la partie di- 
recte de notre théorème est actuellement démontrée. 

7" La réciproque résulte immédiatement de ce que l'aba- 
que reste carré quand on prend, pour lignes et colonnes, les 
files qui étaient auparavant des colonnes et des lignes. 

V. A cause de cette identité des rôles joués dans un aba- 
que carré par les colonnes et par les lignes, un covanescent 
est multiplié par — 1 à chaque transposition de deux files 
parallèles quelconques, par — l) k en conséquence, après 
de telles transpositions, faites dans l'un et l'autre sens indis- 
tinctement, en nombre total k. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 355 

VI. Parmi les covanescents des abaques carrés, il est natu- 
rel de préférer la considération de ceux dont les notations 
sont les plus simples; ils sont donnés par les formules de 
l'alinéa III quand on y prend r = 1. On les a nommés les 
déterminants de leurs abaques, et on les représente par les 
notations de ceux-ci, renfermées entre deux filets verticaux. 
On a ainsi 



l«il = ai 



a» h» 



(26) 



dJ>iC l 
«2 l'ï '2 
«S l>z l't 






a% l't — a t f>i 

I l'iCl 



l>3 ('8 



— d S 



biCi 
l'i c t 



On peut dire que chacun d'eux est celui des covanescents 
de son abaque, dont le terme principal (Ib.) est pourvu du 
coefficient + 1. 

VII. La réciprocité entre les lignes et les colonnes (IV) 
permet de construire tout aussi bien les déterminants par 
ordinations relatives aux lignes, celles-ci étant substituées 
aux colonnes maniées dans l'alinéa III. Au lieu des formules 
(26), on aurait ainsi 



i«ii = «i 



ai lh 



«1 


bl 


Cl 


a s 


b t 


Cï 


«3 


h 


c 8 



l>2 Ci 
l>3 C S 



a* b 2 

-hl 



= a t b 2 — l>i a-i 



a 3 c z 



l>2 a 2 
f's a s 



Ces formules montrent en passant, que le déterminant 
d'un abaque carré (15) est identique à celui de l'abaque sy- 
métrique au proposé par rapport à sa diagonale principale 
(Ib.) c'est-à-dire déduit de lui par transposition de chaque 
paire d'éléments symétriques par rapport à cette diagonale. 

Pour éviter des fautes de signes dans la notation et le ma- 
niement des déterminants, il est essentiel de ne pas perdre 
de vue l'observation V. 

7- — Tous les covanescents de l'abaque (1) [quelconque, sauf 
des lignes et colonnes en nombre M ^ Nj s'obtiennent en 
prenant la somme des déterminants a', b", ... des abaques 



356 CH. MER A Y 

partiels carrés (12), multipliés respectivement par des cons- 
tantes indéterminées, T\T" ... Conséquence immédiate de 
ce qui a été dit au n° 5, VI, puis ci-dessus (6, II). 

Cette proposition confère à ces polynômes &', ;>",.., le rôle 
de covanescents fondamentaux de l'abaque en question, 
en ramenant à leur seule considération celle de tous. 
Effectivement, ceux-ci se forment au moyen d'eux, comme 
nous venons de le dire ; et la nullité de tous, en même 
temps qu'elle comprend celle des déterminants puisque 
ceux-ci figurent dans leur groupe général, est entraînée 
par elle, parceque ô' b", ... servent de coefficients aux indéter- 
minéesF', T" ,■■ , dans l'expression générale des covanescents. 

On remarquera que l'abaque considéré est invanescent 

quand ^', &" ne sont pas tous = 0. Car ils le seraient 

tous, s'il y avait vanescence. 

Ces polynômes &' &" .... sont les déterminants majeurs) de 
l'abaque i). Leur nombre est visiblement ^N (N — 1) ... 
(N — M + 1)]: [1. 2. 3... M]. 

8. — Un abaque peut être vanescent de plusieurs manières 
qu'il est temps de préciser. 

L'entier v étant £= M, nous dirons que l'abaque (1) est v 
fois vanescent, si on peut y assigner v lignes dont chacune 
soit composée des M — V autres, ces dernières formant un 
abaque partiel invanescent. 

Nous nommerons encore déterminants de classe c du 
même abaque mineurs, si C > 0, majeurs, si C = 0) , ceux 
majeurs) des abaques partiels, laissés dans le proposé par la 
suppression successive de toutes les associations possibles 
de c de ses lignes (7 . Leurs ordre et nombre sont M — c et 

{ [M(M - Il ... (M — C + 1)] : [1.2 ... c] \ 
x j [N(N — Ji ... iN— M + C -+- 11] : [1 .2... (M — Cl] j . 

9. — Pour que l'abaque 1 soit v fois vauescent (par ses 
lignes , il faut et il suffit que ses déterminants soient tous 
nuls dans les classes < v, mais non dans la classe v 8 i' . 

I. Si cette vanescence multiple a lieu, tous les déterminants 
mineurs en question sont nuls. 



E Q VA TI () y S L /NÉ AIRES S IM U L TA NÉ E S 357 

1° Etant données w, < &/, files parallèles, de &>' éléments 
chacune, 

(27) (1) , (2) («) , 

tout déterminant d'ordre &>' est nul, quand son abaque est 
formé de files 

(28) (!') , (2') (w'j 

dont chacune est composée de celles du groupe précédent (27). 

Ceci est vrai : 

a. — Si le déterminant considéré | [«], (!') | comporte &> 
files (différentes ou non) dont chacune appartient au 
groupe (27 avec une seulement de l'autre (28). Car les rela- 
tions de la composition supposée pour celle-ci peuvent 
être écrites symboliquement. 

|l'l = \{\) + X,|2| -f ... + > w iwi 

et donnent (5, in init. . 

| [ to ] , (l'| | = 1, | [ M ] , (1) | -\- > s | [<a] , (2) j + . + >. w J [w] . (ui | , 

où les multiplicateurs Ai, h, ... . Xw affectent des détermi 
nants tous nuls comme comportant chacun deux files au 
moins identiques dans un même sens ; 

,S. — Si, comme | [« — 1], (i'), (2')] |, son abaque contient 
m — 1 files (27) avec deux autres de (28); car les relations de 
composition propres à l'une de ces dernières, permettent 
comme ci-dessus (oc) de lui donner une forme homolinéaire 
par rapport à w déterminants nuls encore parce qu'ils ren- 
trent dans le type précédent ( Ib. ) ; 

y. — Si, comme | [« — 2], (1'), (2'), (3')] | , il comporte w — 2 
et 3 files des groupes (27) et (28); raisonnement tout sem- 
blable, appuyé sur (/S); ... 

Et ainsi de suite, jusqu'au bout, en modifiant chaque fois 
l'abaque du déterminant par la suppression d'une file (27) et 
son remplacement par une file (28). 

2° Si, dans l'abaque en question, (M — v représente le 



358 Cil. M EU A Y 

groupe des lignes dont est composée chacune de celles du 
surplus (v), une ligne quelconque est toujours composée des 
M — v de ce groupe, ceci ayant lieu de soi si elle en fait 
partie, par hypothèse si elle appartient au surplus. Tout dé- 
terminant dune classe œ < v est donc nul, parce que, son 
ordre M — <p étant > M — v, ses M — 9 lignes sont ainsi 
composées de mêmes autres en nombre M — v < M — 9 (1°). 
II. Soient u > v deux entiers, quelconques autrement, puis 

(29) a„ . fin , ... , (?o , £o , <?o , ... , »Jo 

une Ligne de y éléments, puis 

«1 . /5, , . . , Si , e t , çpj /h 

«S ï?2 

(30) 



a fi- Pf* <y - e ft- ?(*- •■■ > v 

u autres, chacune de y éléments encolonnés entre eux ainsi 
qu'avec les précédents, et formant, par leur réunion, un 
abaque dont les déterminants (majeurs) ne sont pas tous 
= 0. Si la ligne (29) est composée des autres (30), l'aba- 
que de hauteur [x -\- 1 formé par leur réunion totale a ses 
déterminants (majeurs) tous nuls, et réciproquement. 

1° Si une telle composition a lieu, l'abaque en question est 
vanescent, d'où la nullité de tous ses déterminants (7). 

2° Si ces déterminants (d'ordre u. + -1) sont tous nuls, il en 
est ainsi, en particulier, pour les y — p. d'entre eux où p. 
mêmes colonnes de j (29), (30) j sont respectivement associées à 
chacune des v — u. autres. En outre, il en est encore ainsi 
pour les u. donnés par le groupement de ces ^ colonnes im- 
muables avec chacune d'elles-mêmes répétée successive- 
ment, puisque un quelconque d'entre eux comporte toujours 
deux colonnes identiques. 

Dans ces (y — u) + // = v déterminants, indistinctement, 
les {u. + l) emes colonnes sont toutes celles de l'abaque |(29), (30) j ; 
mais, dans leurs ordinations par rapport aux éléments d'in- 
dices 0, l, 2 ;x + 1 de la colonne volante, les coeffi- 
cients de ces éléments restent les mêmes, parce qu'ils ne 



EQUATION S 1. 1 N É Ail: E S S I M V LTA N E E S : 5 '. I 

dépendent que des y. colonnes immuables qui sont commu- 
nes à tous ces déterminants. Ils forment la suite 

A . — Ai , — Aa — ia • 

où sont représentés : par A le déterminant de l'abaque 
carré d'ordre y., laissé dans celui des p colonnes immuables 
par la suppression de sa ligne 0, par A, généralement, ce 
qui devient A„, quand, à sa ligne i\ on substitue cette ligne 
6, VI). La nullité des y déterminants précités (d'ordre 
u + 1) donnera ainsi les y relations 

Ao sco — Ai ai — A 2 a-2 — ■•■ — A u a u = , 
AojS,, — A |It ^ = Û, 

(31) A "^ — A^Jjt = , 

A„£o — A f* s > = ° * 

AoUo — Ai jîi — A 2 T,» — ... — A„ ijy, = . 

Si maintenant [x colonnes de l'abaque (30) donnent un dé- 
terminant non nul, on pourra faire en sorte que A soit ce- 
lui-ci, c'est-à-dire prendre pour les a colonnes immuables 
de 1 1,29), (30) |, celles précisément dont les précédentes font 
partie. La division des relations (31) par A =^ est alors 
possible, et les met sous une forme montrant immédiate- 
ment, que la ligne (29) est bien composée de celles de l'aba- 
que (30). 

III. Si dans la classe v, quelque déterminant de l'abaque 
proposé (1) est ^0, il appartient à titre majeur, à l'abaque des 
M — v lignes qui ont formé les siennes, et cet abaque est in- 
vanescent (7). Si, en outre, tous sont nuls dans la classe v — 1, 
où leur ordre est M — v + 1, il en est ainsi en particulier, 
pour les déterminants (majeurs) de l'abaque formé par les 
M — v lignes ci-dessus et une autre quelconque. Cette der- 
nière est donc composée des premières (II). 

10. — Quand M = N, l'abaque (1), alors carre', est va- 
nescent par ses files d'un sens, autant de fois que par cel- 
les de l'autre (8). 



360 CH. ME RAY 

A cause de la réciprocité existant entre les lignes et les 
colonnes de tout abaque carré (6, IV . un déterminant mi- 
neur, de classe quelconque c. d'ordre M — c par suite, du 
proposé considéré comme formé de lignes, est majeur, aussi 
bien pour l'abaque des M — c colonnes dont les siennes 
font partie, que pour celui des M — c lignes qui ont formé 
les siennes. Le mineur en question en est donc un de même 
classe c pour le proposé considéré comme formé de colonnes, 
ceci entraînant immédiatement l'exactitude de notre énon- 
cé 9 . 

11. — Quand M > N, l'abaque (1) est vanescent par ses 
lignes, M — N fois au moins. 

Car il Test autant de fois que l'abaque carré obtenu en lui 
ajoutant M — N colonnes de zéros (4, II 3° . et celui-ci est 
vanescent M — N fois au moins : par ses colonnes, parce que 
ses déterminants de classes < M — N, d'ordres > N par 
suite, comportent tous une colonne au moins de zéros, par 
ses lignes aussi, en conséquence (10 . Cf. 5. V ■ 

12. — On réduit un abaque donné, relativement à ses li- 
gnes, par exemple, en en extrayant quelques unes de nature 
et en nombre tels, que leur abaque partiel, dit réduit, soit 
invanescent, et que, d'elles seulement, toutes celles du pro- 
proposé soient composées. A cette fin, on trie d'après la rè- 
gle suivante, les lignes de l'abaque, passées en revue dans un 
ordre de succession quelconque : 

Chaque nouvelle ligne examinée est placée dans l'abaque 
réduit, si les lignes antérieurement conservées pour lui sont 
en nombre inférieur à la largeur N de l'abaque, et si, avec 
celle en question, elles forment un abaque dont les détermi- 
nants ne sont pas tous = 0. Elle est au contraire rejetée, si 
ce nombre est = N, ou bien si ces déterminants sont tous 
nuls. 

En effet, on aperçoit immédiatement: qu'au moment de 
l'essai d'une ligne quelconque, l'abaque de celles antérieu- 
rement conservées est invanescent (7) : qu'en cas de rejet 
cette ligne était bien composée de celles qui forment cet 
abaque (9, II, 2°), (11). 

On notera que : la hauteur de l'abaque réduit ne peut 



ÉQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 361 

surpasser la largeur du proposé (Ib.) ; une ligne compre- 
nant exclusivement des éléments = est toujours à rejeter ; 
quand toutes sont de cette nature, l'abaque réduit dispa- 
rait. 

13. — Nous passons aux équations du premier degré, dont 
nous considérerons un système comportant des inconnues 
•*'< y, 2 s, t, ..., u, c, des équations, en nombres quelcon- 
ques n, M, ces dernières étant 

( "i «.-H l>x y + c t z -f ... + et t + fr n + ... £, »• -i- /^ «■ + ^ — , 

tee) 

( «m.»' + +X M =0 , 

dont les coefficients ai,..., k M doivent être conçus en 

un abaque à M lignes, à // + 1 colonnes. 

I. Au système (32), on peut substituer son réduit, c'est-à- 
dire celui qui a pour coefficients les éléments de l'abaque 
laissé par la réduction de celui du proposé, opéré relative- 
ment aux lignes (12). 

Car tout groupe de solutions du proposé appartient à son 
réduit ne comprenant que des équations du premier. Et, 
comme il est visible que les premiers membres du proposé 
sont tous composés homolinéairement de ceux du réduit, 
tout groupe de solutions de celui-ci, puisqu'il annule ces 
derniers, annulera aussi les premiers, vérifiera en consé- 
quence la totalité des équations considérées. 

Désormais donc, nous raisonnerons exclusivement sur un 
système réduit, comportant ainsi dans son abaque, des lignes 
en nombre m < n + 1, m équations par conséquent. Nous 
l'écrirons 

«i ■*■ + bi y + ... + e, / + /; m + .. . + gi V + hj w + k 1 = , 

"2 •»' +■ 4- h 2 w 4- * 3 = 0-, 

I < 

omx + b m y 4- ... -f e m t + fmit -\- ... + g m v + h m w + k m = . 

et nous le dirons surabondant, complet ou incomplet, selon 
que m sera = n -\- 1, = // ou < n. 



362 CH. MÉRA Y 

.Nous figurerons encore son abaque 

»\ , bi , ci ei , fi , ... , gi , /h , #1 • 

(34) 

fl//i , 0/n i O/i i ••• . l'm ■ fin . • ■• > gin , Il m , l<i 

II. Le système réduit 33) est impossible quand il est sur- 
abondant. 

Car l'existence de solutions x' , y' v\ w' entraînerait la 

vanescence de l'abaque (34) par les colonnes, sa dernière 
étant alors composée des autres au moyen des multiplicateurs 

— x 1 ', — y', . .., — c\ — »•', par les lignes en même temps, 
puisqu'il est carré (10). Or ceci n'a pas lieu, puisqu'il est 
supposé réduit. 

III. Non surabondant, il est impossible encore, quand 
l'abaque partiel j a , b, ,.., g, h \ formé dans (34) par les 
seuls n colonnes de coefficients des inconnues est vanes- 
cent. 

S'il possédait quelque groupe de solutions x\ y' la co- 
lonne h de l'abaque total (34) serait composée des autres avec 
les multiplicateurs — x' — y\ ... Moyennant quoi, chacun des 
déterminants majeurs) de cet abaque, où la colonne />• intervient, 
pourrait être mis sur forme d'une expression homolinéaire 
par rapport à n déterminants du même abaque auxquels cette 
colonne est étrangère, les coefficients de cette expression étant 

— x' , — y',"- Les déterminants indépendants de la colonne 

/,- étant = (), puisque l'abaque j a, b g, h I est supposé 

vanescent, les autres le seraient encore, tous ceux de l'aba- 
que (34) aussi, et, contrairement à l'hypothèse, le système 
(33) ne serait pas réduit. 

IV. Non surabondant, il est possible quand l'abaque 

\ a, b g, h { (III) est invanescent. Il est alors déterminé 

s'il est complet, indéterminé s'il est incomplet, cette indéter- 
mination consistant en ce qu'on peut choisi/- arbitrairement 
les valeurs de tout groupe de n — m inconnues, tel, que les 
coefficients des m autres soient les éléments d'un détermi- 
nant 5z£ 0, en ce que, de plus, les valeurs correspondantes de 



ÉQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANEES 363 

ces m autres inconnues s'expriment par des fonctions linéai- 
res déterminées des n — m premières. 

1° Si le système est complet, l'adjonction dune ligne de 
zéros à son abaque (34) rend celui-ci vanescent par les lignes, 
par les colonnes en même temps, puisqu'il est devenu carré 
(10). Comme, en outre, la suppression de sa colonne k laisse 
un abaque partiel invanescent (par les colonnes) parce que le 
déterminant des colonnes a, b, ... , g, h de (34) est sup- 
posé ^z£ 0, cette colonne k est composée des autres (9, II, 2°), 
et il suffit évidemment de multiplier par — 1 les multiplica- 
teurs de cette composition pour en déduire un groupe de 
solutions du système considéré. 

Ce groupe x\ y\ ... w' est unique. Car si un autre .r", 
ij'\ ..., w" existait encore, l'une au moins des différences 
,r" — .r =%,y" — y' =>],..., a-" — w' =■ <£, la première pour 
fixer les idées, serait ^0; les substitutions successives de l'un 
et l'autre groupes dans chacune des équations du système, 
suivies de la soustraction des résultats, conduiraient à 

/ U t Ç + &a t, + ... + //, $ = , 
J «2 ? + h r, -f ... + h s $= . 



fl/nÇ -\~ b,nV + ... + hmty 



et la division de ces égalités par \ supposé ^£ 0, montrerait, 
dans l'abaque j <7, b, ... , g, h \ , ici carré, que la colonne a 
est composée des autres, qu'il est ainsi vanescent par les co- 
lonnes, par les lignes en conséquence, ce qui est contraire 
à l'hypothèse. 

Les multiplicateurs des colonnes «, 6,..., g, h de l'abaque 
(34) agrandi d'une ligne de zéros, dans les formules expri- 
mant la composition de la colonne k au moyen de celles-ci, 
se calculeront comme au n° 9, 11, 2°. Puisqu'il suffit de les mul- 
tiplier par — 1 pour obtenir x' y' .... on aura les formules 

or, ,, _ _ ba ;,.____ Ai w , __ A/, 

Ai- ' ^ ' A A- A A- ' 

où ont été représentés : par Aa, le déterminant de l'abaque 



364 CH. MERA Y 

\a, b g, A}, par A«, A* A* ce qu'il devient par la 

substitution de sa colonne k faite successivement à chacune 
des autres a, b h. 

2" Si le système (33) est incomplet, soient a, b, ... , e un 
des groupes de m colonnes de son abaque (34), qui, par hypo- 
thèse, donnent des déterminants ^L 0, et représentons par 

Ki. K2 K,„, les groupes de termes, linéaires en m , f, w, 

qui, dans les diverses équations, ont des coefficients notés 
au moyen des autres lettres /",..., g, h, k. Ce système peut 
être écrit 

' «i x + &, y + ... + e, / + K, =0, 

136) 

a m x + 6 OT J + ... + e >nt -h K,„ = . 

et sa résolution par rapport à .r, y, ..., /, faisable comme ci- 
dessus (1°) parce qu'il est complet à ce point de vue, conduit 
bien facilement à ce qui nous reste à établir, observation 
faite que, dans les formules (35 . A* est indépendant des /, . 
que A«, \b As en sont des fonctions homolinéaires. 

3° 11 n'est pas sans intérêt de remarquer que le cas d'un 
système incomplet comprend à la rigueur celui où il est com- 
plet. Pour cette cause, il serait facile de traiter les deux 
ensemble, de fondre notamment le sous-alinéa 1° dans le 
suivant (2°). C'est ce que nous ferons pour la démonstration 
suivante. 

14. Le système [33 étant réduit et possible, toute équation 
du premier degré E que ses solutions vérifient aussi, est 
composées homolinéairement des siennes. 

Supposant =z= 0, le déterminant A des coefficients des m 
inconnues x, y, ... t, nous mettrons le système sous la forme 
(36), l'équation (E) sous une forme analogue en marquant ses 
coefficients de l'indice commun 0, et nous considérons l'aba- 
que carré, d'ordre m + 1. 

a i b , ... t e , Ko i 

"" * * ' Kl ' 



ÉQUATIONS LINÉAIRES SIMULTANÉES 365 

Le fait que toutes les solutions du système satisfont à 
l'équation (E) , assure, quelles que soient les valeurs attri- 
buées à w; ..., v, et-, la composition de la colonne K de 
l'abaque (37) au moyen des autres ; d'où sa vanescence par les 
colonnes, puis parles lignes (10), puis la composition de la 
première de celles-ci au moyen des autres, puisque le déter- 
minant A est ^ (9, II, 2°) ; et, en nommant Ai, ). 2 ,..., l m les 
multiplicateurs de cette composition, on a 



(38) 



(39) 



do = li'Bi -f- A 2 <l 2 + ... + \ m a m , 

hç, = >,/>,+ . . . _l_ l m /,„, t 

co = À,e, + X 2 e, + ... + l„ ie/ll , 
K„ = '^K, -\- A 2 K 2 -f- ... l,„K m . 



En ayant égard à ce que h /,„ ne dépendent que des 

éléments des m colonnes a, £,..., e de l'abaque (37) (Loc. cit.), 

puis égalant les coefficients de u c, w dans les deux 

membres de (39), cette équation se décompose en les éo-a- 
lités 





~T" • 


•• ~T A »> 1 m , 


go A] #1 


+ • 


■ + hngm , 


h = A, //, 


+ ■ 


• • ~T~ "tfl "m , 


«0 ^^ Ai A'j 


+ • 


■ ~~T~ A«i li ni , 



constituant avec (38) toutes celles que nous avions à établir. 
15. — Dans le développement général du déterminant 
d'un abaque carré, d'ordre quelconque M, (5, II), la transpo- 
sition de deux lignes produit sur la notation, le même effet 
que celle des indices correspondants, les lettres restant im- 
mobiles (1b. III) ; celle de deux colonnes équivaut de même 
à celle des lettres correspondantes, les indices conservant 
cette fois leurs places primitives. Appuyés sur ces observa- 
tions, des raisonnements tout semblables à ceux du n° 6, I 
conduisent bien facilement à Vordination du déterminant peu- 
rapport à ceux d'abaques partiels en nombre quelconque i, 
formés par la décomposition de celui du proposé en des grou- 



366 CH. MER A Y 

pes déterminés de nu , m- 2 nu files toutes par aliïle s dans 

un sens donné, ces i entiers étant quelconques aussi, sous la 
seule condition de donner M par somme. 

Pour i = 2, cette opération a une grande importance, mais 
dans des questions sur lesquelles il n'y a pas lieu de revenir 
ici. Pour i= M, entraînant m\ = mi — ,..., = rrii = 1, elle 
fournit le développement général du déterminant, obtenu 
par de simples manipulations d'un seul terme arbitrairement 
choisi ; pour 2 < i <£ M, elle conduit à des formules variées. 
Comme ces dernières sont inutiles, comme le développement 
général, qui ne Test pas moins en théorie quand on se place 
à notre point de vue, ne sert à rien pour les calculs numé- 
riques à cause de sa prolixité, il serait tout à fait oiseux 
d'entrer dans les détails. 

16. — Terminons par un théorème fort simple, mais indis- 
pensables dans des questions importantes. 

Tout déterminant est un polynôme premier. 

Si celui de l'abaque (15) que nous représentons par A. est 
décomposable en deux facteurs entiers $', à" , et si l'élément 
ai par exemple, entre effectivement dans $'. ni lui, ni aucun 
autre élément d'une file cp contenant ai ne peuvent entrer 
dans a". Car autrement \ = $' à" ne serait pas hoinoli- 
néaire par rapport aux éléments de cette file. De même, 
et puisque ainsi tous les éléments de m entrent dans $' . au- 
cun autre d'une file contenant un de ceux-ci, aucun élément 
de l'abaque en conséquence, ne peut entrer dans d" . Ce fac- 
teur ')" se réduit donc à une constante, moyennant quoi, tout 
diviseur <?' de A lui est égal à un facteur constant près ; c'est 
ce qu'il y avait à prouver. 

Ch. Méray (Dijon . 



PARALLELISME ET TRANSLATION RECTILIGNI 



Première Partie. 

1. Quand un plan mobile glisse sur un plan fixe de ma- 
nière que la droite qui joint deux points A et B du plan mo- 
bile soit constamment assujettie à coïncider avec une droite 
fixe A du plan fixe, on dit que le plan mobile est animé d'un 
mouvement de translation rectiligne, dont la direction est 
celle de la droite A, soit dans un sens, soit dans le sens 
contraire. 

Soit M un point du plan mobile non situé sur AB. En tra- 




Fïo. 1. 



çanl MA et MB on forme un triangle invariable que sa base 
entraîne par suite de son glissement sur la droite A. Soit 
MP la hauteur issue du point M. Dans le déplacement consi- 
déré du triang-le MAB le sommet M décrit une ligne dont 
tous les points sont à la même distance MP = l de la droite 
A. 

Mais a priori on ne peut affirmer que le point M décrit une 
ligne droite. 

Mais on peut vérifier facilement, au moins dans une petite 
étendue, que si le triangle a été amené de la position MAB à 
la position M'A'B' (fig. 1), le point M s'est déplacé, dans ses 
diverses positions sur le segment de droite MM'. 

Supposons en effet que A soit une arête d'une règle main- 
tenue fixe sur une feuille de dessin ; que le triangle M PB 



368 



III O IX 



soit une face dune équerre appliquée sur la même feuille et 
que Ton fait glisser en appuyant le côté PB de l'angle droit 
contre la règle. Après avoir déplacé l'équerre pour l'amener 
de la position MPB à la position M'P'B', traçons la droite 
MM' ; si nous amenons l'équerre dans une autre position 
quelconque Mi Pi Bi entre les deux premières, nous cons- 
tatons que le sommet Mi, autre position quelconque du som- 
met mobile M se trouve sur le segment de droite MM'. 

Cette vérification expérimentale ayant lieu sur des seg- 
ments de droite de longueurs différentes, on se trouve con- 
duit à l'axiome suivant : 

Axiome. — Dans un mouvement de translation rectiligne 
on considère comme évident qu'un point quelconque M du 
plan mobile décrirait une droite indéfinie si le mouvement se 
continuait indéfiniment soit dans un sens, soit en sens con- 
traire. 

2. Comme première conséquence de cet axiome nous al- 
lons d'abord démontrer le théorème suivant : 

Théorème I. Quand un point mobile se meut dans un plan 
fixe de manière à rester constamment à la même distance / 

d'une droite A de ce 
plan, si l'on consi- 
dère confine évident 
que le point mobile 
décrit une droite in- 
définie D, la perpen- 
diculaire menée à la 
droite A de chacune des positions du point mobile est éga- 
lement perpendiculaire à la droite D. — Démonstration : 
Soit M une certaine position du point mobile (fig. 2) ; 
menons MP perpendiculaire à la droite A, et d'une autre 
position quelconque A du point mobile menons AB per- 
pendiculaire à la droite A. On a par hypothèse AB = 
MP = /. Autour de MP, considérée comme une droite 
indéfinie, faisons tourner le demi-plan situé à sa gauche pour 
l'appliquer sur le demi-plan situé à sa droite. Le point B 
prendra sur la droite A une position B', symétrique de B 
par rapport à la perpendiculaire MP sur la droite A ; le seg- 




PARALLÉLISME ET TRANSLATION 369 

ment de droite BA se placera en B'A' perpendiculairement 
à la droite A et le point A' se confondra avec une nouvelle 
position du point mobile. 

Mais, si l'on considère comme évident que les diverses 
positions A, A', M etc., etc. du point mobile appartiennent à 
une même droite D, le segment MA' est le prolongement du 
segment AM de cette droite D. Or les deux angles adjacents 
PMA et PMA' sont égaux par symétrie; donc la droite PM, 
perpendiculaire sur la droite A, est aussi perpendiculaire 
sur la droite D. 

Pour démontrer qu'il en est de même de BA par exemple, 
traçons la droite PA ; nous formons deux triangles PMA et 
PBA qui sont rectangles l'un au point M et l'autre au point 
B; ils ont la même hypoténuse PA et un côté de l'angle 
droit égal : PM = BA = l ; donc ces triangles sont éeaux 

et on a d'abord AM = BP. On a en outre : APB = PAB et 

/\ /y 

PAM = APB. Or la somme des deux angles aigus au point 
P vaut un droit; donc il en est de même de la somme des 
angles aigus au point A. Donc: la droite AB, perpendicu- 
laire à la droite A, l'est également à la droite D. On peut 
donc conclure que : 

La perpendiculaire menée à la droite A de chacune des 
positions du point mobile est également perpendiculaire à la 
droite D. 

C. Q. F. D. 

Remarque. — Puisque les segments BA, PM, etc., sont 
perpendiculaires sur la droite D et ont tous la même lon- 
gueur /, on voit que les distances à la droite D des divers 
points de la droite A sont les mêmes que les distances a la 
droite A des divers points de la droite D. Il y a donc, à ce 
point de vue, réciprocité entre les droites D et A. 

3. Rectangle. — Le quadrilatère ABPM de la figure pré- 
cédente a ses quatre angles droits; on l'appelle un rectangle. 
On vient de prouver que la diagonale PA le partage en deux 
triangles rectangles égaux et que les côtés opposés de ce 
rectangle sont égaux 2 à 2. Pour construire un rectangle il 
suffit donc de mener à une droite A, d'un même côté, en 

L'Enseignement mathém., 9 e année ; 1907. 25 



370 v. H roux 

deux points différents B et P, deux perpendiculaires de 
même longueur l, BA et PM, puis de tracer la droite AM. 

En effet, si un point mobile se déplace dans le plan de la 
fio-ure et au-dessus de A de manière à rester toujours à la 
distance l de A, il passera nécessairement par A et par M; 
or il décrit une droite D, donc cette droite coïncide avec AM ; 
dès lors les droites BA et PM, perpendiculaires à A, le sont à 
la droite AM ; donc le quadrilatère ABPM est bien un rec- 
tangle. 

Si on traçait la seconde diagonale BM il est facile de dé- 
montrer qu'elle est égale à la première. En outre leur point 
de rencontre est le milieu de chacune d'elles. 

Somme des angles d'un triangle. 

4. i LM cas. Triangle rectangle. — On a le théorème suivant : 
Théorème II. Dans un triangle rectangle les angles aigus 
sont complémentaires. 

Considérons en effet le rectangle ABPM fig. 2 . La diago- 
nale PA le partage en deux triangles rectangles égaux ABP 
et PMA. L'angle BAP a pour complément l'angle PAM, le- 
quel est égal à l'angle APB. Donc dans le triangle rectangle 
ABP les deux angles aigus sont complémentaires. Or, ce 
triangle étant donné, on pourrait construire comme on vient 
de l'indiquer le rectangle ABPM ; donc, d'une manière gé- 
nérale on peut dire : Dans tout triangle rectangle les deux 

an oies aigus sont complémentaires. 

G. Q. F. D. 

Corollaire. — Dans tout triangle rectangle la somme des 
trois angles est égale à deux angles droits. 

En effet : L'un des angles est droit et la somme des deux 

autres est égale à un droit ; donc la somme des trois angles 

est égale a deux droits. 

C. Q. F. D. 

2 e cas. Triangle quelconque. — On a le théorème suivant: 
Théorème III. Dans tout triangle la somme des trois angles 
est égale à deux droits. 



PARALLELISME ET TRANSLATION J57I 

1 > 11 sommet A par exemple d'un triangle ABC, concevons 

que Ton mène la perpendiculaire AP sur le côté opposé BG. 

Si le point P est entre B et G l'angle A se trouve partagé en 

deux parties Ai et A2 dont il est la somme. Dans le triangle 

rectangle APB l'angle Ai est le complément de l'angle B et on 

a : Ai -f- B = l (lr ; de même le triangle rectangle APG donne : 

Aa + G == t dr . En ajoutant ces relations membre à membre 

/\ /\ /\ 

et remarquant que Ai -j- A2 = A on obtient: A -f- B + C = 2 llr . 

Si le point P est d'un même côté des points B et C. à 

droite de G par exemple, on aura : A = Ai — A2 ; et les 

/\ /\ 
triangles rectangles APB et APG donneront : Ai + B = l' 1 ' 

/\ /\ 

puis A2 + (2 (lr — Ci — l' lr . Donc : par différence on obtient: 
/\ /\ /\ /\ s\ /\ 

A + B + C — 2 ,lr = et par conséquent A + B + G = 2 llr 

C. Q. F. D. 

Remarque. — Soit GF le prolongement du côté BC d'un 
triangle ABC ; l'angle ACF est appelé angle extérieur au 

point C; il a pour supplément l'angle C du triangle: il est 

/\ /\ 
donc égal à la somme A + B des deux autres ; ainsi: Dans 

tout triangle un angle extérieur est égal à la somme des deux 

angles intérieurs non adjacents. 

Corollaire. — Le théorème qui précède conduit au suivant: 

Théorème. — Dans tout polygone convexe la somme des 
angles intérieurs est égale à autant de fois 2 dl que le poly- 
gone a de côtés, moins deux. 

Soit n le nombre des côtés, la somme en question aura 
pour expression (n — 2) fois 2 dr ou (2/2 — 4) dr . Nous nous 
bornons à l'énoncé du théorème en ajoutant que la somme 
des angles extérieurs est constante et toujours égale à 4 ,lr . 

Remarque particulière. — On sait que dans la géométrie 

non-euclidienne la somme des angles d'un triangle est infé- 

/\ /\ /\ 
rieure à 2 ,lr . Soit $ = 2 dr — (A + B + C), et désignons par S 

l'aire du triangle ABC. La constante K d'une telle géométrie 

peut se représenter par le rapport j (Voir la note B sur le 

Postulatum d'Euclide clans la géométrie de M. Hadamard). A 
cause de l'axiome du début, qui a donné naissance au rec- 



372 



HIOUX 



tringle, nous avons o = et par suite K = x, ce qui établit la 
différence essentielle entre la géométrie euclidienne et la 
géométrie non-euclidienne. 



Deuxième partie. 

1. En tenant compte du théorème I, nous nous servirons 
du mot parallèle en lui attribuant une signification spéciale 
qui nous permettra de tirer parti de la définition suivante : 
Définition. — On dit qu'une droite D est parallèle à une 
('r.-'lc A quand les deux droites sont dans un même plan et 
que la première a tous ses points à la même distance de la 
seconde. 

Cette définition se justifie à faide du théorème suivant: 
Théorème I. Si deux droites sont perpendiculaires à une 3 e , 
l'une d'elles est parallèle à l'autre. 

Démonstration. — Dans le plan de la figure 3 considérons 
deux droites D et A respectivement 
perpendiculaires à la droite LL', la 
première au point A, la seconde au 
point B, nous allons prouver que la 
droite D est parallèle à la droite A, 
c'est-à-dire, puisqu'elles sont déjà 
dans le même plan, que les divers 
points de la droite D sont à la même 
distance AB=/ de la droite A. Soit 
un point P quelconque de la droite A, menons par ce point, 
du côté de la droite D la perpendiculaire PM à la droite A 
et prenons PM = BA = l. Si on trace AM on formera un rec- 
tangle ABPM (3, l re partie). Le côté AM de ce rectangle est 
par suite perpendiculaire sur LL' au point A et par suite se 
confond avec la droite D qui est la seule perpendiculaire 
possible en ce point à la droite LL'. Le point M est donc sur 
la droite D et sa distance MP à la droite A est égale à l ou 
AB. Or dans le rectangle ABPM on a AM = BP. On peut 
donc considérer le point M comme un point quelconque de 
la droite D, puisque le point P est un point quelconque de 
A. Donc : 



n A 


L 

1 


A 


D 






A B 


F 

L' 


) 



Fie. 3. 



PARALLÉLISME ET TRANSLATION !573 

La droite I) a ses divers points à la même distance l de la 
droite A; elle est donc parallèle à cette droite. C. Q. F. I). 

Remarque. — Il est bon d'observer que BA, PM, etc., etc. 
peuvent être considérées comme des perpendiculaires me- 
nées des divers points de A à la droite D ; elles ont d'ailleurs 
toutes la même longueur BA = l. On voit ainsi, qu'au point 
de vue de la distance à l'une des deux droites des divers 
points de l'autre, il y a réciprocité entre les deux droites 1) et 
A. 

II suit de là que : Si la première est parallèle h la seconde, 
réciproquement la seconde est parallèle à la première. 

On peut donc, conformément à l'usage, énoncer comme il 
suit le théorème précédent: 

Théorème I. — Si deux droites, situées dans le même plan, 
sont perpendiculaires à une 3 e , ces droites sont parallèles. 

Corollaire. — Chacun des segments de droite AB, MP, etc. 
est à la fois perpendiculaire a la droite D et à la droite A, et 
de plus ils ont la même longueur / ; on est ainsi conduit à la 
double propriété suivante : 

1° Quand deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire 
à l'une est aussi perpendiculaire à Vautre; 

2° Deux droites parallèles sont partout également distantes. 

On fait fréquemment usage de cette double propriété. 

2. Théorème II. — Si deux droites D et D' sont parallèles a 
une même droite A, ces droites sont parallèles. 

Démonstration. — Dans le plan de la figure, qui est celui 
des trois droites, soit LL' une perpendiculaire quelconque à 
la droite A. Cette droite LL' est perpendiculaire à chacune 
des droites D et D' qui sont parallèles à A. Donc, en vertu 
du théorème précédent les droites D et D' sont parallèles. 

C. Q. F. D. 

Remarque. — Si deux droites parallèles D et D' ont un 
point commun M, ces droites se confondent. 

Démonstration. — En effet soit LL' la perpendiculaire à 
la droite D par exemple au point M, elle est aussi perpendi- 
culaire à sa parallèle D'. Les deux droites D et D' étant per- 
pendiculaires à LL' au même point M, se confondent. 

C. Q. F. D. 



:;:', 



V. HIOUX 



p 






A 




B 


r" 


V 


D' 
L' 



Fig. i. 



Autrement: Les divers points de D' par exemple sont, 
comme le point M, à une distance nulle de la droite D et ré- 
ciproquement ; donc ces deux droites ont tous leurs points 

communs et par suite se confondent. 

C. Q. F. D. 

3. Théorème III. Par un point extérieur à une droite on 
peut mener une parallèle a celte 
droite, et on n'en peut mener qu'une. 
Démonstration. — Soit M un point 
extérieur à la droite AB (fig. 4). Me- 
nons à cette droite une perpendicu- 
laire LL\ et du point M menons la 
perpendiculaire MD sur LL'. Cette 
droite sera parallèle à AB puisque 
l'une et l'autre sont perpendiculaires 
sur LL'. Donc : 
1° On peut mener par le point M une parallèle a AB. 
Imaginons par le point M une autre parallèle à AB ; on 
aurait deux droites parallèles à AB et par suite ces deux 
droites seraient parallèles ; mais à cause de leur point com- 
mun M elles se confondraient. Donc : 

2° On ne peut mener par le point M qu'une seule parallèle 

à In droite AB. 

C. Q. F. D. 

Remarque. — Soit MP = l la dis- 
tance du point M à la droite AB : si 
du même côté de AB on se donne 
un point arbitraire du plan, sa dis- 
tance à la droite AB sera supérieure 
à / s'il est au-dessus de MD, et in- 
férieure à /s'il est placé entre MD et 
AB. On voit ainsi que : 

La parallèle menée par le point M 
à la droite AB est, d'un côté de cette droite le lieu des points 
qui en sont à la distance MP = /. 

Soit M' le symétrique du point M par rapport à la droite AB. 
La parallèle M'D' à cette droite menée par le point M' est 
évidemment de l'autre côté de cette droite le lieu des points 




Fie. 



A 


f 


K 


1 





p ; 


W 


B 


B' 



Fi.;. 6 



P A RALLÉLI S ME E T TR A N S L ATI ON 375 

<|iii en sont à la distance /. Le lien complet des points situés 
à la distance l de la droite AB est donc l'ensemble des deux 
parallèles MD et M'D'. 

Il en résulte immédiatement que le lieu îles points équi- 
distants des deux parallèles MD et M'D' est la droite AB, 
c'est-à-dire la parallèle menée aux deux premières par un 
point P qui en est équidistant. 

Une question analogue se présente quand on considère le 
lieu des points situés à une distance l < R 
d'une circonférence de centre et de rayon 
OB = R. On augmente ou on diminue chaque 
rayon, c'est-à-dire chaque normale à la 
courbe d'une même longueur /. On obtient 
ainsi deux circonférences de rayon OA = R 
+ l, et OA' = R — l, concentriques à la 
première. 

De pareilles courbes sont appelées courbes parallèles. 
Dans l'exemple choisi on peut constater que la circonfé- 
rence proposée est le lieu des points qui sont situés à la 
distance / des deux antres. 

Théorème IV. — Si deux droites AB et A'B' sont parallèles, 
toute droite qui rencontre l'une rencontre l'autre. 

Soit Y Y (fig. 6) une droite qui rencontre AB au point O et 
qui fait avec elle l'angle aigu AOY. Menons au point O la 
perpendiculaire OX sur AB. Cette droite 
est perpendiculaire sur A'B', soit Pleur 
point de rencontre. L'angle YOX est 
le complément de l'angle aigu AOY, 
donc cet angle est aigu. 

Nous sommes donc conduits à dé- 
montrer le théorème suivant: 

Théorème V. — Toute droite perpen- 
diculaire à un coté d'un angle aigu ren- 
contre l'autre. 

Lemme préliminaire. — Soit (fig. 7) un angle aigu ayant 
pour côtés les demi-droites OX et OY. Sur le côté OY par 
exemple prenons un segment ON de longueur / et soit 
NK = cl la distance de son extrémité N au côté OX ; si l'on 




K 



376 



V. Il 10 U A' 



prend sur OY des segments OM, OM', etc. de même origine 
O et de longueurs 

2/, 3/. il 

les distances MI\ M'P', etc. de leurs extrémités au côté OX 
seront respectivement 

1d, Zd, kd; etc., etc. 

Démonstration. — Soit OM =2 1; prouvons d'abord que 
MP = 2 d. Pour cela menons MD perpendiculaire sur MP et 
par suite parallèle à OX. On observe que dans les deux trian- 
gles rectangles MPC) et NKO les angles aigus en M et en N 
ont le même complément : l'angle aigu YOX ; donc si on con- 
sidère les deux triangles rectangles MDX et NKO, on cons- 
tate qu'ils ont leurs hypoténuses égales, MX = XO = / et 

un angle aigu égal ; donc ces 
triangles sont égaux et Ion a 
par suite MD = XK. — cl. Mais 
dans le rectangle MKPD on a 
DP = NK -=</; donc MP= 2 d. 
On verrait de même que si 
OM''= 3 /on a M'P' = 3 d et 
ainsi de suite. De sorte que si un 
Fl °- 8 - segment OM pris sur le côté OY 

croît indéfiniment il en sera de même de la distance de sou 
extrémité M à l'autre côté de l'angle aigu. Cela posé soit 
(fig. 8) un angle aigu YOX, nous allons montrer qu'une per- 
pendiculaire quelconque au côté OX par exemple a deux 
points de part et d'autre du côté OY. Menons la demi-droite 
OZ perpendiculaire sur OX, du côté de OY. L'angle ZOY 
est le complément de l'angle YOX, c'est donc un angle 
aigu. 

Prenons sur OY un segment OX = / et soit NK = d 
la distance de son extrémité X au côté OZ. Sur OX prenons 
une longueur arbitraire OP. Nous aurons soit OP = nd, 
soit nd < OP < (n -+- 1) d, n désignant un nombre entier. 
Dès lors, si sur OY nous prenons un segment OM égal ou 
supérieur à {n + 1 ) /, ce qui est toujours possible, quelque 




PARALLELISME ET TRANSLATION '611 

grand que soit le nombre entier n, la distance MO du point 
M au côté OZ de l'angle aigu ZOY sera égale ou supérieure 
à [« -f- i d. On aura par suite QM >> OP. Soit sur QM un 
segment QR = OP, le point R sera entre le point Q et le 
point M. Or la perpendiculaire en P sur OX est parallèle à 
OZ et, comme à droite de OZ, c'est le lieu des points situés 
à la distance PO de OZ, elle passe par le point R situé dans 
l'angle ZOY. Donc : 

La perpendiculaire en un point quelconque P au côté OX 
a deux points P et R de part et d'autre du côté OY ; donc 
cette perpendiculaire doit rencontrer OY. C. Q. F. I). 

Corollaire. — Si deux droites AB et A'B' sont parallèles, 
toute droite qui rencontre l'une rencontre l'autre. 

Démonstration. — Soit Y' Y (fîg. 6 une droite qui rencon- 
tre AB au point O, il faut prouver qu'elle rencontre sa paral- 
lèle A'B'. Pour cela menons en O la perpendiculaire OX sur 
A'B'. Cette droite qui est aussi perpendiculaire sur AB fait 
avec la demi-droite OY un angle aigu YOX complémentaire 
de l'angle aigu AOY. Soit P le point de rencontre de OX 
avec A'B' ; la droite PA' perpendiculaire au côté OX de l'an- 
gle aigu YOX doit rencontrer le côté OY. 

Donc la droite Y'Y qui rencontre AB en O doit rencontrer 
sa parallèle A'B'. C. Q. F. D. 

Remarque. — L'angle P est droit et l'angle PO Y est aigu ; 
leur somme est donc inférieure à deux droits ; si on rem- 
place POY par son supplément POY' on aura une somme 
supérieure à deux droits. La rencontre aura lieu du côté de 
OP où cette somme est inférieure à 2 droits. 

On appelle sécante une droite qui rencontre deux droites 
parallèles. 



Angles formés par deux droites parallèles coupées 
par une sécante. 

Théorème VI. — Lorsque deux droites parallèles sont cou- 
pées par une sécante : 

1° Deux angles correspondants sont égaux ; 



378 



V. HIOl'X 



S' 

c 



A' 



Fie. 9. 



2" Deux angles alternes-internes sont égaux; 

3° Deux angles intérieurs d'un même coté de la sécante 
sont supplémentaires. 

Démonstration. — Considérons (fig. 9 les deux parallèles 
AB et A'B' coupées en C et C par la sécante SS'. Nous allons 

prouver d'abord que les angles correspondants SCB et SC'B' 
sont égaux. Pour cela, d'un point arbitraire M de CS menons 
MP perpendiculaire sur AB et par suite sur sa parallèle A'B' 
qu'elle rencontre en P'. Les deux triangles rectangles MPC, 
MP'C ont un angle aigu commun au point M. Cet angle a 

pour complément d'une part SCB et d'autre part SC'B' ; donc 

ces deux angles correspondants sont 
égaux. C. Q. F. D. 

g Les deux autres parties de l'énoncé 

sont des conséquences immédiates 
p- de la première. 

Théorème VII . — Réciproquement : 
Deux droites coupées par une sé- 
cante sont parallèles: 
1° Si deux angles correspondants sont égaux ; 
2° Si deux angles alternes-internes sont égaux ; 
3° Si deux angles intérieurs d'un même côté de la sécante 
sont supplémentaires. 

Démonstration. — Supposons fig. 13) que la sécante SS' 
rencontre en C et C les deux droites AB et A'B' de manière 
que les angles correspondants SCB et SC'B' soient égaux. 
D'un point M de CS menons MP' perpendiculaire sur A'B' 
et soit P son point de rencontre avec AB. Dans le triangle rec- 
tangle MP'C l'angle en M a pour complément l'angle MC'B'. 

Or. par hypothèse SCB = SC'B'; donc dans le triangle MPC 
la somme des anodes aigus en M et en C vaut un droit ; donc 
l'angle P est droit. Donc MP' perpendiculaire sur A'B' est 
aussi perpendiculaire sur AB. Il en résulte que les droites 
A H et A'B' perpendiculaires sur une même droite sont pa- 
rallèles. C. Q. F. D. 

Les deux autres réciproques se ramènent à la première. 

Corollaire. — Si deux angles ont leurs côtés parallèles 



PARALLELISME ET TRANSLATION 379 

deux à deux, soit de même sens, soit de sens contraires, ces 
angles sont égaux. 

Si deux des côtés sont parallèles et de même sens et les 
deux autres parallèles de sens contraires, les deux an- 
gles sont supplémentaires. 

Enfin, comme autre conséquence on démontre que : 
Si deux angles ont leurs côtés perpendiculaires ils sont 
égaux s'ils sont de même nature, et ils sont supplémentaires 
quand ils sont de nature différente. 

Translation rectiligne d'une figure plane. Composition 
de deux translations. 

6. Parallélogramme. — Si on coupe un système de deux 
droites parallèles AB, A'B', par deux sécantes parallèles A A' 
et BB', on forme un quadrilatère dont les côtés opposés sont 
parallèles 2 à 2; un tel quadrilatère s'appelle un parallélo- 
gramme. 

On démontre facilement qu'une diagonale AB' par exemple 
la partage en deux triangles égaux. On a par suite : 
AB = A'B' et AA' == BB'. Donc : 

Dans un parallélogramme les côtés opposés sont égaux 
2 à 2. On dit habituellement: Les portions de deux droites 
parallèles comprises entre parallèles sont égales. 

On voit de môme que dans un parallélogramme deux an- 
gles opposés sont égaux et que deux angles consécutifs sont 
supplémentaires. Enfin, signalons encore la propriété sui- 
vante : 

Si dans un quadrilatère deux côtés sont à la fois égaux et 
parallèles la figure est un parallélogramme. 

Cela posé, reportons-nous au début de la première partie. 

Par une translation rectiligne de direction A le triangle 

MAB a passé de sa première position a une 2 e M'A'B'. Si on 

considère les côtés AM et A'M' on constate qu'ils forment 

/s /\ 
avec la sécante A deux angles correspondants égaux A' = A. 

Donc AM et A'M' sont deux droites parallèles. lien est de même 

de BM et de B'M'. D'ailleurs, dans le déplacement considéré, 



380 V. NI Oi\ Y 

le sommet M est resté constamment à la même distance MP 
de la droite A ; il a donc décrit un segment de droite MM' 
parallèle à la droite A. 

On voit par conséquent que le quadrilatère AA'M'M est un 
parallélogramme ainsi que le quadrilatère BB'MM'. 

On a donc AA' = MM' et de même BB' = MM', 

Un point quelconque de la figure mobile, non situé sur la 
directrice A forme avec le segment AB de cette droite un 
triangle invariable analogue au triangle MAB ; son déplace- 
ment s'effectue par conséquent dans les mêmes conditions que 
celui du point M. On peut donc énoncer le théorème suivant : 

7. Théorème. — Dans la translation rectiligne d'une figure 
plane dans son plan : 

1° Les divers points de la figure mobile décrivent des 
droites parallèles à la directrice A de la translation et par 
suite parallèles entre elles ; 

2° Quand la figure a été amenée d'une première position 
à une deuxième ses divers points ont décrit des segments de 
droites de même longueur: 

3° D'une manière générale : Deux positions quelconques 
d'un segment de droite, non parallèle à la directrice A, sont 
deux côtés opposés d'un parallélogramme. 

Corollaire. — Quand deux droites D et D' sont parallèles 
on peut toujours amener l'une d'elles en coïncidence avec 
l'autre par une translation tout à l'ait arbitraire. 

Démonstration. — En effet coupons le système des deux 
parallèles par deux sécantes parallèles quelconques AA' et 
BB' ; nous obtenons un parallélogramme AA'B'B. Faisons 
subir à la droite D une translation égale et parallèle à AA' : 
le segment AB se déplacera parallèlement à lui-même et 
comme AA' = BB' les points A et B viendront simultané- 
ment coïncider, le premier avec A' et le second avec B' ; 
dès lors, la droite D coïncidera avec sa parallèle D'. 

C. Q. F. D. 

Certains auteurs invoquent cette propriété pour définir 
le parallélisme de deux droites ; ils utilisent en outre la com- 
position de deux translations reetilignes. propriété par la- 
quelle nous allons terminer cette étude. 



.S' Ti? LES CONGRUENCES 



381 



8. Composition de deux translations regtilignes 
de directions differentes. 

Par une translation parallèle à la direction A et de gran- 
deur A A' un segment de droite AB de la figure mobile est 
venu en A'B', ce qui donne le parallélogramme AA'B'B. Par 
une autre translation de directrice A' égale à A'A" le seg- 
ment de droite A'B' est venu en A"B" 
et on a le parallélogramme A'A"B"B'. 

Or on sait que A"B" est égal et pa- 
rallèle à AB, donc la figure A A" B" B 
est également un parallélogramme. On 
pourra par conséquent par une trans- 
lation unique égale et parallèle à AA" 
amener le segment de droite AB sur 
A'B". 

Or le déplacement du segment AB entraîne celui des di- 
vers points de la ligure et on peut observer que : La transla- 
tion unique A A" est la diagonale du parallélogramme 
AA' A" I dont les côtés A A' et AI représentent les directions 
et les grandeurs des translations rectilignes composantes. 

V. Hioux (Paris). 




Fio. 10. 



SUR LES CONGRUENCES DU TROISIEME DEGRE 1 



Dans le chapitre IX de son Etude des fonctions arithmé- 
tiques M. Arnoux établit, à l'aide de sa méthode graphique, 
les propriétés caractéristiques des eongruenees du troisième 
degré. Ces propriétés ne sont pas nouvelles, mais je les crois 
peu connues ; et il ne serait peut-être pas inutile de rappeler 
qu'elles se déduisent très simplement d'un théorème impor- 



1 A propos du livre de M. G. Arnoux : « Introduction à l'étude des fonctions arithmé- 
tiques ». — (Voir l'analyse de l'ouvrage dans le précédent n», p. 326-329. Réd.). 



382 D . M IRIMA N FF 

tant de M. L. Stickelberger, retrouvé par M. Yoroxoï et 
généralisé par M. Hensel. 

Supposons que le module soit un nombre premier/? supé- 
rieur à 3. 

La congruence générale du 3 e degré se ramène alors à la 
forme 

11) .v 8 + bx -\- a = (mod. p\ , 

a et b étant deux nombres entiers. 
M. Arnoux pose 

R = T + 27- 

Voici alors comment s'énoncent les propriétés retrouvées 
par M. Arnoux : 

il" cas) p est de la forme 3A- — 1 . 

Si R = 0, la congruence (1) a trois racines réelles dont 
deux égales. 

Si R est un résidu quadratique, il y a une seule racine 
réelle. 

Si R est un non-résidu, le nombre des racines réelles est 
égal tantôt à trois et tantôt à zéro. 

|2 me cas) p est de la forme 3À- — (— 1 . 

Si R = 0, la congruence a encore trois racines réelles, 
dont deux égales. 

Si R est un résidu quadratique, le nombre des racines 
réelles est égal tantôt à trois et tantôt à zéro. 

Si R est un non-résidu, il y a une seule racine réelle. 

On voit que les fonctions R se comportent d'une manière 
inverse, suivant qu'on a/> = — 1 ou p = 1 (mod. 3). Mais la 
différence dans les énoncés ne tient pas à la nature des 
choses : elle disparaît, si à la place de R on introduit le dis- 
criminant de l'équation. Soit D ce discriminant. On a 

D = — W, s — 27rt 2 ; 
d'où 

D = — 3 . 6 2 R . 



SUR LES CONGRU ENCES :;s:< 

Or — 3 est un non-résidu pour les nombres /; de la forme 
3 k — 1 et un résidu pour les nombres/; de la forme 3 k -j- 1. 

On aura donc dans les deux cas : 

Si D = 0, la congruence (1) a trois racines réelles, dont 
deux égales. 

Si D est un résidu quadratique, le nombre des racines 
réelles est égal à 3 ou à 0. 

Si D est un non-résidu, il y a une seule racine réelle. 

La première de ces trois propriétés se démontre immé- 
diatement. En elfet, lorsque D = 0, la congruence (1) admet 

les racines x t = — s-? et x% = V et la première de ces ra- 

1 h b l 

cines est double. 

Je supposerai donc que D n'est pas divisible par/». 

Voici maintenant en quoi consiste le théorème de Stickel- 
berger-Voronoï. Soit 

f(x) = (mod. p\ 

une congruence d'un degré quelconque n. Soient D son dis- 
criminant, c le nombre des facteurs irréductibles de / r 
(mod. p). Je supposerai /; > 2. On a alors 



-) étant le svmbole de Leo^endre. 
P 



Or dans le cas d'une congruence du 3 e degré, n = 3. Si 
donc D est un résidu, l'exposant 3 — v est pair, par con- 
séquent v = 3 ou 1 ; dans le premier cas le nombre des 
racines réelles est égal à trois, dans le second à zéro. Si au 
contraire D est un non-résidu, 3 — v est impair, d'où v= 2, 
et par conséquent le nombre des racines réelles est égal à 1. 

Je tiens à ajouter que ces résultats avaient été établis 
d'une manière différente par M. Voronoï dans une thèse 
publiée en 1894 (v. Yerhandlungen des 111. intern. math. 
Kongr., p, 189). 

Une question se pose : Quelle est la valeur de v dans le 
cas où le discrim. D est un résidu quadratique ? Est-elle égale à 
1 ou à 3 ? Une difficulté analogue se présente dans le cas d'une 
congruence du 4 e degré. Pour trouver la valeur de p, on pour- 



384 D. MIRTMANOFF 

rait se servir dune propriété des congruences irréductibles 
que je voudrais rappeler. 

Soient f x = mod p) une congruence irréductible de de- 
gré // et jc Tune de ses racines (imaginaires) 1 . Les n racines 
de la congruence sont alors .r , ,v i = .r£ , x % = .1^ , . . . , •£„_, 

H— 1 

= < . 

Il en résulte immédiatement que toute fonction cyclique 
entière et à coefficients entiers de ces racines est congrue à 
un nombre entier (mod. p . pourvu que les substitutions 
cycliques correspondantes soient des puissances quelconques 
de XoûOiXa . . . .r„_!) . 

Soit maintenant n = 3 et posons D = d' 2 . Considérons la 
fonction 

M = (xo + a.n + q&Xî 8 . 

y. étant une racine ^ 1 de z 3 — 1 = o mod. p . Supposons 
d'abord que p = i (mod. 3 ; a est alors un nombre entier, 
M une fonction cyclique à coefficients entiers; si donc v = 1, 
M est congrue à un nombre entier ; si v = 3, la somme 
.Vo -f ocXi + a 2 .r2 est un entier et M est un résidu cubique. 
Et l'on retombe sur le critérium de M. Arnoux : c = 3, si 
le nombre M ou 

- — 9a + ta — cri d ou -^ — 9fl + (/— 3 . d 

est un résidu cubique (mod. p). 

Supposons maintenant que /> = — i (mod. 3). M est une 

fonction cyclique dans le domaine \z' — 3 . Pour que v = 3, 

il faut qu'on ait 

p*-i 

3 _ 

M = 1 (mod. p\ . 

Ces résultats peuvent du reste être établis d'une manière 
directe (comp. l'ouvrage de M. Arnoux). 

Dans le cas d'une congruence du 4 e degré on pourrait se 
servir de la fonction cyclique .v — .n -+- .12 — 13 2 . 

D. Mirimanoff Genève). 



1 On peut supposer par exemple que x. est une des racines de l'équation f(x = 



SUR UN THEOREME DE M. HAMEL 



l. — M. Hamel a démontré le théorème suivant dans les 
Mathematische Annalèn Vol. (30, 1905 : « Ueber eine Basis 
aller Zahlen und die unstetigen Losungen der Funktionnl- 
gleichung f{x + y) = f\x) + t\y) » : 

« Il existe une base de tous les nombres, c'est-à-dire, il 
existe un ensemble de nombres «, b, c, ... tels que tout 
nombre x peut être représenté univoquement par une ex- 
pression de la forme 

.*■ = art -\- pi) + '/<' + ••• . 

où les coefficients a, /3, y ..., qui ne sont pas nuls, sont ration- 
nels et en nombre fini ». 

Il est bien aisé de déduire du théorème énoncé l'existence 
d'infinies solutions discontinues de l'équation fonctionnelle 

f(x + y) = f(x) + f{y) , 

dont toute fonction de la forme 

f{x) = afin) -H Pf[b) + lf{c) 

est solution, les valeurs de la fonction f{x) correspondant aux 
membres de la base étant supposées arbitrairement choisies. 

Mais il est aisé d'en déduire aussi la possibilité de la dé- 
composition de tout nombre x du continu en un produit 
d'un nombre fini de puissances rationnelles d'autres nom- 
bres formant un ensemble numérable. Nous nous propo- 
sons de définir cet ensemble en nous appuyant de considé- 
rations analogues à celles qui ont conduit au premier, et in- 
dépendamment de celui-ci. 

« Il existe un ensemble de nombres />?, /?, /?, ... tels que 
tout nombre x du continu peut être représenté univoque- 
ment sous la forme 

x = »<" . n . p ... (2) 

L'Enseignement mathém., 9 e année ; 1907. 26 



386 UGO BROGGI 

où les exposants a, y, - ... différents de zéro sont rationnels 
et en nombre fini. » 

Les considérations suivantes se fondent sur le théorème 
de Zermelo, affirmant la possibilité de bien ordonner un 
ensemble quelconque [Mathem. Annalen, vol. 58). On sait 
que pour qu'un ensemble soit dit bien ordonné (ou série 
bien ordonnée) il faut et il suffit : 

Qu'il existe un premier élément de l'ensemble ; 

Qu'il existe un premier élément de tout ensemble dont 
tous les éléments sont éléments de l'ensemble considéré. 

Nous disons que les nombres a, b, c... sont nombres de la 
base I, et les nombres /», n,p, ... nombres de la base II. 

2. — Soit, par rapport à un bon ordre déterminé du con- 
tinu, m le premier élément : il est aussi le premier des 
nombres de la base II. Nous supposons éliminés tous les 
nombres dont la forme est m? (p rationnel et quelconque). 

Il suit de l'hypothèse de bon ordre, que l'ensemble des 
éléments qui ne sont pas puissances rationnelles de m a un 
premier élément, soit n. Cet élément est le second des nom- 
bres de notre base. Nous supposons qu'on élimine à pré- 
sent tous les nombres qui se laissent décomposer dans le 
produit d'une puissance rationnelle de m et d'une puissance 
rationnelle de // : le premier des éléments de l'ensemble ré- 
sidu, par hypothèse le nombre/?, est le troisième des nom- 
bres de la base II. Et ainsi de suite. 

Supposons que X soit l'ensemble des nombres qui, dans 
le bon ordre considéré, précèdent x. 

Nous disons que x appartient à la base, s'il n'est pas pos- 
sible de poser 

x =: nv . il r~ 



où //?, 7?, ... /' , sont en nombre fini et appartenant à X, et 
[x, y, ... , p rationnels. 

On déduit de cette définition que, si ;;?, />, ... /■ appartien- 
nent à la base, on ne peut avoir 

»r u . „V. ..,P= I . (3) 



SUR LA POLARITE 387 

car autrement il serait possible de poser 



\x ', v', ... rationnels. Et il suit de l'impossibilité de (3) que, 
si une décomposition de la forme (2) est possible, elle l'est 
d'une seule manière. Car on aurait 

IX. v' 71 U V TT 

x ~ m r . n . p ... ; x = m' . /< . yo 

i/r=ix v' — v tt' 7T . 

/H~ r . // . p = J . 

Mais il est aussi évident que tout nombre du continu, qui 
ne peut être décomposé dans le produit d'un nombre fini 
de puissances rationnelles d'éléments de la base, appartient 
à celle-ci. 

Supposons en effet que Y' soit l'ensemble des nombres, qui 
n'appartiennent pas à la base et n'admettent pas une décom- 
position de la forme (2), et supposons que y soit le premier 
élément de Y'. On a de la précédente définition l'apparte- 
nance de y à la base : V n'aurait donc de premier élément, 
ce qui serait contraire au théorème de Zermelo. 

La proposition énoncée est ainsi démontrée dans sa tota- 
lité. 

Ugo Broggi i^Rome). 



SUR LA POLARITÉ DANS LES COMPLEXES DU SECOND 
DEGRÉ (ORDRE ET CLASSE) 



Cette note est basée sur la propriété des droites d'un 
complexe du second degré (ordre et classe) appartenant à un 
plan tt, d'envelopper une courbe de la seconde classe. 

1. — Soit $ un complexe de second degré donné. Un plan k 
passant par un point donné P rencontre le complexe $ sui- 
vant une conique, la polaire de Ppar rapport à cette conique 
est une droite p. Lorsque le plan n décrit la gerbe de som- 



388 L. GO DE AUX 

met P, la droite p décrit une congruenee. Cette congruence 
est linéaire, car dans chaque plan rr il ne peut y avoir qu'une 
droite/?. 

2. — Soit d une droite fixe de l'espace. Le pôle de la droite 
cl par rapport à la conique du complexe <t> située dans un 
plan 7i passant par d, est un point D. Lorsque le plan 7i décrit 
le faisceau d'axe f/, le point D parcourt une courbe du 5 e 
ordre coupant 4 fois d. 

3. — Soit c n une courbe gauche d'ordre n. Un plan r. de 
l'espace rencontre cette courbe en n points. Les polaires de 
ces n points par rapport à la courbe du complexe du plan n 
sont n droites. Comme dans un plan tt quelconque, il ne peut 
y avoir au maximum que n droites qui sont les polaires de 
points de e„, le lieu de ces droites est une congruence de 
l'ordre et de la classe n. 

A une droite donnée, on peut donc encore faire correspon- 
dre une congruence linéaire. 

Ce paragraphe fait entrevoir une question intéressante: 
Trouver le lieu d'une cubique gauche telle que sa polaire 
soit formée par ses bisécantes. 

4. — Soit S„ une surface du n ieme ordre. Un plan 7r la ren- 
contre suivant une courbe d'ordre n. Les droites polaires 
des points de cette courbe par rapport à la conique du com- 
plexe <ï> du plan 7t enveloppent une courbe de /i ie,ue classe. 
On peut donc dire que la figure polaire d'une surface d'ordre 
n est un complexe de degré n. 

5. — Inversement, à une complexe G ;i d'ordre n, corres- 
pond une surface S„ d'ordre n. On peut aussi lui faire cor- 
respondre un autre complexe formé par les tangentes à la 
surface S„. Ce complexe sera généralement d'un ordre su- 
périeur à n. 

Pour n = 2, on obtient une correspondance entre les com- 
plexes du second ordre. 

Ces questions peuvent être étendues à des complexes 
d'ordre plus élevé. 

L. Godeaux (Mons). 



A PROPOS 

DE L'ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

DES MATHÉMATICIENS 



Réflexions sur les réponses ' aux questions 11, 12 et 13 
par ^ . BonvMx Moscou . 

Les questions 11, 12 et 13 peuvent être rattachées aux 
questions 4 et 5, puisque, comme ces dernières, elles four- 
nissent l'opinion des mathématiciens sur l'importance de la 
lecture dans le domaine de l'investigation mathématique. 
Effectivement elles se trouvent dans un rapport étroit 
avec les questions déjà citées dans notre dernier article 2 , 
concernant la négligence dans renseignement de la lecture 
des œuvres mathématiques. 

Et, comme il a déjà été dit, cette négligence de la lecture 
dans renseignement se traduit au commencement en une 
sorte de protestation inconsciente et avec le temps elle dégé- 
nère chez beaucoup de mathématiciens en une négation cons- 
ciente de l'importance de la lecture. Leur opinion est si arrê- 
tée qu'on ne peut pas la vaincre même avec cette vérité, claire 
a priori, qui dit que sans lecture il est facile de refaire 
les recherches déjà faites. Les représentants de cette idée 
que la lecture est moins utile que les investigations person- 
nelles s'excusent devant la science et l'humanité, par la rai- 
son que si la recherche de ce qu'on a déjà trouvé apparaît 
comme une véritable perte de temps, c'est quand même un 
profit pour l'investigateur lui-même. 

Sur les 36 réponses à la question 11 3 il y en a 6 qui 

1 Voir l'Enseignement Mathmatique, 8 e année, n» 6, p. 467-475. 

2 Xoir Y Enseignement Mathématique, 9 e année, p. 135-141. 

3 Question 11. D'une manière générale quelle est la part d'importance que vous attribuez 
aux lectures en matière de recherches mathématiques ? Quels conseils donneriez-vous à ce 
sujet à un jeune mathématicien pourvu de l'instruction classique habituelle ? 



390 V. BOBYNI.X 

nient complètement l'importance de la lecture. Cette néga- 
tion est très prononcée dans les deux réponses suivantes : 

« L'érudition me parait une cause de l'impuissance ; les belles 
découvertes sont dues à des mathématiciens qui s'occupaient fort 
peu de ce que les autres avaient trouvé. » Rép. XX'VIl, Wkii.i. . 

« La méthode que je conseillerai à un jeune mathématicien, 
celle que je crois féconde pour trouver des choses originales, 
c'est de laisser germer en lui une pensée mathématique, de ne 
toucher aux livres qui peuvent le renseigner sur les travaux pré- 
cédemment faits dans le voisinage de cette pensée, que le jour où 
il se sentira impuissant à avancer plus loin. Je ne parle que du 
mathématicien jeune et désintéressé n'ayant pas à donner à ses 
recherches un but précis. Mais pour certains travaux, pour ceux 
qui correspondent particulièrement aux thèses de doctorat et en 
général aux travaux d'érudition et d'histoire mathématique, il 
est naturel de réunir d'abord, sur une fiche, tous les renseigne- 
ments que l'on pourra découvrir sur le travail dont le plan a été 
arrêté. » Rép. LXXV, G. de Loxgchamps). 

A ces deux réponses on peut encore joindre la réponse de 
M. Bryan, aux questions 12 et 13: « Je n'ai jamais le temps. 
11 est plus facile d'examiner soi même une question que de 
lire ce que d'autres ont écrit là-dessus. » 

Cette même négation apparaît encore, mais sous une 
forme plus ou moins nette, dans les réponses XIII, XV, XXI, 
LVII.LXXXI, LXXXIV. 

Réponse XIII d'un mathématicien anglais : 

« Je conseille à un jeune mathématicien de s'arrêter à une 
de ses propres idées et de l'approfondir. D'autres idées nais- 
sent avant que le but soit atteint. Il importe peu s'il cons- 
tate plus tard que d'autres ont examiné ces questions avant 
lui. Il est fort probable qu'il en sera ainsi pour ses premières 
recherches. En Angleterre nous fournissons aux jeunes gens 
trop de problèmes et d'idées tandis que le travail personnel 
n'est pas assez développé, l'étudiant ne se trouve pas encou- 
ragé à prendre confiance en lui-même. 

Réponse XV d'un mathématicien allemand : 

« Ce n'est qu'une fois que je crois avoir trouvé quelque 
chose de nouveau que j'examine la question dans les ou- 
vrages et les périodiques en vue de comparer mes résultats 



A PROPOS DE L ENQUÊTE 391 

à ceux obtenus par d'autres. D'après mon expérience per- 
sonnelle, je conseille aux jeunes mathématiciens qui auraient 
la tendance à s'isoler de se charger de rapports sur le déve- 
loppement de tel point ou de monographies afin d'avoir à 
étudier ce qu'ont fait les autres. On peut aussi réagir contre 
l'isolement par des entretiens ou la correspondance avec des 
collègues s'oecupant des mêmes questions et en fréquen- 
tant les réunions et congrès de mathématiciens. » 

Réponse XXI. L. Bolt/mann : « Je n'ai qu'un conseil à 
donner aux jeunes mathématiciens : avez du génie. » 

Réponse LXXXI d'un mathématicien hollandais, J. Vaes : 
« Il vaut mieux développer un sujet d'abord soi-même ; 
cela exige beaucoup de temps, mais c'est fructueux. Celui 
qui commence a lire tout ce qui a été écrit sur une ques- 
tion court le danger de ne jamais commencer ses propres 
inventions. » 

A ces réponses il faut ajouter le 2 suivantes : 
La réponse LVII d'un mathématicien des Etats-Unis E. P. 
Thompson : « Ceux qui se sont tracés leur propre direction 
semblent témoigner de plus d'originalité que ceux qui sont 
élèves d'autres. » 

Réponse LXXXI V d'un mathématicien suisse G. Oltra- 
mare : « Je préfère ne pas m'assimiler les idées des au- 
tres. » 

Quelques auteurs trouvent que la lecture ne contribue en 
rien aux investigations personnelles, mais qu'elle évite pour- 
tant la répétition de vérités déjà trouvées. Considérant la 
lecture comme un mal inévitable, ils estiment qu'on doit la 
limiter autant que possible au strict nécessaire. 

Les uns conseillent de consacrer peu de temps à la lecture 
(Rép. XI, LV). 

D'autres, conseillent de ne pas pénétrer dans les détails 
(Rép. LXXVI, LVIII). La réponse XXXVI engage à lire au- 
tant qu'il est nécessaire pour pouvoir s'orienter dans l'objet 
de ses recherches. 

Quelques réponses demandent que l'on soumette la lecture 
au tempérament et aux goûts. 



392 V. hOHYNIN 

Un mathématicien français Rép. IX écrit : 

« L'importance des lectures varie, je crois, avec les tempéra- 
ments. Ceux qui lisent facilement ont tout avantage à commencer 
par là; il est plus attrayant de penser d'abord et de ne lire que 
quand on est à court d'idées pour se donner un nouvel élan. Je 
m ahstiens de tout conseil. Le travail scientifique doit être un 
plaisir. Chacun prend son plaisir où il le trouve. » 

Un autre mathématicien français, M. C. A. Laisant dit : 
« Récapitulez bien vos connaissances classiques; complétez-les 
par la lecture des maîtres. Mais ne poursuivez vos lectures qu'au- 
tant qu'elles vous intéressent ; ne vous acharnez pas : et surtout, 
obéissez à vos goûts, et à votre tempérament. Si une idée person- 
nelle heureuse vous vient, suivez-là sur l'heure, faudrait-il pour 
cela interrompre vos lectures. » Rép. XXIII . 

Les réponses XXXVI, XLYI et LU conseillent de limiter 
la lecture à la connaissance des nouveautés dans les sciences 
mathématiques. 

Plusieurs mathématiciens estiment qu'on doit se limiter à 
la lecture de certains traités classiques Rép. XXXIII , de 
mémoires originaux Rép. XXXV, XXXVI) ou des chefs- 
d'œuvres de la littérature mathématique (I,L.). 

Le troisième groupe des réponses sur la question 11 com- 
prend les auteurs qui affirment l'absolue nécessité de lire 
les œuvres mathématiques dans le but des recherches. Ces 
derniers point de vue se présentent tout à fait clairement 
dans les réponses V. VI. VIL XVIII. XX. XXV. XXVI. 
LXIX, LXXXIV. En voici quelques extraits : 

« .1 attribue à la lecture une grande influence sur les travaux 
personnels. Il me paraît donc important que dans les séminaires 
on engage tout particulièrement les étudiants à la lecture des au- 
teurs classiques dans le domaine des mathématiques. » Rép. VI, 
Allemagne . 

« Je ne me place qu'au point de vue de l'histoire ; je dirai : Tout 
lire, chaque ouvrage vous apprend quelque chose. » Rep. Vil, 
Moritz Cantor . 

« La lecture en matière de recherches mathématiques est cer- 
tainement très importante. Elle fournit des idées nouvelles et 
suscite l'invention. » Rép. XY1II d'un mathématicien italien. 



A PROPOS DE L'ENQUETE 393 

Réponse XX d'an mathématicien français : 

« Je tiens pour très important d'avoir lu les ouvrages mathé- 
matiques. Le souvenir qu'une question a été traitée dans tel ou 
tel ouvrage est extrêmement important à fixer. » 

Réponse XXV d'un mathématicien hollandais II. de Yries : 

« Les lectures sont importantes, parce qu'elles donnent des 
points de vue nouveaux qu'on ne trouverait peut être pas soi- 
même. » 

Réponse XXVI du mathématicien français J. Richard : 

« L'importance des lectures est énorme; mais il faut donner 
la préférence aux traités, car les mémoires sont souvent ditïiciles 
à comprendre, l'auteur supposant connus beaucoup de choses 
qu'ont peut ignorer. » 

Réponse LXIX d'un mathématicien italien : 

« J'attache une très grande importance aux lectures : c'est par 
les lectures qu'on apprend de nouvelles méthodes de recherches. » 

Réponse LXXX1V d'un mathématicien suisse M. G. Oltramaiîk : 

« Les lectures sont très importantes, elles donnent des idées. 
Il est donc nécessaire de lire beaucoup et de causer avec les gens 
instruits. » 

D'autres réponses s'expriment sous une l'orme inoins ca- 
tégorique. Elle mériteraient aussi d'être reproduites. Faute 
de place nous nous bornerons à renvoyer les lecteurs aux 
pages 467 à 475 du t. VI II de cette Revue. Voir les réponses 
XII, XXXII, XLIV, XLV, XLIX. 

L'utilité de la lecture est affirmée nettement par 6 répon- 
ses et moins clairement par 5 autres. Ce petit nombre de 
réponses conseillant la lecture nous invite à approfondir leur 
cause. Xous avons déjà insisté sur le fait que cela provient 
tout d'abord de la négligence dans renseignement. Mais 
d'autres causes encore sont possibles. L'utilité de la lecture 
pour les recherches mathématiques ne peut laisser de doute. 
Il est tout à l'ait clair que pour faire progresser la science 
avec sûreté, sans répéter les choses déjà faites, il faut être 
au niveau de l'état actuel de la science. Mais pour cela il 
faut beaucoup lire même en réduisant le temps des recher- 
ches. Si Ion envisage le développement actuel que prend la 
littérature mathématique, il est même douteux qu'il reste 
du temps pour les recherches. 



394 V. BOBYNIN 

Les plus ardents préconiseurs de la lecture ne peuvent 
nier la vérité de tels raisonnements. Quelques-uns d'entre 
eux peuvent chanceler dans leurs opinions sur la lecture, et 
les autres peuvent commencer à la restreindre. 

Dans la vie scientifique celte situation a provoqué les 
moyens de l'écarter. Cela a donné lieux à des publications 
bibliographiques fournissant un compte rendu des nouvelles 
œuvres de la littérature mathématique. Elles ont précisé- 
ment été rappelées par la Rédaction en tète de l'étude des 
questions 11 à 13. Malgré toute l'importance de ces publi- 
cations ce moyen est un palliatif; du reste, aucun des au- 
teurs des réponses ne le cite. 

In moyen radical qui consiste à amener la lecture au 
strict minimum sans nuire à son but peut seul fournir l'his- 
toire des mathématiques, si elle veut atteindre le but prin- 
cipal qu'on lui assigne : guider les travaux des investiga- 
teurs. Pour cela, elle doit fournir aux savants la possibilité 
d'être au courant de la littérature scientifique sans avoir be- 
soin de l'approfondir et les garantir contre les questions déjà 
résolues ou contre celles dont il est encore trop tôt de s oc- 
cuper. Il n'y a que la réponse L. de E. W. Davis qui attire 
l'attention sur l'importance de l'histoire des mathématiques 
et cela montre combien cette importance est peu répandue 
chez les mathématiciens. E. W. Davis conseille, quoique 
vaguement, de réunir l'étude de l'histoire à la lecture des 
œuvres mathématiques. Il sent plutôt cette importance qu'il 
ne la reconnaît. Enfin, ce qui est encore le plus impor- 
tant, c'est que l'historien bien connu M. Moritz Cantor 
(réponse VII) ne dit rien à ce propos. 

Après l'aperçu général des réponses à la question 11, il 
ne reste que peu à dire sur les réponses aux questions 12 et 
13 *. Dans la réponse I, M. Meray se prononce négativement 
à propos de la question 12. Il dit : « Ça été trop peu ma 



1 \- — Avant d'entamer un travail, cherchez-vous tout d'abord à vous assimiler les tra- 
vaux qui ont été produits sur le même sujet. 

13. — Préférez-vous au contraire laisser à votre esprit son entière liberté, sauf à vérifier 
ensuite par des lectures sur le sujet, la part qui vous est personnelle dans les résultats que 
vous avez obtenus. 



A PROPOS DE V ENQUÊTE 395 

mélhode. » Les réponses suivantes tendent à restreindre la 
lecture. 

« 11 serait fatigant et inutile d'étudier tous les ouvrages concer- 
nant un certain sujet. Il suffit de savoir que son propre travail 
fournira du nouveau, tout au moins au pointdevue de la méthode) » 
Rép. IV, Zixdler). 

« Je n'entreprends en général ces recherches que lorsque je 
possède déjà quelques résultats. » Rép. VI . 

« Oui, s'il s'agit de travaux d'une certaine étendue. » (Rép. XXV, 
H. de Vrie.s . 

Voir aussi les réponses XXVI et XLV. 

Les réponses V, XXII, XXXIX, XLVI, ne donnent qu'une 
simple allirmation, par contre les X, XV, XX, XXIII, ne 
mettent pas en pratique la méthode de la question 12, 

En considérant les réponses aux questions 13, il faut 
mettre au premier rang celles dont les auteurs se servent 
également des méthodes de la 12 e et 13 e question. Parmi ces 
réponses se trouvent les suivantes : 

« Toujours et aussi complètement qu'il m'est possihle. » (Rép. 
XVIII . 

« L'une ou l'autre suivant le cas. » Rép. XXXII, Lerch). 

a Après avoir pendant plusieurs années concentré mon atten- 
tion sur plusieurs hranches des mathématiques, je suis arrivé à 
distinguer les sujets qui ont été approfondis de ceux qui ne l'ont 
pas été. Je continue alors moi-même les travaux sans m'occuper 
de la bibliographie, en réservant cette partie assez ennuyeuse 
jusqu'au moment où j'ai obtenu quelque résultat. » Rép. LV, 
L. E. Dickson. » 

A ce même groupe, il faut ajouter la réponse XXX, d'un ma- 
thématicien norvégien M. G. Stormer, qui, à propos de la 
question 12 dit : « Seulement avant la rédaction délinitive », 
et à propos de la 13 e question : « Oui, pendant les premières 
recherches. » 

La préférence de la méthode 13 à la méthode 12 s'exprime 
dans les réponses IV et XXIII. D'autre part dans la réponse 
I, M. Gh. Meray dit : « Je l'ai habituellement préféré et j'ai 
le travers de ne pas aimer à comparer mes travaux à ceux 
d'autrui. » 



396 V. BOBYNIN 

Comme conclusion à l'examen des réponses aux questions 
12 et 13, il reste à remarquer que trois de ces réponses I\\ 
XXX, XLIY expriment un phénomène remarquable qui a 
une importante signification historique. En laissant sans 
réponses la question 11, ils ont montré qu'ils ne se sont 
jamais arrêtés sur la question de l'importance de la lecture 
pour les investigations mathématiques. Les auteurs de ces 
questions par les réponses aux questions 12 et 13 ont montré 
en môme temps qu'en réalité ils ont suivi les routes qui 
prouvent l'importance de la lecture. De sorte que dans les 
procédés de leurs investigations ils se sont guidés non pas 
par leur pensée propre, mais par l'indication de l'expérience 
qui les met vis-à-vis de la nécessité d'entreprendre telle ou 
telle action. 

L'habitude de se rendre compte non seulement des sujets 
accessoires dans le procédé de l'investigation, mais même 
d'une chose aussi importante que la lecture apparaît à beau- 
coup de mathématiciens comme un phénomène étrange. Tout 
le procédé du travail créateur non seulement dans la partie 
qui par sa nature reste inconsciente, mais aussi dans la 
parlie qui peut et doit être consciente, est tout à fait incon- 
nue pour ces mathématiciens. Que peuvent dévoiler de 
pareils savants à l'histoire des sciences sur les procédés de 
leurs découvertes ? Peut-on les croire compétents clans de 
pareilles questions qui les touchent de si près ? 

Ce jugement qui semble être si sévère n'a pas en vue de 
diminuer le mérite des investigateurs, ce qui serait mal à 
propos, mais plutôt de montrer que l'opinion de d'Alembert 
n'est pas conforme à la réalité; cette opinion, qui a trouvé 
tant d'adeptes, croit les investigateurs modernes capables 
de reproduire les méthodes des anciens créateurs de la 
géométrie, en retrouvant les voies de leurs investigations 
personnelles. 

(Traduction de M lle Byck. Genève.) 



CHRONIQUE 



Association scientifique espérantiste. 

La plupart des grands journaux quotidiens ont rendu compte 
du 3 e Congrès universel d'Espéranto qui a siégé à Cambridge du 
10 au 17 août 1907. Nous nous bornerons à signaler ici un des ré- 
sultats les plus importants qui a été la fondation définitive de 
l'Association scientifique espérantiste [Scienco Asocio Esperan- 
tista), qui existait déjà depuis le congrès de Genève (1906), mais 
qui n'avait pas encore pris de titre officiel. On sait qu'un bureau 
i Scienca Oficejo) avait été installé à Genève, rue Bovy-Lysberg, 
sous la direction de M. René de Saussure, pour préparer son orga- 
nisation. 

L'Association scientifique espérantiste a rencontré un accueil 
très sympathique en Angleterre. L'adhésion la plus importante 
est celle du célèbre physicien J.-J. Thomson, professeur à l'Uni- 
versité de Cambridge et lauréat du prix Nobel. L'Association 
compte aujourd'hui plus de 700 membres; elle possède un organe 
mensuel, publié à Genève sous le titre Internacia Scienca Revuo. 

La cérémonie de fondation a eu lieu dans une des salles de 
l'Université de Cambridge, sous la présidence de M. le général 
Sebert. membre de l'Institut de France. Sur la proposition de ce 
dernier. M. le professeur D r Ad. Schmidt, directeur de l'Observa- 
toire magnétique de Potsdam, est nommé président de l'Associa- 
tion scientifique. Le bureau est alors constitué comme suit : pre- 
mier vice-président, professeur J.-J. Thomson; deuxième vice- 
président, B. Benoit, directeur du bureau international des poids 
et mesures, Paris; secrétaire général, R. de Saussure, Genève; 
secrétaires adjoints, C. Bourlet, professeur à l'Ecole des arts et 
métiers, Paris et W- Schmurlo, ingénieur (Russie). Le bureau 
central de l'Association aura son siège à Genève. Enfin, un comité 
de neuf membres est adjoint au bureau : M. le général Sébert 
(France , MM. Ed. Huntington, professeur à l'Université de Har- 
vard Etats-Unis), Villaréal, doyen de la Faculté des sciences de 
Lima Pérou , professeur R. Codorniu, ingénieur en chef des 
eaux et forêts Espagne , H. Pellat, professeur de physique au 
Collège de France France), professeur A. Meazzini, géologue 
Italie, D' K. Bein, médecin-oculiste Pologne , D r K.-B. Aars, 
membre de l'Académie des sciences (Norvège), Fournier d'Albe, 
physicien-électricien Irlande). 



398 CHRONIQUE 

La séance s'est terminée par l'adoption du vœu suivant proposé 
par le secrétaire général : « Les membres de l'Association scien- 
tifique espérantiste réunis à Cambridge, le 15 août lï)07, sont 
d'avis que l'emploi d'un système de monnaie auxiliaire internatio- 
nale serait très utile et ils expriment le désir que tous les espé- 
rantistes l'utilisent ». Il est à noter, du reste, que déjà presque 
tous les journaux espérantistes font usage de la monnaie de 
compte internationale 1 proposée par M. de Saussure. 

Dans sa dernière séance plénière, le 3 e Congrès d'Espéranto a 
adopté le rapport concernant la fondation de l'Association scien- 
tifique et il a ratifié le vœu émis par cette association. 

Le prochain congrès d'Espéranto aura lieu l'année prochaine en 
Allemagne, probablement à Dresde. 



Nominations et Distinctions. 

M. M. Biïendel, de l'Université deGottingue.est nommé à la chaire 
de mathématiques nouvellement créée à l'Académie des sciences 
sociales et commerciales de Francfort-a.-M. 

M. Clairix. maître de conférences, est nommé piofesseur de 
mathématiques générales à l'université de Lille. 

M. Drach, professeur de mécanique rationnelle appliquée à la 
Faculté des Sciences de Poitiers, est nommé professeur de calcul 
différentiel et intégral à la dite Faculté. 

M. M. Grossmann, privat-docent à l'Université de Bàle, est nom- 
mé professeur ordinaire de géométrie descriptive à l'Ecole poly- 
technique fédérale de Zurich, en remplacement de M. AV. Fiedler, 
qui prend sa retraite. 

M. G. Lauricella, de l'Université de Catania, a été nommé 
membre correspondant de l'Académie dei Lincei. 

M. Maurice Lévy, professeur au Collège de France, est promu 
commandeur de la Légion d'honneur. 

M. G. Morera, de l'Université de Turin, membre correspon- 
dant de l'Académie dei Lincei, a été nommé membre ordinaire. 

M. Paraf, maître de conférences, est nommé professeur de ma- 
thématiques générales à l'Université de Toulouse. 

M. Praxdtl. professeur extraordinaire, est nommé professeur 
ordinaire à l'Université de Gôttingue. 

M. \ avasseur, maître de conférences, est nommé professeur de 
calcul différentiel et intégral à l'Université de Lyon. 

Prii'at-docents. — Sont admis en qualité de privat-docents : 

M. A. Kopff, pour l'Astronomie, à l'Université de Heidelberg; 



1 Voir luternacia Scienca Revuo, mai et août 1907. 



NOTES ET DOC UME N T S 399 

M. L. Schitka, pour les mathématiques, à l'Université de 
Vienne ; 

M. 0. Toeplitz, pour les mathématiques, à l'Université de 
Gôttingue ; 

M. Ci. Vit au, pour le calcul infinitésimal, à l'Université de 
Gènes. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 
Semestre d'hiver 190(5-1007 suite). 

ALLEMAGNE 

Berlin; Universitàt. — Schwarz : Analyt. Géométrie, 4; Anwendungen d. 
ellipl. Funktionen, 4 ; Ueber einige Aufgaben der konformen Abbildung. 2 ; 
Mathem. Kolloquien ; Seminar. — Frobenius: Zalilentheorie, 4; Seruinar. 
— Schottky : Th. der Kurven and Flâchen, 4 ; Lineare Differentialgleichun- 
gen und automorphe Funktionen, 4; Seminar. — Hkttner : Ueber unendliche 
Reihen, Produkte und Kettenbrùche, 2. — Knoblauch : Differentialrechnung, 
4; Uebungen dazu ; Théorie der elliplischen Funktionen, 4. — Landau: In- 
tegralgleichungen, 4. — Scuur : Théorie der algebraischen Gleichungen, 4 ; 
Ueber Gruppen linearer Substitutionen, 2. — Lehmann-Filhès : Integral- 
rechnung, 4 ; Uebungen dazu. — Aschkinas : Elemente der hôheren Mathe- 
matik, mit besonderer Berùcksichtigung ihrer Anwendung in den Nalur- 
wissenscbaften. — Fokrster : Geschichte der alten Astronomie ; Théorie 
und Kritik der Zeilmessung. — Bauschinger : Einleitung in die Mechanik 
des Himmels, 3 ; Prazession und Nulalion. — Struve : Einleitung in die 
Stôrungstheorie, 3; Uebungen im Beobachten. — Scheiner : Spektralanaly- 
tische Theorien ; Astrophysikalisches Kolloquium. — Riste.npart : Geinein- 
verslândliche Einfûhrung in die Astronomische Erdkunde, J '/» ; Sfernka- 
taloge, 1. — Marcuse : Allgemeinverstândliche Himmelskunde, 1 x /2 '• Théorie 
und Praxis geographisch- und nautisch-astronomischer Ortsbestimmungen, 
2. — Helmert : Schwerkraft und Erdgestalt, 1 : Méthode der kleinsten Qua- 
drate. — Rubens : Mathematische Erganzung zur Experimentalphysik, 1. — 
\Yarbcrg : Ausgewiihlte Kapitel ans der theoretischen Physik, 2. — Wein- 
stein : Einleitung in die mathematische Physik I, 3. — Neesen : Elementare 
Mechanik, 2. — Yalentiner : Yektorentheorie mit Anwendungen auf die 
theoretische Physik. 

Bonn; Universitàt. — Sttdy : Einleitung in die Funktionentheorie, 4; 
Eiuleit. in die Quaternionentheorie, 1 ; Seminar. — London : DifFerenlial- 
und lntegralreclinung II, 4; Uebungen dazu, 1; Synthet. Géométrie, 2; 
Uebungen in darst. Géométrie ; Seminar. — Kqwalewski : Analyt. Géométrie 



',00 NOTES ET DOCUMENTS 

der Ebcnc und des Raumes, 4 ; Uebungen daz». 1 : Einfuhrung in die Theo- 
rie '1er Transiormationsgruppen, 2. — Schmidt : Partielle Difïerentialglei- 
chnngen. 4. — Mônmchmeyer : Méthode der kleinsten Quadrate. — Kùstnes : 
Sphârische Astronomie. 3; Fixsternkunde, 1: Praktisehe Uebungen Unit 
Mônnichmeyer). — Kayser : Physikalisches Kolloquiurn. — Kaufmanx : Me- 
chanik und Elastizitiitslehre, 4. — Bucherer : Mathematisehe Einfuhrung 
ta die Elektronentheorie, 2. 

Braunschweig; Technische Hochschule. — Dedekind : Elementeder Zahlen- 
theorie ; Einl. in die Wabrscheinlichkeitsrechnung. — Fricke : Analyt. Géo- 
métrie und Algebra ; Diff. - und Integralreehnnng ; Einf. in die Funktiouen- 
theorie ; Trigon. Reihen und harmonische Analyse ; Vektorentheorie. — 
Hohenner : Grundzùge der Geodiisie mit Ubungen ; Hohere Geodasii- : Mé- 
thode der kleinsten Quadrate ; Grundzùge der sphâr. Astronomie mit Ubun- 
gen. — LuDWiG : Darst. Ceo'uetrie mit Ubungen : Grundzùge der hôb. 
Matliematik ; Géométrie der Lage ; Géométrie der Bewegung ; Ausgew. 
Kapitel aus der elementaren Géométrie. — Schlink: Techn. Meehanik I mit 
Ubungen und Repet. : Techn. Meehanik II (Hydraulik) mit Ubungen und 
Repet.; Analyt. Meehanik. — Weber : Potentialtheorie mit Anwenduii^en 
auf die Elektrostatik. — Wermcke : Statik starrer und elastiseh rester 
Kôrper. 

Breslau ; Universitât. — Rosanes : Analyt. Géométrie der Ebene. 4; Se- 
minar. — Sturm : Th. der geometr. Verwandschaften 11, 3; lntegralrechnung, 
2; Geschichte der Matliematik. 1: Seminar. — K.neser : Funktionentheorie, 
i: Prinzipien der Elemeutarmathematik. 2: Seminar. — Lummer : Physika- 
lisches Kolloquiurn. — Franz : Théorie der Bahnrechnung der Kometen. 
Planeten und Doppelsterne, 3 ; Uebungen dazu. 2 ; Méthode der kleinsten 
Quadrate und Ausgleichung der Beobachtungsfehler, 1 ; Astrophysik, 2. 

Dresden ; Technische Hochschule. — Krause : Hoh. Matliematik II ; Hôh. 
Algebra; Seminar. — Disteli : Darst. Géométrie II; Analyt. Géométrie der 
Flàchen II. Grades. — Heger : Kartenentwùrfe. — Hel.m : Hoh. Matliematik 
IV : Analyt. Meehanik ; Potentialtheorie : Wahrscheinliehkeitslehre : Aus- 
gew. Kapitel aus der mathem. Physik. — Xaetsch : Elementare Algebra 
und Analysis : Einl. in die Théorie der part. Differentialgleichungen ; 
Ubungen zur hoh. Matliematik IV. — Grùbi.er : Techn. Meehanik. 

Erlangen ; Universitât. — Gordan : Differentialrechnung, 4; Invarianten, 
4; Seminar. — Xoether : Analyt. Géométrie 1, 4; Funktionentheorie. 4; 
Geometr. und analyt. Uebungen. 

Freiburg ; Universitât. — Lvroth : Analyt. Géométrie der Ebene und 
Difl'erentialreebnuzig ; Varialionsrechnung : Seminar. — Stickelberger : Ana- 
lyt. Meehanik , Hohere ebene Kurven ; Seminar. — Weingarten : Théorie 
der Déformation der krummen Oberflachen. — Loewy : Die technischen 
Grundlagen des Versicherungswesen ; Uebungen dazu: Algebr. Analysis: 
Besprechung algebr. Fragen. — Ko.mgsberger : Elemente der parliellen Dif- 
ferenlialgleichungen und ihre physikalischen Aiiwenduiigen. mil l ebungen. 

Giessen ; Universitât. — Pasch : Funktionentheorie ; Seminar. — Xetto : 
Diflerential- und lntegralreehnung, 4 : Differentialgeometrie, 2 : Delermi- 
nanten. 2 : Seminare. — Grassma.n.n : Synthet. Géométrie. 3 ; Darst. Géomé- 
trie mit Uebungen II, 2 — |— 3 . — From.me : Geometrische und physikalische 



NOTES ET DOCUMENTS 401 

Oplik, \ ; Mathematische Géographie und Elemente der Astronomie, 2 ; 
Kolloquium. 

Gûttingen ; Universitàt. — Klein : Elementarmathematik vom hôheren 
Standpunkt aus, 4 ; Serainar. — Hilbert : Théorie der part. Difïerential- 
gleichungen, 4 ; Einfùhrung in die Théorie der r'unktionen unendlich vieler 
Variablen (Inlegralgleiehungen), 2; Seminar. — Minkowski : Funklionen- 
theorie, t : ausgewàhlte Kapilel der Zahlentheorie, 2 : Seminar. — Runge : 
Graphische Methoden, insbesondere graphische Statik, 4 ; Uebungen dazu, 
2; Seminar. — Wiechert : Yermessungswesen II, Hohere Geodàsie, Nautik, 
Vorlesung und praktische Uebungen, 4; Thcrmodynamik, 4; Polarlirht, 1; 
Seminar; Geophysikalisches Praktikum. — Prandtl : Hydrodynamik und 
Aerodynamik, 3; Seminar; Praktikum, — N. N. : Die mathematische Tech- 
nik der Yersieherungswesens, 3 : Seminar; Arbeiten auf dem Gebiet der 
Slorungstheorie. — Schwarzsçhild : Aslrophysik, 3; Seminar. — Ambronn : 
Sphiir. Astronomie, 3; Uebungen fur Anfânger: Beobachtungen auf der 
Sternwarle. — Zermelo : Die mathematischen Grundlagen der Logik, 2. — 
Herglotz : Algebra, 4 ; Uebungen in der Behandlung und Anwendung von 
Dillcrenlialgleichungen (mit Abraham und Carathéodory). — Carathéodory: 
Dilferenlial- und Integralrechnung II, 4 ; Uebungen dazu. — Koebe : Flii- 
elien 2. Grades mit Uebungen, 2; Konforme Abbildunfç, 2. — Riecke : Se- 
minar lansu-ewahlte Problème der Mechanik). — Voigt : Meehanik, 4. — 
Abraham : Elastizitiitstheorie, 2. — Bestelmeyer : Elektrizitàt und Malerie, 
I : Mathematische Ergànzungen hierzu, 1. — Krûger, Einfùhrung in die 
mathematische Behandlung der Naturwissenschaften, 3, mil Uebungen. 

Greifswald ; Universitàt. — Thomé : Mechanik II, 4, Algebraische Flâchen 
und Raumkurven, 2; Seminar. — Engel : Differentialgeometrie, 4; Uebun- 
gen dazu, 1 ; Théorie der Transformalionsgruppen, 4 ; Théorie der partiel- 
len Differentialgleichungen, 1. Ordnung (Fortsetzung), 2; Seminar. — Vahlen : 
Algebra, 4; Uebungen zur Algebra und Delerminantenlheorie, 1; Darstel- 
lende Géométrie. — Mie : Elementarmathematische Ergiinzungen zur Expe- 
rimentalphysik. 1. — Holtz : Mechanik mit Experimenlen, 1 ; Physik der 
Geslirne. 1. — Starke : Theoretische Mechanik. 2; Uebungen dazu. — Schre- 
ber : Masse und Messen, 2. 

Halle ; Universitàt. — Cantor : Théorie der ellipt. Funktionen, 4 ; Ausgew. 
Kapilel der analyt. Mechanik, 2; Seminar. — YYangerin : Théorie des Po- 
tentials und der Kugelfuuktionen, 4 ; Integralrechnung mit Uebungen, 4 ; Semi- 
nar. — Gutzmer : Yariationsrechnung. i ; Analyt. Géométrie des Raumes, 4 ; 
Axouometrie und Perspektive ; Seminar. — Eberhard: Numerische Gleichun- 
gen und iterierte Funktionen, 2; Zahlentheorie II, 2; Mathematisches Kol- 
loquium. — Bernstein : Théorie und Anwendung der bestimmten Intégrale, 
4; Uebungen dazu, 1: Versicherungsmathematik, 1. — Buchholz : Mecha- 
nische Quadratur, 1 ; Sphàr. Astronomie und Théorie der astron. Instru- 
mente, 1; Anwendung der Variationsrechnung auf Himmelsmechanik, 1. — 
Berndt : Mathem. Ergànzungen zum physikalischen Praktikum, 1. 

Hannover ; Technische ffochsckule. — Kiepert : Hohere Mathemalik I, 
10; Variationsrechnung, 1; Géométrie der Lage, 2. — Stackel : Hohere 
Mathemalik I B, 6 ; Yektoranalysis, 1 ; Praxis der trigonometrischen Rei- 
hen, 1. — Rodenberg : Darst. Géométrie l, 9; Darst. Géométrie II, 9. — 

L'Enseignement mathém., 9e année; 1907. 27 



402 NOTES ET DOC U ME N TS 

Wieghardt: Grundzùge der hôheren Mathematik fur Architekten und Che- 
miker, i. 

Heidelberg ; Universitàt. — Koemgsberger : Analyt. Mechanik, 4; Àus- 
gew. Kapitel der Integralrechnung, 2; Elliptische Kunktionen, 2; Seminar. 
— Cantor . Differential- und Integralrechnung, 4; Uebungen dazu, 1 ; Poli- 
tisclic Arilhmetik, 2. — Koehler : Analyt. Géométrie des Raumes,4. — Boeii.m : 
Ebene und sphàr. Trigonométrie und verwandte Zweige der Elementarma- 
thematik, 4; Uebungen zur analyt. Mechanik, 2. — Borp : Ausgew. Kapitel 
aus der Geschiehte der Mathematik, 1 ; Lekliire einer klassisehen mathe- 
matischen Arbeit, 1. — Yalentiner : Théorie der Bahnbestimmung II, 3. 

Jena ; Universitàt. — Tuomae : Dillerentialgleichungen, 4; Seminar. — 
Hai >sner : Integralrechnung mit Uebungen, 5; Analyt. Géométrie des Rau- 
mes, 4: Algebra, 4; Proseminar ; Seminar. — Frege : Analyt. Mechanik, 4: 
Becriffschrift, 1- — Rau : Graphostatik, 3; Graphische Uebungen, o ; Tech- 
nische Thermodynamik, 3; Deinonstratiouen und Uebungen dazu. — Knope: 
Wahrscheinlichkeitsreehnung und Méthode der kleinsten Quadrate, 3; 
Sphiir. Astronomie, 3. — Alerbabh : Mechanik der festen, flùssigen und 
gasfôrmigen Kôrper, 4. 

Karlsruhe ; Terhnische Hochschule. — Schur : Darst. Géométrie I, II mit 
Ubungen ; Graph. Statik mil Ubungen. — Wedekind : Hoh. Mathematik I 
mit Ubungen. — Krazer : Hôh. Mathematik II; Ellipt. Funktionen. — 
Faber : Ubungen in den Grundlehren der hôh. Mathematik ; Arithmetik und 
Algebra ; Ebene und sphiir. Trigonométrie; Elementare und analytische 
Géométrie des Raumes. — Heun : Mechanik mil Ubungen; Mechanisches 
Seminai-, Elemente der Mechanik ; Elemenlarmathematik. — Haid : Prak- 
tische Géométrie; Hohere Geodaesie; Méthode der kleinsten Quadrate. — 
Sieveking : Einfuhrung in die mathemalische Physik. 

Kiel ; Universitàt, — Pochhammer : Théorie der algebr. Kurven und Flii- 
chen. 3; Théorie der Differeutialgleichungeu mit einer unabhangigenVariab- 
len, 3 ; Seminar. — Heefter : Elemente der Algebra und Determinanlen- 
theorie, 3 ; Differentialgeometrie, 4 ; Seminar. — Landsberg : Integralrech- 
nung. 4 ; Uebungen dazu ; Ausgew. Kapitel der Théorie des Potentials und 
der partiellen Differentialgleichungen, 3. — Wkinnoldt : Ausgew. Kapitel 
der techniscben Mechanik, besonders graphische Statik, 3. — Harzer : Ueber 
neuere Resultate auf dem Gebiete der Stôrungstheorie, besonders ûber Poin- 
carés Arbeiten, 4 ; Ueber Interpolationsrechnung, 1. — Kobold : Méthode 
der kleinsten Quadrate, 2; Uebungen auf der Sternwarte. — Strômgren : 
Astronomische Géographie, 1 ; Spezielle Stôruugen, 1. 

Kônigsberg : Universittït. — Meyer : Analyt. Géométrie des Raumes, 3' 
Uebungen dazu , Ellipt. Funktionen. 4 ; Seminar. — Schœm lies : Integral- 
rechnung, 4; Einfuhrung in die darst. Géométrie. 2; Uebungen dazu, 2 ; 
Seminar. — Saalschùtz : Einfuhrung in die algebr. Analysis. 'i ; l atersuch- 
ungen ûber die Gleichungen zwischen den Anfangsgliedern von Differenz- 
reihen, 2 ; Algebr. Uebungen. — Batterma.nn : Einleilung in die Mechanik 
des Hiinmels.2; Allgemeine Astronomie. 1. — Cohn : Spharische Astro- 
nomie. 3; Die Figur der Erde, 1. 

Leipzig: Universitàt. — Neumann : Analyt. Mechanik. 4; — Mayer : Va- 
riationsrechnung, 4. — Hôlder : Ellipt. Funktionen. 4; Seminar. — Rohn: 



NOTES ET DOCUMENTS 403 

Analyt. Géométrie des Raumes, 4 ; Darst. Géométrie, 2 ; Uehungen dazu 
(mit Liebmann), 2. — Hausdorff : Differential- und Integralreehnung, 4; Ue- 
bungen dazu. — Liebmann : Théorie und Anwendung der Determinanlrn. 2 ; 
Nichteuklidische Géométrie, 2. — Bruns : Instrumentenkunde. 4 ; Prakti- 
sche Analysis, 2 ; Uebungen auf der Slermvarle (mit Peter). — Peter : Stel- 
larastronomie. 2. 

Marburg : Universitât, — Hensel : Zahlentheorie, 4 ; Ellipt. Funktionen, 3 ; 
Proseminar ; Seminar. — Neumamn : Algebr. Auflôsung der Gleichungen, 4 ; 
Analyt. Mechanik II, 2 ; Seminar. — v. Dai.wigk : Integralreehnung, 4; L e- 
bungen dazu; Darsleljende Géométrie II, 2; Graphische Slatik, 2. — Jung: 
Algebr. Analysis, 3; Grundlagen der Géométrie, 1. — Fuëter : Fliichen- 
theorie, 3; Komplexe Multiplikalion, 1. 

Munchen Universitât. — Lindemann : Differenlialgleichung, 5 ; Théorie 
der Abelschen Funktionen, 5 ; Seminar. — Yoss : Analyt. Géométrie der 
Ebene. 4 ; Analyt. .Mechanik I, î ; Seminar. — Pringsheim : Elemeutare 
Théorie der unendliehen Reihen und analogcn Grenzprozesse, 4 ; Elemente 
der Funktionstheorie, 5. — Dœhlemann : Darst. Géométrie I, 5 : Uebungen 
dazu, o ; synth. Géométrie, 4 ; Uebungen dazu, 1 ; Die Linie und das Licht 
als Mit tel der Raumdarstellung in der bildenden Kunst. — Brunn : Mengen- 
lehre, 4 — Hartogs : Integralreehnung und Ergânzungen zur Differential- 
rechnung, 6. — Perron : Elémentaire Géométrie und Trigonométrie, 3. — 
Sommerfeld : Kinetiselie Gas théorie, :> : ausgewàhlte Fragen der Thermo- 
dynamik, 2 ; Seminar. — Gu.ktz : l'eber die Fortschritte der exakten Wis- 
senschaften, 1. — v. Seeliger : Die Grundlehren der Astronomie, >; Astro- 
nomisches Kolloquium. — Grossmanm : Sphârische Astronomie II. 2; Ue- 
bungen dazu. 

Munchen; Technische Hochschule. — v. Braunmuhl : Hôh. Malhematik I 
mit Ubungen ; mathemalisch-historisches Seminar. — v. Dyck : Hôh. Malhe- 
matik III mit Ubungen : Funktionentheorie nach Cauchy und Riemann : 
Seminar. — Finsterwalder : Grundziige der hôh. Mathematik mit Ubungen; 
Kurventheorie ; Seminar. — Birmester : Darst. Géométrie mit Ubungen. 
Schmidt : Vermessungskunde mit Praktikum ; Landesvermessung ; Katasler- 
technik ; Geodiitisches Praktikum III; Kartierungsùbungen. — F(>ppl : 
Techn. Mechanik II (graphische Statik) und III (Festigkeitslehre) ; Ubungen 
zur graph. Statik. — Kutta : Elementare Mathematik mit Ubungen ; Trigono- 
métrie. — Bischoff: Ausgleichungsrechnung (Praktikum); Mechanisches 
und graphisches Rechnen. — Fischer : Elektriziliit und Magnetismus in 
mathematischer Behandlung. — Grossmann : Elemente der Astronomie. 

Munster ; Universitât. — Killing : DifTerential- und Integralreehnung II, 
4; Uebungen dazu; Analytische Mechanik I, 4; Unlerseminar. — v. Lilien- 
thal : Analyt. Géométrie II, 'i ; Krùmmungstheorie der Kurven und Flâchen, 
4: Oberseminar. — Dehn : Darst. und synth. Géométrie mit Uebungen, 6; 
Elementare Algebra, 2. — Plassmann : Méthode der kleinsten Quadrate ; 
Sphar. Trigonométrie und sphâr. Astronomie ; Ueber den Moud ; Uebungen 
im astronomischen Beobachten und Rechnen. — Heydweiller: Elementar- 
malhemalische Ergânzungen zur Elementalphysik. 

RostOCk ; Universitât. — Staude : Differential- und Integralreehnung, 4; 
Ellipt. Funktionen. 4 ; Seminar. — Weber : Vektoranalysis, 1 ; Uebungen 
dazu : Physikalisches Seminar, 1. 



404 NOTES ET DOC U ME NT S 

Strassburg : Universitàt. — Reye : Analyt. Géométrie des Raumes (Neuere 
Methoden); Mathematische Théorie der Elastizitiit fesler Kôrper ; Seminar. 
— Weber : Differential- und Integralrechnung ; Differentialgleichungen der 
mathematischen Physik ; Seminar. — Simon : Grundbegriffe der Mathematik 
(uud Mechanikl. — Wellstein : Àusgew. Kapitel der Funktionentheorie ; 
Determinanten und Matrizen ; Seminar. — Timerding : Anal. Géométrie der 
Ebene : Uebungen dazu ; Graphische Slatik ; Uebungen dazu ; Yekloranalysis; 
Seminar. — Epstein : Einfiihrung in die hohere Mathematik fur Studierende 
der Naturwissenschaften ; Seminar. — Becker : Bahnbestimmung der Pla- 
neten, Kometen und Météore ; Elemente der hôheren Geodiisie : Astron. Kol- 
loquium: Astron. Beobachtungen. — Wirtz : Ausgewiihlte Kapitel aus der 
Astropbysik. 

Stuttgart; Technischè Hochschule. — Mehmke: Darst. Géométrie mit 
Uebungen : Analyt. Mechanik mit Ubungen ; Seminar. — Reuschle : Kurven- 
diskussion in Beispielen ; Analyt. Géométrie des Raumes ; Ausgew. Kapitel 
aus der neueren analyt. Géométrie der Ebene und des Raumes einschliess- 
lich Invariantentheorie ; Differential- und Integralrechnung II mit Ubungen ; 
Seminar. — Bretschneider : Repetitionen in niederer Mathematik. — 
Wôlffing : Elemente der Differential- und Integralrechnung mit Ubungen ; 
Funktionentheorie I. — Rotii : Schattenkonstruktionen und Beleuchlungs- 
kunde. — Stùbler: Niedere Analysis ; Auflôsung numerischer Gleichungen; 
Ùber die mathematischen Grundlagen der Lebensversicherung. — Fischer: 
Trigonométrie mit Ubungen. — Kriemler : Technischè Mechanik mit Ubun- 
gen. — Hammer : Praktische Géométrie mit Ubungen : Ausarbeitung geodii- 
tischer Aufnahmen ; Abbildungen der Erdoberflache auf die Ebene (Karlen- 
projektionen) mit Ubungen ; Hohere Geodiisie. 

TÙbingen . Universitàt. — von Brili. : Einfiihrung in die hohere Mathe- 
matik, 4; Théorie der algebraischen Kurven, 3; Seminar. — von Stahl : 
Hohere Analysis II. 4 ; Partielle Differentialgleichungen. 3 : Seminar. — 
Maurer: Théorie der Binarformen, 2; Darst. Géométrie, 1; Uebungen 
dazu. 2. 

WÛrzburg : Universitàt. — Prym : Differentialrechnung mit Einleitung in 
die hohere Analysis, ï; Uebungen dazu ; Seminar. — Rost : Théorie der 
algebr. Kurven, 3: Axonometrie und Perspektive. 1 : Invariantentheorie. 4; 
Sphâr. Astronomie mit prakt. Uebungen auf der Sternwarte, 2; Proseminar: 
a) Analvt. Géométrie der Ebene, 2; b| Determinantentheorie, 2; Seminar; 
a) Nichteuklidische Géométrie, 2: b) Anleitung zu selbstandigen wissen- 
schafiliehen Arbeiten (taglich). — v. Weber : Part. Differentialgleichungen, 
4 ; Analyt. Géométrie des Raumes, 4 : Erganzungen und Uebungen zur Géo- 
métrie der Kegelschnitte, 2. 



ANGLETERRE 

Cambridge ; University. — List of Lectures proposed for Mathematics. 
The courses of lectures will begin as follows : in the Michaelmas Ter m on 
Monday October 14, Lent Terni on Thursday January 16, Easter Terni on 
Monday April 27. — Forsyth : Differential Geometry: 3. — G. -H. Darwin : 
Dynamical Aslronomy. (Michaelmas Tenu. 3); Figure of the Earth lElemen- 



N OTES ET DOC UME N T S 405 

taryj and Orbits of Planets iLent Term, 3). — R. S. Ball : Planetary Theory 
(M. T., 3| ; Theory of Screws (L. T., 3). — Larmor : Electricity and Magne- 
tism. (M. T., 3| ; Electrodynamies with optical applications (L. T., 3); Ther- 
modyuaniics and Theory of Gases. (Short Course.) (E. T., 3). — Hinks : Dé- 
monstrations in Praetical Astronomy. — Observatory : Practical vvork. — 
Thomson : Properties of Matter (M. T., 3| ; Electricity and Matter (M. T.. 2); 
Electricity and Magnetism (L. T. & E. T., 3) ; Discharge of Electricity 
through Gases (L. T., 2). - Searle : Heat. 9 (M. T. 3); Electrical and Ma- 
gnetic Measuraments L. T. & E. T. , 3). — Wilsoïm : Light. (M. T. & L. T.. 3). 
— Hobson : Spherical Harmonies and Allied Functions (M. T., 3); Differen- 
tial Equations and Expansions of Mathematical Physics (L. T. ,3). — Baker: 
Introduction to Theory of Functions (M. T., 3); Theory of Groups (M. T., 
3); Solid Geometry (for Part I (L. T.. 3); Theory of Functions (L. T. & 
E. T., 3). — Herman : Hydrodynamics. — Richmond : Analytical Geometry 
(M. T., & L. T., 3) ; Projective Geometry (E. T.). — Whitehead : Principles 
of Malhematics (M. T. &L.T I; Non-Euclidean Geometry. — Barnes : Linear 
Differential Equations (M. T.) ; Hypergeometric Séries (L. T.). — Berry : 
Elliptic Functions, Bessel Functions and Fourier Séries (for Part I) (L. T.) : 
Elliptic Functions (for Part II} (L T.) : Elliptic Functions (Theory of Trans- 
formation) (E. T.). ■ — Bennet : Line Geometry (L. T.). — Munro : Hydro- 
dynamics and Sound (M. T.); Line Geometry (E. T.). — Bromwich : Polential 
Theory and its Applications (M. T. & L. T.). — Grâce: Invariants and 
Geometrical Applications (M. T., 3). — Young : Theory of Invariants 
(L. T.) ; Discoutinuous Groups (L. T.). — Hardy : Integra! Functions (E. T.). 



AUTRICHE-HONGRIE 

Kolozvar (Hongrie): Université. — Schlesinger : Surfaces et courbes 
gauches, 5: Mécanique céleste, 3; Séminaire, 2. — Yalyi : Analyse algé- 
brique, 3 ; Trigonométrie, 2 : Courbes et surfaces algébriques, 3: Exercices, 
1 ; Séminaire, 1. — Fejér : Calcul différentiel et intégral, 4 ; Série de Fou- 
rier, 2: Exercices, 1. — Klug : Géométrie descriptive I, 2; II, 2; Géomé- 
trie projective, 2; Exercices. 2. — Farkas : Mécanique analytique, 4; Thé- 
orie des vecteurs, 3 ; Séminaire, 2. 



ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

/ Suit»'. 

University of Chicago (Oclober 1 to June 15). The total number of hours 
is indicated. — E. H. Moore : Selected chapters in analysis, 48 h. ; Theory 
of functions of a complex variable, 2i ; Seminar, theory of functions of a 
real variable, 24. — O. Bolza : Advanced intégral calculus, 96 ; Calculus of 
variations, 96. — H. Maschke : Solid analytics and déterminants, 48; Alge- 
braic analysis, 48 ; Projective synthetic geometry, 48 ; Dilferential geometry, 
96; Partial differential équations, 48. — L. E. Dickson : Finite groups with 
applications to algebra and linear substitution groups, 96. — H. E. Slaught • 
Differential équations with applications, 48. — J. W. A. Young : Introduc- 
tion to the theory of numbers, 48. — A. C. Lunn : Analytic mechanics, 48. 



406 N O TE S ET DOC U ME NT S 

— K. Laves : Analytic mechanics, 96. — F. R. Moulton : Introduction to 
celestial mechanics, 96: Plane tary perturbations, 96. 

Harvard University (Cambridge, Mass.) — W. E. Byekly : Differential 
et inlegrel calculus, II, 3 ; Trigonom. séries (with Prof. Peir.ce) 3. — 
Peirce : Hydromechanics, 3, — Osgood : Eléments of mechanics, 3 ; Infinité 
séries et products (first balf yeàr), 3 ; Théorie of functions of a complex 

variable i second hait' year) 3. — M. Bôcher : Introduction to modem g»'0- 
metry and modem algebra, 3; Vector analysîs and quaternions, 3; The pro- 
porties of polynomials (lirst half year), 3 ; Definite intégrais and intégra! 
équations (second half year) 3. — Bouton : Elementary theory of differential 
équations (second half year) 3; Géométrie transformations. 3. — Whitte- 
mobe : Theory of functions I, 3; Theory of the figure of the earlh (second 
balf year), 3. — Coolidge : Algeb. plane curves, 3. 

University Of Illinois. — Shattuck : Differential équations and calculus 
of variations. 3. — Townsemd : Theory of functions, 3; Seminar, 2. — Miller : 
Theory of numbers, 3 ; Theory of déterminants, 2. — Rietz : Theory of 
average and actuarial theory, 3. — Stebbins : Method of least squares, 2. 
Haskins : Solid analytic geometry, 3 ; Spherical harmonies and the potential 
function. 3. — Miss White : Teacher's course, 2. — NeIkuk : Theory of 
équations, 3. — Sisam : Modem geometry and algebraic surfaces. 3 Crat- 
horne : Partial differential équations, 2. 

Indiana University. — R. J. Aley : Theory of numbers, 2 ; Differential 
équations, 3 (autumn, winter) ; Mathematical pedagogy, 2 (s). — S. C. Da- 
visson : Modem analytic geometry, 2 (a, w) ; Theory of surfaces, 2; Non- 
euclidean geometry, 2 (w, s). — D. A. Rothrock : Advanced calculus, 3; 
Quaternions with applications, 3 (a, w) ; Potential functions, 2 (w, s). — U. 
S. Hanna : Substitution groups, 3 (a); Galois theory of équations, 3 (w). 

— C. Haseman : Partial differential équations, 3. 



SUISSE 

Basel ; Universitât. — Hagenbach-Bischoff : Die Begriife der Mechanik in 
der Physik. — H. Kinkelin : Diff. - u. Integralrechn.. 3 ; best. Intégrale, 2 ; 
Wahrscheinlichkeits- u. Versicherungsrechn., 2; Uebg. math. Sem., 1. — 
K. von der Muhll : Analyt. Mechanik mit Uebg., 4 ; math. Physik. — Rig- 
genbach : Sphàr. Trigonométrie u. Einleit. in die sphar. Astronomie. — 
Flatt : Pàd. Sem., math. Abt., 3; Repet. der Géométrie, 1; math. Uebg., 
1. — Spikss : Analyt. Géométrie des Raumes. 4. 

Bern ; Universitât. — Graf: Kugelfunkt. m. Repetit., 3; Besselsche Funkt" 
m. Repetit., 3; Bestimmte Integr. m. Repetit., 3; Funktionentheorie, 2 ; 
Elem.-Math., 3; Differentglg , 2: Renten- u. Versicherungsw., 2; Diffé- 
rent.- u. Integralrechn.. 2; Math. Seminar m. G. Huber. 2. — Ott : Inte- 
gralrechn., 2; Analyt. Geom. d. Ebene, II. Teil, 2. — G. Huber : Mechanik 
d. Himmels, 2 ; Fouriersche Reihen u. Integr. m. Anweud. auf d. Physik, 3; 
Théorie d. Raumkurven u. abwickelbaren Flachen, 2; Théorie u. Anwen- 
dung d. Determinanten, 1; Math. Seminar m. Graf, 1. — Benteli : Darst. 
Geom., Kurven. Strahlenfliichen, régal. Polyeder., 2; Darst. Geom., Ueb. 



NO TE S E T I) C l "M E XTS '.07 

m. Repetil., 2; Prakt. Geom., I. Teil. 1 ; Konstrukt. Perspektivé. 1. — Mo- 
si.k : Théorie d. Versicherungs-Reserven ; Malh.-versicherungsw. Seminar, 
2. — Crelier : Synth. Geom. d. Raumes. 2: Chapitres choisis de Géométrie. 
2. — Bohren : Anwendung best. Intégrale u. d. Versicherupgswesen, 2. 

Genève ; Université. — C. Cailler : Calcul différentiel et intégral, 3. Exerc. 
2 ; Mécanique rationnelle, 3 ; Conférences d'analyse, -■ Exerc. 2. — H. 
Fbhr : Eléments de mathématiques supérieures, 3. Exerc. 2 ; Géométrie 
projective, 1 : Conférences d'algèbre et de géométrie. 1 : Séminaire de Géo- 
métrie supérieure, 2. — R. Gautier: Astronomie générale, 2. — R. de Saus- 
sure : Mécanique des fluides. 1 ; Géométrie du mouvement, 2. 

Lausanne; Université. — Amstein : Calcul diff. et intégral; Exerc. : Théo- 
rie des fonctions. — Joly : Géométrie descriptive; Epures: Géométrie ana- 
lyt.; Géométrie de position: Courbes planes. — Mayor : Mécanique ration.; 
Exerc; Phys. mathem.; Statique graphique. — Maillard : Calcul infinité- 
simal appliqué aux sciences; Astronomie sphérique; Astronomie mathém. 
et mécanique céleste. — Jaccottet : Chap. choisis de la théorie des fonctions 
d une variable réelle. 

Neuchàtel ; Académie. — Isely : Calcul infinitésimal ; Géométrie supé- 
rieure. — Kollros : Algèbre supérieure. — Le Grand Roy : Astronomie; 
Elém. de mécanique céleste. — Jaquerod : Mécanique analyt.; Phys. ma- 
thém. — Gaberel : Problèmes de Mécanique; Th. des fonctions. 

Zurich ; Ecole polytechnique. — Section normale des sciences mathéma- 
tiques. — Hirsch : Differentialrechn., 4; Repet., 1; Uebgn.,2; Diff. gleichun- 
geu, 4; l'ebgn. dazu, 1; Lineare Diff. gleichungen, 2. — Franel : Calcul 
différentiel, \ ; Répét., 1 ; Exerc, 2 : Th. des équations différentielles. 4 ; 
Exerc, 1. — Geiser : Analyt. Géométrie, 4; Repet., 1. — Grossmann : Darst. 
Géométrie, 4; Repet., 1; Uebg., 4; Géométrie d. Lage, 4. — Lacombe : 
Géom. descript., 4 ; Répét., 1; Exerc, 4: Géom. de Position avec exerc. 3. 
— Hurwitz u. Lacombe : Mathem. Seminar, 2. — Hurwitz : Zahlentheorie, 
i. — Herzog : Mechanik II, 4; Repet., 1; Uebgn.,2. — Rosenmund : Ver- 
messungskunde, 3; Repet., 1; Erdmessung, 2; Geodiit. Praktikum, 2. — 
Wolfer: Einl. in die Astronomie. 3 : L'ebgn., 3 : Théorie der Finsternisse, 2. 

Cours libres : Beyel : Rechenschieber mit l'ebgn., 1 : Darst. Géométrie, 
2 : Projekt. Géométrie, 2. — Dumas : Calcul des probabilités, 2. — J. Kel- 
ler : Repet. d. darst. Géométrie, 2; L'ebgn. in Diff. u. Integralrechn. — 
Kraft: Geom. Kalkùl I, 2; II, 2; geschichtl. Entwicklung der Mathematik, 
1.1; Das graphische Rechnen. 

Zurich; Ùniversitât. — H. Burckhardt : Diff. u. lûtegralrechn., 4; Uebgn., 
1; Analyt. Mechanik, 2; Vektoranalysis, 2; Sem , 1. — Wolfer: (voir ci- 
dessusl. — Weiler : Darst. Geom. I. 4 : analyt. Géométrie, 4; math. Geo- 
graphie, 2. — Gubler : Alg. Analysis, 2; Sphar. Trigonométrie, 1; Deter- 
minanten, 1. 



BIBLIOGRAPHIE 



W. M. Baker. — Elementary Dynamics, vol. relié, 13 x 19 cm , 318 p. ; 
4 sh 6 ; Georges Bell and Sons, Londres. 

(Test la deuxième édition de ce petit traité. Yoiei une brève énumératiou 
des matières traitées dans les 23 chapitres : 

La vitesse, l'accélération ; composition des vitesses et des accélérations. 
Mouvement rectiligne et curviligne : mouvement des projectiles. 

Le travail, la puissance. — Le choc des corps. 

Les procédés graphiques sont largement employés dans l'étude des mou- 
vements variés et dans la balistique. 

Le livre donne une bonne idée de l'allure générale de renseignement de 
la dynamique en Angleterre. Chaque chapitre est accompagné de problèmes. 
Les solutions sont données dans un appendice 

O. I). Chwolson. — Traité de Physique, ouvrage traduit sur les éditions 
russe et allemande, suivie de Notes sur la Physique théorique par L. et 
K. Cosserat. — Tome Premier, en 3 fascicules, gr. in-8° ; 1 er fasc. 407 p., 
16 fr. ; 2 me fasc. 153 p., 8 fr. ; 3 me fasc. 312 p., 12 fr. — Librairie Her- 
maun. Paris. 

Ce traité de Physique a été traduit sur les éditions russe et allemande par 
M. Davaux ; il a été entièrement revu et augmenté par l'auteur. L'accueil 
qu'il rencontrera auprès des lecteurs de langue française sera certainement 
des plus favorables et nous tenons à insister tout particulièrement sur celte 
importante publication. On se trouve en effet en présence d'un traité moderne 
conçu sur un plan entièrement nouveau quant à la forme et au fond de l'exposé. 

L'ouvrage comprendra quatre volumes. Le premier volume de Ledit ion 
française est paru ; il a été publié en trois fascicules. Le premier fascicule 
(407 p.l débute par des considérations générales sur lobjet et les hypothèses 
de la Physique et sur les états de la matière : il est consacré à la mécanique 
générale et aux méthodes et instruments de mesure. Il se termine par une 
Note sur la théorie des intégrateurs par M. E. Davaux. C'est en quelque sorte 
nue introduction générale à l'étude de la Physique : nous la signalons parti- 
culièrement à l'attention des professeurs et des étudiants. Ils y trouveront 
entre autres, une excellente étude du mouvement vibratoire harmonique et de la 
propagation des vibrations par rayonnement, ainsi qu'une intéressante Note 
de MM. Eug. et Fr. Cosserat sur la Dynamique du point et du corps 
invariable. 

Voici les litres des chapitres de la mécanique: 

Du mouvement. — De la force. — Travail et énergie. — Mouvement vibra- 
toire harmonique. — Propagation des vibrations par rayonnement. — La 
gravitation universelle. — Eléments de la théorie du Potentiel. — La pesan- 
teur. — Dimensions des grandeurs physiques. — Note de MM. Eug. et Fr. 
Cosserat. 



BIBLIOGRAPHIE 409 

Les méthodes et instruments «le mesure donnent lieu aux chapitres suivants : 

Remarques générales sur les mesures physiques. — Quelques instruments 
auxiliaires. — Mesure des longueurs, des surfaces, des angles, des volumes, 
des forces et des masses, du temps, de l'intensité de la pesanteur et de la 
densité moyenne de la terre. — Note sur les intégrateurs. 

L'auteur passe ensuite, dans le second fascicule, à l'étude de l'état gazeux 
des corps, puis il consacre le troisième fascicule à l'état liquide et l état 
solide des corps. En voici les divisions : 

Etat gazeux des corps: La densité des gaz. — La tension des gaz. — Ba- 
romètres, manomètres et machines pneumatiques. — Corps à l'état gazeux 
au contact avec des corps à l'état gazeux, liquide ou solide — Principe de la 
théorie cinétique des gaz. — Le mouvement des gaz et leur dissociation. 

Etal liquide des corps : Propriétés fondamentales et constitution des 
liquides. — Densité, compressibilité et tension superficielle des liquides. — 
Cohésion el capillarité. — Dissolution des corps solides et des liquides. — 
Dilfusion et osmose. — Frottement à l'intérieur des liquides. — Mouvement 
des liquides. — L'état colloïdal. 

I. Etat solide des corps. — La matière à 1 état solide. — Densité des corps 
solides. — Déformation des corps solides. — Frottement et choc. 

Toutes ces questions sont présentées avec beaucoup de précision el four- 
nissent un très bon tableau de l'état actuel des recherches. L'auteur a tou- 
jours soin de les accompagner de nombreuses indications bibliographiques 
destinées à guider l'étudiant dans l'étude de sujets à approfondir. 

Il va de soi que l'auteur suppose connus du lecteur les éléments d'Analyse. 

Le second volume sera consacré à l'énergie rayonnante : le troisième 
traitera de la chaleur el le quatrième de l'électricité. 

H. F. 

Ch. Fabre. — Traité pratique de Photographie stéréoscopique. — 1 vol. 
gr. in-8°, 207 p. : 6 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

L'Enseignement mathématique a consacré une série de notes aux vues 
stéréoscopiques et à leur emploi dans les écoles. Il convient de les compléter 
en signalant encore cet ouvrage sur la photographie stéréoscopique. Il s'agit 
d'un traité pratique qui initie le lecteur d'une manière rapide et claire à 
1 obtention des images stéréoscopiques. Fauteur examine d'abord les appa- 
reils et leurs accessoires, puis il étudie les négatifs et les positifs stéréos- 
copiques, les épreuves en couleurs, ainsi que les appareils d'observation. 
Ces nombreux renseignements el conseils seront très précieux à ceux qui 
font de la photographie stéréoscopique. 

La préparation des vues stéréoscopiques par la photographie se perfec- 
tionne chaque jour et elle se développera toujours plus, grâce aux nouvelles 
plaques donnant d'une façon complète et absolument remarquable la photo- 
graphie des couleurs Le volume de M. Fabre est donc appelé à rendre 
d utiles services. 

W. Felgentraeger. — Théorie, Konstruktion und Gebrauch der feineren 
Hebelwage. — 1 vol.. VI et 310 p. gr. in-8°, 125 (ig., relié; 8 Mk. : Teubner., 
Leipzig. 

La balance de précision, qui parmi tous les appareils de mesure permet 
d'effectuer les comparaisons les plus exactes, forme le sujet de nombreuses 



ilu BI B LIO GR APHTE 

publications anciennes et récentes. En satisfaisant aux exigences toujours 
croissantes des différentes branches de la science et de la technique, la 
construction de ces instruments est arrivée à un haut degré de perfection- 
nement. Cependant et malgré 1 importance du sujet, la plupart des traités 
de physique et de mécanique, visant des buts plus généraux, se bornent à 
quelques indications théoriques et quelques descriptions sommaires. 

Le livre de M. Felgentraeger, réunissant en un seul volume les nombreu- 
ses questions de détail rattachées à ce sujet, fait donc œuvre utile et sera 
accueilli avec reconnaissance. Voici un résumé des matières traitées dans 
cet ouvrage: Théorie (statique et dynamique) de la balance. — Le fléau. — Axes, 
suspensions, plateaux. — Dispositifs des lectures. — Fourchette. — Méca- 
nismes pour poser, échanger, déplacer les poids — Ln cage. — Les ins- 
truments complets. — Emplacement, ajustement, détermination des limites 
d'exactitude et des constantes d'une balance — Pesées et méthodes de pe- 
sées. — Tables numériques. 

L auteur part d une théorie générale qui suppose les axes des plateaux 
et l'axe du fléau disposés d'une façon quelconque. L'équation d'équilibre à 
laquelle on parvient est fort compliquée. On la simplifie en admettant le pa- 
rallélisme et l'horizontalité des trois axes approximativement réalisés. En 
outre l'angle de déviation est supposé petit. L'auteur en néglige toutes les 
puissances supérieures à la troisième et il fait remarquer que pour les ap- 
plications, il suffit de tenir compte de la première puissance seulement. La 
discussion des conditions d'exactitude, de justesse et de sensibilité est ap- 
profondie plus qu'on ne le fait habituellement. 

Au point de vue dynamique l'auteur envisage l'oscillation de la balance 
comme résultant des oscillations des deux charges et de celle du fléau et il 
tient compte de l'amortissement. 11 résume ensuite les conclusions de la 
théorie complète en trois conditions, qu il trouve contradictoires. La réali- 
sationexactedes conditions théoriques est donc impossible, et c'est au construc- 
teur qu incombe la tâche dechercher une issue convenable.il le fera de diffé- 
rentes façons selon le but auquel la balance est destinée, c'est-à-dire suivant 
la grandeur de la charge maximum et suivant la précision exigée. 

A ces considérations théoriques se rattache 1 étude critique des diverses 
parties d'une balance. Nous ne suivrons pas 1 auteur dans cet exposé minu- 
tieux qui forme la plus grande partie de l'ouvrage, mais nous en recomman- 
dons la lecture. Le lecteur, même s'il n était pas d accord avec toutes les 
vues de l'auteur, puisera dans le livre des renseignements très variés et 
très intéressants sur le progrès réalisé à l'heure actuelle et sur des problè- 
mes dont la solution est réservée à l'avenir. A. Schidlof. (Genèvei. 

Ernest Lebon. — Géométrie cotée et Géométrie descriptive. Conforme 
aux Programmes du 27 juillet 1905, classes de première C et D. — 1 vol. 
in-8°, 190 p., 3 fr. ; Delalain frères, Paris. 

Nous avons déjà eu 1 occasion de signaler les ouvrages de Géométrie des- 
criptive de M. Lebon. Dans cette nouvelle édition, entièrement refondue, 
1 auteur a tenu à suivre l'ordre général des Programmes du 27 juillet 1905. 
Conformément à ces programmes l'ouvrage débute par les principes de Géo- 
métrie cotée ip. 1-50 1 ; la seconde partie est consacrée à la projection ortho- 
gonale sur deux plans : notions et problèmes concernant le point, la droite, 
le plan et les polyèdres. 



Hl BIAOGRAPH IE ',11 

Ce manuel constitue un excellent livre de texte dans une première étude 
de la Géométrie descriptive. Il prépare en même temps le lecteur au Traité 
de Géométrie descriptive du même auteur. H. F. 

Klein et Schimmack. — Der mathematische Unterricht an hôheren Schulen. 
Teil I : Von der Organisation das mat hem. Unlerrichts. — 1 vol. relié, 
in-8°, 236 p.; Teubner, Leipzig. 

On sait qu'en Allemagne L'enseignement secondaire supérieur fait en ce 
moment 1 objet d'études très approfondies auxquelles prennent part profes- 
seurs et savants des divers milieux intéressés, depuis l'enseignement élé- 
mentaire jusqu à l'université. Cette coopération donne une grande impor- 
tance aux débats ; il est réjouissant de constater qu'elle existe non seule- 
ment entre les divers degrés d'une même branche, mais aussi entre les 
brandies connexes. Il suffit de rappeler à ce propos les travaux de la com- 
mission d'enseignement nommée par les naturalistes et médecins allemands. 

M. Klein y a pris une part importante. Il estime avec raison que 1 Uni- 
versité doit collaborer à ces réformes et, après avoir pris position dans de 
nombreux débats publics, il a développé ces questions dans des conféren- 
ces universitaires qui ont été rédigées par M. Scliimmack. 

La première partie de ses Conférences sur l'enseignement mathématique 
dans les établissements secondaires donne un exposé d'ensemble de lorga- 
nisation de l'enseignement depuis les premières notions jusqu'aux mathé- 
matiques supérieures. L auteur compte pouvoir consacrer un deuxième vo- 
lume à certaines questions de renseignement de l'Arithmétique et de l'Algè- 
bre et un troisième volume à la Géométrie, de manière que les maîtres 
soient bien renseignés sur les développements et la portée de certains cha- 
pitres des mathématiques. 

Dans l'Introduction, l'auteur rappelle les récentes publications et confé- 
rences consacrées à ces réformes, puis il donne un tableau des différentes 
catégories d écoles en Prusse. Dans les chapitres suivants, il examine tour 
à tour l'organisation de l'enseignement des mathématiques dans les écoles 
primaires, dans les établissements secondaires supérieurs, dans les écoles 
de jeunes filles, dans les écoles techniques moyennes et dans les établisse- 
ments universitaires. Pour chacune de ces catégories, il étudie le plan 
d'études, les méthodes, les manuels, la formation des maîtres et les réfor- 
mes désirables à l'heure actuelle. L ouvrage se termine par la reproduction 
des rapports sur renseignement mathématique présentés à Breslau et à 
.Me ran. 

Il est inutile d'insister longuement sur la portée de ces conférences très 
documentées que nous nous empressons de signaler à tous ceux qui s'inté- 
ressent aux progrès de l'enseignement mathématique. H. F. 

Fr. Reidt — Anleitung zum mathematischen Unterricht an hôheren 
Schulen. 2 te Auflage, revidiert u. mit Anmerkungen versehen von Dr. H. 
Schotten. — 1 vol. in-8°, 269 p., G. Grote, Berlin. 

L ouvrage de Reidt sur la méthodologie des mathématiques est bien connu 
dans les pays de langue allemande où, depuis vingt ans, il fournit d'utiles 
conseils et renseignements à ceux qui débutent dans renseignement. Il a 
largement facilité la tâche du jeune maître en attirant son attention sur une 



412 BIBLIOGRAPHIE 

foule de points très importants dans la pratique de l'enseignement et, grâce 
à cette nouvelle édition, il continuera à rendre de nombreux services. 

Dans la première partie de 1 ouvrage, 1 auteur examine d'une manière gé- 
nérale ce que doit être l'enseignement mathématique dans les établissements 
secondaires et supérieurs : but et méthodes de cet enseignement. Puis dans 
une seconde partie, la plus développée, il passe en revue renseignement 
des différentes branches mathématiques, depuis larithmétique jusqu'aux 
éléments du calcul différentiel et intégral. 

Comme le fait remarquer très justement M. Schotten, qui a revu et an- 
noté cette édition, 1 auteur n envisage que le côté purement logique des ma- 
thématiques, tandis que de nos jours il y a lieu de tenir compte en outre 
des applications, dans une large mesure, alin de montrer comment les ma- 
thématiques interviennent dans d autres branches scientiliques. M. Schotten 
a tenu conserver à l'ouvrage sa forme primitive en se bornant a ajouter ça 
et là des annotations concernant principalement les nouveaux programme*. 

H. F. 

G. Yivanti. — Elementi délia teoria délie Funzioni poliedriche e modulari. 
— 1 vol. double in-16. V-433 p., de la collection des manuels Hoepli , 
3 L.. Ulrico Hoepli, Milan. 

MM. Poincaré et Klein, par leurs remarquables études sur les fonctions 
fuchsiennes et leurs profondes recherches touchant la théorie des équations 
différentielles linéaires, ont ouvert aux géomètres 1 un des plus beaux el 
des plus vastes champs d investigation de la science mathématique contem- 
poraine. Hermite, avec ses travaux sur les fonctions modulaires, et M. 
Schwarz, en considérant l'inversion du rapport de deux solutions de l'équa- 
tion hypergéométrique, avaient été des précurseurs. 

L élégant petit volume de M. Yivanti initie le lecteur à ces belles ques- 
tions : il 1 engage à pénétrer plus en avant dans le champ des fonctions polyé- 
driques et modulaires et lui fait prévoir la riche moisson de découvertes 
que promet létude approfondie des fonctions automorphes générales. 

Elémentaire, si l'on veut, ce livre suppose néanmoins une certaine matu- 
turité et exige que l'on soit au courant des principaux résultats de la théo- 
rie des fonctions, de celle des nombres, de la géométrie de situation et de 
l'algèbre supérieure. Il se compose de deux parties : la première traitant 
des groupes polyédriques et modulaire, la seconde, des fonctions correspon- 
dantes. 

L'intérêt de la première gît dans le fait qde M. Yivanti utilise systémati- 
quement, et autant qu'il le peut, des méthodes géométriques. Ce procédé 
enlève, il est vrai, peut-être un peu de leur rigueur aux démonstrations. 
Mais, rendues ainsi plus intuitives, elles plaisent davantage et paraissent 
finalement, toutes choses égales d'ailleurs, plus convaincantes. 

Au début, un exposé quelque peu sommaire et abstrait des propriétés 
générales des groupes finis, suivi de deux chapitres relatifs aux substitu- 
tions et pseudo-substitutions linéaires. Ce dernier terme désigne lopération 
appelée par M. Klein substitution de seconde espèce et dont le propre est 
de transformer un point quelconque en un autre, image du premier par rap- 
port à un cercle que définit lopération elle-même. Yiennent des considéra- 
tions sur les polyèdres réguliers convexes, dont l'existence est admise sans 
autre et dont les propriétés servent à la définition complète des groupes 



BULLETIN BIBLIO G B A P H I Q UE 413 

polyédriques existants. Une projection stéréographique, sur le plan de la 
variable complexe, permet d'aboutir ensuite aux expressions analytiques 
des substitutions de chacun de ces groupes. Pour terminer un dernier cha- 
pitre, fort détaillé et suffisamment étendu, consacré au groupe modulaire 
et à ses sou-groupes. L'auteur, conformément à ses principes, évite de 
s appuyer sur les propriétés du groupe arithmétique II préfère, au con- 
traire, aboutir à ce dernier après avoir pris comme point de départ le do- 
maine fondamental correspondant. 

La seconde partie comprend les fonctions qui se rattachent aux groupes 
précédents. L'auteur indique le moyen de les obtenir et après avoir étudié 
les relations auxquelles elles conduisent, fait voir comment elles intervien- 
nent dans la résolution des équations algébriques du troisième, du qua- 
trième et du cinquième degré. 

Le manuel clair, net et précis de M. Vivanli, est, d'après son propre dire, 
une introduction aux célèbres leçons de M. Klein sur l'icosaèdre et les fonc- 
tions modulaires, dont la lecture se trouve, de la sorte, grandement faci- 
litée. Il peut servir aussi de fil conducteur dans létude des mémoires ori- 
ginaux, qui, quels qu ils soient, sont toujours d'un accès assez difficile, 
lorsque l'esprit, au préalable, n'a pas appris à s'orienter. 

G. Dumas (Zurichl. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



Sommaires des principaux périodiques: 

American Mathematical Monthly, (The), published unter the Auspices of 
the University of Chicago, edited byB.F. Finkel, Hf.rb. Slaught & Léon 
E. Dickson. Vol. XIV, 1907. 

Bibliotheca mathematica. Zeitschr. f. Geschichte der mathem. Wissen- 
schaften, herausgegeben von G. Enestrôm. 3. Folge, Band 7, ïeubner, 
Leipzig. 

N°s 3 et 4. — T. L. Heath : The fragment of Anthemius on burning mir- 
rors and the « Fragmentum mathematicum Bobiense ». — Heinrich Suter : 
Ùber den Kommentar des Muhammed Ben Abdelbàqi zum zehnten Bûche 
des Euklides. — G. Enestrôm : Ûber zwei angebliche mathematische Schulen 
im christlichen Mittelalter. — G Enestrôm; Die geometrische Darstellung 
imaginàrer Grôssen bei Wallis. — Gino Loria : Curve piane speciali nel 
carleggio di C. Huygens (270-281). — G. Enestrôm. A. Sturm, C. Grônblad : 
Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Canlor's « Vorlesungen ùber 
Geschichte der Mathematik. — J. L. Heiberg und H. G. Zeuthen : Ei»e neue 
Schrift des Archimedes. — Yoshio Mikami : Zur Frage abendlandischer 
Einflùsse auf die japanische Mathematik am Ende des siebzehnten Jahr- 
hunderts. — H. Bateman : The correspondence of Brook Taylor. — G. Ene- 
strôm : Ùber Bildnisse von Leonhard Euler. — David Eugène Smith : A 
mathematical exhibit of interest to teachers. — F. Rudio, G. Enestrôm, 



414 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

A. Favaro : Kleine Bemerkungen zur zwoiten Auflage von Cantons « Vor- 
lesungeu ùber Geschichte der Mathematik ». — Vermischte historische 
Notizen. — Anfragen. — Rezensionen. — Neu erschienene Schriften. — 
Wissenschaftliche Chronik. 

Bulletin de la Société Mathématique de France. T. XXXV. Paris. 

Fasc. 1. — Etat de la Société Mathématique de France au commencement 
de l'année 1907. — Règlement voté à l'Assemblée générale, le 20 juin 
1888, modifié à la séance du 10 janvier 1907. — L. Lecornu : Sur 1 extinc- 
tion du frottement. — G. Fontené : Extension à l'espace du théorème des 
polygones de Poncelet par des polyèdres réticulés. — Ed. Maillet : Sur 
diverses propriétés des nombres transcendants de Liou ville. — Félix Lucas : 
Note relative aux points d'intersection des courbes algébriques. — L. Rem y : 
Sur une famille dénombrable de surfaces hyperelliptiques du quatrième 
ordre. — Ch. Bioche : Sur les surfaces du troisième et du quatrième ordre 
qui admettent pour ligne asymptotique une courbe de quatrième ordre et 
de quatrième classe. — T. Lalesco : Sur le groupe des équations trinômes. 

— A. Pellet : Construction des rayons de courbure d'une classe de courbes 
et de surfaces. 

Fasc. 2. — Goursat : Sur les séries entières et les approximations suc- 
cessives. — Lecornu : Sur une généralisation du mouvement de Poinsot. — 
Barré: Sur un élément géométrique nouveau des surfaces. — Auric : Sur 
le développement en fraction continue d'une irrationnelle ambiguë du second 
degré. — Niewenglowski : Sur les équations 

x* — flv 2 =zl et .»- — «)*= — 1. — 

Appell : Sur l'extinction du frottement. — Popovici : Sur le problème des 
multiplicateurs réciproques. — de Sparre : Note au sujet de certaines dis- 
continuités apparentes dans les mouvements où intervient le frottement de 
glissement. — Comptes rendus des séances. 

Bulletin des Sciences mathématiques, rédigé par G. Darbodx, E. Picard. 
J. Tanhert. — Tome XXXI. 1907. Paris. Gauthier- Villar s. 

Janvier-juillet 1907. — G. Darboux : Sur deux mémoires de Poisson rela- 
tifs à la distribution de l'électricité. — G. Koenigs : Sur la formule d'Euler 
Savary et sa construction géométrique. — A. Miller : Sur les équations 
intégrales. — Lalesco : Sur la dérivée des potentiels de simple et de double 
couche. — R. Baire : Sur la non-applicabilité de deux continus à // et // -f- p 
dimensions. — Bou.mtzki : Un système particulier d'équations intégrales. 

— A. Buhl : Sur de nouvelles applications de la théorie des résidus. — 
W. YVirtinger : Sur le théorème de M. Hadainard relatif aux déterminant. 
Comptes rendus et analyses. — Revue des publications académiques et 
périodiques. 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, in Monatsheften 
herausgegeben von A. Gutz.mer in Jena.-B. 16, J907 : B.-G. Teubner, 

Leipzig. 

1. Heft. — Satzungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — Ver- 
zeichnis der Mitglieder der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — Vor- 
stand der Deutschen Mathematiker-Vereinigung fur das Jahr 1907. — 
Kassenbericht. — Alfred Pringsheim : Uber das Fourier'sche Inteerraltheo- 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 415 

rem. — Fr. Meyer : Anwendung des erweiterten Euklid'schen Algorithmus 
auf Resultantenbildungen. — Georg. Landsberg : Ùber die Totalkrummung. 

— W. Sohlink : Ùber Stabilitàtsuntersuchungèn von Raumfachwerken. — 
A Voss. — Zur Erinnerung an Gustav Bauer. 

2. Heft. — Otlo Blumkxthal : Ùber ganze transzéndente Funktionen — G. 
Faber : Uber Reihen nach Legeudres schen Polynomen. — Paul Koebe : 
Ûbee konforme Abbildung mehrfach zusammenhàngender ebener Bereiche. 

— G. Hessenberg : Poteuzen transfiniter Orduungszahlen. — Eugen Meyek : 
Ùber die Analogie zwischen der Géométrie der Punktprojektivitalen einer 
Geraden and der Géométrie der Kreise eiuer Ebene. — Oskar Perron : 
Was sind und sollen die irrationalen Zahlen? — E. Lampe : Rede zur Enthùl- 
iungsfeier des Hauck-Denkmals. 

:; ii. i. Heft. — Félix Mùller : Bibliographisch-Historisches zur Erinn- 
erung an Leonhard Euler. (Mit dém Bildnis Leonhard Eulers als Titelbild). 

— C. Juel : Ùber nicht-analytische Raumkurven. — R. v. Lilientual : 
Ùber ebene Kuivennetze ohne Umwege. — P. Stâckel : Ùber Potenzreihen 
von mehreren Verânder lichen. — F. Hartogs : Ùber neuere Untersuchun- 
gen aul dem. Gebiete der analytischen Funktionen mehrerer Variabeln. — 
M. Kkaise : Ùber die Darstellung der sletigen Funktionen durch Reihen 
vmi ganzen rationalen Funktionen. — Reinhold Mùli.er : Polbestimmung 
fur Verzweigungslagen bei der Bewegung eines ebenen àhnlich-verander- 
liehen Systems in seiner Ebene, — H.-E. Timerding : Wilhelm Ritter. — 
A. Voss : Mitteilungen und Nachrichten. — Literarisehes. — Berichtigungen 
zum Nekrolog. « Zur Erinnerung an Gustav Bauer. 

A signaler, en tête du n' 1 ip. XXIII-LIV), l'annuaire détaillé des mem- 
bres, au nombre «le t>7U cl contenant pour chacun d'eux la date de naissance 
avec des indications sur les études suivies et sur les fonctions dans l'ensei- 
gnement, 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von K. 

Hexsel, Georg Reimer, Berlin 

Band CXXXII. Heft 1 u. 2. — Georg Landsbekg : Ùber Reduktion von 
Gleichungen dureh Adjonktion. — Michael Bauer : Zur allgemeinen Théorie 
der algebraischen Grossen. — Michael Bauer : Ùber Gleichungen ohne 
Affekt. — Rudolf Rothe : Untersuchungeu ùber die geodatische Abbildung 
zweier Flàehen konstanten Krùmmungsmasses auf einander. — M. Lange : 
Die Verteilung der Elektrizilat auf zwei leitenden Kugeln in einem zu ihrer 
Zentrallinie symmetrischen elektrostatischeu Felde. — P. Kokott : Yerall- 
gemeinerung eine Satzes von Gudermann ùber spharische, einander berùh- 
rende Kreise. — J. Schur : Untersuehuugen ùber die Dai-stellung der 
endliehen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. — IViels 
Nielsen- : Sur les séries de fonctions cylindriques. — L.-W. Thomé : L ber 
eine Anwendung der Théorie der linearen Differenlialgleichungen in der 
Variationsrechnung. — C. Kostka : Bemerkung<'n ùber symmelrische 
Funktionen. 

N" 3. — H. Webkr : Ueber zyklische Zahlkorper. — E. R. Neumann : 
L'eber eine neue Reduktionsmethode bei hydrodynamischen Problemen. — 
M. Stlyvaert : Congruences de triangles cubiques gauches et autres variétés 
annulant des matrices. — E. Jacobsthal : Ueber die Darstellung der Prim- 
zàhlers der Form + n -\- l als Summe zweier Quadrale. 

N° i. — L. Schi.esinger : Zur Théorie der linearen Differentialgleichungeu. 



416 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

— R. F'ceter : Die Théorie der Zahlstrahlen II. — Félix Bernstein : Zur 
Théorie der trigonometrisehen Reihen. — R. Heger : Zur Géométrie auf 
der Kugel. — Ose. Perron : Neue Kriterien fur die Irreduzibilitat algebrai- 
scher Gleichungen. — Preisaufgabe der fûrstlich Jablonowski sehen Gesell- 
schaft fur 1910. 

Mathesis, Recueil mathématique publié par P. Mansion et J. Neuberg. Série 3. 
Tome VII, 1907. Gand, Hoste ; Paris, Gauthier-Villars. 

Janvier-Mai 1907. — M. Bertrand : Exposé élémentaire du mouvement 
elliptique des planètes. — Pî. Agroxomof : Sur un quadrangle orthogonal. — 
C. E. Wasteels : Formule relative à certains volumes dans les quadriques 
à centre. — A. Claeys : Sur des points d inflexions que l'on rencontre en 
stéréotomie. — A. Aubry : Notes historiques et analytiques. — J. IVeu- 
bekg : Involution et évolution. — J. Nelbkrg : La trisection de Maclaurin. — 
J. Tv.mmers : Sur les transversales angulaires d'un triangle. — C. Servais : 
Sur les quadriques homofocales. — Xoaillon : Résolution graphique de 
1 équation du troisième degré. 

Mémoires de la Société royale de Liège. 3 e série, T. VI. 

J. Fairon : Sur la représentation de la forme biquadratique binaire. — 
N. Stuyvaert : Sur les points singuliers des lieux géométriques. — J. Fai- 
ron : Remarques sur un faisceau de coniques. — A. Vkkslvts : Sur les 
nombres pluckérieus de la courbe d intersection de deux surfaces algébri- 
ques possédant des courbes doubles. — Kaptevn : Recherches sur les 
fonctions cylindriques. — G. Cesaro : Trajectoire lumineuse et distance 
zénithale dans une atmosphère fournie de couches planes parallèles. — A. 
Versluys : De 1 influence d'un contact ordinaire ou stationnaire de deux 
surfaces sur la développable circonscrite à ces deux surfaces. — W. Kap- 
tevn : Sur un calcul numérique d une série. — G. Cesaro : Centre de gra- 
vité du triangle sphérique. — A. Gol : Sur l'hypocycloïde à trois rehaus- 
sements. — Neuberg : Sur l'hypocycloïde à non rebroussements. 

Monatshefte fur Mathematik u Physik. herausgegeben von G. v. Esche - 
rich, F. Mertens u. W. Wirtinger. — T. XVIII, 1907; Eisenstein u. C° : 
Wien. 

Fasc. 3 et i. — P. Roth : Ueber Beziehungen zwischen algebrâischen 
Gebilden vom Geschlechte zwei und drei. — J. Ple.melj : Ueber lineare 
Randwertaufgaben der Potentialtheorie. — J. Nevberg : Ueber orthologische 
Tetraeder. — G. Pick : Ueber die zu einer ebenen algebrâischen Kurve 
gehôrigen transzendenten Formen und Differentialtrleichungen. — V. Fvr- 
lan : Ueber das Merteussche Postulat | a in) | <i \/^î~ — L. Klug : Ueber 
die Orte der Punkte. avis welchen ein Kreis durch spezielle Kegel projiziert 
wird. — E. Oekinghaus : Die Rolationsbewegunsjen der Langgeschosse 
wiihrend des Fluges. — P. Ernst : Ein Analogonzur Mannheimschen Kurve. 

— G. Pick : Zur Théorie der hypergeometrisehen Intégrale am elliptischen 
Gebilde. 



ETUDE ELEMENTAIRE 
SUR LE THÉORÈME DE FERMAT 



Non hic... qui abaco numéros... 
scit risisse. Pers. I. 



Première Partie. 
L'Arithmétique avant Fermât. 

Le théorème de Fermât marque une ère décisive dans 
l'histoire de la théorie des nombres. Jusque là, celle-ci était 
surtout algébrique et consistait principalement dans l'analyse 
indéterminée et dans la recherche et les applications des 
identités, ce qui n'est qu'une partie, — importante il est 
vrai, — mais accessoire de cette science. Un coup d'œil sur 
l'histoire île l'arithmétique pure avant Fermât fera mieux 
sentir l'importance des découvertes de ce grand géomètre *. 
Il fournira une introduction historique au théorème de Fer- 
mât dont nous donnerons une étude élémentaire dans un 
prochain article. 

C'est dans l'école de Pythagore que paraissent avoir été 
émises les premières considérations, — probablement plu- 
tôt senties que raisonnées, — sur les nombres premiers ou 
composés, les nombres parfaits, amiables, etc., ainsi que sur 
les irrationnelles et les formes quadratiques, dont l'avène- 
ment fut préparé par diverses remarques sur les développe- 
ments des produits [a ± b) 2 et ia -\- b)(a — b). et par diffé- 

1 Si nous écrivions une histoire de la théorie des nombres, il y aurait lieu de signaler celles 
des nombres figurés, des nombres polygones, des suites sommables, des combinaisons, des 
différences, de la formule du binôme, des suites récurrentes, des fractions continues, de la 
théorie des équations, toutes choses que la théorie des nombres met à contribution. Mais notre 
but est beaucoup plus modeste et ne vise que l'arithmétique proprement dite. 

2 Les trois entiers x, y, z forment ce qu'on appelle un triangle rectangle en nombres entiers, 
ou simplement un triangle; a: et y en sont les cathètes, z, V hypoténuse. Les Egyptiens 
s'étaient bien aperçus que le triangle 3, 4, 5 est rectangle, mais c'est Pythagore qui parait 
avoir démontré et généralisé cette proposition arithmético-géométrique. 

L'Enseignement mathém.. 9 e année : 1907. 28 



418 A. AU un Y 

rentes solutions de l'équation x 2 + y 2 = z 22 . On voit donc 
posés, dès cette époque, les deux grands problèmes de la 
théorie des nombres: la composition arithmétique des nom- 
bres et leur représentation par mie forme. Les premiers 
théorèmes étaient d'abord de simples remarques évidentes 
trouvées fortuitement; de nouvelles propositions moins évi- 
dentes durent être justifiées pour en montrer la généralité; 
et c'est ainsi que peu à peu se créa le mode de présentation 
des théories, mode qui acquit toute son ampleur chez Eu- 
clide, et est encore suivi aujourd'hui dans les livres élémen- 
taires. 

Toutefois cette arithmétique se ressentait de son origine 
géométrique : privée des secours de l'algèbre symbolique, 
elle empruntait celui de la géométrie; aussi les énoncés abs- 
traits étaient-ils traduits graphiquement, et les démonstra- 
tions, tout intuitives, facilitées par des raisonnements sur 
des figures, ce qui empêchait la généralisation des théo- 
rèmes. D'autre part, l'absence d'une bonne méthode de nu- 
mération rendait très difficiles les opérations numériques et 
par suite l'étude des propriétés des nombres. On doit donc 
d'autant plus admirer la théorie complète et rigoureuse de 
l'arithmétique élémentaire qu'Euelide a insérée dans ses 
Eléments et dont nous allons rappeler seulement les énoncés. 

VII. 1. Etant donnés deux nombres, retranchons le plus pe- 
tit du plus grand; agissons de même sur le reste et le plus 
petit; et ainsi de suite: si nous arrivons au reste 1, les deux 
nombres proposés sont premiers entre eux . 

2, 3. Trouver la plus grande commune mesure de deux 
grandeurs, de trois grandeurs. 

5, 7. Ttntt diviseur de a et de b divise a + b et a — b. 

If), ab = ba. 

23, 24, 25. Si a et b sont premiers entre eux, il en est de 
même de ac et de bc, et réciproquement. De plus tout diviseur 
de a est premier avec b. 

26. Le produit de deux nombres premiers avec un troisième 
l'est avec ce dernier. 

27. Si a et b sont premiers entre eux, tout multiple de a l'est 
avec b. 



THEOREME DE FERMAT U9 

28. Si a et b sont respectivement premiers avec « et /3, a« 
/'es* «cee b/3. 

29, 30. Si a e/ b sont premiers entre eux, il en est de même 
de a n et de b", ainsi (pie de a + b et de a. La réciproque est 
vraie. 

31. 7o/// nombre premier est premier avec un nombre qui 
n'en est pas multiple. 

32. Si un nombre premier divise ab, il divise a ou b. 

35, 36, 38. Trouve/ 1 le p. p. c. ni. de plusieurs nombres. 
37. Le p. p. c. m. de deux nombres divise tout multiple de 

l'un quelconque de ces nombres. 

41 . Trouver le plus petit nombre ayant des diviseurs donnés. 

IX. 12. Tout nombre premier qui divise a n divise a. 

13. Si p est premier, aucun nombre plus petit ne divise p n . 

14. Le produit de plusieurs nombres premiers n'est divisible 
par aucun autre nombre premier. 

I."). Si les trois nombres a, b, c sont premiers dans leur en- 
semble, et que b a = ac, chacun d'eux est premier avec la 
somme des deux autres. 

20. Les nombres premiers sont en plus grand nombre qu'un 
nombre quelconque (en nombre illimité) 1 . 

21 à 34. Théorie des nombres pairs et des nombres im- 
pairs. 

36. Si 2 n — 1 est un nombre premier, son produit par 2 n ~ l 
est un nombre parfait. 

X. Ce livre est consacré à la théorie des irrationnelles de 
la forme \/a -+- \/b, théorie qui a perdu tout intérêt depuis 
l'adoption de la représentation algébrique des identités. Elle 
se ramène aux divers cas de la relation 



la + [/a 2 — b 2 , la - [/a 2 — b 2 ,- , ._ 

On y Irouve aussi ce qui suit : 

29, lemme 1. La solution générale du triangle est 

x = ka 2 — tcb 2 , y = ïkab , c = ka 2 + kb 2 . 



1 La démonstration de ce théorème, qui repose comme on sait sur la considération de l'ex- 
pression 2.3.5.7. Il .13. 17 ... />-)- 1. témoigne qu'Euclide savait que celle-ci peut ne 
pas représenter un nombre premier 



420 A. AUBRY 

117. La diagonale du carré est incommensurable avec le 
côté. Supposons qu'on puisse représenter le rapport de ces 
deux grandeurs par celui des deux nombres a et b, qu'on 
peut supposer premiers entre eux : on aura a 2 = 2b 2 , ce qui 
demande que a soit un nombre pair 2a, et par suite que b 
soit impair. On aurait ainsi 4a 2 = 2b 2 ou 2a 2 == b 2 et b serait 
pair. Le nombre b serait ainsi pair et impair, ce qui démontre 
l'absurdité de la supposition. 

Après Euclide, on peut citer : la sommation de 2n et de 
In 2 , par Archimède; les études de ce dernier et d'Apollonius 
sur la numération; le crible d'Eratosthène; et ces théorèmes, 
probablement pythagoriciens, recueillis par divers auteurs : 

2n 3 = (In 2 . (Epaphroditus.) 

St n + 1 est un carré. (Plutarque.) x 

Si on partage les nombres impairs en groupes de 1, 2, 3, ... 
termes, la somme de chaque groupe est un carré. (Nicomaque.) 

La somme de deux triangulaires successifs est un carré. 
(id.) 

Tout carré est de l'une des formes 3 ou 3 + 1 2 et de l'une 
des formes 4 ou 4 + i. Théon de Smyrne.) 

T r ± - 13 7 17 a la -f- a , 

Les tractions T , ■» , - , t-. , ... - , — : — .... tendent en os- 
1 1 ' 2 5 ' 1 2 a a + « 

cillant vers la valeur de \/2 . (id. 3 ) 

Si on additionne les chiffres de la somme de trois entiers 
consécutifs dont le plus grand est un multiple de 3, puis les 
chiffres de cette somme, et ainsi de suite, on arrivera au 
nombre 6. Jamblique.) 

Quoique Diophante ait traité exclusivement par l'algèbre 4 
les questions qui nous sont restées de lui, il a au plus haut 
point servi la cause du progrès de l'arithmétique: d'abord en 
suggérant diverses théories sur l'existence ou le nombre des 
solutions de ses problèmes, dont la plupart sont de véri- 



n(n + 1) 
1 t représente le « e triangulaire, : . 

a Multiple de 3 ou multiple de 3 augmenté de 1. 

3 Ajoutons que c'est chez Théon qu'on voit la première idée des carrés magiques. 
1 Son artifice le plus emplové consiste à ramener le problème à rendre carré le nombre 

ii* — b 
a» + ax + b : il égale cette expression à la; 4- »)», ce qui lui donne x = — — — —, » étant un 

nombre entier arbitraire. C'est la première idée f'e la méthode des coefficients indéterminés. 



TH EOR ÈME DE FE R MA T V2 1 

tables théorèmes sur diverses équations quadratiques indé- 
terminées ', souvent très difficiles et même encore aujourd'hui 
inaccessibles à toute démonstration ; — ensuite par sa consi- 
dération des formes des diviseurs numériques. Il sait en ef- 
fet qu'un nombre 2n -f- 1 ne peut être une somme de deux 
carrés si \\ est impair; en outre il parait admettre qu'on peut 
décomposer un entier quelconque en une somme de quatre 
carrés (IV, 31) et savoir que les diviseurs d'une somme de 
deux carrés premiers entre eux sont de la forme linéaire 4 -f- 1 
et de la forme quadratique x 2 + y 2 , car il dit (V, J2 qu'un 
nombre impair ne peut être une somme de deux carrés qu'au- 
tant que, divisé par son plus grand facteur carré, le quo- 
tient n'est pas de la forme 4 — i, et (VI, 15) que l'équation 
15x 2 — 36 = v 2 ne peut avoir lieu parce que 15 n'est pas la 
somme de deux carrés. — Il tente de résoudre ce problème : 
de combien de manières un nombre donné peut-il être poly- 

sone, c'est-à-dire de la forme - -^ ? Il connaît 1 iden- 

tité de Fibonaeci, car il observe (III, 22) que 65 peut se dé- 
composer en deux carrés de deux manières différentes, 
parce que ce nombre est le produit de deux sommes de deux 
carrés. Il donne d'ailleurs plusieurs identités algébriques 
intéressantes, mais dont l'arithmétique ne saurait tirer parti. 
Les Indiens ont beaucoup cultivé l'analyse indéterminée 
des deux premiers degrés; leurs méthodes étaient du reste 
plus générales que celles de Diophante, qui se contentait 
d'une seule solution; et en outre ils recherchaient des solu- 
tions entières, tandis qu'il suffisait au célèbre Alexandrin 
que la sienne fût rationnelle. Au point de vue qui nous 
occupe, il convient de citer: la résolution des équations 
ax — by = c et x 2 — ay 2 = 1 au moyen des fractions conti- 
nues, résolution qu'ils semblent avoir toujours crue pos- 
sible ; cette remarque que l'équation ax 2 — y 2 = 1 n'est 
possible que si a est la somme de deux carrés, et la méthode 
pour passer de la solution de l'équation x 2 — ay 2 = L à ce'lles 
de x 2 — ay 2 = b. Ces découvertes se trouvent, la première 



1 Telles que la suivante: Trouver trois nombres tels qu'en augmentant ou diminuant leur 
somme de chacun d'eux, on obtienne six carrés. 



422 A. AUBRY 

chez Aryabhata, les autres chez Brahmegupta. qui en sont 
peut-être les auteurs. C'est chez les Indiens qu'ont proba- 
blement pris naissance la preuve par 9 et celles par 7 et par 
11: la considération des résidus de puissances leur était du 
reste familière. 

L'arithmétique est redevable de quelques progrès aux 
Arabes : ainsi Thebit ben (Korra a donné cette formule de 
nombres amiables : 

(3 . 2" — Il (3 . 2"-' — I| 2" et |9 . 2" -1 — li 2" ; 

et un autre auteur dont le nom est inconnu, cette remarque 
que toute hypoténuse est de l'une des formes 12 + 1, 12 -f- 5, 
et l'identité 

Ur + h 2 r ± bab (a* — /> 2 i = (a 2 — b 2 ± 2ab\ 2 

comme solution des équations simultanées 

x* -(- r — z 2 , .* 2 — y =: if 2 , 

ou de l'équation unique 2x 2 = z 2 + l{ ' 2 - Diophante a été 
connu d'eux vers l'an mil: c'est ainsi que Al-Kadjandi a an- 
noncé l'impossibilité de décomposer un cube en deux autres 
cubes '. 

Les premiers algébristes italiens s'instruisirent chez les 
Arabes, qui certainement ont quelque part dans les nouveau- 
tés que Léonard de Pise (Fibonacci) a fait connaître en Eu- 
rope. Toujours est-il que c'est dans le Liber abaci de ce 
dernier qu'on voit pour la première fois cette règle, de divi- 
ser un nombre par tous les nombres premiers inférieurs à 
sa racine carrée, pour s'assurer s'il est premier; et la célèbre 

série récurrente 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 3o dont il définit les 

termes par le dénombrement mensuel de couples de lapins, 
en supposant que chaque couple en produit un autre à l'âge 
de deux mois et disparait ensuite ; — et dans son Liber Qua- 
dratorum, que la différence des carrés de deux nombres im- 
pairs consécutifs est un multiple de 8; l'identité célèbre de 
laquelle il résulte que le produit de deux sommes de deux 



1 Diophante avait montre qu'un carré peut toujours se décomposer en deux carrés entiers 
ou fractionnaires, et parait avoir tenté d'étendre ce théorème aux cubes. 



T II E R È M i, l> E F E R M AT '. 23 

carrés est, de deux manières différentes, la somme de deux 
carrés; que la raison de trois carrés en progression arithmé- 
tique, laquelle est de la forme kabia* — b 2 ), est un multiple 
de 24 et qu'elle ne saurait être un carré; enfin qu'on ne sau- 
rait avoir à la fois 

x 3 _|_ v 2 _ .2 et yl _ ,2 __ ,,,2 

ni avoir 

a « — y* = z* . 

Ces trois dernières affirmations ont été données sans 
preuves satisfaisantes : Fermât les a retrouvées et démontrées. 

On voit, dans Planude, l'équivalent de la formule A 4 // 4 
= 24; — dans Campanus (Prœcl. liber elem. Eucl. Venise, 
1482 , la première idée de la méthode retrouvée par Fermât 
et appelée par lui la descente infinie 1 ; — dans Paeiolo [Summa 
de Aritmetica, Venise 1494), la publication de diverses études 
de Fibonacci et des Arabes; — dans Charles de Bouvelles 
(Opuscula, Paris, 1511), ces deux théorèmes : les nombres 
parfaits sont de la forme 9 + 1 et tout nombre premier est 
de l'une des formes 6 =b i (2) ; — dans Stifel (Arithmetica inté- 
gra, Nùrnberg, 1544), plusieurs théorèmes, dont les sui- 
vants : les deux nombres 220 et 284 sont amiables; la formule 
2.4" — l ne donne que des nombres premiers* ; n étant pre- 
mier avec 3, on a : 

2 2 " 3 * — i 

Z 1 = 0* : (mod. 7) 



2- - 1 
tout entier est de la forme a + 3b + 9c + 27d + 81e + ... , 
les coefficients a, b, c, ... pouvant prendre les valeurs — 1, 



1 Campanus démontre géométriquement ainsi qu'aucun nombre ne peut être divisé en moyenne 
et extrême raison: en posant 

(OC) a ~*~ = — et a > è , a— b = c , b — c = d , c — d = e,... 

a b 

on aura successivement 

JL=t et b>c , h - = L et c>d , ... 

b c ^ c d ^ 

on pourra ainsi trouver une suite indéfinie d'entiers décroissants et répondant à la question 
Or une suite d'entiers positifs ne peut décroître indéfiniment. L'égalité («) est donc impossible 
enjnombres entiers. 

Ce passage tout à fait inconnu a été remarqué pour la première fois par Genocchi. 

* Int. Math. 1894, p. 122. Voir Ed. Luces, Th. des n. (Paris, 1891), p. 424. 

* Théorème inexact. On sait qu'aucune expression algébrique finie ne peut représenter que 
des nombres premiers. (Euler.) 

* « Septenarius, quemlibet numerum componit et numerat, qui colligitur ex tribus, sex, no- 
uem, aut duodecim terminis, proportionalitatis duplœ, quadruple?, aut sedecuplœ. » 



424 A. AUBRY 

0, 1; enfin une méthode de recherche d'un nombre pensé 
qu'on peut rendre par cette remarquable relation 



1, R _ 4. „«R 



1 
— = X 



a la -J- Il 
x étant inférieur a a (a + 1), et le symbole R- désignant le 

reste de la division de .r par n l . 

Bachet, dans la première édition de ses Prob. plaisants et 
dél. (Lyon, 1612, annonçait la solution de l'équation ax — 
by = c, a, b et c étant premiers entre eux; il la donne dans 
la seconde édition, publiée en 1624, et démontre l'existence, 
la périodicité et le calcul des solutions, en faisant voir que 

si b est premier avec a, les valeurs de R y sont toutes dif- 
férentes, de x = 1 à x = b — 1, et se reproduisent ensuite 
périodiquement 2 , et que la relation ax — by = c entraine 

cette autre ( R y) x — by = c . 



1 Cette fonction ne nous parait pas avoir été étudiée systématiquement jusqu'ici ; elle semble 
cependant devoir conduire à des exercices intéressants. Ainsi 

a b a A- b 

R_ + R_ = R^T— imod. hi 

n n n 

„ a r b „ ab 

R - R — = R _ imod. n) 

n n n 

*r! 



a>6>R-r>R-— >R — > R > 



R IT 



iRinet. 



b *i R i 

a>fc>R— >R >R ;— > R >•• (EucKde.) 

Rt R — Rr 

h Ri R 



R^ 



b ' b b 

core été étudiée. 

a Dans notre dernier article, nous avons omis de dire que le lemme fondamental est de Ba- 
chet Ens. Math. 1907, p. 286t. 



THÉORÈME DE FERMA T 125 

Bachet a encore rendu un service éminent à la science 
des nombres, par sa publication du Diophante (Paris, 1621), 
qu'il a traduit en latin et commenté. Parmi ses remarques, 
nous mentionnerons ce théorème qui porte son nom : tout 
entier est la somme de quatre carrés au plus l , et qui a eu 
des conséquences importantes. 

Mais c'est surtout à Frénicle que revient l'honneur d'avoir 
ouvert les nouvelles voies où devait s'illustrer Fermât. On 
connaît quelques-unes de ses découvertes par les Lettres de 
Descartes, les Varia Opéra de Fermât et ses traités arithmé- 
tiques publiés seulement en 1729. Citons les théorèmes et 
problèmes suivants : 

Il y a toujours l'une des cathètes d'un triangle qui est mul- 
tiple de 3, et une qui est multiple de 4. L'un des trois côtés 
est multiple de 5. La somme et la différence des cathètes est 
de l'une des formes 8 rfc 1. 

Trouver le plus petit nombre qui soit n fois hypoténuse. 
Trouver \\ triangles ayant même surface. 

11 paraît avoir remarqué avant Fermât la méthode de la 
descente infinie, l'impossibilité de la surface d'un triangle 
d'être représentée par un carré, la propriété des nombres 
premiers de forme 4+1 d'être la somme de deux carrés, et 
divers problèmes d'analyse indéterminée. Sa méthode de dé- 
monstration était un tâtonnement ou exclusion méthodique, 
qu'il indique par des exemples et qu'il employait très habi- 
lement. Une très grande pratique étant nécessaire pour l'em- 
ploi de cette méthode, il paraît peu utile de la mentionner 
autrement. 

Descartes, dans la solution de plusieurs problèmes qui lui 
furent proposés, a montré ce qu'il eût pu produire s'il avait 
cultivé l'arithmétique. Outre la solution de plusieurs ques- 
tions diophantines, il fait voir (Lettres, Paris, 1667) que les 
nombres 4 — 1 ne peuvent être des carrés ni des sommes de 
deux carrés ; que les nombres 8 — l ne peuvent être des car- 
rés ni des sommes de deux ou de trois carrés ; que si 3a — 1, 
6a — l et 18a 2 — 1 sont des nombres premiers, le nombre 
2a (18a 2 — l) et la somme de ses diviseurs sont amiables 1 ; que 



1 Théorème laissé sans démonstration jusqu'à Lagranjre. 



426 A . A UB R Y 

si aa = (3 + 4k)a (2) et que a soit multiple de 3 et non de 9, 
on a 

a 1 a 

a — ; 



8 2 + 3* 3 
que si a es/ multiple de 3 e/J 7>o/j r/e 45, et que a = — o-a, o/> « 

que si a es/ multiple de 3 7;?«/s «o/> <r/e 819, et que a = -^ o-a, 



cw « 



273rt = - oi 273a | ; 



que si a n'est divisible ni par 31, ni par 43. rei /*<zr 127. ni 
par 1024, cw a 

Art Brt 



ffiAai a i Br/ 1 



43 . 127 . B = 31 



théorèmes qui servent de types et permettent de multiplier 
indéfiniment les solutions des nombres aliquotaires 5 . On voit 
dans les mêmes Lettres qu'en 1638, de S ,e Croix, autre arith- 
méticien insigne, connaissait le théorème des nombres po- 
lygones, extension de celui de Bachet ; que Descartes savait 
que les seuls nombres parfaits pairs sont ceux d'Euclide et 
que, s'il y en a d'impairs, ils sont de la forme pp' 2 p " 2 ■ ■■ , p, 
p', p", ... désignant certains nombres premiers 4 . Ajoutons 
que, dans le t. XII du B. Bon. (Rome, 1879), on voit que 
Descartes avait trouvé ces propositions par le moyen de la 
relation f(ab) — f(a) f(b). (Gh. Henry, Reoh. sur lesman. de 
Fermât.) Tous ces travaux de Descartes sont de 1638. 

Dans les Cogitata physico-mathematica (Paris, 1644), de 
Mersenne, on trouve les énoncés des résultats qu'on vient 
de voir relatifs aux nombres aliquotaires, et en outre les pro- 
positions que voici, dues probablement à Fermât : 



1 Descartes applique ces formules aux cas de a = 2. ce qui lui donne le couple c'e Stifel, de 
a = 8 et de a = 64. 

2 r,n représente la somme des diviseurs de n, J n la somme de n et de ses diviseurs, c"est- 
à-dire an + ". 

s Ed. Lucas il. cit.) donne une restitution très plausible des démonstrations de ces théo- 
rèmes. Voir aussi les Comm. Aritk. d'Euler. 

4 Voir Lionnet [Nouv. An., 1879), Sylvester [Comptes Rendus, 1888), Stuyvaert [Mathesis, 1F96). 



THEO RE ME I) E F E 11 MAT 427 

Les seules valeurs de n donnant pour 2" — • 1 des nombres 
premiers, jusqu'à n =257, sont 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17. 19, 31, 
67, 127, 257 *. 

Le plus petit nombre ayant cent diviseurs est 1267650G0022 
8229401496703205376, et la 66 e puissance de ce nombre mul- 
tipliée par la quatrième de cet autre 847288609443 donnerait 
le plus petit nombre ayant un million de diviseurs. 

Dans son fameux Traité du triangle arithmétique, divulgué 
en 1654, mais publié seulement en 1665, Pascal a donné une 
théorie complète des nombres figurés, des combinaisons et 
du développement de [a + b)'\ toutes choses connues des 
Indiens et des Arabes, mais non démontrées et d'ailleurs 
incomplètement traitées jusque là 2 . Pascal démontre les for- 
mules relatives à ces trois théories, l'ait voir les relations 
quelles ont entre elles, les applique aux questions de proba- 
bilité, à l'expression générale de 2.r" qu'on ne connaissait 
que pour les onze premières valeurs entières de /? et en tire 
la démonstration de la formule 



a" + ' 
y doc = 

» + 1 




s 



ainsi qu'un grand nombre de théorèmes remarquables, dont 
ceux-ci : 

L« -+- b , a == L'a + b , b • 

C a , b est divisible par b ! 

Le nombre total des combinaisons de n objets est 2 n — 1 3 . 

Mais c'est surtout dans sa méthode de démonstration que 
Pascal a bien mérité de la science, méthode applicable à une 
foule de questions où il s'agit d'une suite indéterminée de 
nombres : elle consiste à montrer qu'une certaine propriété 
supposée vérifiée pour l'entier /?, l'est encore pour n + 1, de 



1 Les neuf premiers de ces nombres étaient déjà connus. Le nombre 67 parait mis pour 61. 
L'assertion de Mersenne a été vérifiée, sauf pour les nombres premiers 71, 89, 101, 103, 107, 
109, 127. 137, 139, 149, 157, 163, 167, 173. 181, 193, 199, 227, 229, 241 et 257. 

' En Europe, le calcul des coefficients du développement de {a -f- b) n à l'aidp de ceux de (e + 
b\"~ a été d'abord indiqué par Stifel (1. cit.) ; et le calcul des coefficients à l'aide de ceux qui 
les précèdent dans la même puissance, l'a été par Briggs (Trigonnmetria britannica, Goude, 
16331. Voir Mathesis, 1907, p. 63. 

8 Cette proposition a été publiée d'abord par Schooten. Voir plus loin. 



428 A. AU B II Y 

sorte que si, par l'examen direct, on prouve qu'elle Test 
pour n = 1, elle l'est pour n — 2, puis pour n = 3, etc. Il 
démontre ainsi les deux formules principales des nombres 
figurés 

C a ,b = ^a,b — + C a— \ , b — 1 
C a, 1 + C a. 2 + Ca, 3 + + C 'a, b = C a+ 1, è ■ 

^Yallis, dans sa célèbre Arithmetica infinitoriim (Oxford, 
1655), a introduit dans la science, des idées nouvelles et har- 
dies, qui furent critiquées; elles devaient cependant aboutir 
à la découverte de vérités importantes. Nous voulons parler 
de la relation 



/ 



l — 



tin] 



1.3.5... [In — li ' 



de Y interpolation des termes de la suite 1, ^, „— ;, 



3 ' 3 .5 1 3.5 . 7 ' •" 
qu'il suppose être différentes valeurs d'une fonction conti- 
nue et qu'il représente par une courbe. 

Schooten [Exercitationum mathematicarum, Leyde, 1657), 
a fait voir que le nombre total des combinaisons de n objets 
est 2 n — 1, et a donné la liste des plus petits nombres ayant 
respectivement 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... 100 divi- 
seurs, lesquels sont 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, ... 

Le premier écrit oii il est question des travaux arithmé- 
tiques de Fermât, est le Com merci uni epistolicum, de A Yallis 
(Oxford, 1658). On y trouve les énoncés de différentes ques- 
tions importantes dont celles-ci : 

Trouver un cube qui, ajouté a ses diviseurs donne un carré, 
et un carré qui ajouté à ses diviseurs produise un cube; 

l'équation dite de Pell, .r 2 — ay 2 — I, dont Brouncker 
donne la solution pour a = 13 (1) ; 

les équations 

.r 2 + 2 — v â , .r 2 4- 4 = v 8 . rt s + b* = x 3 4- r 2 ; 



1 E(,j désignant la valeur de la partie entière du nombre non entier w. la solution de Broun- 
eker revient à poser x = (E kÏ3) y + a, d'où by* = 6oy + a 8 — 1 et de là une expression 
iyi = 3a + ' 13a* — 4 de la valeur de y; on pose de même y = lEyi 1 y -}- éj et ainsi de suite. 
— La justification de cette solution n'a été donnée que par Lagrange. 



THEOREME DE FERMAT 429 

l'impossibilité de partager un cube en deux autres cubes, 
et celle de trouver un triangle dont l'aire soit un carré ; 

l'expression 2 2n + 1 représente un nombre premier 2 ; 

tout nombre premier de la forme 4 + 1 est une somme de 
deux carrés ; tout nombre premier de la forme 3 + 1 divise 
x 2 + 3y 2 ; tout nombre premier 2 de la forme 8 — 1 est une 
somme de trois carrés. 

Mais c'est surtout dans la réédition, par le fils de Fermât, 
du Diophantus de Bachet (Toulouse, 1670), que l'on voit les 
monuments du génie de Fermât. Nous en citerons ce qui suit : 

l'impossibilité de l'équation x a + y a = z a , pour «>2, 
non encore démontrée en général. 

Si p désigne un nombre premier de la forme 4 + 1, les 
équations 

x- -f- y- = pin— 1 et x 2 -+- y 2 = j5 2 " 

ont chacune n solutions; 

le produit (a 2 + b 2 ) 2n - k (c 2 + d 2 j k est, de n manières, la 
somme de deux carrés: de là, le moyen de déterminer le 
nombre de fois qu'un nombre peut être hypoténuse, ou un 
nombre qui soit n fois hypoténuse ; 

résoudre , 

x* -f y 8 = « s + h 3 ; 

théorème des nombres polygones : tout entier est la somme 
den n* ones ; 

trouver une infinité de triangles ayant même aire; 

l'aire d'un triangle ne peut s'exprimer par un nombre 
carré; ce qui revient à dire qu'on ne saurait avoir xy (x 2 + 
y 2 ) = z 2 . C'est la seule proposition sur la démonstration de 
laquelle Fermât ait laissé quelques indications. Il la démontre 
par la descente infinie dont nous avons déjà parlé 3 . Sa dé- 
monstration a été rétablie par Euler. 



1 Euler a reconnu que cette proposition est fausse. Fermât, qui la destinait à faciliter la 
recherche des nombres parfaits, y revient quatre autres fois, dans les écrits qui nous res- 
tent de lui. Il parait l'avoir cherchée très longtemps. 

2 Legendre a reconnu que cette proposition a lieu pour un nombre impair quelconque de 
cette forme. 

3 S'agit-il de faire voir qu'une certaine propriété ne convient pas à un nombre désigné ? 
On cherchera un nombre plus petit qui jouisse de cette propriété, s'il en est de même du pre- 
mier. De là un troisième nombre plus petit et dans les mêmes conditions. En continuant ainsi, 
on obtiendrait une suite infinie d'entiers décroissants, ce qui est absurde. L'hypothèse du 
point de départ est donc fausse. Voir par exemple Mathesis, 1905, p. 8. 



430 A. A UB R Y 

La publication également posthume dune partie de la cor- 
respondance de Fermât {Opéra varia, Toulouse, 1679 , per- 
met d'apprécier encore mieux les découvertes de l'illustre 
géomètre, et quel regret on doit avoir de ce qu'il n'a pu faire 
connaître ses méthodes arithmétiques, que les savantes mé- 
thodes actuelles n'ont pu remplacer. On peut mentionner ce 
qui suit : 

Tout nombre composé de trois carrés ne peut l'être de deux, 
même en fractions (lettre à Mersenne, 1636;. 

La méthode de Maximis 1 sert pour la recherche des 
nombres aliquotaires. Les nombres 672 et 120 sont doubles 
de la somme de leurs diviseurs 2 , 220 et 284 sont amiables 
de même que 17296 et 18416 3 . Sommation des bicarrés et 
des nombres ligures. {Diverses lettres à Roberval, 1636.) 

Il parle des progressions géométriques commençant à 
l'unité, dont il a envoyé de belles propositions à Frénicle; 
il rappelle qu'il a démontré qu'aucun nombre de la forme 
4 — 1 n'est composé de deux carrés, ni entiers ni fraction- 
naires; enfin il avance que tout diviseur premier d'une somme 
de deux carrés premiers entre eux ne peut être de la forme 
4 — 1, ce qui sert pour reconnaître si un nombre donné est 
premier (lettre à Roberval). 

Nous sommes arrivé à l'importante Lettre a Monsieur de ***, 
dont il est nécessaire de donner une analyse détaillée. Fer- 
mat parle de certaines progressions dont les propriétés 
servent à trouver les diviseurs des nombres de la l'orme 
a n ± 1, et énonce ainsi le célèbre théorème qui a gardé son 
nom : «... il m'importe de vous dire le fondement sur lequel 
j'appuie les démonstrations de tout ce qui concerne les pro- 
gressions géométriques, qui est tel : 

Tout nombre premier mesure infailliblement une des puis- 
sances — 1, de quelque progression que ce soit, et l'exposant 
de ladite puissance est sous-multiple du nombre premier 
— 1. Et après qu'on a trouvé la première puissance qui sa- 
tisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont 



1 Le calcul différentiel. 

2 Voir sur ce sujet Lettres de Descartes, t. III. p. \W2, 

; Ces quatre nombres «ml été trouvés par Descartes. Voir plus haut. Euler a longuement 
traité de ces nombres Voir ses fommentatinnes Ai ithmeticx, t. 1. p. W2-. t. II. pp. *'<'!', et fi37i. 



T II É O RÈME DE FER MA T 431 

multiples de l'exposant de la première satisfont de même à 
la question. » 
Ainsi on a : 

3 1 = 3 , 3* = 9 , 3 S = l (mod. 13) 

donc l'exposant 3 divise 13 — 1, et de plus 3 3A = 1 (mod. 13). 

Si le gaussien 1 , t de a est impair, on ne saurait avoir 
a x + 1 = 0. Ainsi 2 11 = 1 (mod. 23) ; donc 23 ne divise aucun 
nombre de la l'orme 2 X + 1. Si, au contraire, t est un nombre 
pair 2r, on. a. a T .+ 1 = 0. 

La difficulté de l'application de cette théorie est dans la 
recherche du nombre premier p tel qu'on ne puisse écrire 
a x + 1=0, c'est-à-dire tel qu'il divise a 1 — 1, / étant im- 
pair. Elle sert dans la recherche des nombres parfaits et à 
donner la raison de ce que, par exemple, 2 37 = 1 (mod. 223). 

Fermât donne encore ces deux théorèmes: si p est un 
nombre premier de forme 4 — 1, et qu'on puisse trouver deux 
nombres a et b tels que a 2k + ' = b, on aura a* = 1 avec t im- 
pair 9 . — Aucun diviseur de a 2 — 2 n'est de la forme x 2 + 2. 
{Lettre à Monsieur de ***, 1640.) 

Si p est premier, les diviseurs de 2p — 2 sont de la forme 
2ph et deux de 2>> — 1, de la forme 2ph + 1. (Lettre à Mer- 
senne.) 

Il indique différents nombres aliquotaires (lettre à Car- 
cavi), et énonce les propositions suivantes : On arrive au 
théorème des nombres polygones en démontrant que tout 
nombre premier 4 + 1 est une somme de deux carrés. — Tout 
nombre premier 3+1 est de la forme x 2 + 3y 2 ; et tout nombre 
premier 8 + 1 ou 8 + 3, de la forme x 2 4- 2y 2 . {Lettre à Pas- 
cal, 1654.) 

Malgré de longues et minutieuses recherches, les écrits 
contenant les méthodes de Fermât n'ont pas pu être retrou- 
vés, sauf trois lettres intéressantes, non datées, la seconde 



1 On appelle ainsi, d'après Ed. Lucas (1. cit.), l'exposant t de la plus petite puissance de a 
qui donne a 1 E= l, au lieu de la longue et vague dénomination de Gauss : exposant appartenant 
à a. 

: I • qui revient a dire que a étant résidu de p = 4: — 1, on ne saurait avoir a x -f- I = o. 
Cela l'ait voir que Fermât sait que si a est résidu de p. en posant p = 2/tt + 1, on a : a" 1 = l, 
ri que si pour k impair on a : s = 1, on ne peut avoir pour h <^ k, a = — 1 . 



432 A. ALBRY 

envoyée à Frénicle et la troisième à Huygens, et publiées 
dans le B. Bon. (1. cit. . .Nous en donnons ici ce qu'il y a de 
plus important. 

Tout impair non carré est autant de fois La forme x'- — y 2 
qu'il est Le produit de deux facteurs. Soit à trouver les fac- 
teurs de n = 2027651281 ; par l'extraction de la racine carrée, 
on trouve n — 45029 2 -+- 40440. Le carré suivant surpasse n 
de 2 . 45029 -+- 1 — 40440 = 49919, nombre non carré, ce que 
ses deux derniers chiffres indiquent suffisamment. Le carré 
qui suit surpasse n de 49619 f 2 .45029 + 3= 139680, 
nombre non carré. Continuant ainsi, on trouve à la dixième 
opération, 45041 2 = n + 1020 2 ; de là la décomposition n = 
46061 . 44021. 

p désignant un nombre premier, Le nombre — -^ — ■ est de La 

forme 2ph + !• Si ab n'est pas de La forme 2 n , Le nombre 
2 ab ■•■ + 1 se décompose aisément en ses facteurs 1 . 

Enfin, dans la lettre à Huygens, Fermât apprend qu'il se 
servait de sa méthode de la descente pour démontrer : 
qu' aucun facteur de La formule a 2 + 3b 2 ne peut être de la 
forme 3 — 1 : que La surface d'un triangle ne peut être un 
carré ni entier ni fractionnaire ; que tout, nombre premier 
4 + 1 est une somme de deux carrés; le théorème de Bachet ; 
la solution de l'équation de Pell ; l'impossibilité de l'équation 
x z -f y 3 = £ 3 ; que L'équation x 2 + 2 = y 3 a L'unique solution 
x =■ 5 ; que l'équation x 2 + 4 = y 3 n'a pas d'autres solutions 
que celles-ci y. =2, x = 11. Il annonce que L'équation 2x 2 — i) 2 
= 2y 2 — 1 n'a qu'une solution qui est x =2; et qu'il a des 
règles pour résoudre L'équation ax 2 -\- b = y 2 , ou démontrer 
son impossibilité, et de même pour les équations simulta- 
nées ax + b = y 2 , ax -\- c = z 2 . 

Maintes fois des doutes ont été émis, non sur la bonne foi 
de Fermât, mais sur la valeur de ses démonstrations; il faut 
reconnaître que le seul de ses théorèmes qui ait été reconnu 
faux était énoncé par lui comme non démontré. D'ailleurs, 
le cas échéant, il reconnaît lui-même l'imperfection de cer- 



1 Par exemple, a, b, ... étant impairs, il est divisible par 2 a -f- 1. par 2* -)- I, par 2 a '' + I, ... 
et chacun de ces facteurs est divisible par '.i. 



THÉORÈME DE FERMAT 433 

taines de ses méthodes, particulièrement dans la recherche 
des diviseurs numériques 1 . D'un autre côté, il a assez vive- 
ment critiqué Wallis de s'être servi de la simple induction 
dans les démonstrations de son Arith. inf. pour qu'on ne 
puisse croire qu'il avait agi de même. La science, en s'éten- 
dant et se perfectionnant, a perdu de sa simplicité, et il n'y 
a guère lieu de s'étonner que les procédés élémentaires de 
Frénicle, de S te -Croix et de Fermât nous échappent; et, 
même retrouvés, ils ne pourraient peut-être plus nous ser- 
vir, l'habitude étant perdue des longs calculs numériques 
que ne craignaient pas d'entreprendre ces savants non en- 
core habitués aux calculs de l'algèbre, plus mécaniques et 
moins suffffestifs. 

Nous terminons notre historique qui sera continué par 
Y Œuvre arithmétique d'Euler, de Lagrange, de Legendre et 
de Gauss par cette remarque que Fermât ne paraît avoir 
étudié que dans Euclide, Diophanle, Viète et Bachet: ses 
découvertes paraissent avoir été faites entre 1630 et 1638 et 
avoir eu pour origine la considération des nombres parfaits 
ainsi que diverses questions proposées par Frénicle. 



Deuxième Partie 



Étude élémentaire sur le théorème de Fermât. 

1. — Lemmes 2 !. L'expression a k — h k est algébriquement di- 
visible par a — b. De plus si k est pair, elle l'est par a + b ; 
si k est impair a k -f- b k est divisible par a + b. 

En outre, si k est multiple de n, et dans ce cas là seule- 
ment, a